Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
281
Лекция 45
Метод наименьших квадратов
Излагается метод наименьших квадратов, состоящий в оп-
ределении m параметров в наперед заданной формуле так,
чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались»
бы известные n пар значений х и у.
На практике часто прих одится решать сле дующую зада чу. Пусть для
двух функционально связанных величин х и у известны n пар соответ-
ствующих значений (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
), ..., (x
n
, y
n
). Требуется в наперед задан-
ной форм уле y = f (x, a
1
, a
2
, ..., a
m
) определить m параметров a
1
, a
2
, ..., a
m
(m < n) так, чтобы в эту формулу наилучшим образ ом «вложить» извест-
ные n пар значений х и у.
По методу наименьших квадратов искомые значения парамет-
ров a
1
, a
2
, ..., a
m
дают минимум функции
[]
∑
=
−=
n
k
kmk
yaaaxfS
1
2
21
)...,,,,(
,
т.е. сумму квадратов отклонений значений у, вычисленных по формуле
от заданных. Поэтому такой способ и получил название метода наи-
меньших квадратов.
Если функция f (x, a
1
, a
2
, ..., a
m
) имеет непрерывные частные про-
изводные по всем своим аргументам, то необходимое условие мини-
мума функции S представляет собой систему m уравнений с m неизве-
стными:
[]
0
)...,,,,(
)...,,,,(2
21
1
21
=
∂
∂
−=
∂
∂
∑
=
j
mk
n
k
kmk
j
a
aaaxf
yaaaxf
a
S
, (1)
j = 1, 2, ..., m.
Эта система называется нормальной системой метода наименьших
квадратов.
На практике заданную формулу y = f (x, a
1
, a
2
, ..., a
m
) иногда при-
ходится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать
к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать.
Рассмотрим частные случаи:
1
0
. y = a
0
x
m
+ a
1
x
m-1
+ ... + a
m
(m +1 параметров, a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
m
;
n>m+1).
Система (1) принимает следующий вид:
282
∑∑∑
==
−
=
=+++
n
k
km
n
k
m
k
n
k
m
k
ynaxaxa
11
1
1
1
0
...
,
∑∑∑∑
====
+
=+++
n
k
kk
n
k
km
n
k
m
k
n
k
m
k
yxxaxaxa
111
1
1
1
0
...
,
∑∑∑∑
===
+
=
+
=+++
n
k
kk
n
k
km
n
k
m
k
n
k
m
k
yxxaxaxa
1
2
1
2
1
1
1
1
2
0
...
,
(2)
...............
∑∑∑∑
===
−
=
=+++
n
k
k
m
k
n
k
m
km
n
k
m
k
n
k
m
k
yxxaxaxa
111
12
1
1
2
0
...
.
Эта система m +1 уравнений с m +1 неизвестными всегда имеет
единственное решение, т.к. ее определитель отличен от нуля.
Для определения коэффициентов системы (2) удобно составить
вспомогательную таблицу 1.
В последней строке записывают суммы элементов каждого стол-
бца, которые и являются коэффициентами системы (2).
Систему (2) обычно решают методом Гаусса.
Пример 1. Рост производства химволокна по годам представлен в
табл. 2.
Предполагая, что y = a
0
x + a
1
, найти параметры этой зависимос-
ти по методу наименьших квадратов.
Решение. Для составления нормальной системы (2) необходи-
мые результаты вычислений занесем в табл. 3.
Таблица 1
283
Нормальная система (2) в этом случае примет вид:
30a
0
+10a
1
= 7529,
10a
0
+4a
1
= 2874.
Решая эту систему, получим a
0
= 68,8, a
1
= 546,5.
Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид
y = 68,8x + 546,5.
2
o
. y = Ae
cx
. Для упрощения системы (1) эту формулу, связываю-
щую х и у, предварительно логарифмируем и заменяем формулой
lg y =lgA + c lg e ⋅x.
Система (1) примет в этом случае следующий вид:
∑∑
==
=⋅+⋅
n
k
k
n
k
k
yAnxec
11
lglglg
,
∑∑∑
===
⋅=⋅+⋅
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
yxAxxec
111
2
lglglg
.
(3)
Вспомогательная таблица имеет вид таблицы 4.
Из системы (3) определяем с и lg A.
Таблица 2
Таблица 3
284
Пример 2. Способом наименьших квадратов подобрать показа-
тельную функцию S=Ae
ct
по следующим табличным данным (табл. 5).
Таблица 5
Составим таблицу 6.
Таблица 6
Имеем систему уравнений
Таблица 4
285
=+⋅
=+⋅
.6311,75lg42lg364
,4230,15lg7lg42
Aec
Aec
Отсюда c·lg e = – 0,1509, lg A = 3,1091. Значит, А = 1286,
с = – 0,347. Таким образом, искомая показательная функция имеет вид
S = 1286e
–0,347t
.
3
0
. y=Ax
q
. Эту формулу также предварительно прологарифмируем
и заменим следующей:
lg y =lgA+ q⋅lg x.
Тогда система (1) примет вид:
⋅=⋅+
=⋅+
∑∑∑
∑∑
===
==
.lglglglglg
,lglglg
111
2
11
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
yxxAxq
yAnxq
(4)
Соответствующим образом изменится и вспомогательная таблица 1.
Пример 3. Способом наименьших квадратов подобрать сте-
пенную функцию S = At
q
по следующим табличным данным.
Таблица 7
Составим таблицу 8.
Таблица 8
286
Используя (4), получаем систему уравнений:
=+
=+
.0619,4lg0792,21693,1
,3366,8lg50792,2
Aq
Aq
Отсюда q= 1,954, lg A = 0,8561, т.е. A = 7,161. Следовательно,
искомая степенная функция имеет вид S = 7,161 t
1, 954
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Способом наименьших квадратов подобрать для заданных значе-
ний х и у квадратичную функцию ϕ(x)=a
0
x
2
+ a
1
x + a
2
:
а)
б)
в)
г)
2. Найти показательную функцию S= Ae
ct
:
а)
б)
3. Найти степенную функцию S = At
q
:
287
Лекция 46
Двойные интегралы
Дано определение двойного интеграла от функции f(x, y)
по области D, приведены основные его свойства и прави-
ла вычисления; рассмотрена замена переменных в двой-
ном интеграле.
1
0
. Определение двойного интеграла и его ос-
новные свойства. Пусть функция f (x, y) определена в ог-
раниченной замкнутой области D пло скости Oxy.
Разобьем область D произвольным образом на n элементарных
областей, имеющих площади ∆σ
1
, ∆σ
2
, ..., ∆σ
n
, и диаметры d
1
, d
2
, ..., d
n
(диаметром области называется наибольшее из расстояний между дву-
мя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной
области произвольную точку P
k
(ξ
k
; η
k
) и умножим значение функции в
точке P
k
на площадь этой области ∆σ
k
.
Интегральной суммой для функции f (x, y) по области D называ-
ется сумма вида:
nnn
n
k
kkk
fff
σ∆ηξ++σ∆ηξ=σ∆ηξ
∑
=
),(...),(),(
111
1
.
Если при max d
k
→0 интегральная сумма имеет определенный ко-
нечный предел
∑
=
→
σ∆ηξ=
n
k
kkk
d
fI
k
1
0max
),(lim
, не зависящий от способа раз-
биения D на элементарные области и от выбора точек P
k
в каждой из них,
то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по об-
ласти D и обозначается так:
∫∫
σ=
D
dyxfI
),(
. (1)
Ясно, что площадь плоской фигуры, ограниченной областью D,
находится по формуле :
∫∫
=
D
dydxS
. (2)
Можно показать, что объем цилиндриче ского тела, ограниченного
сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоско стью z = 0, и
сбоку цилиндрической поверхностью, направляющей для которой слу-
жит граница D, а образующими – прямые, параллельные оси Oz, равен
двойному интегралу от f (x, y) по D.
288
Основные свойства двойного интеграла:
а)
[]
∫∫∫∫∫∫
σ±σ=σ±
DDD
dyxfcdyxfcdyxfcyxfc
),(),(),(),(
22112211
.
б) Если область интегрирования D разбита на две области D
1
и
D
2
, то
∫∫∫∫∫∫
σ+σ=σ
21
),(),(),(
DDD
dyxfdyxfdyxf
.
в) Если подынтегральные функции удовлетворяют неравенству
0<f (x, y) ≤g(x, y) в области D, то такому же неравенству удовлетво-
ряют двойные интегралы:
∫∫∫∫
σ≤σ<
DD
dyxgdyxf
),(),(0
.
г) Модуль двойного интеграла не больше двойного интеграла
от модуля.
∫∫∫∫
σ≤σ
DD
dyxfdyxf
),(),(
.
2
0
. Правила вычисления двойного интеграла. Вычис-
ление двойного интеграла может быть проведено путем сведения его к
повторному. Если область D задана неравенствами a ≤x ≤b, ϕ
1
(x) ≤y ≤ϕ
2
(x)
(рис. 1), то двойной интеграл может быть вычислен по формуле
∫∫∫∫
ϕ
ϕ
=σ
)(
)(
2
1
),(),(
x
x
b
aD
dyyxfdxdyxf
, (3)
где при вычислении
∫
ϕ
ϕ
)(
)(
2
1
),(
x
x
dyyxf
величину х полагают постоянной.
Рис. 1
289
Если область интегрирования D задана неравенствами c ≤y ≤d,
ψ
1
(y) ≤x ≤ψ
2
(y) (рис. 2), то имеет ме сто формула
∫∫∫∫
ψ
ψ
=σ
)(
)(
2
1
),(),(
y
y
d
cD
dxyxfdydyxf
, (4)
где при вычислении интеграла
∫
ψ
ψ
)(
)(
2
1
),(
y
y
dxyxf
величина у считается
постоянной.
Правые части указанных фор мул называются двукратными, или по-
вторными интегралами.
В более общем случае, если это возможно, область интегрирования
путем разбиения на части сводится к основным областям (рис. 1 и 2).
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
∫∫
−−
=
D
yxa
dydx
I
222
,
где D – часть круга радиуса а с центром в точке О(0; 0), лежащая в
первой четверти (рис. 3).
Решение. В данном случае 0≤x ≤a, 0 ≤y ≤
22
xa −
. Находим:
=
−−
=
−−
∫∫ ∫∫
−
D
xaa
yxa
dy
dx
yxa
dydx
22
0
222
0
222
Рис. 2
290
=−=
−
=
∫∫
−=
=
aa
xay
y
dxdx
xa
y
00
0
22
)0arcsin1(arcsinarcsin
22
adx
a
a
222
0
0
π
=
π
=
π
=
∫
.
Ответ:
aI
2
π
=
.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x =4y–y
2
, x + y =6.
Решение. Найдем координаты точек пересечения заданных
линий, решая систему уравнений x =4y – y
2
, x+ y = 6. В результате
получим А(4; 2), В(3; 3). Таким образом, по формуле (2) получаем:
====
∫∫∫∫∫
−
−
−
−
3
2
4
6
4
6
3
2
2
2
yy
y
yy
yD
xdxdydydxS
6
1
6
2
5
3
1
)65(
3
2
3
2
232
=
−+−=−+−=
∫
yyydyyy
.
Ответ: S =
6
1
.
3
0
. Двойной интеграл в полярных координатах.
Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х,
у к полярным ρ, θ, связанных с прямоугольными координатами соотно-
шениями x = ρcos θ, y = ρsin θ, oсуществляется по формуле:
Рис. 3