Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
261
Для разных последовательностей точек получили разные пределы.
Значит, данная функция не имеет предела в точке О(0; 0).
Так же, как и в случае функции одной переменной, предел сум-
мы, частного и произведения функций нескольких переменных равен
сумме, частному и произведению пределов, если пределы существу-
ют (в случае частного предел знаменателя не равен 0).
Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке M
0
(x
0
; y
0
),
если выполняется равенство:
),(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
=
→
→
. (2)
Функция, непрерывная в каждой точк е некоторой области D, назы-
вается непрерывной в D.
Если в точке M
0
(x
0
; y
0
) не выполняется условие непрерывности,
то такая точка M
0
называется точкой разрыва функции z=f(x, y).
Точки разрыва могут образовывать некоторую линию разрыва.
Пример 4. Найти точки разрыва функции
22
4
8
yx
z
−−
=
.
Решение. В любой окрестности каждой из точек М(х; у) окруж-
ности x
2
+y
2
=4 данная функция неопределена, т.к. знаменатель дроби
обращается в нуль в точках указанной окружности. Поэтому для всех
таких точек условие (2) выполняться не может. Во всех остальных
точках плоскости Oxy условие (2) выполняется, и, значит, в них указан-
ная функция z непрерывна.
Ответ. Точки разрыва M(x, y) функции
22
4
8
yx
z
−−
=
образуют
окружность x
2
+ y
2
=4.
3
0
. Частные производные.
Частным приращением функции n переменных z=f(x
1
, x
2
, ..., x
n
)
в точке M
0
(x
1
0
; ...; x
n
0
) по переменной x
i
называется изменение функции
z при заданном приращении только этой одной переменной x
i
:
∆x
i
(M
0
) =f(x
1
0
, ..., x
i
0
-1
, x
i
0
+ ∆x
i
, x
i
0
+1
, ..., x
n
0
) –f(x
1
0
, ..., x
n
0
),
ni ,1=
.
Частной производной первого порядка функции n переменных
по одной из этих переменных в точке M
0
называется предел отноше-
ния соответствующего частного приращения функции к приращению
данной переменной при стремлении последнего к нулю:
262
ii
i
x
x
x
Mf
x
Mx
Mf
i
i
∂
∂
=
∆
∆
=
′
→∆
)()(
lim)(
00
0
0
.
Более упрощенно, например, для функции двух переменных z = f (x, y)
частной производной по аргументу х называется производная этой функ-
ции по х при постоянном у. Аналогично, частной производной функции
z = f (x, y) по аргументу у называется производная этой функции по у при
постоянном х. Поэтому для вычисления частных производных не нужно
каких-то новых правил и таблиц. Обозначения:
y
z
z
x
z
z
yx
∂
∂
′
∂
∂
′
,,,
.
Частными производными второго порядка функции
z = f (x, y) называются частные производные от ее частных производ-
ных первого порядка.
Пример 5. Пусть z=2x
2
y +3xy
2
+ x
3
– производственная функ-
ция, где х – затраты живого труда, у – затраты овеществленного тру-
да. Найти E
x
(z) и E
y
(z) в точке (1; 1).
Решение. Приближенный процентный прирост функции z, со-
ответствующий приращению независимой переменной х на 1%,
x
z
z
x
zE
x
∂
∂
=)(
,
а приближенный процентный прирост функции z, соответствующий
приращению независимой переменной у на 1%, –
y
z
z
y
zE
y
∂
∂
=
)(
.
Найдем частные производные по х и у:
22
334
xyxy
x
z
++=
∂
∂
,
xyx
y
z
62
2
+=
∂
∂
.
Тогда
322
22
32
)334(
)(
xxyyx
xyxyx
zE
x
++
++
=
,
322
2
32
)62(
)(
xxyyx
xyxy
zE
y
++
+
=
.
В заданной точке E
x
(z)=
6
10
≈
1,67 и E
y
(z)=
6
8
≈
1,33.
С увеличением затрат живого труда на 1% объем производства
увеличится на 1,67%, а с увеличением затрат овеществленного труда
на 1% объем производства увеличится на 1,33%.
263
Пример 6. Вычислить частные производные функции
()
222
cos
yxxyz
++=
первого и второго порядков.
Решение. Имеем:
()
22
22
sin
yx
x
yxy
x
z
+
+⋅−=
∂
∂
,
()
22
2
2sin
yx
y
xyxy
y
z
+
+⋅−=
∂
∂
,
()
=
+
+⋅−
∂
∂
=
∂
∂
22
22
2
2
sin
yx
x
yxy
x
x
z
() ()
2
3
22224
2
3
222
2
1
2224
)(cos)()(cos
−−−
++−=+−++−=
yxyxyyyxxyxxyy
.
() () ()
−−−=
+
+⋅−
∂
∂
=
∂∂
∂
232
22
22
2
cos2sin2sin
xyxyxyy
yx
x
yxy
yyx
z
()
yx
z
yx
y
xyxy
x
yxxy
∂∂
∂
=
+
+⋅−
∂
∂
=+−
−
2
22
2
2
3
22
2sin)(
;
() ()
−−=
+
+⋅−
∂
∂
=
∂
∂
2
22
2
2
2
sin22sin
xyx
yx
y
xyxy
y
y
z
()
=+−++−
−−
2
3
222
2
1
22222
)()(cos4
yxyyxxyyx
() ()
2
3
2222222
)(cos4sin2
−
++−−=
yxxxyyxxyx
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить частные значения функций:
a)
yx
yx
z
2
2
−
−
=
при x =3, y=1;
б) z = x
2
cos y в точке
π
3
;2M
;
264
в)
1
2
++= yyxz
в точке М(–1; 2).
2. Найти области определения функций и сделать чертежи:
а) z = x
2
+ y
2
; б)
22
1
yxz +−=
; в)
22
1
yx
z
−
=
;
г ) z =ln(x + y); д)
xyz =
; е)
xyz +=
.
3. Найти пределы функций:
а)
yx
x
y
x
+
→
→
0
0
lim
; б)
22
1
0
1
lim
yx
xy
y
x
+
−
→
→
; в)
()
x
xy
y
x
tg
lim
4
0
→
→
.
4. Найти точки разрыва функций:
a)
()()
22
32
1
−+−
=
yx
z
;
б)
()
yx
z
sin32sin
1
+
=
.
5. Найти частные производные первого и второго порядков
следующих функций:
а) z =2x
4
–10x
2
y
3
+3y
2
; б) z = sin (x
3
+ y
2
); в)
2
3
yxyz +=
;
г) z=tg(5y
2
x); д) z = sin y ln x + e
x
ln y; е) z = xy +
y
x
.
265
Лекция 42
Полный дифференциал
Рассмотрен полный дифференциал функции многих
переменных и его применение для приближенного вычис-
ления значений функции, приведена формула Тейлора для
функции нескольких переменных.
1°. Понятие полного дифференциала и некоторые
его применения.
Полным приращением ф ункции неско льких переменных назыв ается из-
менение функции при заданных приращениях всех переменных. В частности,
полным приращением функции z =f(x,y) в точке M
0
(x
0
; y
0
) является разность
∆z=z
–z
0
= ∆f (x
0
, y
0
)=f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y)–f (x
0
, y
0
). (1)
Представим разность (1) следующим образом:
∆z = f (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y)–f (x
0
+ ∆x, y
0
)+f (x
0
+ ∆x, y
0
)–f (x
0
, y
0
)=
= ∆yf(x
0
+ ∆x, y
0
) + ∆xf(x
0
, y
0
).
()
1
′
Согласно Л.41, частные производные выражаются через частные
приращения так:
)(),(),(
0000
xoxyxfyxf
xx
∆+∆
′
=∆
,
)(),(),(
0000
yoyyxxfyxxf
yy
∆+∆∆+
′
=∆+∆
.
Если частная производная по x непрерывна в окрестности точки
М
0
, то
)1(),(),(
0000
oyxfyxxf
yy
+
′
=∆+
′
,
где е сть БМФ ( при ).
Учитывая приведенные выше соотношения из (
1
′
), получаем
yoyoxoyyxfxyxfz
yx
∆+∆+∆+∆
′
+∆
′
=∆ )1()()(),(),(
0000
.
Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M
0
(x
0
; y
0
)
функции z = f (x, y) называется главная линейная относительно ∆x и ∆y
часть полного приращения этой функции в точке М
0
, т.е.
yyxfxyxfyxdfdz
yxM
∆
′
+∆
′
== ),(),(),(
000000
0
.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их прира-
щениями, т.е. dx = ∆x, dy = ∆y.
Полный диф ференциал функции z = f (x, y) находится по формуле:
lim (1) 0o =
0x∆→
266
dy
y
z
dx
x
z
dz
∂
∂
+
∂
∂
=
. (2)
Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал
функции любого числа переменных.
Пример 1. Найти полный дифференциал функции
22
yxz −=
.
Решение. Находим частные производные:
22
yx
x
x
z
−
=
∂
∂
,
22
yx
y
y
z
−
−=
∂
∂
.
Используя формулу (2), получаем
222222
yx
dyydxx
dy
yx
y
dx
yx
x
dz
−
−
=
−
−
+
−
=
.
Используя понятие полного дифференциала, запишем уравнение
касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x, y) в точке
M
0
(x
0
; y
0
).
Напомним следующие определения.
1. Касательной плоскостью к поверхности z = f (x, y) в точке
M
0
(x
0
; y
0
) называется такая плоскость, которая содержит множество
всех касательных прямых в этой точке.
2. Нормалью к этой поверхности в точке М
0
называется прямая,
ортогональная соответствующей касательной плоскости.
Следовательно, уравнение касательной плоскости:
0)()(
),(
)(
),(
),(
00
00
0
00
00
=−−−
∂
∂
+−
∂
∂
⇔=∆ zzyy
y
yxf
xx
x
yxf
yxdfz
.
Вектор нормали к ней
N
!
равен:
−
∂
∂
∂
∂
= 1,
),(
,
),(
col
0000
y
yxf
x
yxf
N
!
.
Значит, каноническое уравнение нормали:
1
),(),(
0
00
0
00
0
−
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
− zz
y
yxf
yy
x
yxf
xx
.
Пример 2. Найти уравнение касательной плоско сти и нормали к
сфере с R =1 в точке М
0
(0; 0; 1).
267
Решение. Из уравнения сферы x
2
+ y
2
+ z
2
=1 имеем:
0022
00
=
′
⇒=
′
+
xx
zzzx
,
0022
00
=
′
⇒=
′
+
yy
zzzy
.
Значит, уравнение касательной плоскости
0
x +0y –(z–1) =0 ⇒z=1.
Уравнение нормали
=
=
⇒
−
==
.0
,0
1
1
00
y
x
zyx
2
0
. Применение полного дифференциала для при-
ближенного вычисления значений функций. При доста-
точно малых ∆x и ∆y для дифференцируемой функции z = f (x, y) име-
ет место приближенное равенство ∆z ≈dz или
y
y
f
x
x
f
yxfyyxxf ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+≈∆+∆+ ),(),(
. (3)
Формула (3) применяется для приближенного вычисления значения
функции z = f (x, y) в точке col(x + ∆x; y + ∆y) по известным значениям
функции z и ее частных производных
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
в данной точке (х; y).
Пример 3. Вычислить приближенное значение (1,02)
3, 04
.
Решение. Искомое число будем рассматривать как значение
функции z(x, y)=x
y
= e
y ln x
при х = 1 + 0,02, у = 3 + 0,04. Значение функ-
ции в точке (1; 3) равно z(1,3) = e
3 ln1
=1. Найдем значение частных
производных
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
в точке col(1; 3):
313
)3,1(
,
21
=⋅=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
z
yx
x
z
y
;
001
)3,1(
,
ln
=⋅=
∂
∂
=
∂
∂
y
z
e
y
z
xy
.
По формуле (3) получаем при ∆x = 0,02, ∆y = 0,04:
(1,02)
3,04
= (1 + 0,02)
3+0,04
=1+3×0,02 + 0 ×0,04 = 1,06.
Следовательно, (1,02)
3,04
≈ 1,06.
3
0
. Формула Тейлора. Пусть функция
)()...,,(
1
xfxxfz
n
!
==
непрерывна и достаточное число раз дифференцируема в области D.
268
Найдем эквивалентную приращению этой функции в точке
col
Dxxx
n
∈=
0
00
1
)...;;(
!
в виде многочлена n-ой степени.
Согласно формуле Тейлора, для функции одной переменной (см.
формулу Л.31.9)
=−+=−
∑
=
))((
!
)(
)()(
0
1
0
0
n
n
k
k
xxo
k
xfd
xfxf
))(()(
!
1
...)(
!2
1
)(
000
2
0
nn
xxoxfd
n
xfdxdf
−++++=
.
Обобщение этой формулы для функции нескольких переменных
следующее:
=
−+=−
∑
=
n
n
k
k
xxo
k
xfd
xfxf
0
1
0
0
!
)(
)()(
!!
!
!!
−++++=
n
n
xxoxfd
n
xfdxdf
00020
)(
!
1
...)(
!2
1
)(
!!!!!
, (4)
куда входят полные дифференциалы этой функции (
=−
0
xx
!!
22
1
2020
11
...)(...)(
nnn
dxdxxxxx
++=−++−=
).
Поясним несколько подробнее формулу (4) для функции
z = f (x, y) двух переменных. По формуле (2)
dy
y
yxf
dx
x
yxf
yxdf
∂
∂
+
∂
∂
=
),(),(
),(
0000
00
.
Запишем для этой функции в точке M
0
(x
0
; y
0
) полный дифферен-
циал второго порядка:
()
==
),(),(
0000
2
yxdfdyxfd
),(
000
yxM
dydy
y
f
dx
x
f
y
dxdy
y
f
dx
x
f
x
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
.
Отсюда, как легко видеть, получаем:
2
2
00
2
00
2
2
2
00
2
00
2
)(
),(),(
2)(
),(
),(
dy
y
yxf
dydx
yx
yxf
dx
x
yxf
yxfd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
.
Пример 4. Записать формулу Тейлора до членов второго по-
рядка для функции z =sin x + cos y в окрестности точки
col
ππ
2
;
2
.
269
Решение. Имеем:
0
2
,
2
cos =
∂
ππ
∂
⇒=
∂
∂
x
z
x
x
z
;
1
2
,
2
sin −=
∂
ππ
∂
⇒−=
∂
∂
y
z
y
y
z
;
1
2
,
2
sin
2
2
2
2
−=
∂
ππ
∂
⇒−=
∂
∂
x
z
x
x
z
;
0
2
=
∂∂
∂
yx
z
;
0
2
,
2
cos
2
2
2
2
=
∂
ππ
∂
⇒−=
∂
∂
y
z
y
y
z
;
dydf −=
ππ
2
,
2
;
22
2
,
2
dxfd −=
ππ
.
Получаем sin x + cos y –1=–dy –
2
1
⋅(dx)
2
+ o(dx
2
+ dy
2
),
где
2
π
−= xdx
,
2
π
−= ydy
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти полные дифференциалы функций:
а) z = yx
y
; б) u = x
2
y
3
z
4
; в)
yyxz +−=
22
32
;
г) u =
2
xz
y
; д)
xyx
ez
−
=
2
; е) z = arctg (y –2x).
2. Найти приближенные значения:
а) sin 32
o
cos 59
o
; б) 1,02 ×9,99; в) 1,98
2
×e
0,12
;
г) arctg
−1
02,1
97,1
; д) (1,01)
4,02
; е)
01,02
5)02,2(
e+
.
3. Записать формулу Тейлора до членов второго порядка:
а) z = x
4
+ arctg y, M
0
(0; 0); б)
22
yyxz +=
, M
0
(0; 0);
в) z = sin
2
y cos x , M
0
ππ
2
;
2
; г) z = x
3
y
5
+ y cos x, M
0
(0; 1);
д) z = arctg
x
y
, M
0
(2; 3).
270
Лекция 43
Безусловный экстремум фунции
многих переменных
Приведены необходимые и достаточные условия безус-
ловного экстремума; рассмотрен пример, который ка-
сается фирмы, выпускающей два вида продукции.
1
0
. Определение локального экстремума. Точка
)...;;(col
00
1
0
0
n
xxxM
==
!
называется точкой локального максимума
(минимума) функции
)()( xfMf
!
=
, если существует такая
δ-окрестность этой точки, где
)(xf
!
определена, непрерывна и для
всех точек
)...;;(col
1
n
xxxM
==
!
из этой окрестности выполняется не-
равенство f (M) ≤f (M
0
) ( f (M) ≥f (M
0
)).
Другими словами:
maxпри)()(
00
⇒δ<−≤ xxxfxf
!!!!
в точке M
0
,
minпри)()(
00
⇒δ<−≥ xxxfxf
!!!!
в точке M
0
.
Точка М
0
называется точкой абсолютного (или глобального)
максимума (соответственно минимума) функции f (M) в области D,
если f (M
0
) ≥f (M) (соответственно f (M
0
) ≤f (M)) для всех М из D.
Локальный (абсолютный) максимум или минимум функции на-
зывается локальным (абсолютным) безусловным экстремумом.
Например, функция z =1–x
2
– y
2
в тoчке M
0
= col (0; 0) достигает
max, равного 1.
2
0
. Необходимое условие экстремума дифферен-
цируемой функции. Пусть
0
x
!
является точкой локального бе-
зусловного экстремума функции
)(xf
!
и эта функция определена и
непрерывна в каждой точке
x
!
∈R
n
вместе со всеми частными произ-
водными по x
1
, ..., x
n
(
)(xf
!
∈C
(1)
). Для определенности предположим,
что в точке
0
x
!
имеет место максимум функции
)(xf
!
. Тогда из опре-
деления максимума и приращения функции
)(xf
!
имеем:
()
0)(
)()()(
,при
)(
)(
0
000
0
0
≤⇒
−+=−
δ<−≤
xdf
xxoxdfxfxf
xx
xf
xf
!
!!!!!
!!
!
!
. (1)
В частности, для функции двух переменных f (x, y) из (1) получа-