Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

171

Производные и называются смешанными производными функции

В рассматриваемом примере и это оказывается не случай-

но.

Теорема 2. Если для функции её смешанные производные

и непрерывны, то они равны друг другу, т. е.

Принимается без доказательства.

Поскольку вторые частные производные функции в свою оче-

редь являются функциями от и от них можно снова взять частные произ-

водные как по так и по если они существуют. Продолжив этот процесс,

можем найти производные любого -го порядка этой функции. Они обозна-

чаются (когда мы дифференцируем раз по ). Если вначале

раз дифференцируем по , а затем раз – по , то обозначаем это как

Если дифференцируем вначале раз по , а затем раз – по

то получим Если дифференцируем раз по , то пишем

§ 14. Экстремумы и необходимые признаки экстремума функ-

ции двух переменных

Пусть

(,)xy

– внутренняя точка области определения функции

( , ).fxy

Точка называется точкой максимума функции если значе-

ние функции в этой точке больше ее значений

в любой точке

(,)xy

некоторой малой окрестности точки

( , ),xy

отличной от

последней, то есть

( , ) ( , ).fx y fxy>

График функции для точек, близких к точ-

ке может, например, иметь вид, показанный на рис. 94.

Точка называется точкой минимума

функции, если значение функции в этой точке

меньше ее значений в любой точке

(,)xy

некото-

рой малой окрестности точки

(,)xy

, отличной от

последней, т. е.

( , ) ( , ).fxy fxy<

График этой

функции для точек, непосредственно близких к

может иметь, в частности, форму чаши с

( )

,.z f xy=

xy yx

′′ ′′

( )

,z f xy=

( )

f xy

′′

( )

f xy

′′

xy yx

′′ ′′

( )

,z f xy=

zx∂∂

nk−

( )

n nk k

zxy

−

∂ ∂∂

nk−

( )

n k nk

z xy

−

∂ ∂∂

zy∂∂

( )

,xy

( )

,,z f xy=

( )

,,xy

( )

,xy

( )

,,xy

5354.ru

172

дном, обращенным вниз. Например, – точка

минимума функции В самом деле, значение

функции в этой точке меньше её значений в любой

другой точке График этой функции представ-

лен на рис. 95.

Точки максимума и минимума называются

точками экстремума функции, а значения функции в

них – экстремальными значениями (минимальными и

максимальными).

Теорема 3. Если – точка экстремума функции то в

этой точке производные

(,)

fxy

∂

(,)

fxy

∂

равны нулю или не суще-

ствуют.

Доказательство. Дано, что есть точка экстремума функции

Это означает, что при фиксированном – функция

одного переменного – в точке имеет экстремум. Следовательно, со-

гласно необходимому признаку экстремума функции одной переменной, про-

изводная в точке равна нулю или не существует. Однако

последняя производная является частной производной по от функции

так как Итак, при обращается в

нуль или не существует, следовательно, частная производная

обращается в нуль или не существует. Аналогично можно показать, что част-

ная производная равна нулю или не существует.

Пример. Функция имеет минимум в начале координат и

её частные производные обращаются в нуль в

точке

Точки, в которых обе частные производные функции обраща-

ются в нуль или не существуют, называются критическими точками. Соглас-

но предыдущей теореме точка экстремума функции

(,)z fxy=

является ее

критической точкой. В то же время не всякая критическая точка является точ-

кой экстремума.

( )

0, 0

.zx y= +

( )

,.xy

( )

,xy

( )

,,z f xy=

( )

,xy

( )

,.z f xy=

yy=

( )

,z f xy=

xx=

( )

z f xy

′′

xx=

( )

,,z f xy=

.yy=

( )

/ ,/z x f xy x∂ ∂=∂ ∂

xx=

( )

f xy x

∂∂

( )

f xy y

∂∂

( )

,z f xy x y= = +

( )

, / 2,f xy x x∂ ∂=

( )

,/ 2f xy y y∂ ∂=

( )

0, 0 .

(,)z fxy=

173

Например, для функции имеем

Обе эти производные в точке обращаются в нуль, но

она не является точкой экстремума рассматриваемой функции. В самом деле,

эта функция в точке принимает значение, равное нулю. Но это значение

не является ни максимальным, ни минимальным, так как для всех точек оси

для которых функция принима-ет значения

а для всех точек оси для которых

функция принимает значения Иначе гово-

ря, рассматриваемая функция вблизи точки

принимает значения как большие, так и меньшие ну-

ля. Поэтому её значение в точке равное нулю,

не является ни максимальным, ни минимальным. Это

очевидно геометрически, так как график рассматриваемой функции является

гиперболическим параболоидом (рис. 96).

На вопрос, будет ли критическая точка точкой экстремума, отвечает до-

статочный признак экстремума функции двух переменных .

§ 15. Достаточный признак экстремума

Схема исследования на экстремум функции двух переменных

Теорема 4. Пусть – критическая точка функции когда

(,)

fxy

∂

(,)

fxy

∂

Обозначим

Тогда:

• если то есть точка экстремума функции

причём точка максимума при и точка минимума при

• если то не является точкой экстремума.

• если то требуются дополнительные исследования.

Теорема принимается без доказательства.

Из изложенного вытекает следующая схема исследования функции

на экстремум:

( )

,z f xy x y= = −

( )

, / 2,f xy x x∂ ∂=

( )

, / 2.f xy y y∂ ∂=−

( )

0, 0

( )

0, 0

,Ox

0,y =

0,zx= >

,Oy

0,x =

0.zy=−<

( )

0, 0

( )

0, 0 ,

( )

,z f xy=

( )

,xy

( )

,,z f xy=

( )

f xy

∂

( )

f xy

∂

∂∂

( )

f xy

∂

0,AC B−>

( )

,xy

( )

,,z f xy=

0A <

0;A >

0,AC B−<

( )

,xy

0,AC B−=

( )

,z f xy=

5354.ru

174

• найти критические точки этой функции (т. е. точки в которых

первые частные производные функции обращаются в нуль или не существу-

ют);

• каждую найденную критическую точку исследовать с помощью доста-

точного признака экстремума;

• найти экстремальные значения функции

(,)z fxy=

, подставив вместо

и координаты точки максимума или минимума.

Пример. Исследуем на экстремум функцию

где

Имеем

Поступим согласно указанной выше схеме.

• Найдем критические точки функции:

3 3 0,



−=





−=







−=





−=





Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения

координат критических точек. Из второго уравнения выразим и подста-

вим в первое уравнение. Тогда или Приравняв

нулю первый, а затем второй множители (третий множитель в нуль не обра-

щается), получим два корня: и Этим двум значениям отвечают

соответствующие значения и Итак, получили две критические

точки и

• С помощью достаточного признака экстремума нужно исследовать

каждую из этих критических точек. Исследуем сначала вторую точку

Здесь имеем

Таким образом, следовательно, точка – точка экстремума,

а именно, точка минимума, так как .

( )

,,xy

( , ),z fxy=

( )

, 3.f x y x y xy=+−

3 3,

∂

= −

∂

3 3,

∂

= −

∂

= −

∂∂

∂

xy=

0yy−=

( )

1 1 0.yy y y− ++ =

0y =

1.y =

0x =

1.x =

( )

0; 0

( )

1; 1 .

( )

1; 1 .

( )

6 6,

f xy

∂

= = =

∂

( )

f xy

∂

= = −

∂∂

( )

6 6.

f xy

∂

= = =

∂

27 0,AC B−=>

( )

1; 1

60A = >

175

• Найдём теперь минимальное значение функции в точке Подставим

координаты этой точки в выражение для функции и получим

Другая критическая точка (0,0) исследуется аналогично. Она не является

точкой экстремума.

§ 16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функ-

ции двух переменных в замкнутой области

Пусть в конечной области с границей плоскости задана непре-

рывная функция и найдены значения функции в ее критических

точках, лежащих в области Эти значения обозначим Аналогич-

но случаю функции одного аргумента рассматриваемая функция своё

наибольшее и наименьшее значения в области может принять в точках её

границы Поэтому при нахождении указанных значений надо рассматри-

вать также значения функции в точках границы области и среди послед-

них выделить наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соот-

ветственно С учетом теоремы 1 § 6 настоящей главы заключаем, что

наибольшее значение функции в замкнутой области будет равно

наибольшему из чисел а наименьшее значение – наименьшему

из чисел

Нахождение значений и сводится к отысканию наибольшего и

наименьшего значений функции одного аргумента.

Проиллюстрируем сказанное на примере области

граница которой состоит из двух частей и за-

данных соответственно уравнениями

и где – одно-

значные непрерыв- ные функции (см. рис. 97). Здесь

() , () ,acbd

ϕϕ

= =

( ) ( )

,.ca db

= =

Так как есть

ордината точки с абсциссой кривой значения

функции на представляют собой значения функции одного аргу-

мента Аналогично значения функции на есть

значения функции аргумента

( )

1; 1 .

3z x y xy=+−

min

1 1 3 1.

= = + −=−

Oxy

( )

,z f xy=

, ,..., .

zz z

( )

,z f xy=

, ,..., , ,

zz zM

, ,..., , .

zz zm

( )

,yx

,axb≤≤

( )

,xy

,cyd≤≤

( )

,f xy

( )

,, .fx x a xb

≤≤





( )

,f xy

( )

,, .f yy cyd

≤≤





5354.ru

176

Пусть и – соответственно наибольшее и наименьшее значения

функции в интервале а и – соответственно

наибольшее и наименьшее значения функции в интервале

Эти числа находятся известным нам способом (§ 2 главы 7). Ясно, что есть

наименьшее из чисел а – наибольшее из чисел и

Аналогично поступаем в случае, когда кривую можно разбить на части

указанного вида, число которых больше двух.

Пример. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

yzx−=

в круге, ограниченном окружностью

1.xy+=

Как уже отмечалось, эта функция, график которой изображен на рис. 96,

не имеет экстремумов, так как ее единственная критическая точка

(0,0)

не яв-

ляется точкой экстремума (см. § 14). Следовательно,

наибольшее и наименьшее значения она принимает в точках границы –

окружности

1.xy+=

Последнее уравнение запишем в виде

= −

при

0;y ≥

1yx=−−

при

0.y ≤

Эти уравнения определяют две полуокружности, из которых состоит исход-

ная окружность. В точках первой полуокружности

( 0)y ≥

функция

yzx−=

принимает значения

(1 ),x

zx−−=

т. е.

1,2zx−=

1 1.x−≤ ≤

Такие же значения

эта функция принимает в точках второй полуокружности. Следовательно, до-

статочно найти наибольшее и наименьшее значения функции

2zx

−

в ин-

тервале

1 1.x−≤ ≤

Ее производная

4zx

′

обращается в нуль при

0,x =

это един-

ственная критическая точка рассматриваемой функции в интервале

.[ 1,1]−

Она

является точкой минимума согласно теореме 5 § 3 главы 7, так как

4 0.z

′′

= >

Минимальное значение функции равно

| 1.

= −

Ясно, что значения функции

2zx

−

на концах интервала

[ 1,1],−

равные 1, являются ее наибольшими зна-

чениями. Итак, наибольшее и наименьшие значения функции

yzx

−=

в круге

1xy+≤

равны соответственно

1.−

§ 17. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Прямая называется касательной к поверхности в точке этой по-

верхности, если указанная прямая является касательной в точке к какой-

либо линии, лежащей на поверхности и проходящей через точку Так как

( )

,fx x





axb≤≤

( )

,f yy





.cyd≤≤

( )

Pxy

177

через точку проходит бесчисленное множество линий, лежащих на поверх-

ности, то ясно, что касательных прямых к поверхности в точке бесчислен-

ное множество. В связи с этим докажем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть в пространстве

поверхность задана уравнением

(39)

и точка с координатами этой поверхности такова, что вычислен-

ные в ней частные производные от левой части уравне-

ния (39) не обращаются в нуль одновременно.

Тогда все касательные прямые к поверхности в

точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть поверхность, задан-

ная уравнением (39), имеет вид, указанный на

рис. 98. Пусть – произвольная линия, лежащая

на поверхности и проходящая через ее точку

. Параметрические уравнения этой ли-

нии запишем так:

(40)

(здесь – параметр). От параметрических уравнений перейдём к векторно-

му уравнению

( ),r rt=



где

(41)

Здесь

()r rt=



– радиус-вектор точки Мы знаем, что производная от

функции (41), вычисленная для точки отвечаю-

щей выбранному значе-нию параметра есть вектор с началом в точке

направленный по касательной к линии Будем считать, что кривая вы-

брана так, что С другой стороны, вычислим частные производные от

левой части уравнения (39) для точки Построим вектор с началом в точ-

ке проекции на оси координат которого равны этим частным производ-

ным: По условию теоремы проекции этого вектора

не обращаются в нуль одновременно, следовательно, длина вектора Но

кривая лежит на поверхности, поэтому координаты любой её точки, опре-

делённые по формулам (40), удовлетворяют уравнению (39), т. е. для всех

Это соотношение продифференцируем по , учитывая,

Oxyz

(,,) 0Fxyz=

zxy

/,Fx∂∂

/,Fy∂∂

/Fz∂∂

( )

Pxy

( )

,x xt=

( )

,y yt=

( )

.z zt=

,r xi y j zk=++



( ) ( ) ( ) ( )

.rt xti yt j ztk=++

 

( )

,.zPxy

( ) ( ) ( ) ( )

,r t xti y t j z tk

′

′′′

=++

 

( )

0.rt

′

≠



 

( )

/,/,/.N FxFyFz=∂∂∂∂∂∂

 

0.N ≠

 

( ) ( ) ( )

( )

, , 0.Fxt yt zt =

5354.ru

178

что левая часть – сложная функция, в которой – функция трёх переменных.

Поэтому

(42)

Соотношение (42) справедливо для любой точки линии и в том числе для

значения отвечающего точке Возьмём скалярное произведение векторов

и построенных в точке Оно равно сумме произведений одноимён-

ных проекций соответствующих векторов и

()rt

′



, () () () ().

FFF

Nr t xt yt zt

xyz

∂∂∂



′

′′′

=++



∂∂∂



  

В силу (42) правая часть последней форму-

лы равна нулю. Итак, скалярное произведение а поскольку длины

векторов не равны нулю - векторы перпендикулярны. Итак, но –

любая кривая, лежащая на поверхности и проходящая через точку Таким

образом, любая касательная прямая к поверхности перпендикулярна вектору

Это означает, что все касательные прямые к поверхности в точке пер-

пендикулярны – одному и тому же вектору. Следовательно, все касатель-

ные прямые лежат в одной плоскости. Теорема доказана.

Указанная плоскость называется касательной плоскостью к поверхности

в точке Мы показали, что вектор с началом в точке проекции которо-

го суть частные производные, вычисленные в точке

есть вектор, перпендикулярный к касательной плоскости поверхности в точке

т. е. является нормальным вектором этой плоскости.

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной

плоскости в ней, называется нормалью к поверхности в точке

§ 18. Уравнение касательной плоскости и нормали

к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением (39) и – фиксированная

точка этой поверхности, т. е. её координаты – заданные числа. Вы-

числим частные производные и найдём их значения в точке

ttt

FFF

xyz

∂∂∂

′′′

⋅+ ⋅+ ⋅=

∂∂ ∂

 

( )

,rt



 

( , ( )) 0,Nrt

′

  

( )

,N rt

′

⊥

  

 

( )

/,/,/FxFyFz∂∂∂∂∂∂

( )

0 0 00

Pxy

0 00

,, zxy

,,FxFyFz∂∂∂∂∂∂

179

Рис. 99

Получили определённые числа, которые являются проекциями нормального

вектора касательной плоскости к поверхности в

точке Зная проекции этого вектора и координаты точки сразу

запишем уравнение касательной плоскости:

Зная координаты точки и проекции вектора для точки являющегося

направляющим вектором нормали к поверхности в точке запишем кано-

нические уравнения этой нормали

В качестве примера возьмём сферу с центром в начале координат и урав-

нением В точке сферы запишем уравнение касатель-

ной плоскости и уравнение нормали. Итак,

Решение данной задачи до конца предлагается довести самостоятельно.

§ 19. Производная по направлению

Пусть в системе координат задано ска-

лярное поле, т. е. функция трёх переменных

и – произвольная точка

пространства. Проведем через нее ось направ-

ление которой определяется единичным векто-

ром (см. рис. 99). Пусть ось образует с ося-

ми координат

углы соответ-

ственно, тогда Пусть

– произвольная точка оси а расстояние Проекции векто-

∂∂





∂∂





∂∂



∂∂



∂∂





∂∂



FFF

xyz



∂∂∂

 



 



∂∂∂

 



 

0 00

, z

( ) ( ) ( )

0 00

FFF

xx yy zz

xyz



∂∂∂

 

−+ −+ −=

 



∂∂ ∂

 



 

( )

000

0 00

PPP

xx yy zz

Fx Fy Fz

−−−

= =

∂∂ ∂∂ ∂∂

2 22

3 0.xyz+ + −=

( )

1, 1, 1P

1,x =

1,y =

1.z =

2 2,

∂



= =



∂



2 2,



∂

= =



∂



2 2.

∂



= =



∂



Oxyz

( ) ( )

,, ,UP Uxyz=

( )

,,Pxyz

 

,Ox

,Oy

αβγ

( )

cos cos , cos .e

αβγ

= ,

 

( )

1111

,,Pxyz

= .

5354.ru

180

ра



на оси координат равны разностям координат конца и начала этого

вектора:

11 1 1

( , , ).PP x x y y z z=−−−



(43)

С другой стороны, проекции этого вектора равны его длине умноженной

на косинус угла между соответствующей осью и вектором, поэтому

Последние проекции равны соответствующим

проекциям в (43). Таким образом,

(44)

Следовательно, с учётом (44) имеем

( ) ( cos , cos , cos ).UP Ux y z

ρα ρβ ργ

=+++

(45)

Пусть – фиксированная точка, – заданные числа и – фиксиро-

ванная ось, т. е. – фиксированные величины. Пусть изменяется только

и точка перемещается по оси относительно фиксированной точки

При этом, как видно из формулы (45), значение в точке зависит только

от одной переменной следовательно, отношение зависит

только от одной переменной Предел этого отношения при (когда

по оси ) называется производной по направлению от функции

в точке и обозначается Итак, производ-

ная по направлению

(46)

Мы знаем, что для полного приращения функции трёх переменных спра-

ведливо представление

где – бесконечно малые функции, стремящиеся к нулю, когда

одновременно. Это представление получено в предположении,

что частные производные непрерывны. В последней

формуле положим Тогда

( )

cos cos , cos .PP

ρ αρ βρ γ

= ,



111

cos , cos , cos .x xy yz z

ρα ρβ ργ

= += += +

,,xyz

αβγ

( ) ( )

[ ]/UP UP

−

→

PP→

( ) ( )

,,UP Uxyz=

( )

/ ,, .U U xyz

′

∂ ∂=

( ) ( )

lim .

UP UP

λρ

→

−

∂

( ) ( )

123

, , ,,

Ux xy yz z Uxyz

UUU

x y zxyz

xyz

γγγ

+∆ +∆ +∆ − =

∂∂∂

= ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆

∂∂∂

123

γγγ

0,x∆→

0,y∆→

0z∆→

,,Ux Uy Uz∂∂ ∂∂ ∂∂

cos ,x

ρα

∆=

cos ,y

ρβ

∆=

cos .z

ργ

∆=