Миронов С.В., Пищухин А.М. Метасистемный подход в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

231

ва идентифицируют отдельные сущности разных множеств (переменные,

свойства, каналы), причем предполагается, что соответствующие друг дру-

гу обобщенные переменные, конкретные переменные и свойства помеча-

ются одним и тем же элементом индексного множества (так же, как в

формальном определении исходных систем в главе 5. Пусть перемен-

ные, свойства и другие характеристики систем

S помечены (идентифи-

цированы) соответственно индексными множествами

J. Тогда отно-

шение

S — подсистема

S «полностью» описывается отношением вклю-

чения

⊆

для их индексных множеств. Обычно считается, что

NJ ⊆

Пример Г.1. Пусть

S — исходная система из примера Б.1 (состояние

деловой древесины). Тогда

J=N

. Пусть

S — исходная система, опреде-

ленная как подсистема

S p

S) с помощью индексного множества

J={1,

2, 3, 7}. Тогда

S будет состоять из всех элементов, входящих в

S, за

исключением

iiiiiiii

e,o,A,a,V,v,V,v

при i=4, 5, 6.

Для направленных исходных систем отношение «подсистема» нахо-

дит отражение и в соответствующих идентификаторах входов-выходов.

Пусть

S — направленные исходные системы, такие, что

S p

S, и пусть

(

)

(

)

Jj|juu

xxx

∈

(

)

(

)

Jj|juu

yyy

∈

- идентификаторы их входов-выходов. Тогда

u(j)=

u(j) для всех Jj

∈ . Для отслеживания значений, связанных с от-

дельными компонентами

и и

и, удобно считать, что для любого иденти-

фикатора входа-выхода элементы u(j) упорядочены в порядке возрастания

значений j.

Определенное для исходных систем отношение «подсистема» легко

может быть распространено на системы данных. Понятно, что для двух

сравнимых систем данных

D, которым соответствуют исходные систе-

мы

D является подсистемой данных

D, то есть

D p

D, тогда и толь-

ко тогда, когда

S p

S и

D содержит только данные, содержащиеся в

D и

относящиеся к переменным, входящим в

S. Существенно, чтобы массивы

данных были помечены таким образом, чтобы для каждого элемента

можно было однозначно определить, к какой конкретной переменной он от-

носится.

Теперь остается только определить отношение «подсистема» для двух

вариантов порождающих систем и систем с поведением. Пусть

(

)

()

yyy

xxx

fMSF

сравнимые системы с поведением и пусть

J — множества идентифика-

торов переменных, соответствующих исходных систем

232

Тогда

является подсистемой системы с поведением

, то есть

FF p

тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

⊆

, так что

;

⊆

, так что

(

)

∈,

тогда и только тогда, когда

(

)

∈,

∈

;

[

]

Kff

↓=

, где

K – множество идентификаторов выборочных

переменных, соответствующих

М, т. е.

является проекцией

для выбо-

рочных переменных системы

Пример Г.2. Рассмотрим отношение подсистема-суперсистема для двух

систем с поведением, изображенных на рисунке Г.2. Обе системы определе-

ны на одном и том же полностью упорядоченном параметрическом множест-

ве. Их представляющие системы

I содержат соответственно перемен-

ные

4321

,,,

υυ

, каждая из которых имеет два состояния. Им может

быть дана некоторая интерпретация (каналы конкретизации и наблюдения),

однако в данном примере эта интерпретация несущественна. Функциями по-

ведения систем являются распределения вероятностей. Система

удовле-

творяет трем условиям, определяющим, что

является подсистемой систе-

мы

, то есть

. Поскольку эти системы вероятностные, то при про-

ецировании

{

}

[

]

6,2,1

↓

f в качестве агрегирующей функции используется

сумма. Например, значение для

(

)

000

f получается суммированием первых

трех вероятностей из таблицы для

Понятия подсистемы с поведением достаточно легко распространить и

на другие типы порождающих систем (порождающие системы с поведением,

направленные системы с поведением и так далее). Нужно только подходя-

щим образом идентифицировать порождающие, порождаемые и входные пе-

ременные для обеих рассматриваемых систем.

Г.3. Структурированные исходные системы и структурирован-

ные системы данных

Как уже указывалось выше, структурированные системы — это мно-

жества исходных систем, систем данных или порождающих систем. Они

нужны для объединения нескольких систем в большие. Для того чтобы та-

кое объединение было осмысленным, необходимо, чтобы отдельные сис-

темы — элементы структурированной системы, были совместимы, т. е. бы-

ли одного типа и определены на одном и том же параметрическом множе-

стве. По существу, это то же условие совместимости, выполнение которого

требуется для отношения «подсистема» (раздел Г.2).

Кроме условия совместимости нужно еще потребовать, чтобы никакой

элемент не был подсистемой другого элемента той же структурированной

233

Рисунок Г.2 - Пример отношения подсистема с поведени-

ем/суперсистема с поведением (пример Г.2)

системы. Выполнение этого требования позволяет избежать перемешива-

ния уровней отдельных структурированных систем для того, чтобы они

были иерархически упорядочены, как об этом говорится в разделе Г.1.

Более того, в структурированной системе подсистемы, состоящие из лю-

бых элементов, полностью избыточны в том смысле, что любая содержа-

щаяся в них информация также может быть выведена из элементов их

суперсистем. Таким образом, в структурированных системах они беспо-

лезны. Назовем это требование требованием неизбыточности.

Избыточные элементы часто используются в технических системах

для обнаружения и коррекции ошибок. Как показано в разделе Г.4

(пример Г.8), требование неизбыточности никоим образом не исключает из

рассмотрения системы такого типа.

Для формального определения структурированных систем пред-

положим, что нейтральная структурированная система состоит из q

элементов (нейтральных систем того же типа), удовлетворяющих тре-

234

бованиям совместимости и неизбыточности. Элементы идентифици-

руются индексом х, где

Nx ∈ . Пусть, кроме того,

{

}

Ni|vV

∈

(Г.1)

является множеством всех переменных, входящих в элементы системы, и

пусть

- множество переменных элементов х (

∈

). Тогда

∈

∪

(Г.2)

Будем для удобства обозначений переменные из множеств

V идентифици-

ровать с помощью того же индекса i, что и переменные из полного мно-

жества V, определенного в (Г.1). Тогда любой элемент однозначно иденти-

фицируется множеством своих переменных

Различные типы структурированных систем будем обозначать стан-

дартным для этого типа символом с префиксом S. Так, через SS, SD, SF

обозначены структурированные системы, элементами которых являются

соответственно нейтральные исходные системы, направленные системы

данных и нейтральные системы с поведением. Таким образом, префикс

S используется как оператор, показывающий, что несколько систем оп-

ределенного типа объединено в большую систему.

Элементами структурированных систем простейшего типа являются

нейтральные исходные системы. Системы этого типа определяются как

множество

SS={(

S) |x

∈

(Г.3)

где

S для каждого x

N∈ — нейтральная исходная система (элемент SS);

через

V обозначено множество переменных, входящих в *S; это обозна-

чение удобно использовать как идентификатор элементов структуриро-

ванной системы. Разумеется, исходные системы

S из (Г.3) должны удов-

летворять требованиям совместимости и неизбыточности, но только этим

требованиям.

Если два элемента SS, скажем элементы, идентифицированные как

х,y

N∈ , имеют общие переменные, то есть

≠

∩

(Г.4)

то эти элементы соединены. Будем это множество общих переменных на-

зывать соединением элементов х и у, а переменные из этого множества —

соединяющими переменными. Соединения — это важные характеристики

структурированных систем, так как они определяют взаимодействия между

их элементами. Понятно, что для нейтральных структурированных систем

соединения симметричны, то есть не зависят от порядка, в котором рас-

сматриваются элементы. Для удобства соединение между нейтральными

элементами х и у

структурированной системы будем обозначать как

x,y

=V. (Г.5)

235

Пример Г.4. Рассмотрим с точки зрения садовника

структурированную исходную систему, определенную

для розового куста в горшке. Эта система зада-

ется для того, чтобы определить пути повыше-

ния ежегодного урожая

Все переменные этой системы имеют два одинако-

вых параметра: группу изучаемых розовых кустов и

время. На самом деле параллельно исследуется не-

сколько групп, причем каждая характеризуется опреде-

ленными свойствами, такими, как тип почвы, удоб-

рения и заболевания растения, частота среза-

ния цветов и так далее Необходимо, чтобы наблюдения

делались для каждого члена группы раз в два

дня в течение одного года; если нужно, то ис-

следование может быть продлено еще на не-

сколько лет.

В объекте исследования — розовом кусте в горшке — можно выделить

шесть частей: почва, корни, стебель, сок растения, листья и цветы (см. рису-

нок Г.3). Исходная система определена для каждой из этих частей через сле-

дующий набор из 19 переменных (для простоты мы опускаем описание

наблюдений и каналов конкретизации):

(влажность почвы) —низкая, средняя, высокая;

(способность корней поглощать влагу) — низкая, средняя, высокая;

(способность корней поглощать минеральные вещества) - низкая, средняя,

высокая;

(способность стебля переносить сок) — хорошо, плохо;

(частота расположения цветов на стебле) — малая, средняя, большая;

(частота расположения листьев на стебле) — малая, средняя, большая;

(характеристики цвета сока) — плохие, средние, хорошие;

(характеристики запаха сока) — плохие, средние, хорошие;

(характеристики выработки сока) —плохие, средние, хорошие;

(количество листьев) — небольшое, нормальное, избыточное;

(цвет листьев) — плохой, хороший;

(развитие листьев) — задержанное, нормальное;

(окраска цветка) — бледная, обычная, интенсивная;

(запах цветка) — слабый, обычный, интенсивный;

(размер цветка) — небольшой, нормальный, огромный;

(количество цветов) — небольшое, большое, огромное;

(температура воздуха по Фаренгейту) — ниже 60, 60—69, 70—79, 80—

89, 90° и выше;

(осадки) —ниже нормы, норма, выше нормы;

(среднее число солнечных часов за день) —меньше 3, 3—6, больше 6.

Шесть элементов структурированной системы определяются сле-

дующими подмножествами полного множества переменных:

Среда

исть

ПочВа

Рисунок Г.3. Части розового

куста, являющиеся элементами

структурированной системы, опреде-

ленной в п

име

е Г.4

236

x = 1 (почва) — v

, v

;

х = 2 (корни) —

, v

;

х = 3 (стебли) —

, v

;

x = 4 (сок) —

, v

;

x = 5 (листья) —

, v

;

x = 6 (цветы) —

, v

;

Соединения отдельных элементов легко получить, взяв пересечения

этих множеств. Например,

1,2

= {

v }, С

2,5

=0 ,

3,4

= {

1917432

v,v,v,v,v } и так далее.

Определим структурированную систему SS, элементами которой яв-

ляются направленные исходные системы, как множество

(

)

{

}

xxx

Nx|S,Y,XSS ∈=

)

где

Х,

Y — множества входных и выходных элементов соответственно. По-

нятно, что

xxx

∪ . (Г.7)

Если не считать выделения входных и выходных переменных, то мно-

жество (Г.6) совершенно аналогично определенному формулой (Г.3) множе-

ству для нейтральных структурированных систем

SS. Однако элементы

)

любой направленной структурированной системы

)

должны удовлетворять

еще одному требованию, связанному с идентификаторами входов-выходов:

ни одна из переменных из множества

V, определенного уравнения (Г.2), не

может быть объявлена как выходная более чем для одного элемента. Это тре-

бование обеспечивает согласованность состояний всех переменных при лю-

бом значении параметра. В самом деле, если переменная объявлена как вы-

ходная для более чем одного элемента структурированной системы, то ее

состояния будут определяться (контролироваться) при любом значении

параметра всеми этими элементами, что, как правило, будет приводить

к несогласованности (к заданию нескольких различных состояний пере-

менной при одном и том же значении параметра). Избежать этой несогла-

сованности можно только тогда, когда все элементы влияют на эту пе-

ременную одинаково, что является исключительным, очень редким случа-

ем. При этом, однако, ничто не будет потеряно, если потребовать, чтобы

только один из этих элементов (любой) был объявлен управляющим этой

переменной элементом. Это требование, которое должно выполняться для

всех направленных структурированных систем, назовем требованием

одно-

значности управления.

Классификация переменных каждого элемента на-

правленной системы на входные и выходные и требование однозначности

управления имеют важные следствия для понятия соединения элементов.

Для двух заданных элементов

х, у направленной структурированной систе-

мы можно определить два

направленных соединения. Одно из этих соеди-

нений, ведущее из

х в у, обозначается

y,x

)

и определяется как

XYC

y,x

∩=

)

(Г.8)

237

Второе ведет из у в х, обозначается

x,y

)

и определяется как

XYC

x,y

∩=

)

(Г.9)

Поскольку

≠

для y

≠

(из-за требования однозначности управления), понятно, что

x,yy,x

)

≠

(Г.10)

для разных элементов х, у.

Кроме соединений элементов направленной структурированной систе-

мы, имеются также соединения элементов со средой системы. Будем для

удобства рассматривать среду как отдельный элемент с уникальной

меткой x=0. Несмотря на то, что на самом деле среда не является элемен-

том структурированной системы (как это следует из (Г.6)), такой подход

позволяет нам определить направленные соединения

)

0,x

)

)Nx(

∈

среды с элементами структурированной системы точно так же, как и со-

единения элементов.

Если переменная объявлена выходной переменной некоего элемента х

направленной структурированной системы, то эта переменная не управля-

ется средой (из-за требования однозначности управления) и, следователь-

но, не входит ни в какое соединение

)

. Однако если некая перемен-

ная не объявлена как выходная ни для какого элемента, то остается толь-

ко рассматривать ее как переменную, управляемую средой. Следователь-

но, такая переменная должна быть включена в некое соединение

)

Поэтому все переменные в любом

Х, не объявленные ни в каких эле-

ментах как выходные, образуют соединение среды с элементом х. Фор-

мально













∪−∩=

∈

YVXС

)

(Г.11)

для любого

Nx ∈

Для описания соединений

(

)

q,x

NxC ∈

)

рассмотрим переменные из

множества

Y, не объявленные как входные ни для какого элемента на-

правленной структурированной системы. По определению, эти переменные

не входят ни в какие соединения элементов структурированной системы.

Таким образом, их надо рассматривать как соединения со средой, то есть

как входящие в соединение

0,x

)

. Остальные переменные также могут быть

включены в

0,x

)

. Вопрос о том, рассматривать ли их как соединения со

средой или нет, остается в компетенции пользования. Формально

YCXVY

⊆⊆













∪−∩

∈

)

(Г.12)

238

для любого

Nx ∈ .

Пример Г.5. Определим направленную структурированную систему,

состоящую из пяти исходных систем. Система предназначена для изуче-

ния деятельности высших судебных инстанций шт. Нью-Йорк

(США) по делам, рассматриваемым в уголовном суде. Система описы-

вает прохождение дела через уголовный суд и суды высших инстанций,

утверждающие приговор. Эта система определяет структуру сбора и обра-

ботки данных.

Параметром в системе является время. В зависимости от конкретных

целей наблюдения делаются ежемесячно, еженедельно или даже каждый

день, начиная с некоторой фиксированной даты, скажем с 1 января 1970 г.

В систему включены следующие переменные (множество V):

— общее число исков, поступивших в уголовный суд (в течение

конкретного периода наблюдения — месяц, неделя или день);

— число исков, прекращенных в результате соглашения сторон;

— число отклоненных исков;

— число задержанных дел;

— число дел, по которым вынесены оправдательные приговоры;

— число дел, переданных на утверждение высших инстанций;

— число дел, не переданных на утверждение (это дела, в которых

единственным наказанием является штраф или возмещение убыт-

ков);

— число дел, в которых нарушены условия утверждения;

— число дел, приговоры по которым отмечены судом высшей инстан-

ции;

— число дел, приговоры по которым отмечены учреждениями уго-

ловного суда.

Рассматриваемая структурированная система состоит из пяти элемен-

тов (рисунок Г.4). Их множества входных и выходных переменных при-

ведены в таблице Г.1 Прямоугольниками, которым даны условные назва-

ния, на схеме показаны элементы структурированной системы и ее среды.

Связи между блоками представляют переменные, соединяющие элемнты

(а также среду). Полное мно-

жество

соединений

y,x

)

(х, y=0, 1, . . ., q) пред

239

Рисунок Г.4 – Схема структурированной системы из примера Г.5

Таблица Г.1 - Определение элементов направленной структурированной сис-

темы из примера Г.5 (эквивалентно схеме на рисунке Г.4)

}v{

}v,v{

}v{

}v,v{

}v{

}v,v{

}v,v,v,v{

9753

}v{

Таблица Г.2 - Матрица соединений структурированной системы, опи-

санной в примере Г.5

y,x

)

0 1 2 3 4 5

0 Ø

}v{

Ø Ø Ø Ø

1 Ø Ø

}v{

Ø Ø

}v{

2 Ø Ø Ø

}v{

3 Ø Ø Ø Ø

}v{

4 Ø Ø Ø

}v{

Ø Ø Ø Ø Ø

ставлено матрицей (таблице Г.2), обычно называемой матрицей соедине-

ний. Аналогично структурированным исходным системам определяются и

структурированные системы данных;

(

)

{

}

,Nx|D,VSD

∈

(Г.13)

}x|)D,Y,X{(DS

xxx

∈=

)

. (Г.14)

Поскольку любая система данных содержит исходную систему, струк-

турированные системы данных должны удовлетворять всем условиям, ко-

торым должны удовлетворять исходные системы (совместимости, неизбы-

точности, однозначности управления). Кроме того, обычно требуется, что-

бы они удовлетворяли локальной согласованности данных, определяемой

240

следующим образом: для всякой соединяющей переменной соответст-

вующие ей данные должны быть одинаковыми во всех элементах, в ко-

торые входит эта переменная.

Формально, если

y,xi

∈

(или

y,xi

)

∈ ),

то

i,w

для всех Ww

∈

, где

i,w

— подмножества данных,

соответствующих переменной v

в элементах х и y.

Обычно предполагается, что структурированные системы данных ло-

кально согласованы. Однако если множества данных, связанных с разны-

ми элементами, собираются независимо друг от друга, например разны-

ми группами экспериментаторов, то полученные множества данных могут

и не удовлетворять требованию локальной согласованности данных. На-

рушение этого условия ведет к аналогичным противоречиям и на более вы-

соких эпистемологических уровнях, поэтому необходимо на некотором

этапе исследования разрешить их. Процедуры разрешения локальных про-

тиворечий до сих пор должным образом не разработаны. Представляется,

однако, что в общем случае более удобно и осмысленно противоречия

разрешаются на уровне структурированных порождающих систем (они вво-

дятся в разделе Г.4), а не на уровне структурированных систем данных. По-

этому задача разрешения локальных противоречий рассматривается именно

на уровне структурированных порождающих систем.

Г.4 Структурированные системы с поведением

У любой системы есть автор, и он пре-

следует при изучении системы свои соб-

ственные цели.

В. фон Лукаду, К- Корнвакс

Структурированные порождающие системы определяются

в столь же общем виде, как и другие типы структурированных систем.

Они также должны удовлетворять условиям совместимости

и неизбыточности, как исходные структурированные системы. Они же

должны удовлетворять некоторым дополнительным требованиям относи-

тельно масок и функций поведения своих элементов. Тот факт, что

множество выборочных переменных порождающей системы в общем слу-

чае больше множества переменных соответствующей исходной системы или

системы данных, дает некоторые новые возможности для соединения порож-

дающих систем в структурированную систему.

Пусть нужно соединить заданное множество систем с поведением в

структурированную систему. Для каждой рассматриваемой системы с пове-

дением, идентифицированной как элемент х (

∈

) структурированной

системы, обозначим через

V и

S соответственно множество переменных ее

исходной системы и множество ее выборочных переменных. Пусть