Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Ряди Фур'є
261
Тоді
Звідси
Інтеграли
(1) та (2)
називаються інтегралами Лапласа.
Л
IV. Задачі для практичних занять
Ряд Фур'є
для
періодичної функції
з
періодом
2л
У задачах 2.211
-
2.224 розкласти
в
ряд Фур'є задані функ-
ції, періодичні
з
періодом
2л .
Навести графіки
цих
функцій
2.211.
Дх) = і
[
1,
хє(0,л).
Знайти суму
5
ряду Лейбніца
^
користуючись
»=і
2л+
1
отриманим результатом.
2.212.
/(х)
=
<
[З,
хє(0,я).
2.213.
Дх) = х-л,
хє(-л,
л].
2.214.
Дх) = х + л,
хє(-л,
л].
2.215.
Дх) = | х |,
хє(-л,
л].
1
Знайти суму
5
і
ряду
£ -,
користуючись отрима-
ні
(2л-1)
ним результатом.
(х)
=
д
б)Дх)
= х
2
, х є
(0,2л)
2.216.
а) Дх) = х
2
,
хє(-л,
я):
262
Глава 2. Ряди
Знайти суми 5, та 8
2
рядів ^
п
=
\П
чись отриманими результатами.
г
ТС, X є (—тс, 0),
1
(-1)
п+1
користую-
2.217. Дх):
2.218. Дх)
:
[тс-х, хє (0,
тс).
——-, хе (0, 2тс].
2.219. Дх) = х
3
хє (-тс, тс).
2.220. Дх) = е
х
-1, х є (0,2л).
2.221.
/(х) = соз ах, х є (-тс, тс), (а - не ціле число).
2.222. /(х) = зіп ах, х є (-тс, тс), (а - не ціле число).
2.223.
Дх) = | зіп Зх |, х є (-тс, я].
2.224. /(х) = зЬ ах, х є (-я, я).
У задачах 2.225 - 2.228 розкласти задані функції в ряд
Фур'є по косинусах на заданому проміжку.
2.225. Дх)
2.226. Дх) =
2.227. Дх) =
я х
—
-
—
на проміжку (0, я)
Гі,
хє (0,/г),
[0,
хе
(И,к),
0<
И
< я
на проміжку (0,я)
X,
-ТІ
я-
хє
я
на проміжку (0, я]
2.228. /(х) =
8т
~
на
проміжку (0, я]. Знайти суму 5 ряду
1
„=.4п
2
-1
У задачах 2.229 - 2.233 розкласти задані функції в ряд
Фур'є по синусах на заданому проміжку.
§3.
Ряди Фур'є
263
РЯДУ
X
7С X
2.229. Дх) = на проміжку (0, я).
4 2
2.230. /(х) = х
2
на проміжку (0, я].
2.231.
Дх) = х (я - х) на проміжку (0, я]. Знайти суму 5
(_!)«-'
и
Ті(2л-1)
л
2.232. Дх) = -
2,
хє
0, хє
я
V
я
І''
на проміжку (0, я]
2.233.
Дх) = соз2х на проміжку (0, я].
2.234. Розкласти функцію у = сп х в інтервалі (0, я) в ряд
Фур'є: а) по косинусах; б) по синусах.
Ряд Фур'є для функції періодичної з періодом 21
У задачах 2.235 - 2.241 розкласти в ряд Фур'є задані функ-
ції, періодичні з періодом 21. Навести графіки цих функцій.
Г0,
хє(-2,0),
2.235. Дх) = \ 27 = 4.
[2,
хє[0,2],
2.236. Дх) = х, х є (-1, 1], 21 = 2 .
Г-х, хє(-2,0),
2.237. Дх) = \ 21 = 4 .
1
0, хє[0,2],
2.238. Дх) = 4-х
2
, хє(-2, 2],
21
= 4.
Г 1, хє(-1,0),
2.239. Дх) =
1
2/= 2.
[1-х, хє
(0,1],
2.240. Дх) = |х|, хє (-2, 2], 2/ = 4.
2.241.
Дх) = е
х
, х є (-2, 2], 2/ = 4.
264
Глава 2 Ряди
2.242. Розкласти в ряд Фур'є функцію, зображену на
рис.2.17.
І
Ч У
-3 -2 -1,5 -1 0
1 1,5 2 3 х
Рис.2.17
2.243.
Розкласти функцію /(х) =
1
- х на проміжку (0, 1]
в ряд Фур'є по косинусах.
2.244. Розкласти функцію /(х) = х (2 - х) на проміжку
[0,
2] в ряд Фур'є по синусах.
У задачах 2.245 - 2.247 розкласти задані функції в ряд
Фур'є на заданому проміжку : а) по косинусах; б) по синусах.
Г х, хє
(0,1],
2.245. /(х) =
<
на проміжку (0,2).
[2-х, хє (1,2),
2.246. Дх) = х на проміжку (0, 1).
2.247. Дх) = х на проміжку (0, /).
Ряд Фур'є в комплексній формі
У задачах 2.248 - 2.255 розкласти в комплексний ряд Фур'є
задані функції.
2.248. Дх) = е
х
, х є [—тг, тс].
[0,
хє[-тс,0),
2.249. Дх) = \
[е
х
, хє
[0,тс].
2.250. /(х) = х
2
, хє[-тс, тс].
2.251.
/(х) = х, х є [—тс, тс].
§3 Ряди
Фур'є
265
2.252. Дх) =
[1,
хе
[-1,0),
[0,
хє[0,1].
2.253.
Дх) =
1-е
-
*,
хє[-1,
1].
2.254. /(х) = е
х
, хє [-2, 2].
"О,
хє(-1,0),
1,
хє[0;0,5],
О, хє(0,5;1).
2.255. Дх) =
Інтеграл Фур'є. Перетворення Фур'є
У задачах 2.256 - 2.260 зобразити інтегралом Фур'є задані
функції.
2.256. Дх) =
<
1--,
0<х<2,
2
х>2.
0,
0,
|х|>1,
2.257. /(х) = \ 1, 0 < х < 1,
-1,
-1<х<0.
+°о
^.^3
Обчислити І <#.
2.258. Дх) =
*Г*
, х є (-<*>, +
оо).
[зіпх, ІхІ<тс,
[0,
І
х І > ті.
[созх, |х|<тс/2,
[ 0, |х|>тг/2.
2.259. Дх) =
2.260. Дх) =
У задачах 2.261 - 2.264 зобразити за допомогою комплекс-
ного інтеграла Фур'є задані функції.
266
Глава
2.
Ряди
|1,
|*|<1,
[О,
|х|>1.
2.261. /(х) = <;; ', ; ;
2.262.
дх) = е~
м
2.263.
Дх) = хе 2.264. Дх) =
? * х > О,
О, х < 0.
У задачах 2.265 - 2.268 знайти косинус-перетворення Фур'є
та синус-перетворення Фур'є заданих функцій.
2.266. Дх) =
2.267. Дх) =
2.268. Дх) =
2.265.
Дх)
= е~
х
, х є (0, +
оо).
-1,
хе [-1; -0,5),
0, х є [-0,5; 0,5),
1,
хє[0,5;1].
[зіп х, 0 < х < я,
[0,
х>я.
[1, 0<Х<<2,
[0,
х > а.
У задачах 2.269 - 2.273 знайти загальне перетворення Фур'є
заданих функцій.
2.269. Дх) =
соз—,
|х|<я,
і о,
X
> я.
-к
2
\х\
2.270. Дх) = е
2
2.272. Дх) = е
-е
х
,
-1<х<0
2.271.
Дх) = хе"
2.273.
Дх) = -
<Г*,
0<х<1,
0,
|х|>1.
ГЛАВА
3. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ
§1.
Комплексні числа
І. Короткі теоретичні відомості
Основні поняття. Комплексним числом називається вираз вигляду
2 = Х + Іу, (3.1)
де х та у
—
дійсні числа, а символ - уявна одиниця, яка визначається
умовою і
2
--1 (покладають
/=л/-7).
При цьому число х називається дійсною частиною комплексного чис-
ла 2 і позначається х = Ке 2 , а число у називається уявною частиною 2
і позначається у = Іт 2 (від французьких слів: гееі - дійсний, іта§іпаіге -
уявний).
Множина комплексних чисел позначається буквою С .
Вираз, що стоїть справа у формулі (3.1), називається алгебраїчною
формою запису комплексного числа.
Два комплексні числа г = х + іу та 2 - х -іу , які відрізняються лише
знаком уявної частини, називаються спряженими.
Два комплексні числа 2, = х, +іу
х
та 2
2
= х
2
+ іу
2
рівні (г
х
= 2
2
),тоді
і тільки тоді, коли X, = х
2
,
У\=у
2
.
Комплексне число г = х + іу = 0 тоді і тільки тоді, КОЛИ X = 0, у = 0.
Геометрично кожне комплексне число 2 = х + іу зображується точ-
кою М(х,у) на координатній площині хОу або вектором ОМ (рис.3.1).
Площина хОу умовно називається комплексною площиною змінної 2 , вісь
Ох - дійсною віссю, вісь Оу -уявною віссю.
Рис.3.1
268
Глава 3. Функції комплексної змінної
Комплексне число г = х + іу при у = 0 збігається з дійсним числом
г = х. Тому дійсні числа є окремим випадком комплексних, вони зображу-
ються точками осі Ох.
Комплексні числа г = х + іу, в яких
де
= 0, тобто г = іу називаються
суто
уявними;
такі числа зображуються точками осі Оу .
Полярні координати г та ф точки М (рис.3.1) на комплексній площи-
ні називаються модулем і аргументом комплексного числа г і позначаються:
Г=\2\
=
^Х
2
+у
2
, ф =
Аг§2.
Модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент
визначається з точністю до доданка 2/ск, к є 2 .
Те із значень полярного кута
ф,
що задовольняє нерівності -тс <
ф
< тс
(іноді покладають 0 <
ф
<
2
л),
називають головним значенням аргументу 2
і позначають аг§ і.
У подальшому позначення ф збережемо тільки для головного зна-
чення аргументу г , тобто покладемо
ф
= аг§ г , в силу чого для решти зна-
чень аргументу 2 , отримуємо рівність
Аг§2
=
аг§2
+ 2гСТС = ф + 2/Ьс, кєХ, (3.2)
де
-л < аг§ 2 < тс.
Оскільки х =
гсощ,
у =
г5Іп<р
(рис.3.1), то з формули (3.1) маємо
2
= г(со5ф+г
зіпф).
(3.3)
Вираз, який стоїть справа у формулі (3.3), називається
тригономет-
ричною формою комплексного числа 2 = х + іу .
З формул х =
гсо$(р,
у = г$іі\ц> випливає, що головне значення аргу-
менту 2 задовольняє співвідношення
С05ф
= —, 51Пф = —. (3.4)
г г
З формул (3.4) випливає, що аргумент ф може визначатись із співвід-
ношення
!8Ф = -> (3-5)
х
з урахуванням того, в якій чверті знаходиться точка
М(х,у).
З останнього випливає, що головне значення аргументу обчислюєть-
ся за формулою:
§
1.
Комплексні числа
269
<р=аг§2
=
агсі§ —, х>0, (М(х,у)є І, IV чверті)
л+агсі§ —, х>0,у>0, (М(х,у)е II чверті)
X
-я+агсі§ —, х<0,)><0
х
(М(х,у)є III чверті) (3.6)
л
2'
л
~2'
х = 0,у>0,
х = 0,у<0.
Використовуючи формулу Ейлера
(3.7)
= С05ф
+ /31Пф
та формулу (3.3), що дає тригонометричну форму комплексного числа, отри-
маємо
2 = ге'
ф
. (3.8)
Вираз,
що стоїть справа у формулі (3.8), називається показниковою
формою комплексного числа 2 = х + іу .
Дії над комплексними числами
Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі вико-
нуються таким чином:
1.
2, +2
2
= (х, + />
1
)+(х
2
+іу
2
) = (
х
]
+х
2
)+і(У\
+Уі) •
2. 2, -2
2
= (х,
+ІУ
А
)~(Х
2
+ />-,) = (х,
-Х
2
)
+ І(у
х
-у
2
) .
3.
2
Г
2
2
=(Х^+Іу
)
)-(х
2
+Іу
2
)
=
(х^Х
2
-у
)
у
2
)
+
І(х^у
2
+Х
2
У\)
.
4
*і _ X) +іу
}
_ 2) -г
2 =
(X) +іуі)(х
2
-іу
2
)
=
г
2
х
2
+іу
2
г
2
-2
2
(х
2
+ і
у
2
)(х
2
- і у
2
)
_х
1
х
2
+у
і
у
2
, ,.
х
2
у
х
-х^у
2
=
2 2—+'
2
—,
2
2
*0.
х
2
+у
2
х
2
+ у
2
5.
2
П
= 2-2...-2 , ИЄ N .
и
раз
Результатом цих дій є, взагалі кажучи, комплексні числа. Вказані опе-
рації над комплексними числами мають всі властивості відповідних опера-
цій над дійсними числами, тобто додавання та множення комутативні, асо-
ціативні, пов'язані відношенням дистрибутивності і для них існують обер-
нені операції віднімання та ділення (крім ділення на нуль).
270
Глава 3. Функції комплексної змінної
На рис.3.2 наведено геометричну ілюстрацію операцій додавання
та
віднімання комплексних чисел: сума
і
різниця комплексних чисел
т.
х
та г
2
зображається відповідно векторами, рівними напрямленим діагоналям
па-
ралелограма, побудованого
на
векторах
г
1
та г
2
.
Уп
Рис.3.2
Зауважимо,
що
піднесення числа
г до
степеня
п, пє
IV, виконується
за формулою бінома Ньютона
+ і
у)"
=
х"+С
]
п
х"~
х
і у
+ С
2
п
х"-
2
(і
у)
2
+...
+
С
к
„
х"~
к
{іу)
к
+...
+ {і
у)"
з урахуванням того,
що в
отриманому виразі слід замінити степені
/ їх
зна-
ченнями:
і,
в
загальному випадку,
і
4к
=]
-4А--НІ
_•
/
4
*
+2
=
_1
;
-4і+3__
;
.
Дії
над
комплексними числами, заданими
в
тригонометричній формі
виконуються
за
такими правилами:
1. 2, -2
2
=Г,
/"
2
[С05(ф,
+ф
2
) +
/5т(ф,
+ф
2
)]
.
-і
Л
2. — = —
[С03(ф,
-ф
2
) +
/5ІП(ф,
-ф
2
)] ,
2
2
у40.
2
2
Г
2
3. 2
И
=(г-(С05ф
+
/5ІПф))" =г"(С05лгф
+
/5ІПЯф)
.
Ця формула називається формулою Муавра.
л
пГ
пГ
(
Ц+2к%
. .
ф+2лстгЛ
4.
У2 =Уг С05-
+ /
51П— , к
=
0, п-\,
У
"
п
)
тобто корінь
п -го
степеня
з
комплексного числа
2 має п
різних значень.
Тут
2,
=/-,(с05ф,
+
/зІПф,
), 2
2
=Г
2
(с05ф
2
+ /8ІПф
2
),
2 =
г(С03ф+
/'
ЗІПф)
.
Дії
над
комплексними числами, заданими
в
показниковій формі вико-
нуються
так:
1.
2, 2
2
- Г
Х
Г
2
Є