Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия)

Подождите немного. Документ загружается.

и проекцией

ММ'

силовой линии реального поля силы

тя-

жести

на

меридиональную плоскость.

обозначениях

рис. 9

£'

ф-я\

= ф-Д,

или

5' = Б-вд. (1.33)

Для направления

первом вертикале составляющие уклоне-

ний отвеса

физическом

геометрическом определениях совпа-

дают, поскольку силовые линии нормального поля силы тяжести

—

плоские крирые, лежащие

меридиональных плоскостях. Поэтому

составляющая уклонения отвеса

физическом определении

для любого направления

под

азимутом

будет

I' cos А +

г)

sin А =

— Щ cos А +

г)

sin А = #

—•

8В cos А.

(1.34)

Уклонения отвеса называют относительными, если

используемые

при их

получении геодезические широты

долготы

соответствуют референцной системе координат,

абсолют-

ными, если

эти

величины соответствуют общеземной системе.

ПРИНЦИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КООРДИНАТ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Геометрические пространственные построения

Для понимания потенциальных возможностей астрономо-гео-

дезического метода определения пространственных координат

рассмотрим сначала принципы создания чисто геометрического

пространственного построения, используя

для

этого наблюденные

горизонтальные углы

зенитные расстояния

и не

учитывая

погрешностей

их

измерений. Понадобится также измерение длины

хотя

бы

одной

из

сторон, чтобы задать масштаб построения,

и определение хотя

бы на

одном пункте астрономических широты,

долготы

азимута, чтобы привести построение

экваториальную

систему координат, рассмотренную

в § 2.

Последовательное изложение теории такого построения было

впервые дано членом-корреспондентом

АН

СССР

М. С.

Моло-

денским

в 1949 г. [65].

Выполненные

М. С.

Молоденским,

В.

Ф.

Еремеевым

и М. И.

Юркиной исследования

этой области

систематизированы

в [69,

главы

I, VII].

Указанное направление

высшей геодезии, часто называемое трехмерной геоде-

зией, получило широкое развитие

как в

СССР,

так и за

рубежом.

Результаты исследований в обобщенном виде нашли отражение

в монографии английского ученого-геодезиста М. Хотина [122].

В СССР обстоятельные работы с новыми результатами и крити-

ческим обзором исследований, проведенных ранее, опубликованы

В.

Ф. Еремеевым и М. И. Юркиной [22, 24]. Вопросы трехмерной

Рис.

геодезии уже нашли отражение в учебниках по сфероидической

геодезии [73]. Интересные результаты получены М. М. Маши-

мовым [58].

Используем данную в § 2 интерпретацию измерений на пункте

геодезической сети как определения положения соседних пунктов

в системе топоцентрических горизонтальных координат, связан-

ных с направлением на астрономический зенит и плоскостью

начального горизонтального направления в пункте наблюдения.

Рассмотрим пространственный треугольник, образованный тремя

соседними пунктами сети А, В и С (рис. 10). Пользуясь извест-

ными формулами аналитической геометрии, мы можем по на-

правляющим косинусам для направлений А В и А С в горизонталь-

ной системе для пункта А получить косинус угла w

между

этими направлениями

COS

= IABIAC + ™АВ

АС + ПАВ

АС-

(1.35)

Подобные вычисления с использованием данных наблюдений,

выраженных в горизонтальной системе координат, могут быть

проведены на пунктах В и С. В результате находят все углы

треугольника ABC, причем один из них окажется избыточным.

Если известна хотя бы одна из сторон этого треугольника, можно

найти и длины всех остальных сторон. После этого, пользуясь

формулами вида

(1.16),

найдем координаты пунктов В и С в системе

, Y

, Z

, по ним — соответствующие приращения координат

для любой из сторон и в любом направлении в треугольнике

ЛВС,

затем

—

направляющие косинусы

в той же cttctfeke,

например:

в А

= —:—;

АВ

уА

С~~

Аналогичным путем, пользуясь

уже

известной

нам

длиной

стороны

ВС и

измерениями зенитных расстояний

горизонталь-

ных направлений

треугольнике В

CD,

мы

сможем найти коорди-

наты вершин этого треугольника

направляющие косинусы

его сторон

топоцентрической горизонтальной системе координат

для пункта-

В. Для

перзвода полученных координат

систему

, Y

, Z

воспользуемся формулой

(1.8) из § 2,

приняв

= Х

; y = Y

; z=Zt

Элементы матрицы поворота можно найти, поскольку

для

направлений В А

ВС

известны направляющие косинусы

топо-

центрических горизонтальных системах координат

как для

пункта

(из

непосредственных геодезических измерений),

так и для

пункта

А (из

проведенных вычислений).

развернутом виде

из

(1.10) для

каждого направления имеем

по три

уравнения связи

направляющих косинусов

обоих системах,

из

которых неза-

висимы лишь

два, так как

Всего

мы

располагаем четырьмя уравнениями

для

определе-

ния элементов матрицы

(1.9), из

которых,

как

указывалось,

только

три

независимы. Таким образом, могут быть определены

все элементы.

Для

решения уравнений связи предложены раз-

личные способы, которые

не

будем рассматривать.

некоторых

из

них

определяют углы

е^, г

и е

входящие

матрицу поворота

вида

(1.12).

Повторяя аналогичные операции

для

всех треугольников

геодезической сети,

мы

определим координаты всех

ее

пунктов

в системе

, F

, Z

< При

известных астрономических коорди-

натах пункта

А и

астрономическом азимуте начального направле-

ния

на нем

возможно,

как

показано

в § 2,

перевычислить

все

полученные координаты

топоцентрическую экваториальную

систему

пункте

А.

Достаточно теперь задать^ координаты

этого пункта

некоторой референцной системе, чтобы путем

параллельного сдвига перевести

в ту же

систему координаты

всех остальных пунктов геодезической сети.

Выбрав некоторый референц-эллипсоид

применив формулы,

обратные

(1.5),

можно далее цолучить эллипсоидальные коор-

динаты

В, L, Я в

системе выбранного эллипсоида.

Из проведенных вычислений имеем направляющие косинусы

для направлений

на

каждом пункте

как в

местной горизонталь-

ной,

так и в

экваториальной системах координат.

Это

позволяет,

исходя

из

'формул

(1.10) и (1.19) в § 2,

получить уравнения

связи указанных систем координат

найти

из их

решения астро-

номические широту, долготу

азимут начального направления

на каждом пункте. После этого

по

формулам

(1.20)

можно найти

для каждого пункта составляющие астрономо-геодезического укло-

нения отвеса.

Из-за значительного влияния вертикальной рефракции

на

измерения зенитных расстояний метод вычислительной обработки

геодезических сетей

как

пространственных геометрических

по-

строений нашел ограниченное применение, причем лишь

в го-

рах,

где при

больших углах наклона сторон неэффективны дру-

гие методы

имеются сравнительно хорошие способы

для

учета

влияния рефракции

[123, 124].

Пространственные геометрические

построения получат большие перспективы, когда будут созданы

инструментальные средства

для

прямого определения влияния

рефракции.

Раздельное определение плановых

и вертикальной координат

Так

как

зенитные расстояния обычно близки

к 90°, по

измерен-

ным горизонтальным углам нетрудно получить путем введения

за-

частую пренебрегаемых поправок углы сфероидических треуголь-

ников

на

референц-эллипсоиде. Верйшнами этих углов являются

проекции точек наблюдения

на

эллипсоид

по

нормалям

послед-

нему. Соответствующие редукции вводят

длины сторон

астро-

номические азимуты. Теория указанных редукций

— так

назы-

ваемая редукционная задача

—

изложена

главе

П. Что ка-

сается теории вычисления возникающих двухмерных построений

на поверхности референц-эллипсоида,

то она

дается

курсе

сфе-

роидической геодезии

[73].

Из вычислений

на

поверхности референц-эллипсоида полу-

чают геодезические широты

В и

долготы

пунктов геодезических

сетей. Получение третьей координаты

—

геодезической высоты

—

рассматривается

как

независимая задача.

Подробно теория определения высот изложена

главе

III.

Пока

же

ограничимся простейшим выводом, показывающим

целесообразность- представления геодезических высот

Н в

виде

двух компонентов: быстро меняющейся гипсометриче-

ской части, близкой

высоте

над

уровнем моря, изображаемой

на топографических картах,

плавной остаточной геоида

ль-

о й

частц.

Рассмотрим две соседние точки геометрического нивелиро-

вания А и В (рис. И). Если бы каким-то образом удалось уста-

новить линию визирования нивелира, расположенного на равном

расстоянии от точек А и В dl/2, перпендикулярно к нормали

к референц-эллипсоиду СС

Отвесная

линия

Рис.

и соответственно расположить по

нормалям к эллипсоиду рейки,

то приращение геодезической вы-

соты было бы равно

йН=Аа-ВЪ.

На самом деле с помощью

уровня мы устанавливаем линию

визирования перпендикулярно

к отвесной линии в точке С. Соот-

ветственно меняют свое положение

и рейки. Однако требования

к установке реек по вертикали

настолько невысоки, что можно

пренебречь отличием направления

отвесной линии от направления

нормали к эллипсоиду. В резуль-

тате получаемое нивелирное пре-

вышение равно

dh = Aa'-Bb'.

Угол между направлениями линии визирования в первом

и втором случае будет равен составляющей уклонения отвеса

О в С в направлении АВ*. С достаточным приближением можно

положить

dH-dh^

-(аа' + ЪЪ')ъ

Здесь и далее будем полагать, что составляющие уклонения

отвеса выражены в секундах дуги.

Таким образом, окончательно имеем

= dh-^rdL

(1.36)

Мы получили дифференциальную формулу обобщенного астро-

номического нивелирования, являющуюся важным составным

элементом теории Молодеыского [69].

На рис. 11

выбрано

направление

отвесной

линии,

соответствующее

положительному

д.

Обозначая

d£

— -^г

dl,

путем интегрирования

(1.36)

вдоль

линии геометрического нивелирования

находим

Д#АМ--ААМ

АСАМ,

(1.37)

где

А?АМ-

—J *d/. - (1.38)

Вычисление

по

формуле

(1.38)

получило название астро-

номического нивелирования.

Формула

(1.37)

иллюстрирует, казалось

бы,

наиболее есте-

ственное разделение приращения геодезической высоты

на

гипсо-

метрическую часть

получаемую исключительно

по

данным

геометрического нивелирования,

геоидальную

Д£АМ>

полу-

чаемую путем интегрирования составляющих уклонений отвеса

вдоль линии нивелирования. Более тщательное рассмотрение

вопроса (глава

III),

однако, показывает,

что

суммы измеренных

нивелирных превышений

по

различным трассам между фикси-

рованными конечными пунктами

общем случае неоднозначны.

Для устранения неоднозначности вводят

результаты нивели-

рования небольшие поправки

8h и

переходят

приращениям

нормальных высот

—

высот точек физической

по-

верхности

над

квазигеоидом

(см. рис.

1).

Соответствующие

по-

правки

обратным знаком вводят

величины

Д£ и

переходят

к приращениям высот квазигеоида

£ над

референц-эллипсоидом.

Таким образом, используют формулы

Д#АМ

;

Л£

А^АМ — 6/&АМ-

Принцип раздельного определения планового положения пунк-

тов

вертикальных координат является основным

при

создании

астрономо-геодезических сетей. Следует подчеркнуть,

что

и в

этом

случае после строгой вычислительной обработки астрономо-гео-

дезическая сеть будет представлять собой пространственное пост-

роение. Астрономические наблюдения позволяют отнести

его

к единой экваториальной системе координат,

которой выпол-

нены

эти

наблюдения. Линейные измерения будут задавать масш-

таб.

Всегда имеется свобода

назначении координат исходного

пункта сети. Выбрав параметры референц-пллипсоида

назначив

координаты исходного пункта (исходные геодезические даты),

мы

тем

самым жестко определим положение референц-эллипсоида

относительно астрономо-геодезической сети

на

физической поверх-

ности Земли. Однако останется неопределенным положение

ре-

ференц-эллипсоида

указанной сети относительно центра масс

Земли.

(1.39)

§ 4. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОВРЕМЕННЫХ

МЕТОДОВ ИЗУЧЕНИЯ ФИГУРЫ И ВНЕШНЕГО

ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Наряду с астрономо-геодезическим методом определение по-

ложения точек земной поверхности может вестись следующими

методами:

— гравиметрическим (физическим),

— спутниковым геометрическим,

— спутниковым динамическим,

— путем использования наблюдений далеких космических

объектов (космических летательных аппаратов, целей на поверх-

ности Луны),

— методом длиннобазисной радиоинтерферометрии.

Простой перечень показывает, сколь богата современная

палитра методов решения геометрических задач геодезии. В той

или иной мере большинство из них также дает данные для изуче-

ния внешнего гравитационного поля Земли. Далее кратко изло-

жим принципиальные особенности и возможности каждого из

методов.

Астрономо-геодезический метод

Астрономо-геодезический метод является 'старейшим методом

изучения фигуры Земли, известным еще с античных времен.

Однако до сих пор не исчерпаны его возможности, особенно

если учесть прогресс современных средств измерения расстояний,

а в перспективе также подвижных инерциальных систем. По-

прежнему этот метод решает задачи определения взаимного

положения точек земной поверхности в пределах территорий

протяженностью примерно до тысячи километров с наибольшей

точностью и детальностью. В настоящее время астрономо-гео-

дезическими сетями покрыто более двух третей поверхности

суши. Из больших сетей самая точная создана в СССР по научно

обоснованной программе, разработанной в 1928 г. известным

советским геодезистом Ф. Н. Красовским [47]. Взаимное про-

странственное положение пунктов значительной части АГС СССР

определено для расстояний порядка

6000

км с относительной

точностью около 10"

по каждой из координат [33]. Уже отмеча-

лось,

что астрономо-геодезический метод дает положение точек

в референцных системах координат без привязки к центру масс

Земли.

Возможности рассматриваемого метода в отношении изучения

внешнего гравитационного поля Земли ограничены. Первичной

информацией при этом являются астрономо-геодезические укло-

нения отвеса, определенные в астрономических пунктах. Однако

такие пункты располагаются на поверхности суши значительно

реже, чем, например, гравиметрические, и полностью отсут-

ствуют на поверхности морей и океанов. Единственное преиму-

щество астрономо-геодезических уклонений отвеса в прошлом

состояло в простой'связи с ними высот квазигеоида (см. конец

§ 3), так что фигура квазигеоида по астрономо-геодезическим

данным определялась надежнее, чем по гравиметрическим, но

и это преимущество теперь исчезает.

Гравиметрический (физический) метод

Этим термином будем называть метод определения фигуры

и внешнего гравитационного поля Земли с использованием, как

основных, гравиметрических данных.

В теории фигуры Земли показано [108], что по гравиметри-

ческим данным могут быть рассчитаны составляющие абсолютных

уклонений отвеса (в физическом определении) g и т), а также

высоты квазигеоида

над общеземным эллипсоидом. Пользуясь

формулами для составляющих уклонений отвеса

6 = ф_В-6Д; 1

х\

= (к —Т) cos В. J

и для геодезической высоты

н = н

+ 1

мы можем при наличии астрономических определений широты ф

и долготы к и при известной нормальной высоте Н

найти геоде-

зические координаты точки земной поверхности в общеземной

системе В, L, Н.

Несовершенством гравиметрического метода является то, что

он сам по себе не позволяет определить размеры общеземцого

эллипсоида, к которому относятся определяемые координаты,

хотя накладывает ограничения на их выбор (например, ставится

условие, чтобы объемы эллипсоида и квазигеоида были равны).

Этот параметр может быть определен лишь с привлечением дан-

ных, даваемых другими методами изучения фигуры Земли. Гра-

виметрический метод при определении координат пока уступает

по точности астрономо-геодезическому. Случайные ошибки опре-

деления В и L составляют в линейной мере даже в лучших усло-

виях около 10 м. С точностью порядка 5 м определяются вы-

соты Н. Значение рассматриваемого метода состоит прежде всего

в том, что он позволяет привести различные референцные системы

координат в единую систему, связанную с центром масс Земли.

Успешно гравиметрический метод может быть использован для

контроля и детализации карт высот квазигеоида, составленных

астрономо-геодезическим методом.

(1.40)

Вместе с тем гравиметрический метод весьма эффективен при

изучении внешнего гравитационного поля Земли, так как позво-

ляет выявлять такие его детали, которые в настоящее время не

в состоянии выявить какой-либо Другой метод, хотя и уступает

динамическому спутниковому методу при изучении основных

особенностей поля. Гравиметрический метод будет занимать вид-

ное место и в будущем. Это связано с большой потребностью

в измерениях силы тяжести при решении негеодезических за-

дач — изучении геофизических полей с целью поиска полезных

ископаемых и обеспечивается успешно развивающейся техни-

кой измерений силы тяжести на суше, на море и в воздухе. Поэтому

независимо от работ, проводимых геодезистами, объем гравиметри-

ческих измерений будет все время возрастать.

Спутниковый геометрический метод

В указанном методе искусственный спутник Земли (ИСЗ)

рассматривается как Подвижная визирная цель и никакие данные

о теории его движения в гравитационном поле Земли не исполь-

зуются. Этот метод при определении взаимного положения точек

земной поверхности не нуждается в каких-либо данных об эле-

ментах гравитационного поля Земли, однако и сам не дает этих

данных в результате обработки измерений.

Разнообразие средств спутниковых измерений (фотографиче-

ские наблюдения на фоне звезд, лазерные и радиотехнические

измерения расстояний до ИСЗ, определение радиальных скоростей

ИСЗ допплеровским методом, а в будущем — различные системы

измерений «спутник — спутник») делает спутниковые геометри-

ческие построения очень гибкими и жесткими.

В настоящее время достигнута точность передачи координат

на большие расстояния спутниковым геометрическим методом

порядка нескольких метров. Возможности этого метода не ис-

черпаны даже в наиболее развитом фотографическом методе

наблюдения подвижных объектов. Так, использование вместо ИСЗ

ламп-вспышек, поднимаемых с помощью метеорологических ша-

ров-зондов, позволяет, сохранив точность определения направле-

ний векторов между станциями порядка долей секунды дуги,

уменьшить длины этих векторов и тем самым повысить точность

передачи координат. Еще большие возможности сулит лазерный

метод измерения расстояний до ИСЗ. Таким образом, в перспективе

спутниковый геометрический метод по сравнению с астрономо-

геодезическим при передаче координат на большие расстояния

окажется не только более быстрым и дешевым, что уже достигнуто,

но и более точным. Следует отметить, что сам по себе он, так же

как и астрономо-геодезический метод, не способен строго решить

задачу приведения к единой геоцентрической системе координат.

Спутниковый динамический метод

В указанном методе используется та же первичная инфор-

мация, что и в геометрическом спутниковом методе, но учиты-

вается дополнительное важное условие — то, что спутник

движется по закономерной орбите под действием в основном грави-

тационных, а также и других сил (светового давления, сопро-

тивления атмосферы и т. д.).

Наиболее значительны преимущества динамического спутни-

кового метода в определении общих особенностей гравитацион-

ного поля Земли. Как пример укажем, что лишь из анализа наблю-

дений самых первых советских искусственных спутников Земли

сжатие ее было определено с намного большей точностью, чем

за всю историю геодезии. Ныне по наблюдениям ИСЗ фигура

геоида в целом определена со средней квадратической погреш-

ностью порядка 4 м, что составляет 12% от среднего квадратиче-

ского значения высоты геоида. Наиболее точные выводы гравита-

ционного поля Земли получают путем совместной обработки

гравиметрических и спутниковых данных, которые выгодно

взаимно дополняют друг друга.

По сравнению со спутниковым геометрическим методом дина-

мический метод уже при первоначальном его применении имел

то преимущество, что давал возможность определять координаты

станций наблюдения ИСЗ сразу в геоцентрической системе.

С повышением точности наблюдений, а главное с уточнением

моделей гравитационного поля Земли возможности применения

динамического метода все более расширяются. В перспективе

исчезнет необходимость выделения отдельно геометрического

и динамического спутниковых методов, ибо даже при наличии

наблюдений, достаточных для образования геометрических по-

строений, уже сейчас оказывается целесообразным при осред-

нении этих наблюдений использовать то обстоятельство, что

спутник движется по орбите, которую можно определить с вы-

сокой точностью.

Развитие сети станций, ведущих непрерывное точное слежение

за специализированными ИСЗ, позволит при наличии хорошо

подобранной модели гравитационного поля Земли применять

в геодезических целях метод автономного опре-

деления координат путем наблюдения с определяемых

точек указанных спутников. В этом случае предполагаются

известными не только параметры гравитационного поля, но

и начальные орбитальные элементы — иначе говоря, предпола-

гаются известными на каждый момент геоцентрические координаты

ИСЗ.

Уже оказался успешным опыт использования в США для

таких целей навигационных ИСЗ.