Общая алгебра
Математика
  • формат pdf
  • размер 4,57 МБ
  • добавлен 25 декабря 2016 г.
Диксон Л.E. Линейные алгебры
ОНТИ Харьков, 1935. — 80 с.
Теория линейных ассоциативных алгебр (или замкнутых систем гиперкомплексных чисел) является по существу теорией пар взаимных линейных групп или теорией некоторых рядов матриц или билинейных форм. Начиная с открытия Гамильтоном кватернионов семьдесят лет тому назад, быстро возрастало число сочинений относительно этих разнообразных теорий. Французская математическая энциклопедия посвящает более ста страниц соотношениям и изложениям результатов по этому предмету (с добавлением статей об обыкновенных комплексных числах). Однако, предмет богат не только в отношении объема, но также отличается большой глубиной, простираясь в самую основу новой алгебры.
Цель этого труда - дать элементарное введение в общую теорию линейных алгебр, включая также неассоциативные алгебры. Он сохраняет характер ряда лекций, прочитанных в Чикагском университете в весеннем квартале 1913 года. Предмет изложения представлен с точки зрения линейных алгебр. Здесь не употребляется терминология или теоремы, специально относящиеся к теории билинейных форм, матриц или групп.
Первая часть устанавливает определения, конкретные иллюстрации, и важные теоремы, допускающие краткое и элементарное доказательство. Здесь дается очень элементарное, доказательство теоремы Фробениуса, которая показывает специфическое место кватернионов в алгебрах. Замечательные свойства алгебры Кэли были получены сначала в простой форме, без вычислений. Будут представлены также другие новые результаты и новые точки зрения в этой вступительной части.
Представляя в частях II и IV главные теоремы общей теории, необходимо было сделать выбор между изложениями Молина, Картана и Веддерборна (изложение Фробениуса основано на билинейных формах и потому лежит вне нашего плана изложения). Мы не представили теорию Молина отчасти потому, что его более поздние доказательства зависят от теории групп, и отчасти потому, что некоторые из его более ранних доказательств не совсем точно проведены относительно их методов. Более общая статья Веддерборна основана скорее на абстрактном исчислении комплексных величин, сравнимом с теорией абстрактных групп. Зато она (статья) получает сравнительно быстро важные теоремы не только для обычных случаев комплексных или реальных алгебр, но также для алгебр, числовые координаты которых находятся над некоторым полем. Так как наша трактовка общей теории должна быть элементарной, конкретной и пользоваться лишь немногими легко воспринимаемыми понятиями, то мы ограничили наше изложение классическим случаем алгебр, числа которых имеют обыкновенные комплексные координаты, и дали осторожный пересмотр теории, представленной в фундаментальном труде Картана. Параллельно с общей теорией рассматривается иллюстративный пример, хотя и независимо, но в духе всей теории.
В то время как благодаря этому мы теряем обобщение на общее поле, мы получаем важные нормализованные ряды единиц, данные первоначально Шефферсом с некоторыми ограничениями, и этим достигаем аналогий относительно важных теорий о канонических формах групп линейных преобразований или рядов матриц, или билинейных форм.
Чикаго. 1914 г., май, Л. Э. Диксон
Предисловие
Определения, иллюстрации и элементарные теоремы
Определение обыкновенных комплексвых чисел; числовые поля
Матрицы; матричная алгебра, рассматриваемая как линейная алгебра
Общее определение гиперкомплексных чисел и линейных алгебр
Деление; главная единица (модуль); преобразование единиц
Всякое число линейной алгебры является корнем уравнения; полиномы с единственной переменной
Алгебры реальных кватерниовов, их единственное место среди алгебр
Простейшие алгебраические свойства реальных кватернионов; эквивалентность комплекснoй кватернионной и матричной алгебр
Обобщение реальныx кватернионов посредством восьми единиц Кэли
Характеристические детерминанты; инварианты и коварианты
Бинарные линейные алгебры с главной единицей
Ранг и ранговое уравнение линейной алгебры
Комплексные тернарные алгебры с модулем
Приводимые линейные ассоциативные алгебры с модулем; прямое произведение двух алгебр
Единицы, нормализованные относительно числа; пример
Пересмотр общей теории Картана комплексных линейных ассоциативных алгебр с модулем
Единицы, имеющие характер; теорема
Под-алгебры ∑i; нильпотентные чиcла; нормализованные единицы; примеры; теорема
Разделение алгебр на две категории
Aлгебра А1 первой категории; теоремы; нормализованные единицы нильпотентной алгебры
Нормализованные единицы А1 первой категории
Aлгебры А2 второй категории; свойства характеристического детерминанта для А2; пример; под-алгебры S1 и А2; предваритeльный критерий для алгебры А2 второй категории; обозначение
Нормализованные единичные алгебры A2 второй категории; характеристический детерминант δ алгебры А2. Инвариантная под-алгебра; простая и полу-простая алгебры
Главная теорема; коммутативные алгебры
Отношения линейных алгебр к другим предметам
Линейные ассоциативные алгебры и линейные группы
Линейные ассоциативные алгебры и билинейные формы
Отношение линейных алгебр к конечным группам
Tочка зрения Дедекинда на ассоциативные коммутативные алгебры
Линейные алгебры над полем F
Формулировка главной теоремы; реальные простые алгебры
Алгебры Вейерштрасса
Делительные алгебры
Формулирование дальнейших результатов
Аналитические функции от гиперкомплексных чисел