Пер. с нем. А.Г. Курош, с предисл. П.С. Александрова. — М.-Л.:
Гостехиздат, 1933. — 291 с.
Предлагаемая вниманию читателей книга известного американского
математика Максима Бохера является результатом лекций по высшей
алгебре, прочитанных автором в Гарвардском университете. Книга,
ставшая в свое время одним из самых лучших в мировой математической
литературе введений в эту часть алгебры, и в наши дни не утратила
актуальности. Она будет полезна читателям, знакомым с элементарной
алгеброй до квадратных уравнений включительно, а также с
элементарной аналитической геометрией.
Издание рекомендуется преподавателям, аспирантам и студентам
естественных и технических вузов, всем исследователям, применяющим
алгебраические методы и идеи в своей работе. Может быть
использовано в качестве учебного пособия.
Полиномы.
Полиномы от одной переменной. Полиномы от многих переменных. Геометрическая интерпретация. Однородные координаты. Непрерывность полиномов. Основная теорема алгебры.
Определители (детерминанты).
Определения. Разложение Лапласа. Теорема умножения. Окаймленные определители. Присоединенные определители и их миноры.
Линейные зависимости.
Определения и предварительные теоремы. Условия для линейной зависимости систем постоянных. Линейная зависимость полиномов. Геометрическая интерпретация.
Линейные уравнения.
Неоднородные линейные уравнения. Однородные линейные уравнения. Основная система решений однородных линейных уравнений.
Ранг матрицы.
Общая матрица. Симметрическая матрица.
Линейные преобразования. Комбинация матриц.
Матрица как комплексная величина. Умножение матриц. Линейные преобразования. Коллинеации. Алгебра матриц. Продолжение. Множества. Математические системы. Группы. Изоморфизм.
Инварианты. Основные понятия и примеры.
Абсолютные геометрические, алгебраические и арифметические инварианты. Эквивалентность. Ранг системы точек или системы линейных форм как инвариант. Относительные инварианты и коварианты. Некоторые теоремы о линейных формах. Двойное (ангармоническое) отношение. Гармоническое деление. Плоскостные координаты. Контрагредиентные переменные. Линейные координаты в пространстве.
Билинейные формы.
Алгебраическая теория. Геометрические приложения.
Квадратические формы. Геометрическое введение.
Поверхности второго порядка; касательные; касательные плоскости. Сопряженные точки. Полярные плоскости. Классификация поверхностей второго порядка в зависимости от ранга. Нормальные формы уравнения поверхности второго порядка.
Квадратичные формы.
Общая квадратичная форма и ее полярная форма. Матрица и дискриминант квадратичной формы. Двойные точки квадратичных форм. Привидение квадратичной формы к сумме квадратов. Нормальная форма. Эквивалентность квадратичных форм. Приводимые формы. Целые рациональные инварианты квадратичной формы. Другой прием привидения квадратичной формы к сумме квадратов.
Вещественные квадратичные формы.
Закон инерции. Классификация вещественных квадратичных форм. Определенные и неопределенные формы.
Система, состоящая из одной квадратичной и нескольких линейных форм.
Плоскости и прямые в связи с поверхностью второго порядка. Присоединенная квадратичная форма. Инварианты. Ранг присоединенной формы.
Пара квадратичных форм.
Пара конических сечений. Инварианты пары квадратичных форм. Их лямбда-уравнение. Нормальные формы. Лямбда-уравнение не имеет кратных корней. Нормальные формы. Форма пси определенная и неособенная.
Некоторые общие свойства полиномов.
Делитель. Приводимость. Неприводимость общего и симметрического определителя. Соответствующие однородные и неоднородные полиномы. Деление полиномов. Особенное преобразование полинома.
Общий делитель полиномов от одной переменной и бинарных форм.
Разложение на линейные множители. Общий наибольший делитель целых положительных чисел. Общий наибольший делитель двух полиномов от одной переменной. Результат двух полиномов от одной переменной. Общий наибольший делитель в форме определителя. Общие корни уравнений. Исключение. Случаи a0=0 и b0=
0. Результат двух бинарных форм.
Делители полиномов от двух и более переменных.
Делители, содержащие только одну переменную. Алгорифм Евклида для полиномов от двух переменных. Делители полиномов от трех и более переменных.
Целые рациональные инварианты. Общие теоремы.
Инвариантность множителей инварианта. Относительные инварианты, рассматриваемые с более общей точки зрения. Изобарный характер инвариантов и ковариантов. Геометрические свойства. Принцип однородности. Однородные инварианты. Результанты и дискриминанты бинарных форм.
Симметрические полиномы.
Основные понятия. Функции Сигма и S. Элементарные симметрические функции. Степень и вес симметрических полиномов. Результант и дискриминант полиномов от одной переменной.
Полиномы симметрические от пар переменных.
Основные понятия. Функции Сигма и S. Элементарные симметрические функции. Бинарные симметрические функции. Результанты и дискриминанты бинарных форм.
Элементарные делители. Эквивалентность лямбда-матриц.
Лямбда-матрицы и их элементарные преобразования. Инвариантные множители и элементарные делители. Вычисление инвариантных множителей и элементарных делителей. Эквивалентность лямбда-матриц: другое определение. Умножение и деление лямбда-матриц.
Эквивалентность и классификация пар билиненых форм и коллинеаций.
Эквивалентность пар матриц. Эквивалентность пар билинейных форм. Эквивалентность коллинеаций. Классификация пар билинейных форм. Классификация коллинеаций.
Эквивалентность и классификация пар квадратичных форм.
Две теоремы из теории матриц. Симметрические матрицы. Эквивалентность пар квадратичных форм. Классификация пар квадратичных форм. Пары квадратных уравнений. Системы форм и уравнений. Заключение.
Полиномы от одной переменной. Полиномы от многих переменных. Геометрическая интерпретация. Однородные координаты. Непрерывность полиномов. Основная теорема алгебры.
Определители (детерминанты).
Определения. Разложение Лапласа. Теорема умножения. Окаймленные определители. Присоединенные определители и их миноры.
Линейные зависимости.
Определения и предварительные теоремы. Условия для линейной зависимости систем постоянных. Линейная зависимость полиномов. Геометрическая интерпретация.
Линейные уравнения.
Неоднородные линейные уравнения. Однородные линейные уравнения. Основная система решений однородных линейных уравнений.
Ранг матрицы.
Общая матрица. Симметрическая матрица.
Линейные преобразования. Комбинация матриц.
Матрица как комплексная величина. Умножение матриц. Линейные преобразования. Коллинеации. Алгебра матриц. Продолжение. Множества. Математические системы. Группы. Изоморфизм.
Инварианты. Основные понятия и примеры.
Абсолютные геометрические, алгебраические и арифметические инварианты. Эквивалентность. Ранг системы точек или системы линейных форм как инвариант. Относительные инварианты и коварианты. Некоторые теоремы о линейных формах. Двойное (ангармоническое) отношение. Гармоническое деление. Плоскостные координаты. Контрагредиентные переменные. Линейные координаты в пространстве.
Билинейные формы.
Алгебраическая теория. Геометрические приложения.
Квадратические формы. Геометрическое введение.
Поверхности второго порядка; касательные; касательные плоскости. Сопряженные точки. Полярные плоскости. Классификация поверхностей второго порядка в зависимости от ранга. Нормальные формы уравнения поверхности второго порядка.
Квадратичные формы.
Общая квадратичная форма и ее полярная форма. Матрица и дискриминант квадратичной формы. Двойные точки квадратичных форм. Привидение квадратичной формы к сумме квадратов. Нормальная форма. Эквивалентность квадратичных форм. Приводимые формы. Целые рациональные инварианты квадратичной формы. Другой прием привидения квадратичной формы к сумме квадратов.
Вещественные квадратичные формы.
Закон инерции. Классификация вещественных квадратичных форм. Определенные и неопределенные формы.
Система, состоящая из одной квадратичной и нескольких линейных форм.
Плоскости и прямые в связи с поверхностью второго порядка. Присоединенная квадратичная форма. Инварианты. Ранг присоединенной формы.
Пара квадратичных форм.
Пара конических сечений. Инварианты пары квадратичных форм. Их лямбда-уравнение. Нормальные формы. Лямбда-уравнение не имеет кратных корней. Нормальные формы. Форма пси определенная и неособенная.
Некоторые общие свойства полиномов.
Делитель. Приводимость. Неприводимость общего и симметрического определителя. Соответствующие однородные и неоднородные полиномы. Деление полиномов. Особенное преобразование полинома.
Общий делитель полиномов от одной переменной и бинарных форм.
Разложение на линейные множители. Общий наибольший делитель целых положительных чисел. Общий наибольший делитель двух полиномов от одной переменной. Результат двух полиномов от одной переменной. Общий наибольший делитель в форме определителя. Общие корни уравнений. Исключение. Случаи a0=0 и b0=
0. Результат двух бинарных форм.
Делители полиномов от двух и более переменных.
Делители, содержащие только одну переменную. Алгорифм Евклида для полиномов от двух переменных. Делители полиномов от трех и более переменных.
Целые рациональные инварианты. Общие теоремы.
Инвариантность множителей инварианта. Относительные инварианты, рассматриваемые с более общей точки зрения. Изобарный характер инвариантов и ковариантов. Геометрические свойства. Принцип однородности. Однородные инварианты. Результанты и дискриминанты бинарных форм.
Симметрические полиномы.
Основные понятия. Функции Сигма и S. Элементарные симметрические функции. Степень и вес симметрических полиномов. Результант и дискриминант полиномов от одной переменной.
Полиномы симметрические от пар переменных.
Основные понятия. Функции Сигма и S. Элементарные симметрические функции. Бинарные симметрические функции. Результанты и дискриминанты бинарных форм.
Элементарные делители. Эквивалентность лямбда-матриц.
Лямбда-матрицы и их элементарные преобразования. Инвариантные множители и элементарные делители. Вычисление инвариантных множителей и элементарных делителей. Эквивалентность лямбда-матриц: другое определение. Умножение и деление лямбда-матриц.
Эквивалентность и классификация пар билиненых форм и коллинеаций.
Эквивалентность пар матриц. Эквивалентность пар билинейных форм. Эквивалентность коллинеаций. Классификация пар билинейных форм. Классификация коллинеаций.
Эквивалентность и классификация пар квадратичных форм.
Две теоремы из теории матриц. Симметрические матрицы. Эквивалентность пар квадратичных форм. Классификация пар квадратичных форм. Пары квадратных уравнений. Системы форм и уравнений. Заключение.