Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§3.

Ряди Фур'є

231

2.201.

2.202.

2.203.

2.204.

2.205.

2.206.

2.207.

2.208.

2.209.

2.210.

2 » '

х у +ху +

—

у"+ху'+^х

-^у

V-І

[у =

2 * /

х з> +х_у +

у +-у

:У=°-

х 9

" 1 ' А ґ\

у +-у +4у

/-2х/+4(х

-1)^ = 0

„1,1 .

ху +—у +

—

у =

2 4

ж 5 / _

.у +—у +у

* 3 , . ~

>> +—.у +4у = 0.

§3.

Ряди Фур'є

/. Короткі теоретичні відомості

РЯД

Фур'с для періодичної функції з періодом 2л

Тригонометричним рядом називається ряд вигляду

+ 2(

л со$пх + Ь

зіпга;),

п=\

(2.31)

де а

,а„,Ь

- задані числа, я =

1,2,....

Рядом Фур'є періодичної функції /(х) з періодом 2к , визначеної на

відрізку [-л,тс], називається ряд

232

Глава 2. Ряди

—

1(а„со5пх

+ Ь

5тпх), (2.32)

2 „_і

де

^ ТС | тс ^ тс

=—

Г/(х)сіх,

а„ =— Г/(х)созлхах, /3 =— ГДх)зіп»гхс&, (2.33)

тг * тг * тг

-ТС -71 -ТС

« =

1,2,....

Числа а

,а

,Ь

, визначені формулами (2.33), називаються коефіцієн-

тами Фур 'є.

Якщо ряд (2.32) збігається, то його сума 8(х) є періодичною функці-

єю з періодом 2л , тобто

5>(х

+ 2л) = 5(х).

Теорема 1. Якщо функцію Дх) можна подати на відрізку

[-л,л]

вигляді рівномірно збіжного на цьому відрізку тригонометричного ряду, то

цей ряд єдиний і є рядом Фур'є для функції Дх).

Теорема 2 (Діріхле). Якщо функція /(х) кусково-гладка на відрізку

[-л, л], то її ряд Фур'є збігається в кожній точці х цього відрізка, причому

сума цього ряду 5(х) задовольняє такі умови:

1) 5(х) = Дх), якщо -л < х < л і х є точкою неперервності функції

/00;

чч с/ ч Д*-0) + /(Х + О)

2) 5(х) = , якщо -л < х < л і х є точкою розриву

функції Дх);

3) 5(л) = 5(-л)^

(

Л + 0)

Нагадаємо, що кусково-гладкою на відрізку [а,Ь] називається кусково-

неперервна функція, що має неперервну похідну в усіх точках, за виключен-

ням їх скінченного числа, в яких вона має розрив першого роду.

Теорема Діріхле дає достатню умову розкладання періодичної функ-

ції /(х) з періодом 2л в ряд Фур'є.

Згідно з теоремою 2, у точках неперервності функції

а °°

/{х) = — +

1(а

со%т+Ь„%тпх).

(2.34)

2 л=і

Якщо функція Дх) парна на відрізку [-л,л], то її ряд Фур'є має

вигляд

Дх)=^ +

|>„соз.7х,

(2.35)

§3.

Ряди Фур'є

233

де

—)/(х)ах, а,

(2.36)

Якщо функція /(х) непарна на відрізку [-л, л], то її ряд Фур'є має

вигляд

Якщо функція /(х) задана на відрізку [0, л], то, для розкладання в

ряд Фур'є, цю функцію довизначають на відрізку

[-л,0]

довільним чином,

а потім розкладають її в ряд Фур'є на відрізку [-Л,л]. Найбільш доцільно

довизначати цю функцію так, щоб виконувалась одна з двох умов:

1) /(—х) = /(х). У цьому випадку кажуть, що функція /їх) довиз-

начена парним чином. Для її розкладання в ряд Фур'є використовуються

формули (2.35), (2.36). Кажуть також, що функція /(х) розкладена в ряд

Фур'є по косинусах.

2) /(-х) =-/(х). У цьому випадку кажуть, що функція /(х) дови-

значена непарним чином. Для її розкладання в ряд Фур'є використовуються

формули (2.37), (2.38). Кажуть також, що функція /(х) розкладена в ряд

Фур'є по синусах.

Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом 21

Рядом Фур'є періодичної функції /(х) з періодом 21, визначеної на

відрізку [-/, /], називається ряд

/(х)

^Ь

,5тпх,

(2.37)

де

(2.38)

(2.39)

Числа

,а„,Ь„,

визначені формулами (2.40), називаються коефіцієн-

тами Фур 'є.

234

Глава 2, Ряди

Має місце теорема Діріхле, аналогічна теоремі 2, що дає достатню

умову подання функції, періодичної з періодом 2/, у вигляді ряду Фур'є.

Згідно з цією теоремою, в точках неперервності функції маємо:

/(*) = у + 2,1

п с«5 — + Ь

81П —

Якщо функція /(х) парна на відрізку [-/,

/],

то її ряд Фур'є має вигляд

Д*) =

-^+І«

С08^,

(2.42)

* и=1 '

де

21 2

кпх

7ІЛ

)

а6с

я = -|/(*)«»—<& . (2.43)

'о 'о

Якщо функція Дх) непарна на відрізку [—/,/], то її ряд Фур'є має

вигляд

Д*) =

£б

8Іп^,

(2.44)

л=1 '

де

=у}д*)8іп-^Л. (2.45)

Якщо функція /(х) задана на відрізку [0, /], то для її розкладання в

ряд Фур'є виконують процедури аналогічні випадку задання функції на відріз-

ку [0,

тс].

При цьому при довизначенні функції парним чином ( /(-х) = /(х))

користуються формулами (2.42), (2.43), а непарним чином ( /(—х) = —/(х) ) -

формулами (2.44), (2.45). У результаті отримуємо розкладання функції Дх)

в ряд Фур'є по косинусах та синусах відповідно.

Ряд Фур'є в комплексній формі

Комплексна форма ряду Фур'є на відрізку [-тс,

тс]

має вигляд

Ях)=%С„е

,пх

, (2.46)

л=-°°

ДЄ

=— \/(х)е-

Іпх

сіх, л = 0,±1,±2,.... (2.47)

(2.41)

§3.

Ряди Фур'є

235

де

Аналогічно, комплексна форма раду Фур'є на відрізку [-/, /] має вигляд

Дх) = 1С

е ' , (2.48)

С„= —_[/(х)е ' ах, и=0,±1,±2,....

(2.49)

Інтеграл Фур'є. Перетворення Фур'є

Вважатимемо, що функція /(х) задовольняє такі умови:

1) визначена на всій числовій осі,

2) кусково-гладка на будь-якому скінченному проміжку,

3) абсолютно інтегровна на всій числовій осі, тобто || /(х)\сіх збі-

іається.

Тоді в точках неперервності функції /(х) має місце формула

Дх) = — \[а"а ]Д0соза(>-х)сЛ,

— °°

яка називається інтегральною формулою Фур 'є.

Формула (2.50) може бути записана у вигляді

(2.50)

°°

| ДО сов а/Л

СОЗОСХ

ДО зіп ос/Л

зіпосх

сіа. (2.51)

Вираз, що стоїть справа у формулі (2.50) або (2.51), називається інтег-

ралом Фур 'є.

Для випадків, коли функція /(х) парна, або непарна, вигляд форму-

ли (2.51), а отже і інтеграл Фур'є, спрощується.

Якщо функція /(х) - парна, то

/(*) = - \

]

Д/)С05СС/<Л

Якщо функція /(х) - непарна, то

|/(Окіп

а/Л

соз ах сіа.

зіп

оос

сіа.

(2.52)

(2.53)

236

Глава

Ряди

Інтеграл Фур'є може бути представлено

комплексній формі

ж>=^{

[те-*" А

іах

сіа.

(2.54)

З формулами (2.52), (2.53), (2.54) пов'язані інтегральні перетворен-

ня Фур'є.

Косинус-перетворення Фур'є

(для

парних функцій):

Рс (а) =

|— ] /(/)

соз

аі А

(пряме), (2.55)

/(х)

.І—

\Р

(а)со%ахсіа

(обернене). (2.56)

\к о

Синус-перетворення Фур'є

(для

непарних функцій):

(а) =

\—

\/(і)5таісі(

(пряме), (2.57)

\тс

/(*) = ,/— ІРг (а)

зіп ссе

і/а

(обернене). (2.58)

Перетворення

Фур 'є

загального вигляду:

°°

/г(а)

= -==

\/(і)е~

,ш

(пряме), (2.59)

л/2я

_і

/(х)

= -у=

\Р(а)е

іах

сіа

(обернене). (2.60)

V2л

Л,

/У.

Контрольні питання

та

завдання

Дайте означення тригонометричного ряду.

Дайте означення тригонометричного ряду Фур'є

для

періодичної функції

періодом 2

тс.

Сформулюйте теорему Діріхле,

що дає

достатні умови

розкладання

ряд Фур'є періодичної функції

періодом

2тс.

Запишіть ряд Фур'є для функції

/(х),

парної

на

відріз-

ку [-тс,

тс];

непарної

на

відрізку [-тс,

тг].

За якими правилами розкладається

ряд Фур'є функція

/(х),

задана

на

відрізку [0,

тс]

§3.

Ряди Фур'є

237

6. За якими формулами визначаються коефіцієнти Фур'є

для періодичної функції /(х) з періодом

? Який вигляд має

ряд Фур'є для такої функції?

Запишіть ряд Фур'є для функції /(х), парної на відріз-

ку [-/,

/];

непарної на відрізку [-/, /].

8. За якими правилами розкладається в ряд Фур'є функція

/(х),

задана на відрізку [0, /] ?

9. Наведіть комплексну форму ряду Фур'є для функції періо-

дичної з періодом 2тс; для функції періодичної з періодом 21.

10.

За яких умов має місце інтегральна формула Фур'є? На-

ведіть цю формулу.

11.

Який вигляд має інтеграл Фур'є для випадку, коли /(х) -

парна функція; /(х) - непарна функція?

12.

Який вигляд має інтеграл Фур'є в комплексній формі?

13.

Наведіть косинус-перетворення Фур'є, синус-перетво-

рення Фур'є.

14.

Наведіть перетворення Фур'є загального вигляду.

///. Приклади розв 'язання задач

У цьому пункті розглянуто 16 прикладів розв'язання за-

дач,

які за своєю тематикою розподілились так:

Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом 2

тс:

приклади 1-6.

Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом 21:

приклади 7-10.

Ряд Фур'є в комплексній формі: приклади 11, 12.

Інтеграл Фур'є. Перетворення Фур'є: приклади 13 - 16.

При розгляданні прикладів розкладання функцій в ряд Фур'є, для зна-

ходження коефіцієнтів Фур'є приходимо до обчислення інтегралів частина-

ми,

або іншими прийомами, вивченими раніше.

У процесі обчислення інтегралів можливе звертання до довідкового

матеріалу, який наводимо для зручності нижче.

238

Глава

Ряди

Г її

зіп Ах

1 , _

хсозкхах

= х

н—г-созкх+С.

* к

г • , г

со&кх

1 . , „

хзіплхах--х г--^-зіплх

+ С .

* к

„

Г 2 , , 2

5ІП/ІС

2 ^

СОзАх

1 . , "\

созАхох

= х \-х

1-—-ЗІПЛХ

\+С .

к к{ к к

)

г 2 • , , 2

соз Ах

2 (

зіп

Ах

1 , "\ _

\х

зіпАхях

= -х \-—\х

І-^Т-СОЗАХ

\+С.

к к{ к к

)

ах

созЬхсіх

= —

-(/>5Іп/Зх

асоз/Зх)

+ С .

+Ь

ах

\е

ах

зіп Ьх

сіх

—г -(азіп/Зх-/>соз/Зх)

+ С.

+/3

соз ах

соз/>х

ах =—-

—

+—

— + С,

\а\ф\Ь\.

2(а + Ь)

2(а-Ь)

' ' ' '

Г • . .

зіп(а

/У)х зіп(а-/У)х

_ , , ,,,

зіп ах

зіп

Ьх

сіх

= - — + —- — + С,

\а\ф\Ь\.

2(а + Ь)

2(а-Ь)

г . , ,

со5іаї-о;х

слкца-оїх

, , ,,.

зіп ах

соз

Ьх

сіх

- — + С,

\а\ф\Ь\

2(а + Ь)

2(а-Ь)

1 1 1 1

Нагадаємо також,

що

1, к = 2«,

созАл

= (-1) -<

5ІпАтт

= 0.

[-1,

=2/7

+ 1;

Наведемо значення деяких визначених інтегралів.

тс

|СОЗ/7ХС05//7ХЙХ

= 0, пФт. 2.

|зіп/7хзіп/ихах

= 0, пфт.

-тс

3. |зІП/7ХС08//7ХЙХ = 0,

\//7,/77ЄІЧ.

-я

7С

|со5ихах

= 0, иє N. 5.

|зіп/тхах=0,

иє N.

-тс

тс

соз

ихах

тс,

иє N. 7.

|зіп

/тхах

= я, «є N

-тс

-ІС

тс

|іах = 2я.

§3.

Ряди Фур'с

239

Ряд Фур'є для періодичної функції з періодом 2тс

Приклад 1. Розкласти в ряд Фур'є функцію, одержану пе-

ріодичним продовженням функції

[2,

-тс<х<0,

/(*) =

' [-1,

0<Х<7С

на всю числову вісь (період Т = 2тх).

• Наведемо графік функції, одержаної періодичним продовженням

функції /(х) на всю числову вісь.

А/оо

-2л

-тс

-1

2тс

Зл

4л

Рис.2.1

Функція /(х) - кусково-гладка, тобто обмежена та має обмежену

першу похідну, тому її ряд Фур'є у точках неперервності збігатиметься до

цієї функції (теорема Діріхле).

Підрахуємо коефіцієнти Фур'є:

, к ,о , ті

=- [Дх)Л=- \2ах + -$-$ах = 2-] = \,

я . тс л„

-тс -іс 0

| ті | 0 | я

а„ = — | /(х)со8«хах = — |2созихахн—|(-1)со5ихоЬс = 0,

-ті

-тс

І ті ^ 0 ] тс

=— \ /(х)$тпхах = — [2$іпихах + — [(-і)5Іпихох =

тс

пі

-ті -ті 0

= со&пх

пп

Н С05Л7Х

ЛП

= - — (]-(-1)") + —((-І)" -1) =

л п пп

пп

-0-(-!)") =

——-0 = 0,

ли

и - парне,

З . 6

2 = , п - непарне.

пп пп

240

Глава 2. Ряди

Отже,

„

= 0, />,„_, = •

л(2л-1)

Підставимо отримані коефіцієнти в ряд Фур'є, вигляд якого такий:

— +

С08ях

+ 6„ віплх).

Одержимо ряд Фур'є, суму якого позначимо 5(х):

^) = \~ -

ІТТ-Цг

«п(2й - 1)х .

2 я

л=1

(2л-1)

Згідно з теоремою Діріхле

5(х) = /(х), хє (-я, 0)11(0, я),

х - точка неперервності функції. У точці розриву х = 0, що є точкою роз-

риву першого роду, та на кінцях проміжку маємо:

(0)=

/(0-0) + /(0 + 0)

2 + (-1)

2 2 2'

2 2 2

Отже,

Дх)

Ітг-Цг

5іп(2« - 1)х , х є (-я, 0) І) (0, я),

2 я„

,(2л-1)

а в точках х = -я, х = 0, х = я сума ряду 5(х) = .

Приклад 2. Розкласти функцію

[0,

- к < х < 0,

[х,

0 < х <

в ряд Фур'є на проміжку (-тс, тт) . Скориставшись одержаним

рядом, обчислити суму ряду 2"

•

я=

і(2л-1)

• Зобразимо задану функцію та її періодичне продовження на всю

числову вісь на рис.2.2.