Миронов С.В., Пищухин А.М. Метасистемный подход в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

341

— содержание азота в крови (канал наблюдения дает только два со-

стояния 1 и 0 в зависимости от того, достигает ли содержание азота 150

мг на 100 мл крови или нет).

В систему S

входят все перечисленные выше переменные, а так-

же две дополнительные:

— температура крови (измеряется с точностью 0,2° F в диапазоне

(7— 100° F);

— кровяное давление (измеряется с точностью 2 мм ртутного столба в

диапазоне 110—130 мм).

Значения этих переменных искусственная почка должна поддерживать в

определенном узком диапазоне. Все введенные переменные наблюдаются во

времени. Реально моменты времени определяются тяжестью состояния паци-

ента и другими факторами, которые нет необходимости рассматривать в

данном примере.

Эти две исходные системы можно рассматривать как метасистему со

следующей процедурой замены r; если v

=1, заменить S

на S

; если v

=0, за-

менить S

на S

. Таким образом, данная метасистема представляет собой

тройку

MS=(T,G={S

}, r),

где Т — объединение временных наборов S

и S

Пример Д.3. Рассмотрим структурированную систему, элементы кото-

рой образуют массив п×п. Пусть каждый из ее элементов, часто назы-

ваемых ячейками, соединен только с соседними ячейками из массива.

Пример такого массива 5×5 приведен на рисунке 8.3. Ячейки массива

удобно идентифицировать двумя целыми числами i,j

10 −

∈

N , указываю-

щими номера соответственно строки и столбца. На рисунке Д.3 также пока-

зано, что ячейку можно идентифицировать и одним целым числом

c= ni + j.

Будем называть с идентификатором ячейки.

Допустим, что внутренняя среда ячейки (за исключением пограничных

ячеек) состоит из четырех ее соседних ячеек, как это показано на рисунке

Д.4. Такая ячейка имеет четыре входные переменные v

c-n

, v

c-1

, v

6c+1

, v

c+n

- по

одной на каждую соседнюю ячейку и одну выходную переменную, соединен-

ную со всеми соседними ячейками. Понятно также, как определяется внут-

ренняя среда для пограничных ячеек, то есть ячеек из строк 0, п - 1 и

столбцов 0, п - 1.

Предположим, что все ячейки из массива, скажем изображенного на

рисунке Д.3, представляют собой детерминированные направленные системы с

поведением, определенные на одном и том же полностью упорядоченном вре-

менном множестве

Т с функцией поведения

),v,v,v,v(ff

ncccnccB ++−−

(Д.5)

где v’

- следующее состояние переменной v

∈

0,24

разумеется, для погра-

ничных ячеек определение этой функции должно быть уточнено, поскольку у

этих ячеек отсутствуют некоторые входные переменные. Допустим далее, что

342

каждая из переменных имеет только два состояния 0 или 1. Если v

=1,

будем называть ячейку с активной (если v

=0, пассивной).

Для заданного массива ячеек можно определить множество структуриро-

ванных систем, где каждая система описывается подмножеством ячеек этого

массива. Так, например, для массива ячеек, изображенного на рисунке Д.3, су-

Рис. Д.3. Массив ячеек 5X5 (пример Д.3)

ществует 2

(то есть более 3,3·10

) структурированных систем. Иногда нужно

объединить структурированные системы из этого множества, назовем его мно-

жеством GF

, в метасистему

)

=(T,

r,FG

)

(Д.6)

с помощью соответствующей процедуры замены. В качестве простого примера

процедуры r из определения (Д.6) можно предложить следующий: ячейка с

(

240,

Nc ∈ ) включается в структурированную систему тогда и только тогда,

когда или она сама является активной, или активна по крайней мере одна ячейка

из ее внутреннего окружения, т. е. тогда и только тогда, когда

.vvvv

ncccnc

≥

+−−

Для демонстрации конкретной процедуры типа (Д.6) воспользуемся пред-

ложенной процедурой замены и функцией поведения для массива 5×5, имею-

щей вид

= [ (v

c-5

c-1

c+1

) (mod 2) +v

+5] (mod 2).

Если какие-то переменные недоступны для определенной ячейки, то они

просто исключаются из этой формулы. Для каждой начальной структурирован-

ной системы данная метасистема порождает последовательность структу-

рированных систем. Короткие фрагменты трех таких последовательностей пока-

заны на рисунке Д.5. Черные и серые клетки - это ячейки, входящие в структури-

0 1 3 4

=0 1 2 3 4

5 6

8 9

10 11 13 14

15 16

18 1

20 21 23 24

343

рованную систему, причем черные клетки - активные ячейки, а серые - пассивные;

белыми клетками обозначены ячейки, не входящие в структурированную систему.

Разнообразие введенных в данном примере метасистем объясняется исполь-

зованием различных функций поведения и процедур замены. Еще большего раз-

нообразия можно достигнуть за счет использования разных массивов, в общем

случае k - мерных, где k ≥ 1. Элементы этого класса метасистем известны в ли-

тературе как клеточные автоматы

Рисунок Д.5 - Фрагменты трех последовательностей структурирован-

ных систем, которые могут быть порождены метасистемой, описанной в

примере Д.3

Пример Д.4. Рассмотрим систему, состоящую из одной переменной v с

множеством состояний V и одного параметра t, представляющего собой индекс,

определяющий позицию в строках сoстояний V. Полностью упорядоченное па-

раметрическое множество Т — это множество неотрицательных целых чисел. Для

этой системы может быть определен класс метасистем типа

MD = (T, D, r)

таким образом, чтобы:

D представляла собой множество всех систем данных, которые могут

быть образованы переменной v для всех возможных подмножеств N

из

множества Т (n = 1, 2, ...);

r представляло процедуру замены, в общем случае определенную сле-

дующим образом: задана система данных D

∈

344

с массивом данных d; массив d просматривается в порядке возраста-

ния параметра (обычно слева направо) и заменяется на d' с помощью под-

становки вместо каждого состояния

из d строки состояний р(

) , опреде-

ляемой функцией

VVVV:p ∪∪∪→ K

(Д.7)

для некоторого конечного k; d' определяет новую систему данных D' D∈ .

В литературе такие метасистемы называются развивающимися OL-

системами (или системами без взаимодействий Линденмайера). Пары

р(

) обычно называются продукционными правилами и обозначаются

)

(

→

В качестве конкретного примера детерминированной OL-системы (или в

нашей терминологии метасистемы) положим V = N

0,9

и пусть функция продук-

ционного правила

VVV:p ∪→

определяется таблицей

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

р(

) 12 93 49 61 25 87 78 34 9 9

Тогда, например, для начальной системы данных с массивом данных [0]

эта метасистема порождает последовательность систем данных со следующи-

ми массивами данных:

Для недетерминированных OL-систем продукционные правила

[0]

[12]

[9349]

[961259]

[9789349879]

[93499612599349]

[9612599789349879961259]

[9789349879934996125993499789349879]

определяются не функцией вида (8.7), а множеством пар (

, ) из де-

картового произведения

).VVV(V

∪∪∪

Выбор определенных продукционных правил может быть основан на

условных вероятностях

при заданном

Д.4. Метасистемы и структурированные системы

Бабочка-однодневка не знает ни начала,

ни конца лунного месяца; пятнистая ци-

када не знает ни весны, ни осени...

Чжуан-цзы

345

Структурированные системы и метасистемы - это две схемы интегрирования

других систем (исходных систем, систем данных и порождающих систем). Это

разные схемы, они независимы и ни одна из них не имеет преимущества перед

другой. Более того, их можно комбинировать, то есть применять одну к дру-

гой.

В структурированных системах интегрирование осуществляется по мно-

жествам переменных в предположении, что все они имеют одно и то же пара-

метрическое множество. Таким образом, элементами структурированных систем

являются системы с разными множествами переменных, но с одинаковыми пара-

метрическими множествами.

В метасистемах, напротив, интегрирование систем осуществляется по па-

раметрическим множествам независимо от того, имеют эти системы одно мно-

жество переменных или нет. Следовательно, элементами метасистем являются

системы с разными локальными параметрическими инвариантами, определен-

ными на обобщенном параметрическом множестве; они могут быть опреде-

лены и для одного обобщенного множества переменных.

Как было показано в разделе Д.3, метасистемы можно использовать для

интегрирования структурированных систем, которые в свою очередь, ис-

пользуются для интегрирования других систем. Примером тому служит класс ме-

тасистем из структурированных систем с поведением (клеточных автоматов),

рассмотренный в примере Д.3.

Такие системы обозначаются как системы типа MS

)

, причем в этом

обозначении используются оба символа интегрирования М и S.

Структурированные системы можно также использовать для интегрирова-

ния метасистем, определенных для различных множеств. В обозначении таких

систем оператор S предшествует оператору М. Так, например, SMF

обозначает-

ся структурированная метасистема, элементами которой (т. е. элементами мета-

систем, объединенных в структурированную систему) являются нейтральные

системы с поведением, a MSF

обозначается метасистема, элементами которой

являются структурированные системы с поведением. Следовательно, эти опера-

торы некоммутативны. Системы MSX и SMX (для любого X) не только различ-

ны, но и не сопоставимы в смысле упорядочения в соответствии с эпистемологи-

ческой иерархией систем.

Пример Д.Д. Рассмотрим направленную структурированную систему, со-

стоящую из двух метасистем, элементами которых являются направленные сис-

темы с поведением. Эти метасистемы

)

B соединены так, как это по-

казано на схеме на рисунка Д.6,а. Каждая метасистема состоит из двух направ-

ленных систем с поведением, переменные которых имеют два состояния 0 и 1 с

одним и тем же полностью упорядоченным параметрическим множеством.

Системы с поведением для каждой метасистемы имеют одинаковую маску, но

разные функции поведения.

Маски

М и

М приведены на рисунке Д.6,б. Выборочные переменные, на-

блюдаемые в обеих системах, имеют, как это требуется для структурированных

346

систем, одинаковые идентификаторы. Соответствующая маска используется в

обеих системах, входящих в одну метасистему.

Функции поведения (порождающие функции) являются детерминирован-

ными, т. е. порождающие переменные в обеих системах с поведением являются

функциями порождающих и входных выборочных переменных. Эти функции

приведены на рисунке Д.6,б. Функции поведения для первой метасистемы

обозначены

GBGB

f,f

1211

, а для второй метасистемы -

GBGB

f,f

2221

В обеих метасистемах используются процедуры замены одного типа: если

все входные и порождающие переменные имеют состояние 0, то первая систе-

ма с поведением заменяется второй;

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

(f)(f

GBGB

1211

)(f)(f

GBGB

2221

в)

ρ = -1 0

б)

347

Рисунок Д.6 - Структурированная метасистема (пример Д.5)

если все входные и порождающие переменные имеют состояние 1, то

вторая система заменяется первой. Если этот алгоритм применить к со-

ответствующим переменным, то будут получены процедуры

r и

r, пока-

занные на рисунке Д.6,г.

Номер функции поведения для метасистемы

1122222111122221

t = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

= 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 ...

= 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 ...

= 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 ...

1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1

Начальное условие Номер функции поведения метасистемы

Рисунок Д.7 - Пример данных, порождаемых структурированной ме-

тасистемой, изображенной на рисунке Д.6 (пример Д.5)

На рисунке Д.7 показан образец данных, порожденных этой cтpyкту-

рированной метасистемой при начальном условии s

= s

= 0 и оп-

ределенной входной последовательности (последовательности состояний

переменной v

). На рисунке Д.7 также указано, какая из двух функций

поведения каждой из метасистем используется при соответствующем зна-

чении параметра t.

Д.5 Многоуровневые метасистемы

До тех, пор, пока тождества со-

храняются, они представляют со-

бой правильные законы. Если же

они нарушаются, то эти законы

следует модифицировать. Одна-

ко сама такая модификация может

быть закономерной. Частное изме-

нение может выявить закон изме-

нения и даже подобные законы

изменения сами могут меняться.

Альфред Норт Уайтхед

Теперь мы можем определить многоуровневые метасистемы точно так

же, как были определены многоуровневые структурированные системы

348

(раздел Г.4): это метасистемы, элементами которых являются метасисте-

мы, элементами которых... и так далее. Такая рекурсия заканчивается на

элементах, которые не являются метасистемами.

Продолжая аналогию со структурированными системами, будем

обозначать многоуровневые метасистемы обобщенным оператором, где М

число уровней метасистемы. Так, например, M

D обозначает трехуровневую

метасистему, конечными элементами которой являются системы данных;

это метасистема, элементами которой являются метасистемы, элементами

которых снова являются метасистемы, элементами которых являются ней-

тральные системы данных. Двухуровневые метасистемы можно для удоб-

ства называть мета-метасистемами.

Формально k-уровневая метасистема определяется как тройка

X = (W

, M

k-1

X, r

) (Д.8)

где W

- ее параметрическое множество; r

- процедура замены; M

k-1

X - мно-

жество ее элементов (метасистем уровня k — 1) чьими конечными элемен-

тами являются системы из множества X, не являющиеся метасистемами.

Для многоуровневой метасистемы М

Х первичной характеристикой,

по которой определяется тождественность системы, является процедура

замены только самого высокого уровня (r

). Процедуры замены более низ-

ких уровней представляют собой вторичные характеристики, так как с точ-

ки зрения метасистемы М

Х они определяют только локальную параметри-

ческую инвариантность.

Пример Д.6. Рассмотрим двухуровневую метасистему (или мета-мета-

систему)

)

=(T, MG

)

}, r

с параметрическим множеством T; первый элемент этой метасистемы

)

- метасистема, описанная в примере Д.3 (клеточный автомат). Вто-

рой элемент (вторая метасистема) имеет вид

)

=(Т, G

)

r),

причем Т и G

)

те же, что и в метасистеме

)

, а

r представляет со-

бой следующую процедуру замены: выбирается случайным образом актив-

ная ячейка, затем она делается пассивной и из структурированной системы

исключаются те ячейки внутренней среды этой ячейки (включая и саму

эту ячейку), которые являются пассивными и у которых все соседи пас-

сивны.

Эти метасистемы интегрируются в мета-метасистему с помощью

следующей процедуры второго уровня (или метапроцедуры) r

: если

структурированная система при значении параметра t - 1 отличается от

структурированной системы при значении t - 2, то использовать метаси-

стему

МS

)

, в противном случае использовать метасистему

)

Пример Д.7. Рассмотрим развивающуюся OL-систему (пример Д.4),

определенную как метасистему. Она состоит из двух метасистем

(Д.8)

349

),r,D,T(MD

отличающихся только процедурами замены

r и

r. Их компоненты Т и D

те же, что и в примере Д.4, только V={0, 1, 2, 3}. Процедуры замены

r определяются следующими функциями

р и

р:

0123

р (

) 01 20 30 32

Тогда мета-метасистема M

D определяется как

D=(T, {

MD,

MD},r

причем метапроцедура r

определяется следующим образом: просматрива-

ется последний полученный массив данных; если не меньше половины эле-

ментов массива равно 0, то используется метасистема

MD (функция

р); в

противном случае - метасистема (функция

р).

Например, для начального массива данных [0] метасистема

порождает следующую последовательность массивов:

[0]

[01]

[0 1 2 0]

[01203001]

[0120300132010120]

[01203001320101203230012001203001]

Метасистема

MD порождает другую последовательность массивов

[0]

[01]

[0121]

[01213021]

[0121302132013021]

[01213021320130213230012132013021]

Мета-метасистема M

D порождает другую последовательность; массивов

(в каждом случае показано, какое продукционное правило было использо-

вано): >

[0],

[0 1],

p *

[0 1 2 1],

[0 1 2 0 3 0 2 0],

[0 1 2 1 3 0 0 1 3 2 0 1 3 0 0 1],

[01203020320101203230012032010120],

0123

р (

) 01 21 30 32

350

Многоуровневые метасистемы можно комбинировать с многоуровневыми

структурированными системами в любой последовательности. Единственное

требование состоит в том, чтобы элементами метасистем или структуриро-

ванных систем нижнего уровня были системы одного из трех основных типов

- исходные системы, системы данных и порождающие системы. На языке УРСЗ

вполне адекватно можно описать систему MSMSF

, M

SD или

MSS.

Д.6. Идентификация изменения

Мы понимаем, что происходит изменение

только потому, что что-то остается неиз-

менным, а неизменность определяется

только на фоне преобразования.

Джеральд Уейнберг

Многообразие способов, которыми можно определить метасистемы с

разными типами элементов и различным числом уровней продемонстрировано

в разделах Д.3 - Д.5 на нескольких показательных примерах. Однако задача

получения соответствующего метасистемного описания исследуемых пере-

менных по имеющимся данным является одной из наиболее сложных и

наименее разработанных системных задач.

Своим возникновением эта задача обязана одному из фундаментальных

вопросов исследования систем: должны ли ограничения на исследуемые пе-

ременные рассматриваться как параметрически инвариантные или только

как меняющиеся в соответствии с некими параметрически инвариантными

правилами изменения (процедуры замены)? Трудность состоит в том, что на

этот вопрос нет однозначного ответа. Выбор той или иной точки зрения за-

висит не только от природы самих переменных, но и от целей исследования, от

того, каким образом заданы ограничения (в виде маски, степени ограниче-

ния), являются данные полными или нет, и от других факторов, в частности

связанных с контекстом исследования.

Если выбран определенный способ представления ограничений (напри-

мер, вероятностные меры и наибольшая приемлемая маска) и используются

обычные целевые критерии порождающей нечеткости и сложности, то эта за-

дача сводится к определению изменения функции поведения. Другими сло-

вами, она становится задачей определения существенных локальных ограни-

чений на переменные на рассматриваемом параметрическом множестве.

Если функция поведения, представляющая все параметрическое мно-

жество (глобальная функция), несильно отличается от функций поведения,

соответствующих различным подмножествам параметрического множества,

то нет необходимости в использовании формализма метасистем. Но если ме-

жду этими функциями имеются существенные различия, то следует рас-