Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Функціональні ряди. Степеневі ряди
221
Отримуємо, що
а
2т+\ =0. ОТ =0, 1, 2,
_ (2т-\)а
2т
(2)
Ьт+2
~(2т
+
\)(2т
+
2У
и
"
]
>
2
> -
Враховуючи, що
11 а
2
1 За
4
1-3
"
2
1-2 2!' °
4
3-4 4!' "
6
5-6 2! ' ""
перетворюємо
а
2т+2
до вигляду:
(2/и-І)!!
. .
«2ш+2 =7Г—« =
1,2,...
(2от + 2)!
Врахуємо також, що а
0
= а, = 0, а
2
=^, а
3
= 0.
Підставимо отримані значення коефіцієнтів у ряд (1) і отримуємо:
Я
,
) =
ІЕІ
+
У^1)!І
х
2.
+
2_
2 ^ (2от + 2)!
Отриманий ряд збігається при всіх ЇЄК (перевірте!).
Приклад 14. Розв'язати рівняння Бесселя
^ + — + ^ = 0.
х
• Загальний вигляд рівняння Бесселя
2'
'/2 2\ л
х у +ху +(х -V )у = 0 .
Перетворимо задане рівняння, помноживши обидві частини рівняння
на х
2
. Маємо
х
2
/ + х/ + х
2
^ = 0. - (1)
Отже, V = 0, V - ціле, тоді загальний розв'язок рівняння
у =
С
І
І
0
(х)
+ С
2
К
0
(х).
Враховуючи, що
(-1)"
^
0
Щ + 1)Щ + у + 1)'
К
ч
(х)
= І
х
(х)\пх + х~
у
1Ь
к
х
к
,
222
Глава
2.
Ряди
при
V = 0
маємо
(Г(к +1) = к\):
\2*
К
0
(х)
=
/
0
(х)1пх
+
^Ь
к
х
к
.
Коефіцієнти
Ь
к
знаходять
з
умови,
що К
0
(х)
задовольняє вихідне
диференціальне рівняння. Тобто знайшовши
К'
0
(х), К^(х),
підставимо
в
диференціальне рівняння
(1).
Далі, використовуючи метод невизначених
коефіцієнтів, знайдемо
Ь
к
.
Можна показати,
що
2
, / . \4 / ,ч , / . \6
А:
0
(х)
=
/
0
(х)1пх
+ —-
х
1
1 (х\
(2!)
2
+
2)
+
(3!)
2
(2Д
І +
2
+
3.
IV.
Задачі
для
практичних занять
Функціональні ряди
У задачах
2.81 - 2.92
знайти області збіжності заданих
функціональних рядів.
2.81.
оо 1
X—•
м =
1 X
2.82.
£іп"х.
2.83.
°° 1
V
2.84.
СЮ
1
2.83.
2-
2 , 2 •
„=)П
+Х
2.84.
СЮ
1
+ х" "
2.85.
оо П
~«
^ Л
^
1
4- У
2
" '
П
= \1
+
Х
2.86.
оо
І
2"
2.87.
^ ЗІП
ПХ
2-і 2
и=1
П
2.88.
І(3-х
2
Г.
и = 1
2.89.
1
у
1
2.90.
ОО
1
я = 1
«(Зх-4)"
2.89.
я
=і,і(х-3)
я
'
2.90.
ОО
1
я = 1
5"
2.91. У ЗІП
.
п=1
^
2.92.
оо
І
и=1
ґ,-
+
1
«2"
\
§2.
Функціональні ряди. Степеневі ряди
223
У задачах 2.93 - 2.99 довести рівномірну збіжність зада-
них функціональних рядів у зазначених проміжках.
_ ^ зіп
пх
2.93.Х
Г-'
(—,+-)•
и
=і п\
2.94. У —, (-оо, +оо).
ТІ п
„ ... ^ соз
пх
. .
2
'
95
-1^Т-'
(-оо,+оо).
77=1
2
-
96
-І4'
[-1.Ч-
„=1
П
2.97. І
1
(-00,+ос).
я
=іл
2
[1+ ("*)]
2.98.
Х-у^,
(—, +оо).
„=іХ +п
2.99. X } , (0,+-).
„=іЗ"7і + «х
Степеневі ряди
У задачах 2.100 - 2.122 знайти області збіжності заданих
степеневих рядів.
оо
оо П
2.100. ^10"
х"
. 2.101. Х(-1) —
•
77 = 1
И
=
1
П
оа
її оо
2.102.
У—-—
г
.
2.103. Уп\х
п
.
77 = 1
„
=
1
оо
оо / 1
477+1
„2/7-1
2.104.
Х2""'х
2(
"-
1)
.
2.105. X-
«=,
~,(2и-1)(2и-1)!
2.106. У
Х
" • 2.107. х".
224
Глава 2. Ряди
2.108. X
1
+
-
п)
„2 „2
2Л10.
£<=]>"*"
2.109. ^5" х" .
л=1
• (ПХ)"
»=,
2"+1
2.111.
2
V
2
/
2.112.2
2.114. V
^ГЖ.
п-5"
2.116.
У^Ц^-
„=,
я
2
2"
2.Щ. £
(
-
1)И(Х
-
4)
^
и = 1 2,7-1
~,(2и + 1)!
2.113. У
~,(«
2
+ 3)3"
2.115. £
ОО
2.117. 2
оо
2.119. 2
(х-1)
2п
„=,(« +1)9"
(-1)"
+1
(3х
+ 2)
й
„7/,
(я
2
+1)2"
(2л:+ 1)"
я=1
3/7 + 2
2.120.
2^^
(2я)!
2.121.
2(^
+ 1)"ї§
л=і
4п
«
3
+1
2.122. 2(х +
1)"агс1
8
"-1-1і.
„=і « +2
У задачах 2.123 - 2.132 знайти суми заданих рядів, вико-
ристовуючи почленне диференціювання та інтегрування.
2.123. 2
ОО
2.125. 2
х
2.124. У(-І)"-
1
—.
п=1 П
х
2
"-
]
и
=і2я-1
2.127.
2("
+ 1)^
и=0
2.126.
2(-іГ'^-
л
=і 2л-1
оо
2.128.2(~1)'
М
(2и-1)х
л=1
2л-2
§2,
Функціональні ряди. Степеневі ряди
225
2.129. 5>(и+1)*"
-1
. 2.130. 2(и+1)*
2л+1
.
2.131.
X її (х - З)"
-1
. 2.132. Х
(
" ^
У задачах 2.133 - 2.140 знайти суми заданих рядів, вико-
ристовуючи відповідні степеневі ряди.
2.133.2-!-.
2.134.2
~п-3"
-(2Л-1И
2
"-
1
оо
/
1\/7—1
оо
>-\П
2.135.
Р^—.
2.136. У—.
и=1
2,7-1
„7л>5"
2.Ш. £ " • 2.138.2^.
„ = 2
«(и-1)-2
„=і 2
~ 2,7-1 пил V-
2.139. У—^—. 2.140. У
£ 2" ^ (2,7-1)3"-'
У задачах 2.141 - 2.152 розкласти в ряд Тейлора задані
функції.
2.141.
/(х)=1пх
за степенями (х-1) .
2.142.
/(х)=-^-
за степенями
(х+1).
X
2.143.
/(х)=—
за степенями (х-3) .
х
7ІХ
2.144.
/(х)=8Іп—
за степенями
(х-2).
4
2.145.
/(х)=л/х
за степенями
(х-1).
2.146. /(х)-е
х
за степенями
(х+2).
2.147.
/(х)=——і
за степенями
(х+2).
х
2
+4х+7
226
Глава 2. Ряди
2 (
ТС
Л
2.148. Дх)=соз х за степенями х— .
2.149. Дх)=—ї— за степенями (х+2).
4+Зх
2.150. Дх)=—-— за степенями (х-3).
5+2х
2.151.
Дх)=1п(5х+3) за степенями (х-1).
_1_
х'-2х+2
У задачах 2.153 - 2.156 розкласти задані функції в ряд
Маклорена (за степенями х).
2.153.
Дх)=сЬх. 2.154. Дх) = хV.
2.152. Дх)=1п
2
—- за степенями (х-1).
2.155. /•(*)=<?*зіпх. 2.156. Дх)=Ш— .
V
1-х
У задачах 2.157-2.159 розкласти задані функції за степе-
нями х, використовуючи відомі розклади функцій е
х
, зіпх,
соз х,
1п (1
+ х), (1 + х)
т
в ряд Маклорена.
2.157.а) Дх)=е
2х
; б) Дх)=^
2
;
X
в) Дх)=хе~
2х
; г) Дх)=хе
2
;
д)/(*)=*V; е) Дх)=^(1+х).
х
2.158. а) Дх)=зіп
—;
б) Дх)=зіп2х ;
в)Дх)=^
Х
-; г)Дх)=соз
2
х;
х
Д)
Дх) =
(х-І£х)С05Х.
2.159. а)
Дх)=4ї+~х
2
; б) ;
л/4-х
2
§2.
Функціональні
ряди.
Степеневі ряди
227
в)
Дх)=^7;
г) /(*)=
1
=;
У1+х
3
Д)
/(*)=-
'л/ї^х
7
'
У задачах 2.160 - 2.170 знайти границі, використовуючи
розклади функцій в ряд Маклорена.
2.160. Ііт
х->0
х -
агсІ§
х
2.162.
1іт
2а8*-
5
іпх)-х
2.164. Ііт
х~*0
- ..
1-С05Х
2.161.
Ііт .
е
х
-1-х
. ,,, .. х+1п(л/1+х
2
-х)
2.163.
Ііт —г
х->0 X
І
1п(1+х + х
2
) + 1п(1-х + х
2
)
х{е
х
-\)
2.165. Ііт
х->0
(
1
2 '
2.166. Ііт
2 + СОЗХ
2.167. Ііт
X
—>
°°
х-х ІпІІн— 2.168. Ііт
х->0
*->о
|^ х
3
зіпх х
4
^ 1
сі§
х
А
2.169. Ііт
х->0
2.170. Ііт
1
+ х созх
1§
4
х
(1
+ х)е~*-(1-;с)е
л
*
-»о
агсзіп х - агсі§ х
2.171.
Обчислити наближене значення взявши три
члени розкладу в ряд Маклорена функції /(х) = е
х
, та оцінити
похибку.
2.172. Обчислити наближене значення зіп
18°
, взявши три
члени розкладу в ряд Маклорена функції /(х) = зіпх, та оціни-
ти похибку.
У задачах 2.173 - 2.178 обчислити вказані вирази з зада-
ною точністю, використовуючи відомі розклади відповідних
функцій в ряд Маклорена.
228
Глава 2. Ряди
2.173.
а) е
2
з точністю до 0,001;
б) 4е з точністю до 0,001;
в)
—
з точністю до 0,0001.
е
2.174. а) зіп
1°
з точністю до 0,0001;
б) созі
0
з точністю до 0,001;
в) соз
10°
з точністю до 0,0001.
2.175. а) л/30 з точністю до 0,001;
б) V500 з точністю до 0,001;
в)
ЧЇ5Ь
з точністю до 0,0001.
2.176. а) ІпЗ з точністю до 0,0001;
б)
1п
1,3 з точністю до 0,0001;
в) 1§5 з точністю до 0,0001.
2.177. агсзіп з точністю до 0,0001.
2.178. агсіе
—
з точністю до 0,0001.
2
У задачах 2.179,2.180 для заданих рівнянь /(х, у) = 0 знай-
ти розклади функції у{х) у ряд Маклорена (за степенями х).
Для знаходження коефіцієнтів ряду використати:
а) метод невизначених коефіцієнтів,
б) послідовне диференціювання.
У задачах 2.181-2.185 виразити у формі ряду
задані"
інтег-
рали, використовуючи розклади в ряд підінтегральних функцій;
вказати області збіжності отриманих рядів.
2.179. ху
+
е
х
= у.
2.180. у = \&(\
+
х)-ху.
о
§2.
Функціональні ряди. Степеневі ряди
229
2.183.
)^^сіх
о
х
І
] ^
0
V
х
СІХ
2.184. а) ] ; б)
}л/і
+ х
3
</х .
ол/і-х
4
о
2.185. }
:
2.186. Обчислити наближене значення заданих інтегралів,
взявши вказане число членів розкладу підінтегральної функції
в ряд Маклорена. Вказати похибку.
тс/4
1/4
- СОЗ X ,
ч
^ '
г
_
г
2
а) | с/х (3 члени); б)
х
сіх (З члени);
тс/6
Х
V
в)
І
— сіх (6 членів).
0,1
х
У задачах 2.187-2.191 обчислити з точністю до 0,001 зада-
ні інтеграли.
2.187. а)
1^-сіх;
б)
|<Г*
ах.
0,1
*
о
0,8
1/4 тс/4
2.188. а) |х
|0
зіпхах; б)
]"
зіпх
2
ох; в) І сіх.
0
0
я/6
Х
°<
5
сіх „ V сіх
2.1»..)
6,) *
о
1 + х
о
л/1
+ х
2.190. | —
ах.
2.191. |—-
сіх
.
о
х
о
х
2.192. Знайти шість перших членів розкладу в степеневий ряд
розв'язку диференціального рівняння у -(1 + х )у = 0, яке за-
довольняє задані початкові умови у(0) = -2, у'(0) = 2.
230
Глава 2. Ряди
2.193.
Знайти дев'ять перших членів розкладу в степене-
вий ряд розв'язку диференціального рівняння у" = х
2
у
—
у', що
задовольняє задані початкові умови у(0) = 1, У(0) = 0.
2.194. Записати у вигляді степеневого ряду частинний роз-
в'язок диференціального рівняння у" - ху'
+
у - \ - 0 , що задо-
вольняє початкові умови у(0) = 0, у'(0) = 0.
2.195. Записати у вигляді степеневого ряду загальний роз-
в'язок заданого диференціального рівняння (обмежитись шість-
ма першими членами).
а)у"=уе
х
; б) у"+ху'-х
2
у = 0.
У задачах 2.196 - 2.198 знайти три перших (відмінних від
нуля) члени розкладу в степеневий ряд розв'язків диференціаль-
них рівнянь, що задовольняють задані початкові умови.
2.196. а) у = ху +
1п
(х + у), у(\) = 0 ;
б) у' = 2х + соз у, у(0) - 0;
в) 2у'-(х + у)у-е
х
= 0, у(0) = 2.
2.197. а) у" = х
2
+у
2
, Я-1) =
0,/(-1)
= 0;
б) /
=
(У)
2
+
ху - 2х, у(2) = 0, /(2) = 2.
2.198. у'=
у*
+
(У)
2
+ / + 2х, у(0) =
0,
У(0) =
1,
/(0) = 0.
У задачах 2.199 - 2.200 знайти п'ять перших членів роз-
кладу в степеневий ряд розв'язків диференціальних рівнянь, що
задовольняють задані початкові умови.
2.199.
а) У=2созх-хУ, у(0)
=
\;
б) у'
=
х
2
+у
2
, у(0)
=
\;
в) у'=2х-у, у(0)
=
2.
2.200. а) у'=-2ху, д;(0)
=
У(0) = 1;
б) у'=усоах
+
х, ^(0) =
1,У(0)
=
0;
в)
У+У
= х
2
у, Я0)
=
1,У(0)
= 0.
У задачах 2.201 - 2.210 розв'язати рівняння Бесселя.