Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§
І.
Комплексні числа
291
о
-
О
^
а "х
-і
о
а)
б)
Іт —- = 0.
2+1
б)
Рис.3.10
Виконаємо перетворення лівої частини рівності:
2 + 1
Х+Іу+\
(Х+1) + Іу
(х+Ц^+у
1
.
X
і
-1 + у
1
+ і(ху + у-ху + у)
=
Іт
-V-—4—-——
= 1т
' х
2
+у
2
-\
(х+1)
2
+ у
2
2у
{(х+1)
2
+у
2
(х +
\)
2
+у
2
)
Отже,
Іт
:
2у
2 + 1
(
Х
+\)
2
+у
2
'
Враховуючи умову, маємо
2
У
(х +
\)
2
+у
2
=
0,
тобго
(х
+
1)
2
+ у
2
*0.
\(х
+ \у
Маємо
всю
дійсну вісь, крім точки
х = -1 на ній
(рис.З.ІОб).
А
IV. Задачі для практичних занять
3.1.
Знайти суму
і
добуток заданих комплексних чисел.
а)
2, = 4 +
5/,
2
2
=
3
- 2і;
б) 2,
=Л/2-Л/3/,
2
2
=Л/2+Л/3/.
3.2.
Знайти різницю
та
частку заданих комплексних чисел.
а)
2, =
1
- 2і, 2
2
=
0,6;
б)
2, =
л/5
- /, 2
2
=
л/5
- 2і-
292
Глава 3. Функції комплексної змінної
3.3.
Знайти уявну частину заданого комплексного числа.
2-
а) 7 = (2-/)
3
(2 + 11/);
ч
5 + 2/ 3-4/ 1
в) 2- •
2-5/
4 + 3/ /
3.4. Виконати вказані дії.
б) 2 =
3/
+/
6
-
1 + 4/
а) у"
+ /
18
+ /
19
+ /
20
;
б) 2/
(\ 7з.
- + —
І
2 2
V
1 л/З .
+ —
/
2 2
1+/
1-і
в) +
-
13
+ 12/
(1
+ 2/)
г) — - +
з
1-/
1
+ /" -8 + 6/ 2 + і
У задачах 3.5 - 3.7 виконати вказані операції, представив-
ши результат в алгебраїчній формі.
3.5.
а) (2 + 3/)(3-/) +
(1
+ 2/)
2
;
б) (1-/)
3
-(1 + /)
3
; в) (2/-/
2
)
2
+(1-3/)
3
.
3.6. а)
1
•
+
-
1
1
+ 4/ 4-і
б)
(1-і
1
+ /
^
ч
(і+/)(3+/)
(і-о(3-о
Г/
5
+2
3.7. а)
(-3 + 2/)
2
(1-і)
3
3
+ /
+ 2/ -
5
; б)
/
,0
+
1
(-1 + і)
3
-(2 + /)
3
(1-2/)
2
3.8.
Знайти дійсні розв'язки заданих рівнянь.
а) (3-і> +
(1
+ Зі> = 1-7і;
б) (Зх - /)(2 + /) + (х -1»(1 + 2і) =
5
+ 6/;
в)
12
((2х +1)(1 +1) + (х +
У0(3
- 2/)) = 17 + 6/;
г) (х-іу)(а-іЬ) = і
5
, а,Ье К, .
3.9. Визначити, за яких дійсних значень х та у комплекс-
ні числа 2| та г
2
рівні.
2 2
2,
= у -7у + 9хі, 22 =
—12
+ 20і + х і.
§
1,
Комплексні числа
293
3.10.
Визначити, за яких дійсних значень х та у комплекс-
ні числа
2,
та
2
2
спряжені.
а)
2,
=8х
2
-20і
9
,
2
2
= 9х
2
-4 + ІО.у/
3
;
б) г
х
= -3 + іх
2
у , 2
Г
= X
і
+ у + 4/ .
3.11.
Обчислити задані вирази.
а) 2
Х
• 2
2
та
2т
V
2
/
ЯКЩО
2,
2,
=
1
-
/л/З
, 2
2
= л/З + /
б)
2,
•
2
2
та —, якщо
2,
= 3 + 2і,
2
2
= 2 + 2/
2
2
У задачах 3.12, 3.13 довести вказані рівності.
3.12.
а) г
х
л- г
2
= 2^+ г
2
', 3.13. а) 2 + 2 = 2 Ке г ;
б) 2 - 2 = 2і Іт 2;
^2
— -^1
б) 2,
В)
2, • 2
2
= 2
2
'
Г
^2 '
Г)
Ґ
- \
=
44*2*0.
в)И
=
І
Г)
2 • 2 =
3.14.
Розв'язати рівняння.
а)
(1
+ 2/)(г - /) + (4/ -
3)(1
- іг) +1 + 7/ = 0;
б) 2
2
+ 2 = 0.
3.15.
Розв'язати систему
2,
+ 2г
2
=
1
+ /,
[Зг, +
/'
2
2
= 2 - 3/.
3.16. Знайти модулі та головні значення аргументів зада-
них комплексних чисел,
а) 2 = /;
^
^
1
•
б) 2 = 1
2
2
г) 2 = 1-/;
•1
+ і
Є)
2
л/2
7
7л/з
.
Д>*
=
Г
—*
ж) 2 = 5-7/;
в) 2 = -5 ;
е)
2
=
-1-/\/з;
з) 2 = 2- /А/З ;
294
Глава
3.
Функції комплексної змінної
і)
2 = Зі
-1;
тс
. . тс
К)
2 =
—
СОЗ
/ЗІП
—.
7
7
3.17. Знайти модулі
та
аргументи заданих комплексних
чисел.
а)
г
=
-3;
1
^3 •
б)
2 = — +
—
г;
2
2
В)
2 =
1-І
1
+ І
3.18. Представити задані комплексні числа
в
тригономет-
ричній формі
та
зобразити
їх на
комплексній площині.
а)
- /; б) -
2
;
в)
1
- і4з ;
і— і— тс тс тс тс
Г)-А/2+/"\/2;
Д)-СОЗ—
+
/ЗІП
—;
е)
зіп —+ /соз—.
7
7 3 З
3.19.
Обчислити вирази, використовуючи формулу Муавра.
'і
+
/7з^°
а)(3-/л/3)
6
;
б)
1-/
в)
(\-І4З
ч40
1
+ /
ч
(-1 +
/А/3)
15
(-1-/Л/3)
15
;
г) ^
пг—+ •
.18
(і-0'
в
(1
+ 0'
3.20. Знайти
та
зобразити
на
комплексній площині
всі
зна-
чення коренів.
а)
VI; б) У\ в) VI.
3.21.
Знайти
всі
значення коренів.
і)
41; б) Чі;
в)
/;
г)
д) л/-1
+
/Ч/3
; е) л/-2 +
2/7з
; є) V-1 - /.
3.22. Знайти корені заданих рівнянь
і
зобразити
їх на
комп-
лексній площині.
а)2
2
+/
= 0;
б)2
4
-16
= 0;
в)г
8
-1
= 0.
3.23.
Представити задані комплексні числа
в
показниковій
формі.
а)
-2; б) /; в) -/;
г)-1-/Ч/3;
д)5 + 3/;
є)
-
3
- 4/; ж) - 2 + /;
е) 5-12/;
з) зіп а-/соз
а.
§
1.
Комплексні числа
295
3.24.
Представити задані комплексні числа в показниковій
формі та виконати дії над ними.
а) 2,
•
2
2
та —, якщо г, =
2л/з
- 2/, 2
2
= 3 -
ЗЛ/З
/;
б) 2
2
•
2
2
та —, якщо 2, = -л/2 +
іл/2
, 2
2
=
Л/8
-
/л/8
.
3.25. З'ясувати геометричний зміст вказаних співвідношень.
а)|2-2
0
|
= /?;
|2-2
0
|>/с;
|г-г
0
|<Л (К > 0);
б)
12
-
2,
|
+12
-
2
2
1
=
2а (а > 0) ;
в)
\г-2\\-\г-2
2
\
= 2а (а > 0).
У
задачах 3.26 - 3.28 знайти множини точок на комплекс-
ній площині, які задовольняють задані умови.
3.26. а)
121
> 2 ; б)-!->!, 2^0.
І
2
І
3.27. а) |
2
-
5/1
= 8; б) |
2
-1 -
/1
< 4.
ТС
тс тс
3.28. а) 0 < аге
2
< —; б) 1 < \г + / < 2,
—
< аге
2
< —.
4 4 2
3.29. Навести геометричний опис множини всіх точок комп-
лексної площини, що задовольняють нерівностям.
а)ІШ2<1;
б)|2|<1;
в) 0<12 + /1< 2 .
3.30. З'ясувати, які множини точок комплексної площини
відповідають заданим нерівностям.
а)Яе-<-; 6)|1 + 2|<|1-2|; в)|2|>1-Ке2.
2 2
У
задачах 3.31 - 3.34 з'ясувати, які лінії на комплексній
площині задані вказаними рівняннями.
3.31.а) Ке— = 0; б)Ке^- = 0, а>0;
2 +
1
г
+
а
В)
КЄ (1 + 2) =
І
2
|
.
296
Глава 3. Функції комплексної змінної
3.32.
а) Ітг
2
=2; б)Ке2
2
=1; в)Іт- = -.
2 2
3.33.
2
І
+ 2
2
=
1
.
3.34.
22 2 + (2 + /) 2 + (2 - /) г = 2 .
3.35.
а)
12-2
|
=
11
-2г |; б) | г- г
х
\ =
[
2 - г
г
\;
В)
К.Є(2
2
-2) = 0.
У
задачах 3.36, 3.37 записати у комплексній формі рівнян-
ня
вказаних ліній.
3.36.
а) координатних осей Ох та Оу ;
б)
прямої у = х;
в)
прямої у
—
кхл-Ь,
к,Ье К.
3.37.
а) рівнобічної гіперболи х - у = а ;
б)
кола х
2
+ у
2
+ 2х = 0.
§2. Функції комплексної змінної
І. Короткі теоретичні відомості
Основні поняття
Область. Областю на комплексній площині називається множина О
точок, які мають такі властивості:
1) кожна точка з множини £> належить їй разом з достатньо малим
кругом з центром у цій точці (відкритість);
2) будь-які дві точки можна з'єднати ламаною, що складається тільки
з точок О (зв 'язність).
Найпростішими прикладами області є околи точок на комплексній
площині. Зауважимо, що є - окіл точки а - це відкритий круг радіуса є з
центром у точці а, тобто сукупність точок 2 , що задовольняють нерівності
\г-а\<г.
Межовою точкою області й називають таку точку, яка сама не нале-
жить області Б , але в будь-якому її околі містяться точки цієї області. Сукуп-
ність всіх межових точок області називається межею області £>. Область £)
з приєднаною до неї межею називають замкненою областю і позначають О .
§2.
Функції комплексної змінної
297
Область О називається обмеженою, якщо вона належить кругу
121
< Я. Якщо область обмежена, число зв'язних частин, на які розбиваєть-
ся її межа, називається порядком зв 'язності.
Функції комплексної змінної. Кажуть, що на множині М точок пло-
щини 2 задана функція комплексної'змінної
V/•
=
/(г),
якщо є закон, згідно
з яким кожній точці 2 є М ставиться у відповідність цілком певна точка,
або сукупність точок м>. У першому випадку функція /(г) називається од-
нозначною, у другому - многозначною. Множина М називається областю
визначення функції /(2) , а сукупність N всіх значень и^які /(2) приймає
на М , областю її зміни.
Нехай 2 = х + іу, и' = и + /
V
. Тоді задання функції комплексної змін-
ної и
1
= /(2) буде рівносильне заданню двох функцій дійсних змінних
и = и(х,у), у = у(х,у),
тобто
™ =
Я2) = и(х, у) + і
у'х,
у) ,
де и(х, у) = Ке
/(2),
у(х, у) = \т /(2).
Геометрично задану в області О однозначну функцію /(2) можна
розглядати як відображення області £> площини 2 на деяку множину О
площини IV , що є сукупністю значень функції
/(2),
які відповідають всім
2Є £>.
Отже, функція
\\>
- /(2) здійснює відображення точок комплексної
площини 2 на відповідні точки комплексної площини IV .
Знаходження рівняння образу кривої при відображенні
м>
= /(2) .
Нехай в площині 2 крива задана рівнянням Г(х, у) = 0 . Щоб знайти
рівняння образу
Ф(И,У)
= 0 цієї кривої в площині IV при відображенні за
допомогою функції
м>
= /(2) = и + і
V
, треба виключити х та у з рівнянь
и = и(х,у),
<У = У(Х,
У
), (3.9)
Г(х,у) = 0.
Якщо крива задана параметричними рівняннями х = х(і), у = у(і)
або 2 = г(() - х({) +і у
(і),
то параметричними рівняннями її образу при ві-
дображенні
м>
= /(:) = и + іу будуть
и = и[х{і\ у(і)] = Щі),
у = г[х(1), у(і)]=У(().
298
Глава 3. Функції комплексної змінної
Основні елементарні функції комплексної змінної
До основних елементарних функцій відносяться такі функції.
1.
Степенева функція
2
п
=(х
+ іу)",
ЛЄІЧ.
(3.10)
2.
Показникова функція
є*
=
е
х+іу
=е
х
(со$у + і$т у). (3.11)
Ця функція має такі властивості:
1
0
. Якщо 2 = х , то е~ =е
х
.
2°.
|е
г
| = е\
3°. £Г< -
є"
2
=е
гі+
-'
2
.
4° .
е'
+2жі
= е', тобто функція періодична з періодом 2тс/.
я
Зя
5°.
е°=1,
е
2'=/,
в"'=-1,
е~*"=-і,
є
2
"'=1.
3.
Тригонометричні функції
е
,г
+е-
г
. е'
:
-е-'
:
С032
= ,
ЗІП
2 = , (3.12)
2 2/
ЗІП2 С052
.„ , „.
1§2 = ,
СІ§2=-
. (3.13)
СОЗ 2
51П2
Ці функції мають такі властивості:
1
0
. Якщо 2 = х , то ці функції співпадають з аналогічними функція-
ми дійсної змінної.
2° . Для введених функцій мають місце всі формули, справедливі для
функцій дійсної змінної.
3°.
СОз(2
+ 2л) =
СОЗ 2,
5ІП(2
+2тс) = ЗІП 2 ,
Г§(2
+ Л) = І§2,
СІ§(2
+ 7Т) =
СІ§2
,
тобто функції соз
2,
зіп 2 періодичні з періодом 2л, функції 1£2,
СІ§2
періодичні з періодом л.
4.
Гіперболічні функції
§2.
Функції комплексної змінної
299
Ці функції мають такі властивості:
1° . Якщо і = х , то ці функції співпадають з аналогічними функція-
ми дійсної змінної.
2° . Для введених функцій мають місце всі формули, справедливі для
функцій дійсної змінної.
3°.
сЬ(г + 2л/) = сЬ-, 5п(2 + 2ти') = 5П2,
ІЬ(2
+
КІ)-1\\2, СіЬ(2
+ пі) =
СШ2
,
тобто функції
СП2,
зпг періодичні з періодом 2пі, функції
ІП2,
сіп 2 пе-
ріодичні з періодом пі.
4°.
СП2
=
СОЗ<2, 8П2
=
-/ЗІП/2,
іЬг =
-іЩІ2,
сіЬг =/сІ§/2 .
Звідси
СОЗ/2
=
СП2,
5Іп/2
= /8П2,
І§
12
= І ІЬ
2 , СІ§
12
=
-/ СІП
2 .
5. Логарифмічна функція
и\2 = 1п|г| +
;'(аг§2
+ 24л), 2*0, Ає2. (3.16)
Логарифмічна функція Ьпг визначається як обернена до показнико-
вої. Функція Ьп2 є многозначною. Головним значенням Ьп2 називається
те значення, яке отримує гься при к = 0 . Воно позначається через
1п
2 . Отже,
Іпг = 1п|
21
+
/аг§2
, (3.17)
а тоді
Ьп2 = 1п2 + 2Атс/, кє 2. (3.18)
Мають місце співвідношення:
Ьп (г,
2
2
) =
Ьп 2,
+ Ьп 2
2
,
(
, Л
Ьп
ЬП2,
-
ЬП2
2
,
-1
/2
І
Ьп2
и
= п Ьпг + 2кпі, к є 2 .
•
6. Загальна степенева функція
2
а
=е
а1п:
, аеС. (3.19)
Ця функція многозначна, її головне значення е"
|п
~
300
Глава 3. Функції комплексної змінної
Якщо а = — , п є N , то отримуємо многозначну функцію - корінь
п
п-
го степеня з комплексного числа
2'
Г
І(Іп|.-|
+
,(аів--
+
2*к))
пІ
—
,52£І2*Ї
:л/2 =е"
=у|г|
е " ,*є2.
7.
Загальна показникова функція
а
2
=е
:1па
, аеС. (3.20)
Головне значення цієї функції е~
8. Обернені тригонометричні функції
Агсзіп 2 = - і Ьп (/2 ± Л/І - 2
2
),
Агссоз2
= -/Ьп(гіл/г
2
-1),
1
,
1
+
/2
(3.21)
Агсіе 2 = — Ьп ,
2 1-/2
І.
2 - /
Агссіа 2 = — Ьп .
6
2 2 + і
9. Обернені гіперболічні функції
Агзп2 = Ьп(2 + л/2
2
+1),
Агс1і2 = Ьп(2 + л/2
2
-1),
АгіЬ г =
—
Ьп
*
+ 2
, (3.22)
2 1-2
.
, 1 • 2+1
Агсіп 2 =
—
Ьп .
2 2-1
Границя та неперервність функцій комплексної змінної
Нехай функція /(г) визначена в деякому околі О точки 2
0
, крім,
можливо, самої точки 2
0
.
Означення 1. Число А називається границею функції /(г) в точці
2
0
,
якщо для будь-якого числа є > 0 можна вказати таке число 8 = 8(є) > 0,
що для всіх точок 2 є £2, які задовольняють умові 0 <
12
- 2
0
| < 8, викону-
ється
НерІВНІСТЬ
|/(2)-Л|<Є.
Коротко це записується так: Ііт /(г) = А .