Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2
Подождите немного. Документ загружается.
Предметний вказівник
Біном диференціальний 19
Векторна лінія 261
Визначник Якобі 164, 178
Властивості градієнта 118, 260
- визначеного інтеграла 56
-невизначеного інтеграла 10
- подвійного інтеграла 161
Градієнт функції 118,260
Дивергенція векторного поля 262
Диференціал функції повний 115
Диференціювання
- неявних функцій 118
-параметрично заданих функцій 119
- складних функцій 116
Дріб раціональний 13
- найпростіший 14
- правильний (неправильний)13
Заміна змінних
- у подвійному інтегралі 164
- у потрійному інтегралі 178
Застосування інтеграла
- визначеного 75
- криволінійного другого роду 220
першого роду 214
- поверхневого другого роду 243
першого роду 239
- подвійного 188
- потрійного 191
- повного диференціала 116
Інтеграл визначений 54
- криволінійний другого роду 214
- першого роду 212
- невизначений 10
- невласний другого роду 61
- першого роду 58
- поверхневий другого роду 239
- першого роду 238
-повторний 162,177
- подвійний 160
- у полярних координатах 164
- потрійний 175
- у сферичних координатах 179
- у циліндричних координатах 178
Інтегрування
- гіперболічних функцій 22
- ірраціональних функцій 17
- найпростіших дробів 15
- раціональних дробів 13
-тригонометричних функцій 19
Лінія рівня 113
Метод
- задання частинних значень 15
- інтегрування частинами 13
- множників Лагранжа 147
- невизначених коефіцієнтів 15
- підведення під знак
диференціала 12
Область визначення функції 113
-однозв'язна217
- поверхнево-однозв'язна 218
- правильна в напрямі осі 162
Обчислення
- довжини дуги 76
- координат центра ваги 79, 191, 192
-моментів інерції79, 191, 192
-об'ємів тіл 77, 189, 191
- площі плоскої області 75, 188
- поверхні 78, 190
- потоку векторного поля 270
- статичних моментів 79, 190, 192
412
Предметний вказівник
Обчислення інтеграла
— визначеного 57
— криволінійного другого роду 216
першого роду 213
— поверхневого другого роду 241
першого роду 238
— подвійного 162
— потрійного 176
Оператор Гамільтона 264
—
Лапласа 266
Первісна функції 10
Підстановки Ейлера 19
—
тригонометричні 22
Площина дотична до поверхні 143
Поверхня рівня 113, 259
Поле векторне 261
— потенціальне 263
— соленоїдальне 264
—
скалярне 259
Потік векторного поля 262
Похідна функції
—
за напрямом 117, 259
—
частинна 114
Ротор векторного поля 262
Теорема про середнє значення
функції 57, 162
Точка екстремуму 144
Умови екстремуму
— необхідні 145
— достатні 145
Умовний екстремум 147
Формула для обчислення повної
похідної 116
-Гріна 218
—
заміни змінної 12, 57
—
інтегрування частинами 13, 57
- Маклорена 144
- Ньютона-Лейбніца 57
- Тейлора 143
- Остроградського-Гаусса 242, 263
- Стокса 242, 263
Циркуляція векторного поля 263
г
ВІДПОВІДІ
Глава
1
п
1.1. -л/х^
+ С. 1.2. ^—+ С. 1.3.
лА7
+ С. 1.4. ^=-е*
+1п|х|
+ С.
З
п + т
3
Хл
/х
1.5.
-х
2
л/х+х
+ С. 1.6.
2-2ІПІ2І--
+ С. 1.7.
-ЛІХ^--і/х
3
+С.
5
1 1
2 7 3
2 СІ 5")*
1.8.
Зх ^— + С. 1.9.
-сІ§х-1§х
+ С . 1.10. 1§х-х + С.
Іп
1,5
1.11.
х
—
зіп
х + С . 1.12.
агс!§х- — +
С . 1.13.
1п|х|
+
2агсІ§х
+ С .
х
.
2 4
сіп
V Ї<Т V
1.14.
1§х + С. 1.15.
І£х-сІ§х
+ С. 1.16. - + С. 1.17. -^ + С.
2
4
Сх
+
1)
16
1 5 -
1.18.
-і —
+
С.ІЛ9.
7-
+ С . 1.20.
-—(8-Зх)
5
+С .
16 8(2х-3)
4
33'
7(8-2х)
+с }
^
_1^
(
,_
;с
2
)
з
+с 123>
^2
+1+с
1.21.
-
З
З
1.24.
-^(х
4
+1)
2
+С. 1.25.
—!— +
С. 1.26.
г§(1
+
1пх)
+ С.
8 созх
1.27.
ї - + С . 1.28.
(
АГС
*§*) +С.1.29.
271
+
ЧІХ+С.
2 (агсзіп
х) З
1.30. зіпЗх
+ С. 1.31.
-зіпЗх
+ С. 1.32.
--соз(2х-3)
+ С .
З
2
1.33.
І*
2х
+
С. 1.34.
-1п(е
2дг
+а
2
) + С. 1.35.
1п|іпх|
+ С.
1.36.
агсзіпу + С. 1.37. -ЦгсС§Зх + С. 1.38. агсзіп ^ + С.
1.39.
- агсзіп — + С . 1.40. -агсіех
2
+С. 1.41. -агсзіпх
4
+С .
З
2 2
й
4
1.42.
агсзіпх-л/і-х
2
+С . 1.43. агсзіпх + , + С.
1.44.
|р
-^/(х
2
-1)^-х
+ С. 1.45.
-г^Ь^-ІТ^Їп^
+
С-
414
Глава 1
1.46.
1.48.
1.50.
1.52.
1.53.
1.55.
1.56.
1.58.
1.61.
1.64.
1.67.
1.69.
1.72.
1.74.
|\/і-9х
2
+ (агссоз Зх)
3
+ С . 1.47.
Х-4ІП
х + 4\ + С.
— х-
—
1пІ2х + 1І
2 2
1
+ С . 1.49. -х-61п|3-х| + С
2х + 31п|х-2| + С.
1.51.х
+ 1п(х
2
+1) + С.
1-хІ + С.
1 4 ІЗ 1 2
— X X х -х-
4 3 2
х
4
1 х х
2
— -2х
2
+81п(х
2
+4) + -агсг§- + С. 1.54. -у + 1п|х + і| + С .
(
*~
2)
+-1п1х
2
+2х +
2І-9агсї2(х-1)
+ С .
2 2 І І
5
4х
3
х
3
х
2
+ х-1пІ2х+1І + С. 1.57. —-Зх + 2апл§х + С .
З
11
З
х
2
+14х + 103 Іп|х-7| + С . 1.59. Іп
х-1
+ С. 1.60. -Іп
2х-3
X 5 х +
1
+с.
2х-3
х + Іп
-Ііп
12
1
—агсіе
4 2
х-1
+ С . 1.62. -Іп
х-5
1
х-2
+ С . 1.62. -Іп
+ С 1.63. -Іп
х +
1
3
х-2 7 х + 5
+ с.
2х + 3
2х+1
1 х-1 1 х+1
+ С. 1.65.
—
агсіа—•— + С. 1.66.
-=агсг§—т=-
+ С .
2 2 4і УІ2
+ С . 1.68. ^-агсзіп(2х + 3) + С .
агсзіп(х-2) + С. 1.70. ^агсзіп ——- + С. 1.71. —агсзіп * +С .
3 3 3 д/3
Іп 1-х + л/5-2х + х
2
І
+ С. 1.73. -агсзіп
Зх
,_
2
+ С .
: + л/5-2х + х
2
]-
/ г
х
-1
-8-\/5 + 2х-х -Загсзіп—=- + С.
л/6
1.75.
1.76.
1.77.
—
1п(х +2х + 2) + агсІ§(х+ 1) + С .
1 2х
—
1
1п(4х
2
-4х + 17) +
—
агсі§
6 4
+ С.
Зл/х
2
+2х + 2 -41п
+1+7^
X
і
+2х + 2 +С . 1.78. Іп
Іх-ЗІ
+ С.
Відповіді
415
1.79. -лІ9х
2
+6х
+
2
+
—
ІпГзлг +
1
+
л/9д:
2
+6х
+
2 )+С .
9
9 І )
1.80.
- —
1п(5х
2
+ 6х +
18)
+ —
агсіе^^+С.
10
45
5
9
1.81.
—- — + С. 1.82.
2агсі§л/х+С.
2(х-2)
2
х-2
о
1 І . , .
1.83. -(*+1)
3
-3(х + 1)
3
+
31п|і
+
л/х
+
1
|
+ С.
1.84.
х
+
Ві^
+
£І^
+
2^
+
6^
+
6\п\УЇ-і\
+
зУх+С.
1.85.
^Г^+г'^+гіпЧ/*
7
-! 1+с.
5І_
]
1.86. ^{Зе
х
-4)ІІ(е
х
+\)
3
+С .
1.87.
2^/і + Іпх -
Іп
|
Іп
л:
|
-Н
2
Іп
|
^1
+1"
^ -і| + С. 1.88.
^-Іп
2
І§х
+ С.
гі—
1.89.
2[л/хТГ-1п(і
+
л/хТТ)]+С.
1.90. - *
+а
а
2
х
- +
С.
1.91.
—агсзіп
у а -х +С .
2
а 2
1.92. -у1х
2
-а
2
+—Іп
2
2
х
+
л/х
2
-а
2
+ С.1.93. --агсзіп —
+ С.
1.94.
=
+ С. 1.95. -
Л
2
1
V*"
агссоз—+
-
Тх
+
С .
1.96.
1п-
1
+
л/і
+ х'
-
+ С. 1.97. Іп
18
г
^
л/х
тс
—+—
2
4
V
/
+ ІП
л/х"
/2
1.98. агссоз--
~
]
+С . 1.99. 2
агсзіп л/х"
+ С.
X
X
1.100. —зіп2х- —хсозх
+ С.
1.101.хзіпх
+
созх
+ С.
4
2
1.102. -е"*(х
+
1)
+ С.
1.103.
Дг-(х1пЗ-1)
+ С.
Іп
2
З
416
Глава 1
1.104. ~(х
2
+ Г)агсі§х--| + С. 1.105. х(1пх-1) + С.
1.106. хагсіе.х--^1п(1 + х
2
) + С.
1.107.
(х + 1) агсі£,л/х-л/х +С.
1.108. 2л]х +1 агсзіпх + 4л/і - х + С. 1.109. хагсеозх-л/і-х
2
+С.
1.110. х
2
л/і + х
2
—р/(1 + х
2
)
3
+С. 1.111. -е
_дг
(2 + 2х + х
2
) + С.
1.112. е*(х
3
-Зх
2
+6х-6) + С. 1.113. а'
'х
2
2х 2
- + -
Іпа 1п
2
а 1п
3
а
+ С .
1.114. х(агсзіпх) +2 агсзіп х- л/і-х
2
-2х + С.
е*
е
3дг
1.115. —(зіп х - соз х) + С. 1.116. (зіп2х-5соз2х) + С .
2 13
X X
1.117.
—(зіп1пх-соз1пх) + С . 1.118.— (соз Іп х + зіп Іп х) + С .
2 2
1.119. -2л/х созл/х+2зіпл/х+С.
1.120.
—[(х
2
-1)зіпх-(х-1)
2
созх1+С
. 1.121. Іп ^
+
^ +С.
2
і
1
ТїхТГ
1.122. ^1п[(х-2)
2
>/2х+і]+С. 1.123. Іп
(х-1)
4
(х-4)
5
(х + 3)
1
+ С.
1.124. —1пІЗх+1І + —1пІ2х-ЗІ--1п|х| + С.
11
1 1
33
1
З
З 2
1.125. — + — + 4х + 1п
З 2
х
2
(х-2)
5
(х + 2)
3
+ С.
1.126. - +
ІПІХІ-—1п|2х-1І-
—1п|2х + 1І + С.
4
1 1
16
1 1
16
1 1
1.127.
1п|2х-і|-61п|2х-3| + 51п|2х-5| + С.
1.128. 41п х -Зіп х-1 + С. 1.129. Іп
11 1 1
х-1
х+1
+ + С.
х +
1
1.130.а)-^- + 1п|х + і| +
С;б)у--|
1п|х| + 20
1п|х-3|-у
1п|х-2| + С.
Відповіді
417
1.131.
х +
-+\п^
Х
1)
+ С.
1.132.21л
х + 4
х + 2
4
5х
+ 12
-
+
С.
1.133.
Іп
4?
г
+ С.
1.134.
-Іп-
+ 1
4
(х +
\)
2
(х
2
+1) 2
х + 6х + 8
1
-агсІ§х + С.
1.135.
а)
-Іп-іг
— +
-=агсІ§——+
С;
б) -Іп
6
х
2
-х + \ л/з л/3
и-і
х
2
+ х +
1
1
2х +1 ^
+ -= агсіе.—+ С .
4Ї
л/3
1.136.
а) Іп
2х
+ 5Г 1 х-1 ^
-
+ —агсіе + С;
2
2
б)
(х +
1)
- +
1п
|х-1|
|х-і|
4
х
г
+]
-агсі§х + С.
1.137.—
— + -^=-агсІ£
4(х
2
+2
4Ї
Ь
42~)
+с.
1.138. _А^+М£_А)
4(х"
+2)
агсІ^-^
+ С .
441
ь
41
1.139.
—^
-1п|х +
1І
+ -Іп(1+х
2
) + С.
2(х
2
+
1)
2
і
'4'
1.140.
—Іп х 1п(х" +1) + Іп(х' +4)
1
1.141.
16
4
1.142.
Іп
18
2х
-Зх" З,
+
—
Іп
х
4
-1
2
288
24(х
2
+4)
- +
С.
х
2
-1
х
2
+1
10
+с.
10
г + С .
(1
+ ^)
10
Ч£ V*" З'С
7
2^
1.143.
2л/х"~3
3
Ух"-8
4
Ух"
+ 6^ +
48'л
!
/х"
+
31п(1
+
1
л
г
/х")
+
33,
.лГ" І2/
-
„ч 1/1 £*!Х-\
+ —
Іп(л/х-'л7х+2)
—т=-агсІ§
Р
— + С.
171
2
12
/х-1
77
1.144.
6
1.145.
Іп
(х + 1)
2
(х +
1)
3
(х +
1)
6
(х+1) (х +
1)
6
(х +
1)
3
Н
1
9
8
П
+ х -4\-х
+с.
-Уі
+ х +л/і -х
+
2 агсіе..,/-—- + С.
І
+ х
418
Глава
1
и
2
-\
1.146.
Іп
477?
-л/з агсі§
+
1
\ +
2и
1
^ .1-х
—р.—+
С,де
И
= 2/-
лІЗ
V 1
+ х
, •
л~,
2 Г" 24 бГТ 36 7
бГ"
8
2
Г" 6 2 бГТ ^
1.147.
—
хліх
+—х ліх +— х~л/х +-х ліх
+
— х ліх +С.
З
11 13 5 17
1.148.
З
Іп
Гх
\+Тх
іЧх~
+ 3
2(\
+ Чх~)
2
+с.
1.149.
-і
Іп^л/х
2
+1-1 у~
Іп(^(х
2
+1)
2
+ л/х
2
+ І+1 ^+
лІЗ
2 л/х
2
+1+1 ^
+
—
агсГе
==
1-
С .
2
е
7з
1.150.
і^/(1 + х
3
)
8
—Ц/(1 + х
3
)
5
+С .
8
5
, 1
, и
2
+И-1
1
2м
+
1
_
1.151.
—Іп
—агсі£—;=—+
С,де и =
х
3
+1
6
(И-1)
2
VI VI
1.152.
-(4л/х+
4
Ух-з)^/і +
4
Ух + С.
1.153.
а) Іп ;
7
2 + х + 2\/х
2
+х + 1
1
, ліі + х-х
2
+лІ2
1
б)
—= Іп +
—==•
+С.
л/2
х
2лІ2
,
ч ^ 1 . З + Зх +
гл/зСх
2
+х
+
1)
_
ч
х ^
1.154.
а)
С--ргІп
— -;б) ./ +С.
л/з
х-1 \х + 2
1.155.
а) Іп
х
+
л/77
-л/2
Іп
1-х +
л/2(х
2
+1)
2(х
+
1)
+
С;б)
2х
2
-2х +
1
+
С.
1.156.
а)
-(х-1)л/х
2
-2х-1 -Іп х-1 + л/х
2
-2х-1
2
+
С
(х
+
2)л/і -4х-х
2
+
5 агсзіп
£ІД
/5
+
С
1.157.
а)
•
+
-1п-
2(22
+
1)
2
(22
+ 1)
3
,
де
=
х +
л/х
2
+х +
1
;
б)
Іп
2-І
•
2
агсІ§
2
, де г =
-
•477x7.
Відповіді
419
. 1 ( соз4х
1.158. -- + соз2х
4
2
+ С.
1.159.
1 .
2х + зіп 2х + — кіп 4х + — зіп 6х
2 З
„ , ,,
л ч
х зіп2х _
+ С. 1.160. а) + С ;
2 4
Зх 1 1 5х 1 (
б) зіп2х +—зіп4х + С ; в) (-—зіп2х
8 4 32 16 12
4
5
2
5 Д _
соз х + — соз х + —+ С.
18
. <г-< \ • зіп
3
X 2 з 1 5
1.161. а) зіпх \-С ; б) -созх + —соз х соз х + С ;
3 3 5
х- 4.
3
6.
5
4.
7
1.
9
в)зіпх
зіп х + —зіп X зіп х + —зіп Х + С.
3 5 7 9
1.162.
1.164.
г—+С. 1.163.
1§х+-І£
3
х
+ С.
зіпх 3зіп х З
созх 1
2зіп
2
х 2
+ -1п 12-
+ С. 1.165.
-(1§
2
х-сІ§
2
х)
+ 21п|і§х| + С.
1.166. а)
-1§
3
х-Іех
+ х + С ; б) — іе
4
х- — ге
2
х - Іп
І
созх І+ С:
З ь ь 4 2
1 1
в) х- —сІ§
7
х +
-т;СІ§
5
х-—СІ§
3
Х
+
СІ§Х
+ С ; г) —(х + 1п|зіпх + созх|) + С .
1.167.
ї + С . 1.168. — соз
3
х(Зсо5
2
х-5) + С.
1 + 1§х 15
—'—-+С.
1.171. -агсі§| 2і§- І+С.
созх-1 2 1 2 )
1.169. 1п|*8х|
Х
— + С. 1.170,
2 зіп х
4 / і х
Л
1 Іех
1.172. 1п(2 + созх) +
-7=агсІ§
—г=Щ—
\+С . 1.173.
-т=
агсіе,+ С .
л/3
ул/3 2 ^ л/2 л/2
1
1.174. + С. 1.175. -7=агсІ§(л/2і§х) + С. 3.176. 2Я^х~ + С .
2-18:
1.177.4
^ЇІ^+С.
1.178. - -І8х(2 + І8
2
х)л/4 - сі8
4
х + С. 3.179. а) х + С;
1 ,„ „ . . зп х • сЬх - х „
ч
1 , з
б) —зп2ах + С. 1.180. а)
2а
+ С;б) -сІГх-спх + С;
З
в) - зп
3
х + зпх + С . 1.181. а) х-Іпх + С ; б) х-- іЬ
3
х-Іпх + С ;
З З
420
Глава
1
в) х-сіпх
+ С.
1.182.
а) ^£ + ^£ + С;б)
1п|тх|
+ С;
в) -т---іп
3
-
+ С.
1.183.
2
2 6 2
£
2
,2
+
4,
С05Х
+
1
х
1
Зх 9
Л
—
+ — +
—
2
2 4
5ІПХ
+ С .
1.184.
Зе^л/х^-г^х+г^+С.
1.185.
Щх + ^уЇЇ^
+
с
5х
3
Зх"
1
1.186. 3^1п|и|-1п^1
+
л/і-и
2
^— агсзіп
и^+С, іде и = л/х .
1.187.
--Іп
4
х
*2
8зіп
2
-
-
+ С.
1.188.
-х
2
1п|і +
х
3
|--х
2
+
1
• , •> 1 і / ,ч л/з 2х-1 , ,„
л
2
І2
2
х-3
+ -1п(х--х+1)--1п(х
+
1)
+ —
агсі§—-=—
+ С.
1.189.
—^=^- + С .
4
2 2 ^3 3
1.190.
Іп
1
+ 12,-
+
С.
1.191. агсіг.
12
х
1
1
+ х
агсі§
х
1.192.
-Іп
6
х
1.193. х-1о§
2
І1-2-
г
|
+
Зх
3
6х
2
+
С
1п(л/2
+ І£
:
х
+
1§х)
+ С.
іп:
і
і і
—+
-+•
1-2*
2(1-2*)
2
3(1-2*)
*\3
+
С.
.
35х
5Іп2х
7 . ,
5Іп
3
2х
зіп8х
^
1.194.
+
-—зіп4х
+ + + С.
128
4 128 24 1024
1.195.
27
30 ,
-
+ Іп
х-5
х
+ 2
+
С.
1.196.
хІ§- + С.
49(х-5)
49(х + 2) 343
1.197.
х +
1п|е*
~з|
+ С.
1.198.
у^лЬ*
-1 -
агсіел/
2
*
-1 .
1.199.
5іп{е
х
)-е
х
со5(е
х
)
+ С .
1.200.
-^Іп
л/5
І§Х
+
Л
/Г2.
2
Х
+ |
+
С.
1.201.
—агсіе
аЬ
6
-Чх
+С