Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2,

Функції комплексної змінної

301

Тут припускається, що 2

і А скінченні точки комплексної площини.

Означення 2. Якщо для будь-якої послідовності {г

} (г

Ф 2

), збіж-

ної до точки 2

, відповідна їй послідовність значень функції /(?„) збіга-

ється до числа А, то число А називається границею функції /(г) в точці

. Тут нескінченність 2

і А не припускається.

Існування границі Ііт/(г), де /(г) = и(х,у) + і\(х,у), 2

= х

+ іу

--->-о

рівносильне існуванню границь Ііт и(х,у) = и

і Ііт

У(Х,у)

= г

, причому

Г->Л)

Ііт /(г) = щ +

= м>

Властивості границі функцій комплексної змінної

•

Нехай існують границі Ііт

/(г)=/1,

Ііт = В . Тоді

Ііт

(/(2)±

(г))

= /(±В,

г-»г

Ііт (/(2)§(2)) = /1В,

Означення 3. Функція /(г), що задана в області О, називається

неперервною в точці г,бО, якщо Ііт /(г) = /(г

Означення 4. Функція /(г) неперервна в точці 2

, якщо для будь-

якого числа є > 0 існує таке число 5 = 8(є) > 0, що для всіх точок ге й , які

задовольняють умові

|2-2

|<8,

виконується нерівність

Дг)-/(2

)|<є.

Для неперервності функції комплексної змінної Дг) = м(х,у) + і\>{х,у)

в точці 2

= х

+ іу

, необхідно та достатньо, щоб її дійсна та уявна части-

ни,

тобто функції и(х, у), У(Х, у), були неперервні в точці {х

,у

) за сукуп-

ністю змінних х і у .

Означення 5. Функція /(г) комплексної змінної називається непе-

рервною в області £> , якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Сума, різниця та добуток двох функцій комплексної змінної /(г) та

неперервних в області О, також є неперервною функцією в цій облас-

ті,

а функція неперервна в тих точках області й , де Ф 0.

302

Глава 3. Функції комплексної змінної

Якщо функція /(2) неперервна в точці 2

, а Р(х) неперервна в точ-

ці т =

/(г

то складна функція /-"(/(г)) неперервна в гочці 2

Означення 6. Функція /(г) називається рівномірно неперервною в

області О , якщо для будь-якого числа є>0 знайдеться таке число

8 = 8(є) > 0, що для будь-яких точок 2,, 2

є £>, які задовольняють умові

|2[ -2

| < 8 , виконується нерівність |/(2,)-/(2

)| < є .

//. Контрольні питання та завдання

Дайте означення області на комплексній площині.

Яка область називається замкненою; обмеженою?

Дайте означення функції комплексної змінної.

Яка функція називається однозначною; многозначною?

Перелічіть основні елементарні функції комплексної

змінної.

6. Дайте означення показникової функції. Які її властивості?

Дайте означення тригонометричних функцій. Наведіть

їхні властивості.

8. Дайте означення гіперболічних функцій. Наведіть їхні

властивості.

9. Як визначається логарифмічна функція? Що називається

головним значенням цієї функції? Запишіть відповідні функції.

10.

Як визначається загальна степенева функція; загальна

показникова функція?

11.

Наведіть обернені тригонометричні функції.

12.

Запишіть обернені гіперболічні функції.

13.

Дайте означення границі функції в точці.

14.

Дайте означення функції, неперервної

точці;

неперервної

в області?

15.

Наведіть означення рівномірно неперервної функції в

області.

§2. Функції комплексної змінної

303

///.

Приклади розв 'язання задач

Основні поняття

Приклад

Знайти дійсну

та

уявну частини функції

) =

-2.

• Покладемо

г = х + і

у. Тоді

/(г)

и(х,у)

іу(х2,у)

= і(х + іу)

-(х-іу)

= і(х

- у

2іху)

—

-(х-іу)

-х(\+2у)

і(х

-у

+у).

Отже,

Ке

Дг) = и(х, у) = -х(І +

2у),

Іт /(2) =

у(х,у)

= х

- у

+ у . <

Приклад 2. Визначити функцію

м>

/(г) за відомими дійс-

ною

та

уявною частинами и(х,

у) - х +

у,

у) = х -

у.

• Покладемо

г = х + іу, І = х ~іу .

Тоді

у(2+2"),

у =

—^(2-г).

. 1 . _

/ . -.1-І

+ / _

и(х,у)

= х

у = -(2 +

2)--(2-2) =

—^-г

—^-2,

, _

/ , _.

+ /

-; _

У(Х,У)

= Х-У = -(2 +

2)+у(2-2)

= — 2 + — 2 .

Отже,

, , . , ч

- /

+ / _

- /

Д2)

и(х,у) + іу(х,у) =

—2

+ — г+ — і2+—і2

Л П + / 1-/ Л_ „

+ 1 2+ + /

2=(1

()2.

2 2 ]

2 2 )

Таким чином,

/(2) =

+ /) г . А

Приклад 3. Знайти образ одиничного кола

при відобра-

женні

м>

/(2).

а)

121

= 2

;

б)

г =

Дсозґ

/ДЗІП/,

0 < / <

2я,

м>

= 4-

304

Глава 3, Функції комплексної змінної

•

а)С:|г|=1,

и>

= 2

Нехай 2 = х + і

у.

Тоді чі = 2

= (х + і

у)

= (х

- _у

) +

ху .

Звідси и = х

= 2ху.

Виключаючи х та у з системи рівнянь

и =

-у

= 2ху,

+у

=\,

отримаємо м

+ V

= 1.

Отже, образом кола | г | =

в площині 2 є коло и

+ V

= 1 в площи-

ні 1¥ , що проходиться двічі. Це випливає з того, що оскільки

И'

= 2

, то

Аг§

м>

= 2 Аг§ 2 + 2Атс, отже, коли точка 2 описує повне коло | г \ - 1, то її

образ описує коло |

и>

| = 1 двічі.

б) С:г =

ЙС08/

/ЙЗІП/,

0<?<2я,

и> = 4-

Нехай г = х + іу .

Рівняння кола запишемо у вигляді х = Лсоз/, у = /?зіп/, де 0 < / < 2л.

Виділимо дійсну та уявну частини функції

\\>

= и + і

. Маємо

2 2 о

2 2 X -V . 2ХУ

и>

= и + /

= — = = —-—=Чг + / — -

2 2 2

2 2-2 X +У X +У

- у

2ху

Звідси и — — — — -

2 ' ~> 2 '

х +у х'+у

Підставимо х =

Ясо$(,

у = /?зіп/ у вирази для и та V .Отримаємо

параметричне рівняння кола

С05

/-5ІП

„

2сОЗ/5ІП/

. _

н = — = соз2і, у= — = зіп2ї

СОЗ

(+ ЗІП І СОЗ / + 8ІП /

або и

+ V

= 1.

Отже, образом є одиничне коло, що проходиться двічі. Це випливає з

[н = соз2/,

того,

що 0 < г < 2л, а рівняння кола < -ч

у = зіп 2/.

§2,

Функції комплексної змінної

305

Основні елементарні функції

-2+-;

Приклад 4. Обчислити значення е

, записати його

модуль, дійсну та уявну частини.

• Скористаємось формулою

= Є

(СОЗ у + І ЗІП у) -

Тоді

Звідси

-2 + -і

-2 + *,

-21 ТС . . ТС

: Є СОЗ — + /ЗІП —

іґі .Тзї

—+ / —

2 2

= ^г, Ке

-2л—і

, Іт

-2 + -;

2е

Приклад 5. Знайти дійсну та уявну частини заданих функцій.

а)

м>

2:+3

; б)

м>

вїп(Ї2

-1).

• а) и- = е

22+3

Нехай 2 = х + і у. Тоді

22 + 3/' = 2(дг + /» + 3/=2дг + /(2у + 3).

Отже,

ц, =

2:+3

=е

1х+

1у+3)

= е

*(соз(2у + 3) + /зіп(2у + 3)) =

= е

1х

соз(2у + 3) + / є

-" зіп(2у + 3).

Звідси

Ке(е

') = е

2х

соз(2у + 3),

Іт(е

= е

2х

зіп(2у + 3).

б)

М>

ЗІп(/2

- 1) .

Нехай 2 = х + і у. Тоді

/2-1

=/(х + /у)-1 = ІХ-у-\ =-(у + 1) +

/Х.

Отже,

м>

зіп(/2

-1) = зіп(-(у +1) + іх) = зіп(-(у +1)) соз/х + соз(-(у +1)) зіп іх =

= -зіп(у +1)сЬ х + соз(у +1)/зЬ х = -зіп(у +1)сп х + і соз(у +1)зЬ X .

При перетворенні скористались формулою тригонометрії

зіп(ос + Р) = зіп асозР + соз азіп (і,

а також формулами соз іх = сЬ х, зіп іх = і зп х .

306

Глава 3. Функції комплексної змінної

Отже,

Ке 5Іп(Ї2-1)

-зіп(у

1)сЬх,

Іт

зіп(/2-1)

соз(>>

1)зЬ

х . -Ч

Приклад

6. Обчислити значення заданих функцій

вказа-

них

точках.

а)

зіп/; б)

соз(2

/);

в)

сп(2

3/);

г)

Ьгп

; д) /'.

•

а)

зіп/'.

. е"-е-"

е-'-е

е'-е"

. . ,

ЗІП

і = = = = / = /

зп

2/ 2і 2

б)

СОз(2

+ /') .

С05(2

+ /) =

- ±£ =

(е

2'-і

+ є-™)

(е

1+2

' +

]

2 2

. і е

+е~

е -е~

]

= —(е (соз2

/зіп2)

+ е

(соз2-/зіп

2)) =

соз2

/зіп2

СОз2сПІ-/8Іп2-5ПІ

в) сЬ(2-Зі).

2-3,

+е

-2+3,

сп(2-3/')

—(

С05

—

/зіп3)

+ е

(созЗ

/5ІпЗ))

2,-2

2-2

є +

є є

—

= созЗ /зіп

3 =

созЗсп2-/5ІпЗ-зп2

г) Ьп

Скористаємось формулою

Ьпг

1п|2|

/(аг§2

2Лге),

к є 2 .

Оскільки

, аг§ / =

—

маємо

.(п

^ <

Ьп

1п

+ /

—

+ 2кк

) [2

Д)

/' •

Скористаємось формулою

]=/(*+2*тс

І, кеХ.

=е

иЬп

аєС.

поклавши

а = і, 2 = /.

Тоді

і[іп1+і(-+2*я

-{-ЇІкА

к&г.<

§2.

Функції комплексної змінної

307

Приклад

Обчислити значення заданих функцій

вказа-

них

точках.

а)

Агсзіп

/; б)

Агсп

2 .

• а) Агсзіп /.

Скористаємось формулою

Агсзіп і = - / Ьп

(іг ±

Л/І-г

поклавши г = і. Тоді

Агсзіп

/ = -/ Ьп(/

±Л/І-/

) = -/ Ьп(-1 + л/2 ).

Числа - та -

-л/2 -дійсні, причому перше додатне, а друге -

від'ємне. Тому

|-1 + 72

= 72 -1 ,аг£(-1 + л/2) = 0,

|-1-л/2

| = 1+л/2 ,

аг§(-1-72)

= гс.

Підставляючи ці значення у формулу

Ьпг =

1п|2|

+ /(аг§2 + 2Л л),

отримуємо дві послідовності значень Агсзіп /:

Агсзіп / = -/'

Ьп(-1+л/2

) = -;'(

1п(72-1)

+ /2Ал) =

2Ьі-/1п(л/2-1),

ке 2

та

Агсзіп/ = -/

Ьп(-1-72

) =

-/(1п(72

+ /(л + 2Аті)) = (2А + 1)л-/

1п(л/2

+ 1) ,

кє 2.

б) Агсп 2.

Скористаємось формулою

АГСЬ2

= Ьп(2±л/2

-1 ),

поклавши 2 = 2. Тоді

АгсЬ2 = Ьп(2±л/2

-1 ) = Ьп(2 + 7з ).

Обидва числа 2 ± Тз" додатні, тому

|2±Л/З|

2±Л/З,

аг§(2 + л/3) = 0.

Підставляючи ці значення у формулу

Ьпг = 1п|2| + /(аг§2 + 2А л),

знайдемо

АгсЬ2 =

1п(2±л/з

) +

і2кк,

кє 1<

Приклад

Розв'язати рівняння

зіп г = 3.

• Розв'язком даного рівняння є

= Агсзіп 3 .

Отже,

задача зводиться до обчислення Агсзіп 3 .

308

Глава 3. Функції комплексної змінної

Скористаємось формулою

Агсвіп

= -

Ьп {іі ±

Л/І

—

поклавши 1 = 3. Тоді

= Агсзіп 3 = -/

Ьп(3/±л/^8

Враховуючи,

що л/-8 =±і л/8 , отримуємо

= -і Ьп(3 + л/8)/, г = -і Ьп(3-л/8)/.

Оскільки

|(3 + Л/8)/| = 3 + Л/8 , |(3-Л/8)/| = 3-Л/8,

аг§ ((3 + 7в)

і)

аг

((3 - л/8) і) = |,

, Ає 2.

Ьп[(3 +

л/8)/]

1п(3±л/8)

+ ;|-

- + 2Ал ,

Отже,

= Агс5ІпЗ =

-/|іп(3±л/8)

+ / у +

2Ая^=у

+ 2Ал-/1п(3±л/8),Ає 2.<*

Границя та неперервність функцій

Приклад 9. Задана лінійна функція

м>

= /(г) - аг + Ь, де а

і /3 - комплексні сталі, а

0 . Користуючись означенням грани-

ці та неперервності функції в точці, довести, що

а) Ііт /(г) = аг

= щ;

б) функція /(г) неперервна в точці 2

• а) Ііт /(г) = аг0+Ь = щ .

Візьмемо довільне число є > 0 . За умовою

\Яг)-щ\ =

\{са

Ь)-(аг

+Ь)\=\а(г-г

= \а\-\г-г

Взявши за 8(є) > 0 число 8 = :—г, матимемо |/(г)-и'

|<Е при

0 <

- 2

1 < 8. Це означає, що и>

= аг0+Ь є границя функції /(г) = а2 +

точці

тобто ііт /(г) = аг0 + Ь = щ .

*-->-о

§2.

Функції комплексної змінної

309

б) функція /(2) неперервна В ТОЧЦІ 2

Оскільки Ііт /(2) = аг

+Ь =

/(г

то згідно з означенням непе-

рервності функції в точці маємо, що лінійна функція неперервна в будь-якій

ТОЧЦІ

. М

Приклад

10. Знайти границі заданих

функцій.

,. 2

+3/2-2

С0822

.. Є ' +1

а)

Ііт ; б) Ііт ; в) Ііт .

г->-;

2 + / СЬ /2 + / 8П /2

-_>_£/

Є~+/

"4 "2

+3/2-2 [01 ,. (2 + /)(2 + 2/) .

•

а) Ііт = ^-^=1іт - = Ііт (2+ 20 =».

:->-/

2 + / [0] г->-і 2 + / г->-і

.. СОЗ 22 Г0] ,. СОЗ 22

б) Ііт —

;—- =

—

\ = Ііт

сЬ /2 + /зЬі: уО} соз 2-зіп 2

" 4

(СОЗ

2 -ЗІП

2) (СОЗ

2 + ЗІП

г)

... ПГ

= Ііт — = Ііт (соз

+ зіп 2) = V 2 .

СОЗ

2-ЗІП 2

-"+1

/01 2е

2е-^ 2-(-О ,.

в) Ііт =

^ —

= Ііт = = ---2і.

-_»_",<?-"+/

Ю1 <г --і -/

Тут використано правило Лопіталя.

Приклад

11.

Покажіть,

що

функція

и>

= г

неперервна

при

будь-якому значенні

•

Візьмемо довільну точку 2

і довільне ЧИСЛО є > 0 . Оскільки

/(2

)

= г,

, то покажемо, що існує число 8(є) > 0 таке, що 12

- 2

< є при

- -о

•

Якщо 2 -> 2

, то знайдеться таке число М > 0,що | 2 к М і 12

| < А/.

Тоді

г2

о|=|

(г-*о)

1=1

*+Ч>|-| ---о|<(| - |+|

-о|)'|

г--„|<2М|

2-2

| І

Якщо взяти 8 = , то з нерівності 2-2

<8 випливає, що

2М

1 1

2ц

| < 2 А/5 < є, тобто для будь-якого 2

функція и> = /(2) = 2

непе-

рервна, ч

310

Глава 3, Функції комплексної змінної

IV.

Задачі

для

практичних занять

Основні поняття

3.38.

Знайти дійсну та уявну частини заданих функцій,

а)

м>

= г - /2

; б)

м>

= г

і;

Ч • З ч ^

в)

м>

= і - 2 ; г)

м>

= —.

3.39.

Визначити функцію

м>

= /(2) за відомими дійсною

та уявною частинами.

а) и(х, у) = X

- у

- 2у

-1,

г(х, у) = 2ху + х ;

. х

+>>

+ і х

+ у-

-1

б)и(х,.у) = х—^ 2~,

У(Х,Д/)

= —- г—;

х +у х +у

в) и(х,

>•)

= -, у(х,^) = —.

х у

3.40.

Знайти образи заданих точок при вказаних відобра-

женнях

м>

= 1"(г).

2 2

а) г

= - і,

м>

= 2 ; б) 2

- /, >у = (2 - /) ;

1 2

в) 2

= 1,

м>

= ; г) 2

= 2 +

і, ЗУ = —.

2 - / 2

3.41.

Знайти образи заданих ліній при відображенні

ЗУ

—.

і і 1 З

а) |

= —; б) Ке2 = 0; в) аг§ 2 =

—

тс.

3.42.

Знайти образи заданих ліній при відображенні

ІУ

= 2

а) х = С ; б) | 2

= К; в) аг§ 2 = а.

3.43.

Виділити дійсну та уявну частини заданих функцій.

а)

м>

= ; б) = е

; в) IV = зіп 2;

г)

™

сп(2-/);

д)

м;

= зп2.