Миронов С.В., Пищухин А.М. Метасистемный подход в управлении

Подождите немного. Документ загружается.

301

Оценив этого потенциального конкурента (на рисунке Г.29 он помечен

номером 16), мы получим, что D

≠ 0.1188 > D

. Следовательно, гипотеза 13

является лучшей на третьем уровне уточнения.

Поскольку наименьшее расстояние на третьем уровне (D

= 0.065)

меньше, чем наибольшее допустимое расстояние, необходимо исследовать 4-й

уровень. На этом уровне 15 гипотез (представленных всеми парами ребер на

графе из четырех узлов), но только четыре из них не являются уточнения-

ми гипотез 9, 12, 14 и 16, расстояния которых превышают критическое зна-

чение 0.1. Это гипотезы 12/13/4, 12/23/4, 12/24/3 и 13/34/2. Их номера и рас-

стояния приведены на рисунке Г.29. Поскольку все эти расстояния превышают

0.1, никакая из этих гипотез не входит в множество решений, и дальнейшие

уточнения не нужны. Множество решений полностью упорядочено и состоит

из гипотез 4, 10 и 13 (а также, возможно, гипотезы 0 — обобщенной системой

1234).

302

Обратите внимание на то, что,

используя предупорядочение по ин-

формационному расстоянию, нам

удалось решить эту задачу (причем

совершенно точно), оценив только 20

из 63 возможных реконструктивных

гипотез, то есть только одну треть

всех гипотез. Для систем с большим

числом переменных применение пре-

дупорядочения по информационному

расстоянию еще более эффективно.

Вообще говоря, чем больше отличают-

ся (по расстоянию) оцениваемые реконструктивные гипотезы на отдельных

уровнях уточнения, тем эффективнее использование этого предупорядочения.

Часто бывает полезно посмотреть на приращения минимального расстояния,

соответствующие соседним уровням уточнения. Для этого определяется рас-

стояние для наиболее уточненной гипотезы и вычисляется среднее

приращение расстояния, равное этому наибольшему расстоянию, деленному

на общее число уровней уточнения. В данном примере расстояние для наиболее

уточненной гипотезы 1/2/3/4 равно 0.4591, следовательно, среднее приращение

расстояния равно 0.4591/6=0.0765. Экстраполируя по известным значениям

расстояний, можно получить график зависимости минимального расстояния

от уровня уточнения l. Этот график для данного примера приведен на ри-

сунке Г.31. График точен для l = 0, 1, 2, 3, 6, приблизителен для l=4

(нам известно, что 0.1188 ≤ D

≤ 0.1748) и оценен для l=5. Остается

только решить вопрос относительно однозначности управления для каждого

элемента множества решений (раздел Г.4, пример Г.6). Как показано на ри-

сунке Г.32,а, переменные 1, 2, 3, очевидно, являются порождаемыми, а един-

ственной порождающей переменной является переменная Г. Каждая порождае-

мая переменная должна управляться (определяться) в точности одной подсисте-

мой реконструктивной гипотезы. Для гипотезы 134/234 ясно, что переменные 1 и

2 управляются соответственно подсистемами 134 и 234, однако переменная 3 мо-

жет управляться любой из них. Решение о том, какая из подсистем долж-

на быть выбрана для управления переменной 3, должно быть принято ис-

ходя из их порождающих нечеткостей. Для данного примера вычисленные U

- нечеткости равны: U(3| 1,4) =0.834 для подсистемы 134 и U(3|2,4) для под-

системы 23Г. Так как U(3|2,4) <U(3|1,4), для управления переменной выби-

рается вторая подсистема.

Нужно также принять решение о том, как представить в подсистемах по-

рождающую переменную Г. Здесь есть три возможности: переменная мо-

жет запоминаться в одной из подсистем или в обеих. Если она запомина-

ется только в одной подсистеме, она должна использоваться как входная пе-

ременная другой подсистемы. Однако необходимо! отметить, что разница между

этими возможностями скорее внешняя, чем функциональная, и, следовательно,

выбор может быть произведен совершенно произвольно. Пусть в нашем

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 1 2 3 4 5 6 l

ножество решений

аксимально

допустимое

асстояние

Рисунок Г.31 – Зависимость мини-

мального расстояния

от уровня

уточнения

l (пример Г.21)

303

примере переменная 4 будет запоминаться в подсистеме 234 и рассматри-

ваться как входная переменная подсистемы 13Г.

Из принятых решений относительно ролей переменных 3 и 4 реконструк-

тивной гипотезы 134/234 будет получена схема, изображенная на рис. Г.32б. На

этой схеме также приведены маски, соответствующие отдельным подсистемам,

причем указаны порождаемые, порождающие и входные переменные.

Окончательные схемы остальных элементов множества решений - гипотез

14/234 и 14/24/34 - приведены соответственно на рисунках Г.32в и г. В обо-

их случаях роли выборочных переменных, как это показано на схемах, оп-

ределяются единственным образом.

Важно понимать, что для зависящих от памяти систем осмысленными яв-

ляются далеко не все реконструктивные гипотезы, о самом деле, понятно,

что гипотеза не имеет смысла, если порождающая переменная не входит по

крайней мере в одну подсистему этой гипотезы, содержащую соответствующую

порождаемую или входную переменную или другую порождающую перемен-

ную (определенную на той же базовой переменной), по которой она может

быть определена с помощью запоминания. Такая порождающая переменная

может быть оставлена неопределенной, поскольку она не может быть ни по-

рождена (так как она порождающая), ни определена с помощью запоминания

другой переменной, которая сама определяется некоторым особым образом.

Так, например, если обобщенная система описывается маской, изображенной

на рисунке Г.32,а, то все гипотезы, для которых переменные 3 и 4 не входят

по крайней мере в одну общую подсистему, являются бессмысленными. Из

этого следует, что в данном случае ровно половина реконструктивных гипо-

тез, базирующихся на С-структурах, являются бессмысленными; это те гипо-

тезы, графы которых не содержат ребра (3, 4), то есть гипотезы 123/124;

14/24/23, 123/4, 13/24 и т. д. Несмотря на то, что множество решений в при-

мере Г.21 не содержит бессмысленных гипотез, сам процесс решения может

быть упрощен за счет того, что оценивались бы только осмысленные гипоте-

зы (не нужно было оценивать 8 из 20 оцененных гипотез).

Если предположить, что используемое параметрическое множество пол-

ностью упорядочено, то можно следующим образом определить содержа-

тельную реконструктивную гипотезу для зависящей от памяти обобщенной

системы с поведением. Реконструктивная гипотеза h является содержатель-

304

Порождающая переменная

а)

орождаемые

переменные

=-1

орождаемая и вы-

одная переменная

входные переменные

4 3

Порождающая

переменная

орождаемые и

выходные пере-

менные

305

Рисунок Г.32. Подробное изображение элементов множества решений

из примера Г.21

ной тогда и только тогда, когда любая порождающая переменная

определяемая уравнением

,vs

at,it,k +

входит по крайней мере в одну подсистему

h, содержащую переменную s

которая определяется уравнением

,vs

bt,it,j +

где

b > а, если переменные порождаются по возрастанию t (предсказание), и

b < а, если переменные порождаются по убыванию t (восстановление). Поня-

тие содержательной реконструктивной гипотезы может быть легко обобщено

на зависящие от памяти системы, базирующиеся на двух и более полностью

упорядоченных параметрических множествах (таких, как двух- и трехмерные

декартовы пространства), однако для таких систем формализация оказывает-

ходная переменная

орождаемая и выходная

пе

еменная

Задержка

3 2

4 3

орождающая переменная

орождаемые и вы-

одные переменные

в)

Задержка

ходная переменная

орождаемая и выходная

пе

еменная

ходная

переменная

оро

даемая

и выходная

переме

ная

орождающая переменная

орождаемая и вы-

одная пе

еменная

г)

306

ся существенно более сложной прежде всего из-за значительного роста числа

возможных порядков порождения.

Г.8. Анализ реконструируемости

Разрозненные факты подавляют

негибкий ум.

Но лишь возникнув, связь

Распространяется как по равнине

Тень облака, очерчивая гору.

У. Стивене

Анализ реконструируемости — это пакет методологических инструментов,

входящий в УРСЗ и используемый при решении целого класса задач, имею-

щих следующее общее свойство: в них изучается взаимосвязь между обоб-

щенными системами и различными их подсистемами. В задачах этого класса

фигурируют системы двух эпистемологических типов: порождающие систе-

мы и структурированные порождающие системы, причем обычно они представ-

ляются в виде систем с поведением. Эти задачи естественным образом разби-

ваются на два подкласса в зависимости от эпистемологического уровня исход-

ной (заданной) системы. Задачи, в которых исходная система является порож-

дающей структурированной, называются задачами идентификации, а

задачи, в которых исходная система является структурированной систе-

мой,— задачами реконструкции.

Самые общие типы задач идентификации и реконструкции, в кото-

рых множества состояний переменных не обладают никакими особыми свой-

ствами, сформулированы и рассмотрены соответственно в разделе Г.6 и Г.7.

Основные вопросы (подзадачи), связанные с этими задачами, не зависят от

конкретных методологических отличий и являются предметом общего ана-

лиза реконструируемости. Они показаны на рисунке Г.33 и приведены

в следующем списке:

определение реконструктивного семейства для заданной системы с пове-

дением;

определение коэффициента идентифицируемости (реконструктивной не-

четкости) для заданной системы с поведением;

определение несмещенной реконструкции для заданной системы с пове-

дением;

определение реконструкции наименьшего риска или, возможно, рекон-

струкции какого-то другого типа для заданной системы с поведением;

разрешение локальных несогласованностей в заданной системе с пове-

дением (раздел Г.11);

порождение подходящих реконструктивных гипотез для заданной сис-

темы с поведением;

вычисление соответствующих проекций заданной системы с поведени-

ем;

307

вычисление расстояния между заданной системой с поведением и сис-

темой, реконструированной по реконструктивной гипотезе;

упорядочение соответствующих реконструктивных гипотез и определе-

ние приемлемых, реконструктивных гипотез (множества решений задачи ре-

конструкции);

определение управления для рассматриваемых переменных.

Если посмотреть с точки зрения эпистемологической иерархии систем,

то легко увидеть, что анализ реконструктивности представляет собой решение

последовательностей задач, принадлежащих к четырем категориям, которые

на рисунке Г.34 изображены помеченными стрелками. Приведем список под-

задач, относящихся к каждой категории:

1 - реконструктивное семейство, коэффициент идентифицируемо-

сти, несмещенная реконструкция или реконструкция наименьшего

риска;

2 - проекции;

3 - разрешение локальных несогласованностей, порождение и

упорядочение реконструктивных гипотез, управление переменными;

4 - расстояние.

При других методологических отличиях возникают другие типы задач

идентификации и реконструкции. Например, если переменные непрерывны,

то проекции обобщенной системы с поведением зависят не только от вы-

бранных подмножеств переменных, но и от преобразований координат. Так,

трехмерный объект, изображенный на рисунке Г.35а, может быть полно-

стью реконструирован по трем своим двумерным (планарным) проекциям

(видам), скажем по виду слева, виду спереди и виду снизу (рисунок

Г.35б) в соответствии с декартовыми координатами, определенными на

этом объекте. Несмотря на то, что реконструируемость сохраняется при

изменении положения начала системы координат, очевидно, что это свой-

ство не сохраняется при вращении координат. В действительности сущест-

вует континуум проекций одного объекта, соответствующий континууму

вращений системы координат или, иначе, континууму вращений объекта в

одной системе координат. Кроме того, дополнительные проекции могут быть

получены на любую плоскость, определенную в данной системе координат.

308

ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Заданная структурированная Множество функций поведения,

система с поведением сопоставимых с SF: C

•

еконструктивное семейство

SF:

•

Коэффициент идентифицируемости

SF: I

ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ

•Решетка реконструк-

тивных гипотез для

Рисунок Г.33. Основные вопросы, связанные с анализом реконструи-

руемости

Рис. Г.3Г. Категории задач, рас-

сматриваемые при анализе ре-

конст

ру

емости

Уровень 1

Уровень 2

овень 3

овень

Заданная система

с повед

ние

Множества подходящих реконст-

уктивных гипотез для

для от-

дельных уровней уточнения (мно-

жество решений}

• Порождение реконст-

уктивных гипотез

• Несмещенная реконст-

укция

• Упорядочение реконст-

уктивных гипотез

• Управление переменными

309

Необходимо отметить, что показанные

на рисунке Г.35 проекции являются

проекциями специального типа - так

называемые ортогональные проекции,

получаемые опусканием перпендику-

ляра на плоскость проектирования

из каждой точки объекта. Другим

типом проекций являются так назы-

ваемые тени, получаемые соединени-

ем каждой точки объекта с некоторой

фиксированной точкой (называемой

точкой проекции или источником

света). Полученные пересечения этих

прямых с плоскостью проектирова-

ния и дают тень. Понятно, что и здесь

имеется континуум проекций, соответ-

ствующий континууму положений

точки проектирования. Далее, пересе-

чения объекта с различными плоскостями, - так называемые сечения,-

также могут быть использованы в качестве двумерных представлений.

Несмотря на огромное разнообразие возможных проекции для систем с

непрерывными переменными, основные понятия, связанные с отношением

целого (скажем, трехмерных объектов) и частей (их различных двумер-

ных и одномерных проекций), такие, как реконструктивное семейство, не-

смещенная реконструкция, локальная согласованность, расстояние и т. д.,

остаются теми же самыми, даже если они принимают некие специфические

формы. Например, процедура соединения, с помощью которой по двумер-

ным ортогональным проекциям определяется несмещенная реконструкция,

состоит в восстановлении для каждой из проекций бесконечных цилиндров

и определении общего объема этих цилиндров (то есть множества точек,

принадлежащих их пересечению). Разумеется, существуют некоторые до-

полнительные проблемы, связанные с непрерывными переменными.

Они прежде всего связаны с выбором соответствующих проекций. Не-

смотря на то, что эти проблемы имеют важное значение в таких облас-

тях, как оптика, механика, картография или томография, это тем не менее

проблемы, частные, не применимые ко всем системам. Поэтому они не

входят в сферу вопросов, рассматриваемых в данной книге, хотя в

УРСЗ должны, быть включены соответствующие методы решения этих за-

дач. Некоторые из этих задач рассматривались в дескриптивной геометрии

и в последнее время в системах обработки изображений.

Методологический пакет, такой, как пакет анализа реконструируемо-

сти, должен быть доступен как в

интерактивном, так и в автоматиче-

ском (пакетном) режиме.

При работе в интерактивном режиме пользователь

может применять соответствующие процедуры в любом порядке и объеме,

Структурированные порождаю-

щие системы (с поведением)

орождающие системы (с

подедением)

Рисунок Г.34 – Категории задач,

ассматриваемых при анализе ре-

конструируемости

310

Рисунок Г.35 - Трехмерное тело,

реконструируемое по трем своим

двумерным ортогональным про-

екциям

а)

принимает решения, исходя из промежуточных результатов и собственного

опыта. Например, при решении задачи реконструкции он может на-

чать с исходной структурированной системы как возможной реконструк-

тивной гипотезы, оценить ее и, если нужно, сравнить с непосредственными

уточнениями, со всеми реконструктивными гипотезами, в ее структурной

соседстве, с другими возможными гипотезами, не находящимися в сосед-

стве, или предпринять какие-либо другие действия. При решении задачи

идентификации можно сравнить несколько вариантов структурированных

систем по их коэффициентам идентифицируемости. В зависимости от полу-

ченных результатов можно определить затем или реконструктивные семей-

ства, или только некие типы реконструкций для некоторых из них. То, что

интерактивный режим дает возможность пользователю сосредоточить вни-

мание на конкретных вопросах и воспользоваться своим опытом и знаниями,

является большим преимуществом интерактивного режима при работе с

большими системами, в которых полная обработка практически не-

возможна из-за неприемлемых запросов на вычислительные ресурсы.

При работе в автоматическом режиме пользователю должен быть

предоставлен набор последовательностей различных процедур, что позво-

лило бы ему выбирать различные варианты решения задачи. Так, напри-

мер, при решении задачи реконструкции одна из последовательностей

процедур, повторяющаяся на каждом уровне уточнения, может состоять

из RС-процедуры, процедуры соединения, вычисления расстояния и про-

цедуры принятия решения о продолжении. В другой последовательности

RC-процедура может быть заменена на RG-процедуру (ограниченную уточ-

нениями из одного класса r-эквивалентности), за которой следуют три ос-

тальные процедуры (процедура соединения и так далее); другие последова-

Вид

слева

Вид спереди

Вид сверху

б)