Шинкарик М.І. Вища математика

441

()

acbcab2S

повн

++=

.

Піраміда

HS

3

1

V

осн

×= ;

оснбічповн

SSS +=

;

Правильна:

ApS

оснбіч

×=

.

Зрізана піраміда

()

2121

SSSS

3

H

V ++×=

;

1

S ,

2

S - площі основ;

21бічповн

SSSS ++= .

Правильна:

()

2

A

PPS

21біч

×+= , де

1

P ,

2

P - параметри основи.

Конус

HR

3

1

V

2

π=

;

RlS

біч

π=

;

()

lRRS

повн

+π= .

Зрізаний конус

1

R

и

2

R

- радіуси основ;

l

H

R

442

()

21біч

RRlS +π=

;

()

2

221

2

1

RRRRH

3

1

V ++π=

.

Призма

HSV

осн

×=

;

пряма:

HPS

оснбіч

×= ;

оснбічповн

S2SS += ; похила:

aPS

ппбіч

×=

;

aSV

пп

×= , де

a

- бічне ребро,

пп

P - периметр,

пп

S - площа перпендикулярного перерізу.

Циліндр

HRV

2

π= ;

RH2S

біч

π= ;

()

RHR2S

повн

+π= .

Сфера і куля

3

R

3

4

V

π=

- об’єм кулі;

2

R4S π= - площа сфери.

Кульовий сегмент

()

3

H

RHV

2

−π=

;

RH2S π= .

O

H

443

Комплексні числа. Коротка довідка

Комплексним числом називається число виду а+bi, де a,b∈R, i

i

2

=-1. Число a називається дійсною частиною, а число b уявною час-

тиною комплексного числа. Число

“ i ” таке, що i

2

=-1 називається

уявною одиницею.

Числа

а+bi та с+di називаються рівними, якщо а=с і b=d.

Сумою двох комплексних чисел

а+bi і с+di є число

(

а+с)+(b+d)i.

Різницею двох комплексних чисел

а+bi і с+di є комплексне

число

(а-с)+(b-d)i.

Добутком двох комплексних чисел

а+bi і с+di є комплексне

число

(ас-bd)+(аd+bс)i.

Числа

а+bi та а-bi називаються комплексно-спряженими і

добуток

(а+bi)·(а-bi)=а

2

-b

2

є дійсне число.

Часткою двох комплексних чисел

а+bi і с+di є комплексне

число

i

dc

adcb

dc

bdac

dic

bia

2222

+

−

+

=

+

.

Вираз

bia + називається модулем комплексного числа і

позначається |

a+bi| або r. На малюнку r=|a+bi|=|OM|.

Комплексні числа зображаються на координатній площині.

Кут φ між віссю

Ох і відрізком ОМ, де

точка

М зображає комплексне число

a+bi, називається аргументом ком-

плексного числа

a+bi.

З прямокутного трикутника ОМ

1

М

запишемо

a=rcos φ, b=rsin φ, і тоді

комплексне число

a+bi =rcos φ+іrsin

φ=r(cos φ+і sin φ). Такий запис

називається тригонометричною формою комплексного числа.

З означення добутку комплексних чисел та враховуючи три-

гонометричну форму комплексного числа, виводиться формула для

степеня комплексного числа (a+bi)

m

=r

m

(cosm φ+і sinm φ).

В випадку, якщо

m – ціле число і r=1 одержуємо формулу Му-

авра:

(a+bi)

m

=cosm φ+і sinm φ.

Комплексне число можна подати і в показниковій формі, ви-

користовуючи формулу Ейлера (

е

іϕ

=cos φ+і sin φ):

a+bi =r(cos φ+і sin φ) = rе

іϕ

.

М

1

φ

у

b

а

О х

М

444

Графіки деяких елементарних функцій

O

х

y

2.

Па

р

а

бо

ла

O

х

y

3. Кубічна парабола

3

-1

1

у=е

-

х

у=е

х

1

у

О

х

4. Графіки показникових функцій

у=е

х

і у=е

–х

α

х

O

y

1. Графік функції у=kx+b

k

=tgα

b

445

-

2

π

y

х

y=sinx

y=cosx

1

-

1

-

π

O

7. Графіки тригонометричних функцій

у=sinx і y=cosx

y=arccosx

y

1

-

1

π

O

х

y=arcsinx

2

π

−

y

1

-

1

O

х

2

π

8. Графіки обернених тригонометричних

функцій у=arcsinx і y=arccosx

х

O

y

5. Гіпербола

х

1

у =

х

O

y

6. Графік функції

2

х

1

у =

446

x

y

O

π

-

π

-

2

π

y=ctgx

y=tgx

11. Графіки тригонометричних функцій

у=tgx і y=ctgx

2

π

y

2

π

−

O

х

y=arctgx

π

2

π

y

O

х

y=arсctgx

12. Графіки обернених тригонометричних

функцій

у=arctgx і y=arcctgx

1

е

у

О

х

9. Логарифмічна крива у=lnx

-1

1

у

О

х

10. Графік степеневої функції

у=2

х

447

Рівень

інфляції, %

А

В

6

4

2

6

4

2

О

Рівень безробіття, %

Крива Філіпса показує

компроміс

між інфляці-

єю і безробіттям. Дер-

жава може певними за-

ходами знизити рівень

безробіття, але, як на-

слідок, розширюючи

загальний попит. Проте

напруга, яка виникає на

ринку праці і товарів,

створює умови росту

заробітної плати і росту

цін,

а відповідно і рост

у

інфляції.

Крива Лаффера. Пока-

зує залежність між ста-

вками податку і надхо-

дженнями в бюджет

Ідея: По мірі зростання

податкової ставки від 0

до 100% податкові над-

ходження будуть зрос-

тати

від

н

у

ля

до

певного

максимального рівня, а

потім

зменшуватимуть-

ся до нуля.

Ставка податку, %

D

max

75

50

25

О

Доходи бюджету

100

x

o

448

Криві Торнквіста, засновані на законі Енгеля прогнозують міс-

ткість ринку в залежності від рівня середніх доходів на лю-

дину. Відповідно до даного підходу вся сукупність товарів і

послуг може бути класифікована на 3 основні групи.

I) Залежність місткості ринку від рівня доходів по групі това-

рів першої необхідності має вигляд:

bІ

1

аеЕЕ

−

−= (крива 1);

де

Е - місткість ринку досліджуваної групи товарів чи послуг;

Е

l

- верхня межа споживання товарів першої необхідності;

II) Залежність місткості ринку від середнього доходу на лю-

дину для товарів другої групи необхідності має вигляд:

)ІІ(b

ІІ

2

аеЕЕ

−−

−= (крива 2). При цьому попит на дану групу

товарів виникає після того, як дохід досягає визначеного розміру,

після якого виникає можливість придбання товарів даної групи.

де

Е

ІІ

- верхня межа споживання товарів другої необхідності;

І

2

- граничне значення доходу; а, b - параметри регресії; а > 0, b > 0.

III) Предмети розкоші, споживання яких не має верхньої

межі, у міру зростання доходів зростає більш швидкими те-

мпами і виникає після того, як дохід перевищує нижнє гра-

ничне значення, до досягнення якого можливість здобувати

товари даної групи відсутня. Крива місткості ринку товарів

розкоші має опуклу форму й описується функціональною

залежністю:

n

3

)ІІ(аЕ −=

(крива 3);

де I

3

- граничне значення доходу; при I > I

3

місткість ринку Е=0;

n - показник ступеня, n >2; а - параметр регресії, а >0.

Криві Торнквіста та Енгеля

2

а

Дохід

Місткість

ринку

1

3

449

Таблиця значень експоненціальних функцій

х

е

х

е

-х

х

е

х

е

-х

0

1

1,7

5,4739

0,1827

0,02 1,0202 0,9802 1,8 5,0496 0,1653

0,04 1,0408 0,9608 1,9 6,6859 0,1496

0,06 1,0618 0,9418 2,0 7,3891 0,1353

0,08 1,0833 0,9231 2,1 8,1662 0,1225

0,1 1,1052 0,9048 2,2 9,0250 0,1108

0,2 1,2214 0,8187 2,3 9,9742 0,1003

0,3 1,3499 0,7408 2,4 11,023 0,0907

0,4 1,4918 0,6703 2,5 12,182 0,0821

0,5 1,6487 0,6065 2,6 13,464 0,0743

0,6 1,8221 0,5488 2,7 14,880 0,0672

0,65 1,9155 0,5220 2,8 16,445 0,0608

0,7 2,0138 3,4966 2,9 18,174 0,055

0,75 2,1170 0,4724 3,0 20,086 0,0498

0,8 2,2255 0,4493 3,25 25,79 0,0388

0,85 2,3396 0,4274 3,5 33,115 0,0302

0,9 2,4596 0,4066 3,75 42,521 3,0235

0,95 2,5857 0,3867 4,0 54,598 0,0183

1,0 2,7183 0,3679 4,5 90,017 0,0111

1,1 3,0042 0,3329 5,0 148,41 0,067

1,2 3,3201 0,3012 6,0 403,43 0,0025

1,3 3,6693 0,2725 7,0 1096,6 0,0009

1,4 4,0552 0,2466 8,0 2981,0 0,0001

1,5 4,4817 0,2231 9,0 8103,1 0,0001

1,6 4,9530 0,2019 10,0 22026 0,00005

450

Таблиця відсотків рахунків накопичення

[]

i

1)i1(

S

n

i

n

−+

=

та ренти

[]

i

)i1(1

a

i

n

−

+−

=

і=0,5%= 0,05 і=1%= 0,01

n

(1+i)

n

(1+i)

n

1 1,005 0,99502 1,0 1 1,01 0,990099 1,0

2 1,0010025

1,98509 2,005 2 1,0201 1,970395 2,01

3 1,015075 2,97024 3,015025 3 1,030301 2,940985 3,0301

4 1,020151 3,95049 4,0301 4 1,040604 3,901966 4,060401

5 1,025251 4,925866 5,050251 5 1,05101 4,853431 5,101005

6 1,030378 5,896384

6,075502

^

6 1,06152 5,795476 6,152015

7 1,035529 6,862074 7,105879 7 1,072135 6,728195 7,2133535

8 1,040707 7,822959 8,141409 8 1,082857 7,651678 8,285671

9 1,045911 8,779064 9,182116 9 1,0933685

8,566018 9,368527

10

1,04114 9,730412 10,228026

1

0

1,104622 9,471305 10,462213

11

1,0563396

10,677027

11,279167

1

1,115668 10,367628

11,566835

12

1,061678 11,061893

12,335562

1

2

1,126825 11,255077

12,682503

13

1,066986 12,556151

13,339724

1

3

1,138093 12,13374 13,809328

14

1,072321 13,488708

14,464226

1

4

1,149474 13,003703

14,947421

15

1,077683 14,416625

15,536548

1

5

1,160969 13,865053

16,096896

16

1,083071 15,339925

16,61423

1

6

1,172579 14,717874

17,257864

17

1,088487 16,258632

17,697301

1

7

1,184304 15,562251

18,430443

18

1,093929 17,172768

18,785788

1

8

1,196147 16,398269

19,614748

19

1,099399

18,082335

8,082335

19,879717

1

9

1,208109 17,226008

20,810895

20

1,104896 18,987419

20,979113

2

0

1,22019

18,045553

8,045553

22,019004

21

1,11042 19,887979

22,084011

2

1

1,232392 18,856983

23,239194

22

1,115972 20,784059

23.194431

2

1,244716 19,660379

24,471586

23

1,121552 21,675681

24,310403

2

3

1,257163 20,455821

25.716302

24

1,12716 22,562866

25,431955

2

4

1,269735

21,243387

26,973405

i

n

a

i

n

a

i

n

S

i

n

S

Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.