М.: «Наука», 1972.
Книга посвящена кругу задач, связанных с описанием множества решений уравнения третьей степени от многих переменных. На геометрическом языке это — вопрос об описании точек на кубической гиперповерхности с координатами в данном поле. В классическом одномерном случае на этот вопрос отвечает теория эллиптических кривых. Построению многомерного варианта была посвящена серия журнальных работ автора, результаты которых, систематизированные и расширенные, излагаются в монографии. Кроме этого, книга содержит введение в теорию одного класса неассоциативных алгебраических структур (лупы Муфанг), современное изложение теории 27 прямых на кубической поверхности и ее связи с группами Вейля и новый подход к теоретико-числовому принципу Минковского — Хассе. Оглавление:
CH-квазигруппы и лупы Муфанг.
Сводка определений и результатов.
Симметричные абелевы квазигруппы.
CH-квазигруппы.
Коммутативные лупы Муфанг.
Связь между СН-квазигруппами и лупами Муфанг.
Морфизмы СН-квазигрупп и луп Муфанг.
Первая структурная теорема.
Вторая структурная теорема.
Конечные группы Фишера.
Нерешенные вопросы и литературные указания.
Классы точек на кубических гиперповерхностях.
Допустимые отношения эквивалентности: обзор.
Унирациональность.
Универсальная эквивалентность.
R-эквивалентность: основные свойства.
R-эквивалентность и квадратичные расширения.
Универсальная эквивалентность над локальными полями. Примеры.
Двумерная бирациональиая геометрия.
Основные результаты.
Моноидальные преобразования.
Моноидальные преобразования и дивизоры.
Основные теоремы о бирациональных отображениях.
Двадцать семь прямых.
Основные результаты.
Поверхности дель-Пеццо.
Группа Пикара и системы корней.
Исключительные кривые и группы Вейля.
Дзета-функция.
Минимальность и классы сопряженных элементов в группах Вейля.
Когомологический инвариант и степень унирациональности.
Рациональные точки.
Таблицы и комментарии. Теорема Артина — Тэйта.
Литературные указания.
Минимальные кубические поверхности.
Обзор результатов.
Основной бирациональный инвариант.
Пенистое пространство.
Вычисления на кубических поверхностях.
Бирациоиальная нетривиальность.
Бирациоиальяая классификация.
Соотношения между образующими.
Литературные указания.
Группа Брауэра—Гротеидика.
Обзор результатов. Препятствия к принципу Хассе.
Конструкция алгебр Ацумая.
Эквивалентность Брауэра.
Теорема конечности.
Вычисление эквивалентности Брауэра. Примеры.
Один отрицательный результат.
Контрпримеры к принципу Хассе.
Книга посвящена кругу задач, связанных с описанием множества решений уравнения третьей степени от многих переменных. На геометрическом языке это — вопрос об описании точек на кубической гиперповерхности с координатами в данном поле. В классическом одномерном случае на этот вопрос отвечает теория эллиптических кривых. Построению многомерного варианта была посвящена серия журнальных работ автора, результаты которых, систематизированные и расширенные, излагаются в монографии. Кроме этого, книга содержит введение в теорию одного класса неассоциативных алгебраических структур (лупы Муфанг), современное изложение теории 27 прямых на кубической поверхности и ее связи с группами Вейля и новый подход к теоретико-числовому принципу Минковского — Хассе. Оглавление:
CH-квазигруппы и лупы Муфанг.
Сводка определений и результатов.
Симметричные абелевы квазигруппы.
CH-квазигруппы.
Коммутативные лупы Муфанг.
Связь между СН-квазигруппами и лупами Муфанг.
Морфизмы СН-квазигрупп и луп Муфанг.
Первая структурная теорема.
Вторая структурная теорема.
Конечные группы Фишера.
Нерешенные вопросы и литературные указания.
Классы точек на кубических гиперповерхностях.
Допустимые отношения эквивалентности: обзор.
Унирациональность.
Универсальная эквивалентность.
R-эквивалентность: основные свойства.
R-эквивалентность и квадратичные расширения.
Универсальная эквивалентность над локальными полями. Примеры.
Двумерная бирациональиая геометрия.
Основные результаты.
Моноидальные преобразования.
Моноидальные преобразования и дивизоры.
Основные теоремы о бирациональных отображениях.
Двадцать семь прямых.
Основные результаты.
Поверхности дель-Пеццо.
Группа Пикара и системы корней.
Исключительные кривые и группы Вейля.
Дзета-функция.
Минимальность и классы сопряженных элементов в группах Вейля.
Когомологический инвариант и степень унирациональности.
Рациональные точки.
Таблицы и комментарии. Теорема Артина — Тэйта.
Литературные указания.
Минимальные кубические поверхности.
Обзор результатов.
Основной бирациональный инвариант.
Пенистое пространство.
Вычисления на кубических поверхностях.
Бирациоиальная нетривиальность.
Бирациоиальяая классификация.
Соотношения между образующими.
Литературные указания.
Группа Брауэра—Гротеидика.
Обзор результатов. Препятствия к принципу Хассе.
Конструкция алгебр Ацумая.
Эквивалентность Брауэра.
Теорема конечности.
Вычисление эквивалентности Брауэра. Примеры.
Один отрицательный результат.
Контрпримеры к принципу Хассе.