Экзамен. ТГУ, Россия, Бухтяк М.С., 2004 г.
Определитель третьего порядка. Схема вычисления «по правилу
треугольников» и по «правилу добавления столбцов».
Перестановка. Определение. Инверсия. Чётность перестановки.
Теорема: Если поменять местами 2 соседних элемента перестановки, то чётность её изменится.
Теорема: Если поменять местами два любые элемента перестановки, чётность перестановки изменится на противоположную.
Подстановка. Чётность.
Теорема: Если поменять местами два любых столбца подстановки, то чётность её не изменится.
Агрегат определителя. Слагаемое определителя.
Определение определителя произвольного порядка.
Свойства определителя.
Определение минора определителя. Алгебраическое дополнение минора.
Теорема Лапласа.
Разложение определителя по строке (по столбцу).
Понижение порядка определителя.
Теорема: Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки того же определителя равно 0.
Правило Крамера.
Матрица и её размеры.
Операция сложения матриц и её свойства.
Умножение матрицы на число. Свойства умножения.
Произведение строки на столбец. Свойства этого произведения.
Произведение матриц. Свойства этой операции.
Определение единичной матрицы. Произведение матрицы и единичной матрицы.
Теорема: Для любых квадратных матриц А и В одного порядка справедливо равенство /AB/=/A//B/
Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
Левая обратная и правая обратная матрицы. Определение.
Теорема: Вырожденная квадратная матрица не имеет ни левой обратной, ни правой обратной.
Определение взаимной матрицы д/данной квадратной матрицы.
Теорема: AA*=/A/E (1) , A*A=/A/E(2).
Теорема: Если квадратная матрица А невырожденная, то для неё матрица А^(-1) служит и левой, и правой обратной.
Обратная матрица для квадратной невырожденной матрицы.
Арифметическое пространство Rn.
Определение ранга матрицы.
Линейная комбинация системы векторов.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в Rn.
Теорема: Если система векторов содержит o, то она линейно зависима.
Теорема: Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то и сама система линейно зависима.
Критерий линейной зависимости.
База системы векторов. Ранг системы векторов.
Базисный минор матрицы.
Система линейных уравнений. Определение решения системы.
Системы совместные и несовместные. Определение.
Метод Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли.
Алгебраическая структура.
Определение линейного пространства.
Линейная зависимость векторов в линейном пространстве.
Определение базиса в линейном пространстве.
Теорема: Всякий вектор линейного пространства V можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.
Определение координат вектора в базисе.
Теорема: Координаты данного вектора в данном базисе определяются однозначно.
Лемма: Если правые части системы линейных уравнений состоят из нулей, а число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение.
Теорема: Пусть система {a1, a2,…,ak} линейно независима, и пусть каждый вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации системы векторов {b1, b2,…,bs}. Тогда k≤s.
Теорема: Два базиса одного и того же линейного пространства содержат одинаковое количество векторов.
Теорема: Два определения базиса равносильны.
Определение размерности линейного пространства.
Преобразование базиса. Матрица преобразования базиса.
Поле комплексных чисел.
Теорема: Обратное преобразование совершается с обратной матрицей.
Теорема: Если базис-строка преобразуется по формуле e’=eA, то столбец x координат вектора x преобразуется по закону x’А^(–1)=x.
Признак базиса в Rn.
Определение линейного подпространства.
Критерий линейного подпространства.
Определение линейной оболочки системы векторов.
Теорема: Линейная оболочка системы векторов есть линейное подпространство.
Теорема: dim a1, a2, … ak =Rang{a1, a2, … ak}
Теорема: Векторы – решения линейной однородной системы уравнений образуют линейное подпространство арифметического пространства.
Теорема: Пусть однородная система линейных уравнений с n неизвестными имеет матрицу коэффициентов A, и пусть L – подпространство решений системы. Тогда dimL=n–Rang(A).
Определение фундаментальной системы решений однородной системы лин. уравнений.
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в данном базисе. Ранг линейного оператора.
Определение ядра линейного оператора.
Теорема: Ядро линейного оператора φ, действующего в линейном пространстве V, является линейным подпространством, причем dim(Kerφ)=dim V–Rangφ.
Определение образа линейного оператора.
Теорема: Образ линейного оператора φ есть линейное подпространство размерности Rangφ.
Определение собственного вектора и собственного числа линейного оператора.
Теорема: Линейный оператор, действующий в линейном пространстве Vn, имеет n собственных чисел (с учётом их кратностей).
Определение характеристического уравнения линейного оператора φ (матрицы Ф).
Основная теорема алгебры.
Определение линейного оператора с простым спектром.
Теорема: Если линейный оператор имеет простой спектр, то собственные векторы этого оператора образуют линейно независимую систему.
Скалярное произведение в Vn. Квадратичная метрика.
Квадратичная форма и её матрица в данном базисе.
Диагональный вид квадратичной формы. Нормальный вид.
Индексы, дефект и ранг квадратной матрицы.
Алгоритм Лагранжа.
Определение изоморфных линейных пространств.
Теорема: отношение изоморфности рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Теорема: Всякое n-мерное линейное пространство над R изоморфно n-мерному арифметическому пространству Rn.
Перестановка. Определение. Инверсия. Чётность перестановки.
Теорема: Если поменять местами 2 соседних элемента перестановки, то чётность её изменится.
Теорема: Если поменять местами два любые элемента перестановки, чётность перестановки изменится на противоположную.
Подстановка. Чётность.
Теорема: Если поменять местами два любых столбца подстановки, то чётность её не изменится.
Агрегат определителя. Слагаемое определителя.
Определение определителя произвольного порядка.
Свойства определителя.
Определение минора определителя. Алгебраическое дополнение минора.
Теорема Лапласа.
Разложение определителя по строке (по столбцу).
Понижение порядка определителя.
Теорема: Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки того же определителя равно 0.
Правило Крамера.
Матрица и её размеры.
Операция сложения матриц и её свойства.
Умножение матрицы на число. Свойства умножения.
Произведение строки на столбец. Свойства этого произведения.
Произведение матриц. Свойства этой операции.
Определение единичной матрицы. Произведение матрицы и единичной матрицы.
Теорема: Для любых квадратных матриц А и В одного порядка справедливо равенство /AB/=/A//B/
Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
Левая обратная и правая обратная матрицы. Определение.
Теорема: Вырожденная квадратная матрица не имеет ни левой обратной, ни правой обратной.
Определение взаимной матрицы д/данной квадратной матрицы.
Теорема: AA*=/A/E (1) , A*A=/A/E(2).
Теорема: Если квадратная матрица А невырожденная, то для неё матрица А^(-1) служит и левой, и правой обратной.
Обратная матрица для квадратной невырожденной матрицы.
Арифметическое пространство Rn.
Определение ранга матрицы.
Линейная комбинация системы векторов.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в Rn.
Теорема: Если система векторов содержит o, то она линейно зависима.
Теорема: Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то и сама система линейно зависима.
Критерий линейной зависимости.
База системы векторов. Ранг системы векторов.
Базисный минор матрицы.
Система линейных уравнений. Определение решения системы.
Системы совместные и несовместные. Определение.
Метод Гаусса.
Теорема Кронекера-Капелли.
Алгебраическая структура.
Определение линейного пространства.
Линейная зависимость векторов в линейном пространстве.
Определение базиса в линейном пространстве.
Теорема: Всякий вектор линейного пространства V можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов.
Определение координат вектора в базисе.
Теорема: Координаты данного вектора в данном базисе определяются однозначно.
Лемма: Если правые части системы линейных уравнений состоят из нулей, а число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение.
Теорема: Пусть система {a1, a2,…,ak} линейно независима, и пусть каждый вектор этой системы можно представить в виде линейной комбинации системы векторов {b1, b2,…,bs}. Тогда k≤s.
Теорема: Два базиса одного и того же линейного пространства содержат одинаковое количество векторов.
Теорема: Два определения базиса равносильны.
Определение размерности линейного пространства.
Преобразование базиса. Матрица преобразования базиса.
Поле комплексных чисел.
Теорема: Обратное преобразование совершается с обратной матрицей.
Теорема: Если базис-строка преобразуется по формуле e’=eA, то столбец x координат вектора x преобразуется по закону x’А^(–1)=x.
Признак базиса в Rn.
Определение линейного подпространства.
Критерий линейного подпространства.
Определение линейной оболочки системы векторов.
Теорема: Линейная оболочка системы векторов есть линейное подпространство.
Теорема: dim a1, a2, … ak =Rang{a1, a2, … ak}
Теорема: Векторы – решения линейной однородной системы уравнений образуют линейное подпространство арифметического пространства.
Теорема: Пусть однородная система линейных уравнений с n неизвестными имеет матрицу коэффициентов A, и пусть L – подпространство решений системы. Тогда dimL=n–Rang(A).
Определение фундаментальной системы решений однородной системы лин. уравнений.
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора в данном базисе. Ранг линейного оператора.
Определение ядра линейного оператора.
Теорема: Ядро линейного оператора φ, действующего в линейном пространстве V, является линейным подпространством, причем dim(Kerφ)=dim V–Rangφ.
Определение образа линейного оператора.
Теорема: Образ линейного оператора φ есть линейное подпространство размерности Rangφ.
Определение собственного вектора и собственного числа линейного оператора.
Теорема: Линейный оператор, действующий в линейном пространстве Vn, имеет n собственных чисел (с учётом их кратностей).
Определение характеристического уравнения линейного оператора φ (матрицы Ф).
Основная теорема алгебры.
Определение линейного оператора с простым спектром.
Теорема: Если линейный оператор имеет простой спектр, то собственные векторы этого оператора образуют линейно независимую систему.
Скалярное произведение в Vn. Квадратичная метрика.
Квадратичная форма и её матрица в данном базисе.
Диагональный вид квадратичной формы. Нормальный вид.
Индексы, дефект и ранг квадратной матрицы.
Алгоритм Лагранжа.
Определение изоморфных линейных пространств.
Теорема: отношение изоморфности рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Теорема: Всякое n-мерное линейное пространство над R изоморфно n-мерному арифметическому пространству Rn.