Учебное пособие. — СПб: "Золотое сечение", 172 с., 2005.
В настоящем пособии излагаются основные понятия, методы и алгоритмы
линейной алгебры. Помимо изложения теории и примеров, книга
включает в себя упражнения, а также некоторые справки из истории
математики (в т.ч. некоторые упраженения).
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика. Пособие имеет следующую структуру:
Основная задача раздела.
Линейные пространства и многообразия.
Основные определения.
— Изоморфизм.
Линейная зависимость, базис. Система AX=O и ее фундаментальная система решений.
Сумма и пересечение линейных подпространств. Система AX=B.
— Сумма и пересечение.
— Линейные многообразия, их геометрический смысл.
Прямая сумма линейных подпространств.
Относительная линейная независимость. Факторпространство.
Преобразование координат при замене базиса.
Евклидовы пространства.
Определения.
— Определения и примеры (Пространство R^n, Пространство полиномов степени не выше n, Линейное пространство квадратных матриц порядка n).
— Свойства.
Ортогональный, нормированный, ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Расстояние от точки до линейного многообразия.
— Ортогональное дополнение.
— Вычисление расстояния до многообразия.
— Интерпретация одной интерполяционной задачи.
Свойства определителя Грама.
— Неотрицательность.
— Использование для нахождения расстояния.
— Неравенство Адамара.
— Геометрическая интерпретация (объём параллелепипеда).
Линейные отображения.
Пространство линейных отображений.
— Линейное отображение.
— Свойства линейных отображений.
Ядро и образ линейного отображения.
Матрица линейного отображения.
— Определение.
— Канонический вид матрицы линейного отображения.
Линейный оператор.
— Основные свойства.
— Матрица оператора.
Инвариантные подпространства оператора.
— Инвариантное подпространство.
— Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином.
— Диагонализуемость матрицы линейного оператора над C.
Структура и свойства характеристического полинома.
— Каноническое представление характеристического полинома.
— Теорема Гамильтона-Кэли.
— Диагонализуемость матрицы линейного оператора над R.
Диагонализуемость симметричной матрицы над R.
— Свойства собственных чисел и собственных векторов.
— Диагонализуемость.
— Локализация собственных чисел.
— Экстремальное свойство собственных чисел.
Жорданова нормальная форма в C .
— Общая схема.
— Аннулирующий полином.
— Корневое подпространство.
— Циклическое подпространство.
Жорданова нормальная форма оператора в R.
Применения жордановой нормальной формы.
Матричный полином.
— Структура степенной функции от матрицы.
— Вычисление матричного полинома.
Линейное разностное уравнение.
— Аналитика.
— Асимптотика.
Применения ж.н.ф. в теории вероятностей.
— Вспомогательные результаты.
— Задача о разорении игрока.
— Цепи Маркова.
Матричный степенной ряд.
— Норма матрицы. Матричный ряд.
— Матричный степенной ряд.
— Дифференцирование матрицы.
— Экспоненциал матрицы (матричная экспонента).
— Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову.
— Другие специальные функции матрицы.
Элементы численных методов линейной алгебры.
Метод Леверье нахождения характеристического полинома.
Метод Крылова нахождения характеристического полинома.
— Идея.
— Реализация.
Частичная проблема собственных чисел.
Вычисление Google PageRank.
Вместо заключения.
Подсказки и ответы к упражнениям.
Литература.
Книга предназначена для студентов университетов, обучающихся по специальности Прикладная математика и информатика. Пособие имеет следующую структуру:
Основная задача раздела.
Линейные пространства и многообразия.
Основные определения.
— Изоморфизм.
Линейная зависимость, базис. Система AX=O и ее фундаментальная система решений.
Сумма и пересечение линейных подпространств. Система AX=B.
— Сумма и пересечение.
— Линейные многообразия, их геометрический смысл.
Прямая сумма линейных подпространств.
Относительная линейная независимость. Факторпространство.
Преобразование координат при замене базиса.
Евклидовы пространства.
Определения.
— Определения и примеры (Пространство R^n, Пространство полиномов степени не выше n, Линейное пространство квадратных матриц порядка n).
— Свойства.
Ортогональный, нормированный, ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Расстояние от точки до линейного многообразия.
— Ортогональное дополнение.
— Вычисление расстояния до многообразия.
— Интерпретация одной интерполяционной задачи.
Свойства определителя Грама.
— Неотрицательность.
— Использование для нахождения расстояния.
— Неравенство Адамара.
— Геометрическая интерпретация (объём параллелепипеда).
Линейные отображения.
Пространство линейных отображений.
— Линейное отображение.
— Свойства линейных отображений.
Ядро и образ линейного отображения.
Матрица линейного отображения.
— Определение.
— Канонический вид матрицы линейного отображения.
Линейный оператор.
— Основные свойства.
— Матрица оператора.
Инвариантные подпространства оператора.
— Инвариантное подпространство.
— Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином.
— Диагонализуемость матрицы линейного оператора над C.
Структура и свойства характеристического полинома.
— Каноническое представление характеристического полинома.
— Теорема Гамильтона-Кэли.
— Диагонализуемость матрицы линейного оператора над R.
Диагонализуемость симметричной матрицы над R.
— Свойства собственных чисел и собственных векторов.
— Диагонализуемость.
— Локализация собственных чисел.
— Экстремальное свойство собственных чисел.
Жорданова нормальная форма в C .
— Общая схема.
— Аннулирующий полином.
— Корневое подпространство.
— Циклическое подпространство.
Жорданова нормальная форма оператора в R.
Применения жордановой нормальной формы.
Матричный полином.
— Структура степенной функции от матрицы.
— Вычисление матричного полинома.
Линейное разностное уравнение.
— Аналитика.
— Асимптотика.
Применения ж.н.ф. в теории вероятностей.
— Вспомогательные результаты.
— Задача о разорении игрока.
— Цепи Маркова.
Матричный степенной ряд.
— Норма матрицы. Матричный ряд.
— Матричный степенной ряд.
— Дифференцирование матрицы.
— Экспоненциал матрицы (матричная экспонента).
— Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову.
— Другие специальные функции матрицы.
Элементы численных методов линейной алгебры.
Метод Леверье нахождения характеристического полинома.
Метод Крылова нахождения характеристического полинома.
— Идея.
— Реализация.
Частичная проблема собственных чисел.
Вычисление Google PageRank.
Вместо заключения.
Подсказки и ответы к упражнениям.
Литература.