М.: Мир, 1990. — 792 с.: ил.
Задача о плотнейшей возможной упаковке равных шаров в евклидовом
пространстве - часть восемнадцатой проблемы Гильберта - известна
большинству математиков с ранней юности как задача геометрии.
Слегка ограничив рассмотрение - потребовав, чтобы центры шаров
образовывали аддитивную подгруппу (решетку)- мы приходим к не менее
классическим задачам теории чисел о минимумах унимодулярных
квадратичных форм и об их классификации. Эта проблематика в свою
очередь тесно связана с одной из наиболее архетипических задач
алгебры - классификацией конечных простых групп.
Несколько неожиданно для «чистого» математика все эти задачи оказываются применимыми к проблемам теории передачи и хранения информации и тесно связаны с теорией кодов, исправляющих ошибки. Казалось бы, при столь конкретных приложениях эта столь бурно развивающаяся область может погрязнуть в обилии вычислений и элементарных конструкций. Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные приложения требуют глубокой математики. За последний год-два были открыты конструкции очень плотных упаковок шаров, естественно возникающие из глобальных полей (в том: числе из модулярных кривых над конечным полем) и из эллиптических кривых над глобальными полями. Тем самым этот круг идей был включен в контекст алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел.
Предлагаемая читателю книга Дж. Конвея и Н. Слоэна является как введением в эту область, так и практически единственным в мировой литературе энциклопедическим изложением, доведенным почти до самых последних результатов. Предисловие к русскому изданию
Предисловие
Упаковки шаров и контактные числа
Проблема упаковки шаров
Проблема контактного числа
Приложение. Перемещения планет
Покрытия, решетки и квантизаторы
Проблема покрытия
Решетки, квадратичные формы и теория чисел
Квантизаторы
Коды, t-схемы и группы
Проблема кодирования для канала
Коды, исправляющие ошибки
t-схемы, системы Штейнера и сферические t-схемы
Связи с теорией групп
Некоторые важные решетки и их свойства
Введение
Группы отражений и решетки корней
Теория склейки
Обозначения; тэта-функции
n-мерная кубическая решетка Zn
n-мерные решетки Аn и А*n
n-мерные решетки Dn и D*n
Решетки Е6, Е7 и Е8
Двенадцатимерная решетка Кокстера-Тодда К12
Шестнадцатимерная решетка Барнса-Уолла Λ16
Двадцатичетырехмерная решетка Лича Λ24
Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Введение
Конструкция А
Конструкция В
Послойные конструкции упаковок
Другие кодовые конструкции упаковок
Конструкция С
Слоистые решетки
Введение
Основные результаты
Свойства решеток Λ0, ..., Λ8
Размерности от 9 до 16
Глубокие дыры в Λ16
Размерности от 17 до 24
Размерности от 25 до 48
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки
Дальнейшие результаты о связях между кодами и упаковками
Введение
Конструкция А
Самодвойствнные (или типа I) коды и решетки
Экстремальные коды и решетки типа I
Конструкция В
Коды и решетки типа II
Экстремальные коды и решетки типа II
Конструкции А и В для комплексных решеток
Самодвойственные недвоичные коды и комплексные решетки
Экстремальные недвоичные коды и комплексные решетки
Алгебраические конструкции решеток
Введение
Икосианы и решетка Лича
Общий подход к конструкции А и 64-мерная решетка Квеббеманна
Решетки над Z [eπi/4] и 32-мерная решетка Квеббеманна
40-мерная экстремальная решетка Маккея
Повторяющиеся разности и решетки Крэйга
Решетки из алгебраической теории чисел
Конструкции D и D'
Конструкция Е
Примеры конструкции Е
Границы для кодов и упаковок шаров
Введение
Зональные сферические функции
Границы линейного программирования
Другие границы
Три лекции об исключительных группах
Первая лекция
Вторая лекция
Третья лекция
Приложение об исключительных простых группах
Коды Голея и группы Матье
Введение
Определения гексакода
Распознавание слова гексакода
Дополнение слова гексакода
Код Голея E24 и MOG
Дополнение до октады ее 5 точек
Максимальные подгруппы группы М24
Проективная группа L2(23)
Секстетная группа 26: 3•S6
Октадная группа 24: А8
Триадная группа и проективная плоскость порядка
Трионная группа 26: (S3 Х L2(7))
Октерная группа
Группа Матье М23
Группа М22 : 2
Группа М12 , тетракод и MINIMOG
Карточные и другие игры
Дальнейшие построения для M12
Характеризация решетки Лича
Границы для контактных чисел
Общая верхняя граница
Численные результаты
Единственность некоторых сферических кодов
Введение
Единственность кода мощности 240 в Ω3
Единственность кода мощностн 56 в Ω7
Единственность кода мощности 196560 в Ω24
Единственность кода мощности 4600 в Ω23
Классификация целочисленных квадратичных форм
Введение
Определения
Классификация бинарных квадратичных форм
р-адические числа
Рациональные инварианты квадратичных форм
Инвариантность и полнота системы рациональных инвариантов
Род и его инварианты
Классификация форм с малым детерминантом и р-элементарных форм
Спинорный род
Классификация положительно определенных форм
Сложность вычислений
Перечисление унимодулярных решеток
Решетки Нимейера и решетка Лича
Масс-формула для решеток
Проверка списка Нимейера
Перечисление унимодулярных решеток в размерностях n≤ 23
24-мерные нечетные унимодулярные решетки
Введение
24-мерные четные унимодулярные решетки
Введение
Возможные конфигурации минимальных векторов
О решетках с системами корней максимального ранга
Построение решеток Нимейера
Характеризация решетки Лича
Перечисление экстремальных самодвойственных решеток
Размериости 1-16
Размерности 17-47
Размерности n >48
Поиск ближайшей точки решетки
Введение
Решетки Zn, Dn и Аn
Декодирующие объединения смежных классов
«Мягкое» декодирование для двоичных кодов
Декодирование решеток, получаемых конструкцией А
Декодирование решетки Е8
Многогранники Вороного и ошибки квантизации
Введение
Вторые моменты многогранников
Многогранники Вороного и среднеквадратическая ошибка решетчатых квантизаторов
Оценка радиуса покрытия решетки Лича
Радиус покрытия решетки Лича
Введение
Диаграмма Кокстера - Дынкина дыры
Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Аn
Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Dn
Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Еn
Двадцать три конструкции решетки Лича
«Дырявая конструкция»
Окрестности глубокой дыры
Клеточная структура решетки Лича
Введение
Наименования дыр
Формула объема
Перечисление мелких дыр
Гиперболические формы решетки Лича
Унимодулярные гиперболические решетки
Гиперболические конструкции для решетки Лича
Группа автоморфизмов четной унимодулярной 26-мерной гиперболической решетки
Введение
Основная теорема
Корни Лича и группы Винберга
Корни Лича
Перечисление корней Лича
Решетки In. i для n ≤19
Алгоритм Винберга и первые группы фундаментальных корней
Остальные группы фундаментальных корней
Монстр и его 196884-мерное пространство
Введение
Код Голея и лупа Паркера
Группа Матье М24; стандартные автоморфизмы лупы
Кокод Голея и диагональные автоморфизмы
Группа N перестановок троек
Ядро К и гомоморфизм g → g ̅
Структура различных подгрупп группы N ̅
Решетка Лича Λ24 и группа Q ̅x
Короткие элементы
Основные представления группы Nx
Словарь
Алгебра
Определение Монстра G ̅ и его конечность
Отождествление с Монстром. . . . . .
Приложение 1. Вычисления в P
Приложение 2. Конструкция P
Приложение 3. Некоторые соотношения в Qx
Приложение 4. Конструкция представлений Nx
Приложение 5. Конструкция группы G ̅х
Алгебра Ли Монстра?
Список литературы
Указатель обозначений
Предметный указатель
Несколько неожиданно для «чистого» математика все эти задачи оказываются применимыми к проблемам теории передачи и хранения информации и тесно связаны с теорией кодов, исправляющих ошибки. Казалось бы, при столь конкретных приложениях эта столь бурно развивающаяся область может погрязнуть в обилии вычислений и элементарных конструкций. Однако реальность в очередной раз подтверждает, что серьезные приложения требуют глубокой математики. За последний год-два были открыты конструкции очень плотных упаковок шаров, естественно возникающие из глобальных полей (в том: числе из модулярных кривых над конечным полем) и из эллиптических кривых над глобальными полями. Тем самым этот круг идей был включен в контекст алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел.
Предлагаемая читателю книга Дж. Конвея и Н. Слоэна является как введением в эту область, так и практически единственным в мировой литературе энциклопедическим изложением, доведенным почти до самых последних результатов. Предисловие к русскому изданию
Предисловие
Упаковки шаров и контактные числа
Проблема упаковки шаров
Проблема контактного числа
Приложение. Перемещения планет
Покрытия, решетки и квантизаторы
Проблема покрытия
Решетки, квадратичные формы и теория чисел
Квантизаторы
Коды, t-схемы и группы
Проблема кодирования для канала
Коды, исправляющие ошибки
t-схемы, системы Штейнера и сферические t-схемы
Связи с теорией групп
Некоторые важные решетки и их свойства
Введение
Группы отражений и решетки корней
Теория склейки
Обозначения; тэта-функции
n-мерная кубическая решетка Zn
n-мерные решетки Аn и А*n
n-мерные решетки Dn и D*n
Решетки Е6, Е7 и Е8
Двенадцатимерная решетка Кокстера-Тодда К12
Шестнадцатимерная решетка Барнса-Уолла Λ16
Двадцатичетырехмерная решетка Лича Λ24
Упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки
Введение
Конструкция А
Конструкция В
Послойные конструкции упаковок
Другие кодовые конструкции упаковок
Конструкция С
Слоистые решетки
Введение
Основные результаты
Свойства решеток Λ0, ..., Λ8
Размерности от 9 до 16
Глубокие дыры в Λ16
Размерности от 17 до 24
Размерности от 25 до 48
Приложение. Лучшие известные целочисленные решетки
Дальнейшие результаты о связях между кодами и упаковками
Введение
Конструкция А
Самодвойствнные (или типа I) коды и решетки
Экстремальные коды и решетки типа I
Конструкция В
Коды и решетки типа II
Экстремальные коды и решетки типа II
Конструкции А и В для комплексных решеток
Самодвойственные недвоичные коды и комплексные решетки
Экстремальные недвоичные коды и комплексные решетки
Алгебраические конструкции решеток
Введение
Икосианы и решетка Лича
Общий подход к конструкции А и 64-мерная решетка Квеббеманна
Решетки над Z [eπi/4] и 32-мерная решетка Квеббеманна
40-мерная экстремальная решетка Маккея
Повторяющиеся разности и решетки Крэйга
Решетки из алгебраической теории чисел
Конструкции D и D'
Конструкция Е
Примеры конструкции Е
Границы для кодов и упаковок шаров
Введение
Зональные сферические функции
Границы линейного программирования
Другие границы
Три лекции об исключительных группах
Первая лекция
Вторая лекция
Третья лекция
Приложение об исключительных простых группах
Коды Голея и группы Матье
Введение
Определения гексакода
Распознавание слова гексакода
Дополнение слова гексакода
Код Голея E24 и MOG
Дополнение до октады ее 5 точек
Максимальные подгруппы группы М24
Проективная группа L2(23)
Секстетная группа 26: 3•S6
Октадная группа 24: А8
Триадная группа и проективная плоскость порядка
Трионная группа 26: (S3 Х L2(7))
Октерная группа
Группа Матье М23
Группа М22 : 2
Группа М12 , тетракод и MINIMOG
Карточные и другие игры
Дальнейшие построения для M12
Характеризация решетки Лича
Границы для контактных чисел
Общая верхняя граница
Численные результаты
Единственность некоторых сферических кодов
Введение
Единственность кода мощности 240 в Ω3
Единственность кода мощностн 56 в Ω7
Единственность кода мощности 196560 в Ω24
Единственность кода мощности 4600 в Ω23
Классификация целочисленных квадратичных форм
Введение
Определения
Классификация бинарных квадратичных форм
р-адические числа
Рациональные инварианты квадратичных форм
Инвариантность и полнота системы рациональных инвариантов
Род и его инварианты
Классификация форм с малым детерминантом и р-элементарных форм
Спинорный род
Классификация положительно определенных форм
Сложность вычислений
Перечисление унимодулярных решеток
Решетки Нимейера и решетка Лича
Масс-формула для решеток
Проверка списка Нимейера
Перечисление унимодулярных решеток в размерностях n≤ 23
24-мерные нечетные унимодулярные решетки
Введение
24-мерные четные унимодулярные решетки
Введение
Возможные конфигурации минимальных векторов
О решетках с системами корней максимального ранга
Построение решеток Нимейера
Характеризация решетки Лича
Перечисление экстремальных самодвойственных решеток
Размериости 1-16
Размерности 17-47
Размерности n >48
Поиск ближайшей точки решетки
Введение
Решетки Zn, Dn и Аn
Декодирующие объединения смежных классов
«Мягкое» декодирование для двоичных кодов
Декодирование решеток, получаемых конструкцией А
Декодирование решетки Е8
Многогранники Вороного и ошибки квантизации
Введение
Вторые моменты многогранников
Многогранники Вороного и среднеквадратическая ошибка решетчатых квантизаторов
Оценка радиуса покрытия решетки Лича
Радиус покрытия решетки Лича
Введение
Диаграмма Кокстера - Дынкина дыры
Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Аn
Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Dn
Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Еn
Двадцать три конструкции решетки Лича
«Дырявая конструкция»
Окрестности глубокой дыры
Клеточная структура решетки Лича
Введение
Наименования дыр
Формула объема
Перечисление мелких дыр
Гиперболические формы решетки Лича
Унимодулярные гиперболические решетки
Гиперболические конструкции для решетки Лича
Группа автоморфизмов четной унимодулярной 26-мерной гиперболической решетки
Введение
Основная теорема
Корни Лича и группы Винберга
Корни Лича
Перечисление корней Лича
Решетки In. i для n ≤19
Алгоритм Винберга и первые группы фундаментальных корней
Остальные группы фундаментальных корней
Монстр и его 196884-мерное пространство
Введение
Код Голея и лупа Паркера
Группа Матье М24; стандартные автоморфизмы лупы
Кокод Голея и диагональные автоморфизмы
Группа N перестановок троек
Ядро К и гомоморфизм g → g ̅
Структура различных подгрупп группы N ̅
Решетка Лича Λ24 и группа Q ̅x
Короткие элементы
Основные представления группы Nx
Словарь
Алгебра
Определение Монстра G ̅ и его конечность
Отождествление с Монстром. . . . . .
Приложение 1. Вычисления в P
Приложение 2. Конструкция P
Приложение 3. Некоторые соотношения в Qx
Приложение 4. Конструкция представлений Nx
Приложение 5. Конструкция группы G ̅х
Алгебра Ли Монстра?
Список литературы
Указатель обозначений
Предметный указатель