Под редакцией Мерзлякова Ю. И. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
Числа и множества.
Множества.
Отображения. Мощности.
Натуральный ряд.
Конечные и счётные множества.
Разбиение на классы.
Группы.
Понятие группы.
Подгруппы.
Операции над комплексами. Смежные классы.
Изоморфизмы и автоморфизмы.
Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы.
Кольца, тела, поля.
Кольца.
Гомоморфизмы и изоморфизмы.
Построение частных.
Кольца многочленов.
Идеалы. Кольца классов вычетов.
Делимость. Простые идеалы.
Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.
Разложение на множители.
Векторные и тензорные пространства.
Векторные пространства.
Инвариантность размерности.
Двойственное векторное пространство.
Линейные уравнения над телом.
Линейные преобразования.
Тензоры.
Антисимметрические полилинейные формы и определители.
Тензорное произведение, свёртка и след.
Целые рациональные функции.
Дифференцирование.
Корни.
Интерполяционные формулы.
Разложение на множители.
Признаки неразложимости.
Разложение на множители в конечное число шагов.
Симметрические функции.
Результант двух многочленов.
Результант как симметрическая функция двух корней.
Разложение рациональных функций на простейшие дроби.
Теория полей.
Подтело. Простое тело.
Присоединение.
Простые расширения.
Конечные расширения тел.
Алгебраические расширения.
Корни из единицы.
Поля Галуа (конечные коммутативные тела).
Сепарабельные и несепарабельные расширения.
Совершенные и несовершенные поля.
Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе.
Нормы и следы.
Продолжение теории групп.
Группы с операторами.
Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы.
Две теоремы об изоморфизме.
Нормальные и композиционные ряды.
Группы порядка p^n.
Прямые произведения.
Групповые характеры.
Простота знакопеременной группы.
Транзитивность и примитивность.
Теория Галуа.
Группа Галуа.
Основная теорема теории Галуа.
Сопряжённые группы, поля и элементы поля.
Поля деления круга.
Циклические поля и двучленные уравнения.
Решение уравнений в радикалах.
Общее уравнение n-й степени.
Уравнения второй, третьей и четвёртой степеней.
Построения с помощью циркуля и линейки.
Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой.
Нормальные базисы.
Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Упорядоченные множества.
Аксиома выбора и лемма Цорна.
Теорема Цермело.
Трансфинитная индукция.
Бесконечные расширения полей.
Алгебраически замкнутые поля.
Простые трансцендентные расширения.
Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость.
Степень трансцендентности.
Дифференцирование алгебраических функций.
Вещественные поля.
Упорядоченные поля.
Определение вещественных чисел.
Корни вещественных функций.
Поле комплексных чисел.
Алгебраическая теория вещественных полей.
Теоремы существования для формально вещественных полей.
Суммы квадратов.
Линейная алгебра.
Модули над произвольным кольцом.
Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители.
Основная теорема об абелевых группах.
Представления и модули представлений.
Нормальные формы матрицы над полем.
Элементарные делители и характеристическая функция.
Квадратичные и эрмитовы формы.
Антисимметрические билинейные формы.
Алгебры.
Прямые суммы и пересечения.
Примеры алгебр.
Произведения и скрещенные произведения.
Алгебры как группы с операторами. Модули и представления.
Малый и большой радикалы.
Звёздное произведение.
Кольца с условием минимальности.
Двусторонние разложения и разложения центра.
Простые и примитивные кольца.
Кольцо эндоморфизмов прямой суммы.
Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах.
Поведение алгебр при расширении основного поля.
Теория представлений групп и алгебр.
Постановка задачи.
Представления алгебр.
Представления центра.
Следы и характеры.
Представления конечных групп.
Групповые характеры.
Представления симметричных групп.
Полугруппы линейных преобразований.
Двойные модули и произведения алгебр.
Поля разложения простых алгебр.
Группа Брауэра. Системы факторов.
Общая теория идеалов коммутативных колец.
Нётеровы кольца.
Произведения и частные идеалов.
Простые идеалы и примарные идеалы.
Общая теорема о разложении.
Теорема единственности.
Изолированные компоненты и символические степени.
Теория взаимно простых идеалов.
Однократные идеалы.
Кольца частных.
Пересечение всех степеней идеала.
Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах.
Теория идеалов в кольцах многочленов.
Алгебраические многообразия.
Универсальное поле.
Корни простого идеала.
Размерность.
Теорема Гильберта о корнях. Сестема результантов для однородных уравнений.
Примарные идеалы.
Основная теорема Нётера.
Сведение многомерных идеалов к нульмерным.
Целые алгебраические элементы.
Конечные R-модули.
Элементы, целые над кольцом.
Целые элементы в поле.
Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов.
Обращение и дополнение полученных результатов.
Дробные идеалы.
Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах.
Нормированные поля.
Нормировиня.
Пополнения.
Нормирования поля рациональных чисел.
Нормирования алгебраических расширений: случай полного поля.
Нормирования алгебраических расширений: общий случай.
Нормирования полей алгебраических чисел.
Нормирования поля рациональных функций.
Аппроксимационная теорема.
Алгебраические функции одной переменной.
Разложения в ряды по степеням униформизирующих.
Дивизоры и их кратные.
Род g.
Векторы и ковекторы.
Дифференциалы. Теорема об индексе специальности.
Теорема Римана - Роха.
Сепарабельная порождаемость функциональных полей.
Дифференциалы и интегралы в классическом случае.
Доказательство теоремы о вычетах.
Топологическая алгебра.
Понятие топологического пространства.
Базисы окрестностей.
Непрерывность. Пределы.
Аксиомы отделимости и счётности.
Топологические группы.
Окрестности единицы.
Подгруппы и факторгруппы.
Т-кольца и Т-тела.
Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей.
Фильтры.
Пополнение группы с помощью фильтров Коши.
Топологические векторные пространства.
Пополнение колец.
Пополнение тел.
Множества.
Отображения. Мощности.
Натуральный ряд.
Конечные и счётные множества.
Разбиение на классы.
Группы.
Понятие группы.
Подгруппы.
Операции над комплексами. Смежные классы.
Изоморфизмы и автоморфизмы.
Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы.
Кольца, тела, поля.
Кольца.
Гомоморфизмы и изоморфизмы.
Построение частных.
Кольца многочленов.
Идеалы. Кольца классов вычетов.
Делимость. Простые идеалы.
Евклидовы кольца и кольца главных идеалов.
Разложение на множители.
Векторные и тензорные пространства.
Векторные пространства.
Инвариантность размерности.
Двойственное векторное пространство.
Линейные уравнения над телом.
Линейные преобразования.
Тензоры.
Антисимметрические полилинейные формы и определители.
Тензорное произведение, свёртка и след.
Целые рациональные функции.
Дифференцирование.
Корни.
Интерполяционные формулы.
Разложение на множители.
Признаки неразложимости.
Разложение на множители в конечное число шагов.
Симметрические функции.
Результант двух многочленов.
Результант как симметрическая функция двух корней.
Разложение рациональных функций на простейшие дроби.
Теория полей.
Подтело. Простое тело.
Присоединение.
Простые расширения.
Конечные расширения тел.
Алгебраические расширения.
Корни из единицы.
Поля Галуа (конечные коммутативные тела).
Сепарабельные и несепарабельные расширения.
Совершенные и несовершенные поля.
Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном элементе.
Нормы и следы.
Продолжение теории групп.
Группы с операторами.
Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы.
Две теоремы об изоморфизме.
Нормальные и композиционные ряды.
Группы порядка p^n.
Прямые произведения.
Групповые характеры.
Простота знакопеременной группы.
Транзитивность и примитивность.
Теория Галуа.
Группа Галуа.
Основная теорема теории Галуа.
Сопряжённые группы, поля и элементы поля.
Поля деления круга.
Циклические поля и двучленные уравнения.
Решение уравнений в радикалах.
Общее уравнение n-й степени.
Уравнения второй, третьей и четвёртой степеней.
Построения с помощью циркуля и линейки.
Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой.
Нормальные базисы.
Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Упорядоченные множества.
Аксиома выбора и лемма Цорна.
Теорема Цермело.
Трансфинитная индукция.
Бесконечные расширения полей.
Алгебраически замкнутые поля.
Простые трансцендентные расширения.
Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость.
Степень трансцендентности.
Дифференцирование алгебраических функций.
Вещественные поля.
Упорядоченные поля.
Определение вещественных чисел.
Корни вещественных функций.
Поле комплексных чисел.
Алгебраическая теория вещественных полей.
Теоремы существования для формально вещественных полей.
Суммы квадратов.
Линейная алгебра.
Модули над произвольным кольцом.
Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители.
Основная теорема об абелевых группах.
Представления и модули представлений.
Нормальные формы матрицы над полем.
Элементарные делители и характеристическая функция.
Квадратичные и эрмитовы формы.
Антисимметрические билинейные формы.
Алгебры.
Прямые суммы и пересечения.
Примеры алгебр.
Произведения и скрещенные произведения.
Алгебры как группы с операторами. Модули и представления.
Малый и большой радикалы.
Звёздное произведение.
Кольца с условием минимальности.
Двусторонние разложения и разложения центра.
Простые и примитивные кольца.
Кольцо эндоморфизмов прямой суммы.
Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах.
Поведение алгебр при расширении основного поля.
Теория представлений групп и алгебр.
Постановка задачи.
Представления алгебр.
Представления центра.
Следы и характеры.
Представления конечных групп.
Групповые характеры.
Представления симметричных групп.
Полугруппы линейных преобразований.
Двойные модули и произведения алгебр.
Поля разложения простых алгебр.
Группа Брауэра. Системы факторов.
Общая теория идеалов коммутативных колец.
Нётеровы кольца.
Произведения и частные идеалов.
Простые идеалы и примарные идеалы.
Общая теорема о разложении.
Теорема единственности.
Изолированные компоненты и символические степени.
Теория взаимно простых идеалов.
Однократные идеалы.
Кольца частных.
Пересечение всех степеней идеала.
Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых кольцах.
Теория идеалов в кольцах многочленов.
Алгебраические многообразия.
Универсальное поле.
Корни простого идеала.
Размерность.
Теорема Гильберта о корнях. Сестема результантов для однородных уравнений.
Примарные идеалы.
Основная теорема Нётера.
Сведение многомерных идеалов к нульмерным.
Целые алгебраические элементы.
Конечные R-модули.
Элементы, целые над кольцом.
Целые элементы в поле.
Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов.
Обращение и дополнение полученных результатов.
Дробные идеалы.
Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах.
Нормированные поля.
Нормировиня.
Пополнения.
Нормирования поля рациональных чисел.
Нормирования алгебраических расширений: случай полного поля.
Нормирования алгебраических расширений: общий случай.
Нормирования полей алгебраических чисел.
Нормирования поля рациональных функций.
Аппроксимационная теорема.
Алгебраические функции одной переменной.
Разложения в ряды по степеням униформизирующих.
Дивизоры и их кратные.
Род g.
Векторы и ковекторы.
Дифференциалы. Теорема об индексе специальности.
Теорема Римана - Роха.
Сепарабельная порождаемость функциональных полей.
Дифференциалы и интегралы в классическом случае.
Доказательство теоремы о вычетах.
Топологическая алгебра.
Понятие топологического пространства.
Базисы окрестностей.
Непрерывность. Пределы.
Аксиомы отделимости и счётности.
Топологические группы.
Окрестности единицы.
Подгруппы и факторгруппы.
Т-кольца и Т-тела.
Пополнение групп с помощью фундаментальных последовательностей.
Фильтры.
Пополнение группы с помощью фильтров Коши.
Топологические векторные пространства.
Пополнение колец.
Пополнение тел.