Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
331
)()())((
)(
2121
tftfyxaa
dt
yxd
λ++λ+λ+=
λ+
,
интегрируя которое способом, изложенным в п. 3
0
Л. 48, получаем
{}
∫
λ+−λ+
λ++=λ+
dtetftfCeyx
taataa
)(
21
)(
2121
)]()([
. (8)
Если уравнение (7) имеет различные вещественные корни λ
1
и λ
2
,
то из (8) получим два независимых интеграла системы (1), и, значит,
интегрирование системы (1 ) будет окончено.
Пример 3. Решить методом Даламбера систему:
++=
++=
.154
,45
yx
dt
dy
eyx
dt
dx
t
(9)
Решение. Выберем λ из (7): 4 + 5λ = λ (5+4λ), откуда
λ
1, 2
=±1.
Тогда по формуле (8) для случая λ= 1 будем иметь:
{}{ }
=++=++=+
∫∫
−−−
dteeCedteeCeyx
tttttt
)()1(
98
1
99
1
9
9
1
8
1
9
1
−−=
tt
eeC
.
(10)
Для λ=–1, аналогично, получаем
{}
1)1(
22
++=−+=−
∫
−
ttttt
teeCdteeCeyx
. (11)
Итак, имеем два независимых интеграла системы (9). Решая систе-
му (10), (11) относительно х и у, получим общее решение системы (9):
9
4
8
1
2
1
22
2
9
1
+
−++= tee
C
e
C
x
ttt
.
9
5
8
1
2
1
22
2
9
1
−
+−−= tee
C
e
C
y
ttt
.
Замечание 1. Если правые части нормальной системы ДУ имеют вид
t
tPbyax )(++
, где а, b – постоянные, t>0, а Р(t) – много член от t, то подста-
новка
τ
et
=
приводит эту систему к системе с постоянными к оэффициентами.
332
Пример 4. Решить систему ДУ:
+−−=
++−=
.5
,22
2
tyx
dt
dy
t
tyx
dt
dx
t
(12)
Решение. Сделаем замену переменного
τ
=
et
. Тогда:
τ
=
τ
⋅
τ
=
d
dx
tdt
d
d
dx
dt
dx 1
,
τ
=
d
dy
tdt
dy 1
.
Система (12) принимает вид:
+−−=
τ
++−=
τ
τ
τ
.5
,22
2
eyx
d
dy
eyx
d
dx
Для решения последней системы применим метод Даламбера.
Умножим второе уравнение системы на λ и сложим почленно с первым:
()
ττ
λ++λ−+λ−−=λ+
τ
2
)52()2(
eeyxyx
d
d
или
()
ττ
λ++
λ−−
λ−
+λ−−=λ+
τ
2
2
52
)2(
eeyxyx
d
d
. (13)
Выберем λ так, чтобы коэффициент при у в квадратной скобке
был равен λ , т.е.
λ−−
λ−
2
52
= λ или λ
2
–3λ+2=0, откуда λ
1
= 1, λ
2
=2.
При λ
1
= 1 из (13) получаем
ττ
+++−=
+
2
)(3
)(
eeyx
dt
yxd
,
откуда, согласно формуле (8), имеем:
[]
τττ−ττττ−
++=τ++=+
∫
23
1
32
1
3
5
1
4
1
)(
eeeCdeeeCeyx
. (14)
При λ
2
=2 из (13) с использованием формулы (8) находим
τττ−
++=+
24
2
3
1
5
1
2
eeeCyx
. (15)
Решая систему (14)–(15) относительно х и у, получаем:
τττ−τ−
++−=
24
2
3
1
15
1
3,02
eeeCeCx
,
333
τττ−τ−
+−+−=
24
2
3
1
15
2
05,0
eeeCeCy
.
Возвращаясь к переменному τ (e
τ
= t), получим общее решение
системы (12):
2
4
2
3
1
15
1
3,0
2
tt
t
C
t
C
x ++−=
,
2
4
2
3
1
15
2
05,0
tt
t
C
t
C
y +−+−=
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Методом исключения решить следующие системы:
а)
−−=
+=
;3
,83
yx
dt
dy
yx
dt
dx
б)
=
−=
;
,9
x
dt
dy
y
dt
dx
в)
−=
+=
;
,
tx
dt
dy
ty
dt
dx
г)
=++
=++
;052
,043
yx
dt
dy
yx
dt
dx
д)
=+
=+−
.cos
,sin34
ty
dt
dx
tx
dt
dy
dt
dx
2. Решить методом Даламбера следующие системы уравнений:
а)
+=
+=
;2
,45
yx
dt
dy
yx
dt
dx
б)
+=
+=
;34
,6
yx
dt
dy
yx
dt
dx
в)
+−=
+−=
;5
,142
yx
dt
dy
yx
dt
dx
г)
−+=
++=
;3
,3
t
t
eyx
dt
dy
eyx
dt
dx
д)
+−−=
++=
.sin2
,cos42
tyx
dt
dy
tyx
dt
dx
334
Лекция 54
Устойчивость нулевого решения
динамических систем второго порядка
Дано определение устойчивости по Ляпунову, приве-
дены условия устойчивости линейных систем с постоян-
ными коэффициентами, исследована устойчивость нелиней-
ных систем по первому приближению.
1
0
. Определение устойчивости. Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений
=
=
),,(
),,(
yxg
dt
dy
yxf
dt
dx
(1)
где f (x, y) и g(x, y) – непрерывно дифференцируемые в некоторой об-
ласти D плоскости Оxy (или во всей плоскости) функции. Координат-
ную плоскость Оxy называют фазовой плоскостью.
Точками покоя (или положениями равновесия) динамической
системы (1) называют такие точки (x; y), что выполняются соотноше-
ния: f (x, y)=0, g(x, y)=0.
Пусть g(0, 0) = f (0, 0) = 0, т.е. точка О(0; 0) (начало координат)
является точкой покоя системы (1).
Будем говорить, что точка покоя х = у =0 (или тривиальное
решение x(t) ≡y(t) ≡0) системы (1) устойчива по Ляпунову, если како-
во бы ни было ε> 0, можно найти такое
0)( >εδ=δ
, что для любого
решения col (x(t); y(t)), начальные данные которого x(0) = x
0
, y(0) = y
0
удовлетворяют условию
|x
0
|<δ, |y
0
|<δ, (2)
выполняются неравенства
|x(t)| < ε, |y(t)| < ε для всех t≥0. (3)
Геометрически это означает следующее. Каким бы узким ни был
цилиндр радиуса ε с осью Ot, в плоскости t =0 найдется δ–окрест-
ность точки О(0; 0; 0) такая, что все интегральные кривые x=x(t),
y = y(t), выходящие из этой окрестности, для всех t ≥0 будут оставать-
ся внутри этого цилиндра (рис. 1).
335
Если, кроме выполнения нера-
венств (3), выполняется также
условие
0)(lim)(lim ==
+∞→+∞→
tytx
tt
, то
устойчивость асимптотическая.
Точка покоя х = у =0 не-
устойчива, если при сколь угодно
малом δ>0 хотя бы для одного
решения col(x(t); y(t)) условие (3)
не выполняется.
Пример 1. Используя
определение устойчивости по
Ляпунову, показать, что решение
0)( ≡tx
,
0)( ≡ty
системы
=
−=
x
dt
dy
y
dt
dx
,
(4)
устойчиво.
Решение. Любое решение системы (4), удовлетворяющее усло-
виям x(0) = x
0
, y(0) = y
0
, имеет вид:
x(t)=x
0
cos t–y
0
sin t, y(t)=x
0
sin t+y
0
cos t.
Возьмем произвольное ε>0 и покажем, что существует δ(ε)>0,
такое, что при |x
0
|<δ, | y
0
|<δ имеют место неравенства
ε<−= tytxtx sincos)(
00
,
ε<+= tytxty cossin)(
00
для всех t ≥0.
Это и будет означать, согласно определению, что нулевое реше-
ние x(t) ≡0, y(t) ≡0 системы (4) устойчиво по Ляпунову.
Имеем:
000000
sincossincos
yxtytxtytx +≤−≤−
,
(5)
000000
cossincossin
yxtytxtytx +≤+≤+
для всех t. Поэтому, если
ε<+
00
yx
, то и
ε<− tytx sincos
00
,
ε<+ tytx cossin
00
(6)
для всех t.
Рис. 1
336
Следовательно, если, например, взять δ(ε)=
2
ε
, то при | x
0
|<δ,
| y
0
|<δ
в силу (5) будут иметь место неравенства (6) для всех t ≥0, т.е. действи-
тельно нулевое решение системы (4) устойчиво по Ляпунову, но эта ус-
тойчивость неасимптотическая.
2
0
. Устойчивость нулевого решения линейных систем
с постоянными коэффициентами (ЛСПК). Рассмотрим частный
случай системы (1) (ЛСПК):
+=
+=
,
,
dycx
dt
dy
byax
dt
dx
(7)
и пусть
=
dc
ba
A
;
=
−λ−
−−λ
=−λ
dc
ba
AE )det(
0detSp)()(
22
=+λ⋅−λ=−+λ+−λ= AAbcadda
–
характеристическое уравнение матрицы А, а λ
1
, λ
2
– корни этого
уравнения.
Здесь Sp A – след матрицы A (сумма элементов по главной
диагонали), det A – определитель матрицы А.
Справедливы следующие утверждения:
1) для асимптотической устойчивости нулевого решения
x(t) ≡0, y(t) ≡0 системы (7) необходимо и достаточно, чтобы Re λ
1
<0 и
Re λ
2
<0;
2) в случае Re λ
1
>0 или Re λ
2
>0 нулевое решение системы (7)
неустойчиво;
3) в случае Re λ
1
=Reλ
2
= 0, Im λ
1
=–Imλ
2
≠0 нулевое решение
системы (7) устойчиво, но не асимптотически устойчиво;
4) в случае λ
1
= λ
2
=0 нулевое решение системы может быть как
устойчивым, так и неустойчивым (требуется дополнительное исследо-
вание исходя из определения устойчивости).
Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
+=
+=
.2
,45
yx
dt
dy
yx
dt
dx
(8)
337
Решение. Имеем: Sp A = 5 + 2 = 7, det A = 10–4=6, характеристичес-
кое уравнение λ
2
–7λ+6=0⇒λ
1
= 1, λ
2
= 6, Re λ
1
= 1 > 0. Значит, в силу 2)
нулевое решение x(t) ≡0, y(t) ≡0 неустойчиво.
3
0
. Устойчивость по первому приближению. Пусть имеем
динамиче скую систему (1) с точкой покоя O(0; 0), где функции f (x, y) и
g(x, y) дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное
число раз.
Разложим функции f и g по формуле Тейлора по х, у в окрестно-
сти начала координат:
f (x, y)=ax + by + R
1
(x, y), g(x, y)=cx + dy + R
2
(x, y),
где
x
f
a
∂
∂
=
)0,0(
,
y
f
b
∂
∂
=
)0,0(
,
x
g
c
∂
∂
=
)0,0(
,
y
g
d
∂
∂
=
)0,0(
, а R
1
, R
2
– члены
второго порядка малости относительно х, у.
Тогда исходная система (1) примет вид:
++=
++=
).,(
),,(
2
1
yxRdycx
dt
dy
yxRbyax
dt
dx
()
1
′
Вместо системы (
1
′
) рассмотрим систему
+=
+=
,
,
dycx
dt
dy
byax
dt
dx
()
7
′
называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).
Замечание 1. Если точка (x
0
; y
0
) – некоторое другое положение рав-
новесия системы (1) (x
0
≠0 или y
0
≠0) , то система первого приближения
строится так: в системе (1) сначала сделаем замену x = u + x
0
,
y = v + y
0
и
получим функции ),(
~
v
ug = g(u + x
0
, v + y
0
),
),(
~
v
uf
= f (u + x
0
,
v + y
0
), a дальше
поступаем так же, как и раньше с заменой х на u, а у на
v.
Справедливы следующие утверждения:
1. Если все корни характеристического уравнения
0detSp
2
=+λ⋅−λ AA
(9)
имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение
х = у = 0, системы (
7
′
) и системы (
1
′
) асимптотически устойчиво.
2. Если хотя бы о дин к орень характеристическ ого уравнения (9) име-
338
ет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы (
7
′
)
и системы (
1
′
) неустойчиво.
Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчи-
вость по первому приближению.
В критических случаях, когда вещественные части всех корней
характеристического уравнения (9) неположительны, причем веще-
ственная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование на
устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.
Пример 3. Исследовать на устойчивость по первому приближе-
нию точку покоя х =0, у =0 системы:
++=
−+=
,
2
3
,52
2
2
x
yxy
yyxx
'
'
==
dt
dy
y
dt
dx
x
''
,
. (10)
Решение. Система первого приближения
+=
+=
,3
,2
yxy
yxx
'
'
(11)
нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям; их порядок боль-
ше или равен двум. Составим характеристическое уравнение матри-
цы системы (11):
0
13
12
=
λ−
λ−
или
2
133
,
2
133
013
21
2
−
=λ
+
=λ⇒=−λ−λ
–
вещественные и λ
1
> 0. Следовательно, нулевое решение х =0,
у =0 системы (10) неустойчиво.
! Задания для самостоятельной работы
1. Исследовать на устойчивость точку покоя О(0; 0) систем:
а)
+−=
+=
;2
,3
yx
dt
dy
yx
dt
dx
б)
+=
+−=
;
,2
yx
dt
dy
yx
dt
dx
в)
+−=
+−=
;
,3
yx
dt
dy
yx
dt
dx
г)
−=
−−=
.3
,2
yx
dt
dy
yx
dt
dx
339
2. Исследовать на устойчивость по первому приближению нуле-
вые решения х =0, у =0 следующих систем:
а)
−+−−=
−+=
;13
,sin2
2
2
2
x
exyxy
yyxx
'
'
б)
+−−=
+−=
;43
,sin2
3
2
xyxy
yx
'
'
в)
+−−=
−+=
;
2
5
13
,sin27
2
4
xyey
yyxx
x
'
'
г)
−+=
+−=
−
.cos2
,sin3
2
5
4
2
2
2
xyyexy
xyxex
y
x
'
'
340
Лекция 55
Фазовая плоскость
Описано поведение траекторий линейной динамической си-
стемы второго порядка в окрестности особой точки, ука-
зан путь исследования положения равновесия соответ-
ствующей нелинейной системы.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
=
=
),,(
),,(
yxg
dt
dy
yxf
dt
dx
(1)
где f (x, y) и g (x, y) – непрерывно диф ференцируемые в некоторой обла-
сти D плоско сти Oxy (или во всей плоско сти) функции.
1
0
. Случай линейной системы (1). Пусть соответствую-
щая (1) линейная система первого приближения (см. Л. 54) имеет вид
+=
+=
.
,
dycx
dt
dy
byax
dt
dx
(2)
Обозначим
=
dc
ba
A
. Если det A = ad – cb ≠0, то система (2)
имеет единственное положение равновесия х = у = 0. Качественное
поведение фазовых кривых (тип положения равновесия) определяется
собственными числами матрицы коэффициентов этой системы, т.е.
корнями уравнения
λ
2
–(a + d)λ+ ad – cd =0. (3)
Если корни λ
1
и
λ
2
уравнения (3) – действительные числа одного
знака ( λ
1
λ
2
> 0), то положение равновесия – узел, причем устойчивый,
если λ
1
< 0, λ
2
<0 (рис. 1), и неустойчивый, если λ
1
> 0, λ
2
>0.
Если система (2) имеет вид
ax
dt
dx
=
,
ay
dt
dy
=
, то узел называет-