Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

181

123

( cos cos cos ) ( , , ) cos

cos cos cos cos cos .

Ux y Uxyz

ρα ρβ ργ ρα

ρβ ργγραγρβγργ

∂

∂∂

+ + +− = +

+ + +++

Левая часть этой формулы равна Таким образом, получили вы-

ражение для Подставим его в числитель формулы (46) и сокра-

тим на При этом под знаком предела величины стремятся к нулю

при

→

(когда одновременно). Тогда (46) даст фор-

мулу для вычисления производной по направлению в точке

(47)

Из неё видно, что эта производная зависит от:

• координат точки так как эти координаты входят в выражения

для частных производных правой части формулы (47);

• направления оси т. е. от углов так как они входят в правую

часть формулы (47).

При фиксированных и

производная по направлению характе-

ризует поведение функции при движении по оси Когда в поло-

жительном направлении оси функция возрастает, причём тем быстрее,

чем больше эта производная. В сказанном легко убедиться на основании (46).

§ 20. Градиент функции и его связь

с производной по направлению

Пусть в пространстве задано скалярное поле, т. е. функция

где – координаты точки От этой функции найдём

частные производные Эти производные вычислим для

точки и построим вектор с началом в точке обозначаемый

и называемый градиентом функции в точке проекции которого равны

только что вычисленным частным производным. Итак, градиент функции

в точке равен

(48)

Длина этого вектора определяется формулой

( ) ( )

.UP UP−

( ) ( )

.UP UP−

123

γγγ

0,x∆→

0,y∆→

0z∆→

( )

, , cos cos cos

U UUU

U xyz

xyz

αβγ

∂ ∂∂∂

′

= =++

∂ ∂∂∂

,,xyz

αβγ

∂

0,dU

∂>

Oxyz

( ) ( )

,, ,UP Uxyz=

,,xyz

,,.Ux Uy Uz∂∂ ∂∂ ∂∂

( )

,,Pxyz

gradU

( )

,,Uxyz

grad .

UU U

Ui jk

xy z

∂∂ ∂

=⋅+⋅+⋅

∂∂ ∂

 

5354.ru

182

(49)

Через точку проведем ось с единичным вектором

(рис. 100). Запишем скалярное произведение векторов и

Правая часть этой формулы равна – производной

по направлению от функции в точке Таким обра-

зом, получим

(50)

Эта формула связывает производную по направлению в точке и в

точке Скалярное произведение в формуле (50) выразим через длины векто-

ров и косинус угла между ними:

|grad |cos .

∂

(51)

Пусть – фиксированная точка (её координаты – заданные числа). Тогда

в этой точке, определённый по формуле (48), есть фиксированный век-

тор. Будем изменять угол т. е. направление оси Из формулы (51) видно,

как изменяется производная по направлению в точке с изменением

направления оси т. е. угла Ясно, что наибольшее свое значение эта про-

изводная принимает, когда т. е. и ось направлена по .

Получили, что – вектор, направление которого указывает направление

наискорейшего возрастания функции по сравнению со всеми другими

направлениями оси

Пусть где есть уравне-

ние поверхности уровня рассматриваемого скалярно-

го поля, проходящей через точку (рис. 101). Запи-

шем это уравнение так: Левую часть

обозначим через Тогда уравнение этой по-

верхности будет иметь вид Частные

производные от функции равны

|grad | .

UUU

xyz



∂∂∂

 

= ++



 

∂∂∂

 



( )

cos cos , cose

αβγ

= ,

 

gradU

( )

grad , cos cos cos .

UUU

xyz

αβγ

∂∂∂

=⋅ +⋅ +⋅

∂∂∂

 

∂∂

( )

grad , .

∂

 

gradU

∂∂

cos 1,

gradU

( )

,, ,U Uxyz c= =

const,c =

( )

, , 0.Uxyz c−=

( )

,, .Fxyz

( )

, , 0.Fxyz=

∂∂

Рис. 101

183

Мы знаем, что эти производ-ные, вычисленные в точке поверхно-

сти уровня, являются проекциями вектора направленного по нормали к

этой поверх-ности, т. е. Но согласно формуле (48) такие же

проекции имеет и в точке т. е. Таким образом, есть

вектор, направленный по нормали к поверхности уровня скалярного поля,

проходящей через точку

∂∂

 

,, .

UUU

xyz



∂∂∂



∂∂∂



 

gradU

grad .NU=

 

gradU

5354.ru

184

ГЛАВА 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Комплексные числа и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида

(1)

где и – действительные числа, – мнимая единица, определяемая равен-

ством

или (2)

Число называется действительной частью, а число – мнимой частью

числа их обозначают

Два комплексных числа и равны между собой

если Комплексное число если и Два

комплексных числа и отличающиеся только знаком мнимой

части, называются сопряжёнными.

Сумма и разность. Пусть даны два комплексных числа и

Их сумма и разность - комплексные числа, определяемые следую-

щим образом:

Произведение – это комплексное число, которое получается при пе-

ремножении этих чисел как двучленов по правилам алгебры:

или с учётом (2)

Для сопряжённых чисел и будем иметь

zz⋅

или с учётом (2)

. (3)

Деление. Для того, чтобы поделить на , нужно числитель и знамена-

тель дроби умножить на комплексное число сопряжённое знаменате-

лю, при этом результатом деления будет комплексное число

,z x iy= +

1i = −

1.i = −

Re ,xz=

Im .yz=

11 1

z x iy= +

22 2

z x iy= +

( ),zz=

,xx=

.yy=

0,z x iy=+=

0x =

0.y =

z x iy= +

,z x iy= −

11 1

z x iy= +

22 2

.z x iy= +

( ) ( )

12 12 1 2

,z z x x iy y+= + + +

( ) ( )

12 12 12

.z z x x iy y−= − + −

zz⋅

( ) ( )

1 2 1 1 2 2 12 12 12 12

z z x iy x iy x x ix y iy x i y y⋅= + ⋅ + = + + +

( ) ( )

1 2 12 12 12 12

.z z xx yy i xy yx⋅= − + +

22 2

z x iy= +

222

z x iy= −

( ) ( ) ( )

22 22 2 2

x iy x iy x iy=+ ⋅− =−

22 2 2

zz x y⋅= +

185

или

Пример. Пусть Тогда

§ 2. Геометрическое изображение и тригонометрическая

форма комплексного числа

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости в

виде точки с координатами В этом случае плоскость называется

комплексной, – действительной осью, а – мнимой осью. В некоторых

случаях комплексное число представляют в виде вектора

Обозначим через и полярные координаты точки считая нача-

ло координат полюсом, а положительную полуось – полярной осью. Тогда

(см. рис. 102)

sin .yr

(4)

Следовательно, комплексное число можно пред-

ставить в виде или

(5)

Это и есть тригонометрическая форма комплексно-

го числа. Величины и называются соответственно модулем и аргументом

комплексного числа и обозначаются Положительным

направлением отсчёта аргумента считается направление против хода часо-

вой стрелки. Из соотношений (4) следует

( ) ( )

11 2 2

1 1 2 12 12 12 12

2 22 22 2 2

x iy x iy

z z z x x ix y iy x i y y

z x iy x iy x y

+⋅−

⋅ −+−

= = =

+ ⋅− +

⋅

1 12 12 12 12

22 22

2 22 22

z xx yy yx xy

z xy xy

+−

= +

1 2,zi= +

3 4.zi= −

( ) ( ) ( ) ( )

( )

12 12

13 24 42, 13 2 4 26,z z i iz z i i+=++−=− −=−+−−=−+

( ) ( ) ( ) ( )

12 34 34 6 8 38 64 112.zz i i i i i i i⋅=+ ⋅− =−+− =++ − =+

( ) ( )

12 34 38 46

12 34 6 8

34 34 34 3 4 25

5 10 1 2

25 25 5 5

ii i

z i iii

z i ii

+ ⋅+ −+ +

+ +++

= = = = =

− − ⋅+ +

=− + =−+

z x iy= +

Oxy

( )

,M xy

,.xy

z x iy= +

.OM

( )

,,M xy

cos ,xr

cos sinx iy r ir

ϕϕ

+= +

( )

cos sin .zr i

ϕϕ

= +

,rz=

arg .z

5354.ru

186

(6)

где – любое целое число, При если

и если Учитывая, что и суть -

периодические функции, при записи комплексного числа в виде (5) слагаемые

опустим.

Пример. Представить числа в тригонометриче-

ской форме.

Комплексному числу на плоскости соответствует вектор с

концом в точке расположенной в третьей четверти координатной

плоскости (рис. 103). Использовав (6), найдем

Значит,

Комплексному

числу на плоскости соответствует вектор

следовательно,

Комплексному числу на плоскости со-

ответствует вектор Аргумент модуль отсюда

Пусть два комплексных числа заданы в тригонометрической форме:

Найдём и учитывая, что

Получим

или

(7)

Вычислим умножив числитель и знаменатель на при этом учтём (3):

,r xy= +

arctg 2 , 0,

ππ









+ +<





( )

2 arctg 2.yx

ππ

−< <

0x =

22 ,k

ϕπ π

= +

0,y >

22 ,k

ϕπ π

=−+

0.y <

sin

cos

2 k

2 2,zi=−−

3,zi=

4z =

Oxy

( )

2, 2 ,M −−

( ) ( )

2 2 8 2 2,r = − +− = =

( ) ( )

arctg[ 2 / 2 ] /4 5 /4.

ϕ π ππ π

=+ − −=+ =

( )

22cos54 sin54.zi

ππ

= +

Oxy

( )

0;3 ,OM =

ϕπ

3,r =

( )

3 cos 2 sin 2 .zi

ππ

= +

40zi= +

Oxy

( )

4;0 .OM =

4,r =

( ) ( )

( )

4 cos 0 sin 0 .zi= +

( )

11 1 1

cos sin ,zr i

ϕϕ

= +

( )

22 2 2

cos sin .zr i

ϕϕ

= +

zz⋅

,zz

1.i = −

( ) ( )

( )

12 1 1 1 2 2 2

12 1 2 12 1 2 12

cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

zz r i r i

rr i i i

ϕϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ

⋅= + ⋅ + =

= + ++

( ) ( )

( )

1212 12 12

cos sin .z z rr i

ϕϕ ϕϕ

⋅= + + +

,zz

187

или

§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение

корня из комплексного числа

Возведение в степень. Пусть Возведём в степень

где – целое положительное число. Это означает, что число надо умно-

жить само на себя раз. Используя (7), получим

Это соотношение называется форму-

лой Муавра.

Извлечение корня. Корнем -й степени из комплексного числа называется

такое комплексное число, -я степень которого равняется подкоренному чис-

лу, т. е.

если

У равных комплексных чисел модули долж-

ны быть равны, а аргументы могут лишь отличаться на число, кратное

Отсюда где – любое целое число, следовательно,

Итак,

(8)

Придавая значения от до получим различных значений корня. Для

всех других соответствующие значения корня будут совпадать с найден-

ными. Таким образом, корень -й степени из комплексного числа имеет

значений.

Пример. Решить уравнение

Представим число

в тригонометрической форме, для этого найдём

Отсюда

Найдем корни уравнения по формуле (8):

( ) ( )

( )

1 1 12 2 2

1 12

1 2 12 1 2 12

cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

r ir i

z zz

ϕϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ

+⋅ −

⋅

= = =

⋅

= −+−

( ) ( )

12 12 12 12

/ ( / )[cos sin ].zz rr i

ϕϕ ϕϕ

= −+ −

( )

cos sin .zr i

ϕϕ

= +

( )

cos sin cos sin .

z r i r nin

ϕϕ ϕ ϕ

=+= +

( )

cos sin cos sin ,

ri i

ϕ ϕρ ψ ψ

+= +

( ) ( )

cos sin cos sin .

r i nin

ϕ ϕρ ψ ψ

+= +

2,nk

ψϕ π

= +

( )

2.kn

ψϕπ

= +

( )

cos sin cos sin .

ri r i

ϕπ ϕπ

ϕϕ



+= +





1,n −

1.zi= +

1 i+

1 1 2,r = +=

arctg1 4.

ϕπ

= =

( ) ( )

( )

1 2 cos 4 sin 4 .ii

ππ

+= +

5354.ru

188

где Следовательно,

при

( )

2 cos 4 sin 4

42 42

2 cos sin ,

ππ

ππ ππ

= +=





= +









0;1; 2.k =

0k =

( ) ( )

( )

2 cos 12 sin 12 ;zi

ππ

= +

1k =

( ) ( )

( )

2cos34 sin34;zi

ππ

= +

2k =

( )

2 cos 17 12 sin 17 12 .zi

ππ

= +

189

ГЛАВА 11. НЕПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение первообразной и неопределённого интеграла.

Таблица основных интегралов

Раньше мы решали задачи вида: дана функция и нужно найти про-

изводную, которая сама является функцией от т. е. Теперь нам

нужно научиться решать обратную задачу, когда дана производная

функции и нужно найти эту функцию Будем считать, что заданная

производная – непрерывная функция в рассматриваемом интервале. Да-

дим определение.

Функция называется первообразной для функции в интервале

если для всех из интервала

Например, для функции первообразной является функция

В самом деле, В то же время функция

также является первообразной для функции

() 2fx x=

. Действительно, произ-

водная Таким образом, по данной функции первооб-

разная определяется не единственным образом, иначе говоря, одной

функции может отвечать несколько первообразных. Справедлива

Теорема 1. Если и - первообразные для одной и той же функ-

ции в интервале то разность этих функций есть величина посто-

янная в указанном интервале т. е.

( ) ( )

constFx Fx C−==

для всех из

интервала

Доказательство. Нам дано для всех из интервала

Обозначим

(1)

Производная этой функции для всех из

интервала Пусть – произвольная фиксированная точка интервала

т. е. Для интервала и функции запишем формулу Ла-

гранжа: где – некоторая точка из интервала

( )

( ) ( )

.Fx fx

′

( )

.Fx

( )

[ , ],ab

( ) ( )

Fx fx

′

[ , ].ab

( )

2fx x=

( )

.Fx x=

( )

2.Fx x x

′

= =

( )

2Fx x= +

( )

2 2.Fx x x

′

=+=

( )

[ , ],ab

[ , ].ab

( ) ( ) ( )

Fx F x fx

′′

= =

[ , ].ab

( ) ( ) ( )

.x Fx Fx

= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0x F x F x fx fx

′′

′

= − =−=

[ , ].ab

[ , ],ab

.axb<<

[, ]ax

( )

( ) ( )

ϕϕ

−=

( )( )

,xa

ϕξ

′

= −

5354.ru

190

Но так как всюду в интервале поэтому

следовательно, Однако сказанное справедливо для

произвольно взятой нами точки интервала Итак, для всех точек ин-

тервала имеем

( ) ( )

.x a C const

ϕϕ

= = =

Подставим последнее выражение в

левую часть формулы (1) и получим утверждение теоремы.

Из теоремы 1 непосредственно вытекает, что если есть какая-либо

первообразная для функции то любая другая первообразная для функ-

ции будет равна

( )

,Fx C+

где

.C const=

В связи с этим запишем следую-

щее определение.

Если есть какая-либо первообразная для функции то сумма

( )

,Fx C

где

– произвольная постоянная, называется неопределённым ин-

тегралом от функции и обозначается

Итак,

( ) ( )

,f x dx F x C= +

∫

если (2)

Здесь и всюду в дальнейшем

означает произвольную действительную по-

стоянную, – знак интеграла, – подинтегральная функция, –

подинтегральное выражение, – переменная интегрирования, – диффе-

ренциал переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла (первообразной), назы-

вается неопределённым интегрированием. Эта операция является обратной

дифференцированию, поэтому операцию интегрирования можно проверить

последующим дифференцированием.

Исходя из определения неопределённого интеграла, запишем следующую

таблицу основных интегралов:

, 1.

x dx C n

= + ≠−

∫

sin

dx ctgx C

=−+

∫

ln .

= +

∫

e dx e C= +

∫

cos sin .xdx x C= +

∫

a dx C

= +

∫

sin cos .xdx x C=−+

∫

arcsin .

= +

−

∫

( , ).ax

( )

ϕξ

′

( )

′

[ , ],ab

( ) ( )

0,xa

ϕϕ

−=

( ) ( )

.xa

ϕϕ

[ , ].ab

[,]ab

( )

,fx

( )

,fx

( )

.f x dx

∫

( ) ( )

.Fx fx

′

∫

( )

f x dx