Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

111

rot90() – на 90° относительно центра против часовой стрелки. Команда

rot90(A,k) обеспечивает поворот в произвольном направлении на

±k*90°. Функция reshape(A,m,n) перестраивает массив А так, что он

получает размерность m строк и n столбцов, сохраняя прежнее коли-

чество m×n элементов.

Плюс или plus(), минус или minus() и звездочка или mtimes()

применяются для сложения, вычитания и умножения матриц, за раз-

мерами должен следить сам пользователь. При сложении матрицы и

скалярной величины последняя добавляется ко всем элементам мат-

рицы. Функция cat() реализует операцию конкатенации массивов по

заданному измерению (1 – вертикально, 2 – горизонтально).

>> a=[1 2;3 4]; b=[5 6;7 8]; c=cat(1,a,b)

c =

1 2

3 4

5 6

7 8

>> d=cat(2,a,b)

d =

1 2 5 6

3 4 7 8

Частные случаи объединения массивов обеспечивают функции

вертикальной (сверху вниз) vertcat() и горизонтальной (слева направо)

horzcat() конкатенации. Функция strcat(a, b) объединяет строковые пе-

ременные в одну строку, удаляя пробелы и служебные знаки, команда

strcat({a, b}) создает строковый массив.

>> horzcat(b,a)

ans =

5 6 1 2

7 8 3 4

>> vertcat(b,a)

ans =

5 6

7 8

1 2

3 4

Возведение в степень ^ или mpower() выполняется, если основа-

ние – матрица, а степень – скаляр, либо наоборот. Для деления матриц

вправо используют mrdivide() или /, влево mldivide() или \ .

Решить систему линейных уравнений можно несколькими спо-

собами записи: x=A^(-1)*b, или так x=inv(A)*b, либо так x=A\b, при-

чем матрицы А и b могут быть комплексными.

112

Арифметические операции на массивах в MATLAB производят-

ся поэлементно, т. е. только суммирование и вычитание для массивов

выполняется так же, как для матриц. Форма остальных операторов для

массива дополняется точкой спереди, отличаются и имена функций:

.* или times() поэлементное умножение;

./ или rdivide() поэлементное деление вправо;

.\ или ldivide() поэлементное деление влево;

.^ или power() поэлементное возведение в степень;

.' или transpose() несопряженное матричное транспонирование.

Сравним возведение в степень А как матрицы и как массива

>> А = [1 2;3 4];

>> А^2

ans =

7 10

15 22

>> А.^2

ans =

1 4

9 16

Символьная математика (справка по команде help symbolic):

collect() приведение подобных членов;

compose() составление общей формулы из отдельных путем

подстановки;

diff() дифференцирование символьного полинома (может

определяться k-я производная по указанной переменной);

digits(D) целая D определяет точность численных вычисле-

ний (по умолчанию равна 32 разрядам);

double() преобразование символьного объекта в численный с

выводом результата двойной точности;

dsolve() решение дифференциальных уравнений в символи-

ческом виде;

expand() раскрытие скобок;

factor() разложение выражения или числа на множители;

fourier() преобразование Фурье;

ifourier() обратное преобразование Фурье;

ilaplace() обратное преобразование Лапласа;

laplace() преобразование Лапласа;

numden() раздельный вывод числителей и общего знаменателя

с целыми коэффициентами;

poly2sym() преобразование вектора-многочлена в символичес-

кую запись;

113

pretty() печать функции в традиционном виде.

simplify() упрощение символьной формулы;

simple() поиск минимальной формы записи с выводом всех

возможностей;

single() преобразование символьного объекта в численный с

выводом результата одинарной точности;

solve() решение алгебраических уравнений в символичес-

ком виде;

subs() подстановка известных значений символьных пере-

менных в указываемое выражение;

sym2poly() преобразование символического многочлена в век-

тор-многочлен;

sym создание символического объекта;

syms упрощенная форма создания такого объекта;

vpa() вывод символьных вычислений в численном виде.

Большинство численных операций с многочленами и матрицами

работоспособно и в символьной математике, хотя имеются и отличия.

Так, для вычисления корней многочлена в символьной форме исполь-

зуется не roots(), а solve(), правда, лишь до четвертой степени

>> solve('a*x^2+b*x+c')

ans =

-(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

-(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

2.4 Графические средства MATLAB

Программа содержит как средства для построения стандартных

графиков, используемых при исследовании систем управления, так и

средства реализации нестандартных замыслов пользователя.

К первым следует отнести LTI Viewer – графический анализатор

для линейных непрерывных систем, функционирующий совместно с

пакетом расширения Control System Toolbox и вызываемый непосред-

ственно командой ltiview, ltiview(sys), либо через связи с инструмен-

тами, например, в SISO Design Tool. Если имя объекта sys сразу зада-

но, графоанализатор открывает по умолчанию окно с переходной ха-

рактеристикой Step Response, отображаемой сплошной линией синего

цвета (рисунок 2.4).

В нижней части окна располагается строка состояния, коммен-

тирующая результаты выполняемых операций. Если объект не был

указан, его можно импортировать позднее через меню File-Import,

щелкнув имя объекта в перечне Workspace или mat-файлов. Нажатая

114

клавиша Ctrl позволяет выбирать сразу несколько объектов или уда-

лять уже выбранные объекты из группы. Нажатая клавиша Shift по-

зволяет выбрать группу объектов по первому и последнему из них.

Рисунок 2.4

Щелчок правой клавишей мыши на любом графике открывает

контекстное меню, обязательно содержащее опцию Вид графика – Plot

Types с перечнем возможных характеристик, опцию Systems выбора

для графика одного или нескольких сразу анализируемых объектов, и

опцию Properties. Опция контекстного меню Properties вызывает ре-

дактор свойств графика с закладками Labels (заголовки), Limits (пре-

делы), Units (единицы измерения), Style (стиль отображения), Options

(установки). Содержание закладок определяется видом графика, од-

нако, как правило, в закладке Labels можно задать название графика и

подписи к осям координат; в закладке Limits – пределы измерения по

каждой из осей, что позволит более внимательно исследовать часть

графика, либо оставить масштаб на усмотрение компьютера, выбрав

Auto-Scale; в закладке Style можно отрегулировать цвет осей и сетки,

шрифт надписей.

На панели меню LTI Viewer имеются кнопки управления мас-

штабом графика (вырезанной его части) Zoom In, Zoom Out и показом

115

блока с надписями – легенды Insert Legend. Вызвав через меню Edit-

Viewer Preferences соответствующее окно, на его вкладке Parameters

можно уточнить векторы Time Vector для временных и Frequency Vec-

tor для частотных характеристик, задав автоматический выбор отсче-

тов по времени и частоте или установив вручную пределы и шаг их

изменения, линейный или логарифмический масштаб для частотных

графиков.

Для нескольких систем цвет линии и маркера Color выбирается

автоматически по порядку перечисления из списка b (синий), g (зеле-

ный), r (красный), c (голубой), m (лиловый), y (желтый), k (черный).

Можно указать в форме строковой переменной цвет, тип линии и вид

маркера отдельно для каждой системы, например, ltiview(sys1,'r-*',

sys2,'m--'), где тип линии LineStyle обозначается соответственно сим-

волами: сплошная '-' (по умолчанию), пунктирная ': ', штрихпунктир-

ная '-.', прерывистая '--'. Вид маркера MarkerType задается соответст-

венно символом: точка '.', круг 'о', икс 'х', плюс '+', звездочка '*', квад-

рат 's', ромб 'd', пятиугольник 'p', шестиугольник 'h', треугольники

уголком вниз 'v', вверх '^', влево '<', вправо '>'. Поскольку символы не

совпадают, порядок их указания в строковой переменной безразличен.

Если в строковой переменной пропущен тип линии, она не чертится и

график выполняется только маркерами в расчетных точках. По умол-

чанию ширина линии 0,5 пунктов, размер маркера 6 пунктов.

Из командной строки можно задать совмещение нескольких

кривых на одном графике перечислением всех объектов ltiview('step',

sys1, sys2…) или просто ltiview(sys1, sys2…) без указания вида графи-

ка.

Обращение ltiview(plottype, sys1, sys2,..., sysN) конкретизирует

вид графика plottype, который задается в виде одной или нескольких

строковых переменных и выбирается из следующего списка:

'step' Step – переходная характеристика;

'impulse' Impulse – импульсная характеристика;

'lsim' Linear Simulation – реакция на произвольное воздей-

ствие;

'initial' Initial Conditions – реакция на начальные условия;

'bode' Bode – диаграмма Боде (ЛЧХ);

'bodemag' Bode Magnitude – ЛАЧХ;

'nyquist' Nyquist – годограф Найквиста;

'nichols' Nichols – диаграмма Николса;

'sigma' Singular Value – график сингулярных значений;

'pzmap' Pole/Zero – карта нулей и полюсов;

'iopzmap' I/O Pole/Zero – карта сквозных нулей и полюсов.

116

Так, команда ltiview({'step', 'nyquist'}, sys1, sys2) строит пере-

ходную характеристику и АФЧХ двух систем с согласованным мас-

штабом. Для графиков типа lsim, initial необходимы специальные до-

полнения, приводимые в конце списка аргументов, например,

ltiview('lsim', sys1, sys2, u, t, x0), либо в открывающемся окне задания

параметров.

LTI Viewer отображает в окне до шести графиков разного типа

одновременно. Для настройки этой возможности следует выбрать ме-

ню Edit-Plot Configuration. В соответствующем диалоговом окне (ри-

сунок 2.5) выбираем способ размещения графиков (например, два

сверху вниз), и тип каждого графика (например, Step и Impulse).

Рисунок 2.5

Скопировать график в другой документ можно, выбрав в

LTIView опцию File-Print to Figure, а в окне Figure опцию Edit-Copy

Figure. Там же в меню фигуры через Edit-Copy Options можно убрать

серый фон у фигуры после копирования, выбрав прозрачный Trans-

parent или белый Force White Background фон соответственно. В меню

Figure Toolbar последовательно установлены кнопки New Figure, Open

File, Save Figure, Print Figure (создать, открыть, сохранить, распечатать

фигуру), кнопка Edit Plot, открывающая возможность редактирования

фигуры – изменения всех надписей, линий и их цвета, вида осей (ко-

робка, две оси), добавления прямых линий, стрелок, текста; кнопки

изменения масштаба Zoom In и Zoom Out – графика в целом и выде-

ленного мышью прямоугольника, кнопка Pan перемещения графика

внутри окна, Rotate 3D поворота трехмерного графика, Data Cursor ус-

тановки на кривую маркера с текстовой табличкой [X:координата

Y:координата], Select Data отображения координат вырезанного пря-

моугольника [x1 x2 y1 y2].

117

Почти все эти опции имеются в меню Tools, а элементы редак-

тирования рисунка – в меню Insert и меню View-Plot Edit Toolbar.

На графике Step точками отображается линия установившегося

значения. В контекстном меню устанавливается масштабная сетка

Grid, полностью вписывается в окно один график Full View или не-

сколько графиков независимо от их масштаба опцией Normalize с цен-

трированием по вертикали. Опция Characteristics позволяет отметить

на графике круглыми маркерами и вычислить значения Peak Response

(максимальное значение, перерегулирование), Settling Time (время ре-

гулирования по уровню, заданному в Properties-Options), Rise Time

(время нарастания по диапазону, заданному в Properties-Options),

Steady State (установившееся значение DC Gain или Final Value).

Щелчок на маркере выводит табличку с численными данными,

которую можно вручную перетащить мышкой влево-вправо и вверх-

вниз. У таблички есть и собственное контекстное меню: выравнивание

Alignment таблички относительно маркера (Top-Right вверх вправо,

Top-Left вверх влево, Bottom-Right вниз вправо, Bottom-Left вниз вле-

во), размер шрифта FontSize, удалить Delete (для удаления сразу всех

таблиц достаточно просто щелкнуть на свободном месте графика).

В произвольной точке характеристики можно получить таблич-

ку с параметрами этой точки и собственным контекстным меню:

Alignment, FontSize, Delete, Movable (перемещаемая) и Interpolation

(способ вычисления параметров точек между отсчетами для выравни-

вания графика, по умолчанию линейный Linear). Если у Movable уста-

новлен флажок, квадратный маркер этой таблички можно перемещать

по всей характеристике, наблюдая за изменением параметров. Содер-

жание табличек зависит от типа графика.

Контекстные меню других графиков могут отличаться. Напри-

мер, меню окна Response to Initial Conditions содержит опцию Initial

Condition, открывающую окно Linear Simulation Tool для задания на-

чальных условий; меню окна Linear Simulation Results включает опции

Input Data и Initial Condition для задания входного сигнала и началь-

ных условий через упомянутое окно, а также опцию Show Input, раз-

решающую показ графика входного воздействия.

Меню nyquist содержит дополнительно опции Show – показы-

вать характеристику для диапазона отрицательных частот Negative

Frequencies, Zoom on (-1, 0) – растянуть график до точки (-1, 0), если

она не видна. А опция Characteristics, как у диаграммы Боде и Никол-

са, кроме уже известной Peak Response (максимальная амплитуда),

включает Minimum Stability Margins и All Stability Margins – отметить

маркерами ближайшие и все запасы устойчивости. Опция Show диа-

118

граммы Боде дает возможность вывести только одну характеристику

вместо двух – либо ЛАЧХ Bode Magnitude, либо ЛФЧХ Phase.

Для MIMO объектов (многомерных систем) в контекстном меню

добавляются опции I/O Selector (выбор одного или всех графиков из

возможного их количества) и I/O Grouping (группирование графиков

по окнам) с возможностями None – все графики отдельно (по умолча-

нию), All – все графики в одном окне, Outputs – объединение по выхо-

дам, Inputs – объединение по входам.

Не так, как для SISO объектов (систем с одним входом – одним

выходом), будут выглядеть графики I/O Pole/Zero и Singular Value.

Первый будет отображать карты нулей-полюсов для всех ПФ объекта,

на втором количество графиков будет соответствовать наименьшему

из значений числа входов или выходов системы.

Для разных графиков изменяется и смысл опции Grid. У всех

временных графиков сетка линейная, для графиков Bode, Bode Magni-

tude, Singular Value используется логарифмический масштаб по оси

частот. У графиков pzmap и iopzmap сетка содержит линии равных

значений собственных частот Natural Frequencies в виде окружностей

с центром в начале координат и лучи равных значений коэффициента

демпфирования Damping, у которых значение 1 совпадает с отрица-

тельной действительной полуосью, а значение 0 – с мнимой осью.

Команда grid для графика nyquist убирает оси и строит сетку

равных значений АЧХ (модуля частотной функции) замкнутой систе-

мы (в децибелах), для графика nichols строится сетка равных значений

ФЧХ (в градусах) и АЧХ (в децибелах) замкнутой системы. Необхо-

димые значения отыскиваются по пересечению кривой с соответст-

вующими линиями сетки.

Построение сетки для графиков nichols() и pzmap(), iopzmap(),

rlocus() могут выполнять также функции ngrid и sgrid, последняя с

указанием sgrid(z, wn) конкретных значений коэффициента затухания

и собственных частот в виде векторов z и wn, например

>> rlocus(w), sgrid([0:0.2:1],[0:5:50])

Перечисленные в списке функции могут быть использованы не-

зависимо от LTI Viewer для построения стандартных графиков, в этом

случае сразу выводится окно Figure, в рамках которого переход по-

средством контекстного меню к другим видам графиков невозможен.

Для построения графика в новом окне нужно указать следующий по-

рядковый номер n в команде figure(n), при этом n служит идентифика-

тором рисунка и по нему можно просмотреть все get(n) или задать от-

дельные свойства фигуры, например, цвет фона set(n,'Color',[1 1 1]).

119

Расширенными возможностями управления графиком из ко-

мандной строки обладают вариации описанных выше функций step-

plot, impulseplot, lsimplot, initialplot, bodeplot, nyquistplot, nicholsplot,

sigmaplot, pzplot за счет своих свойств как объекта, характеризуемых

plotoptions. Так, все временные характеристики имеют свойства, вы-

зываемые командой timeoptions – текущие значения или timeop-

tions('cstprefs') – общие значения в ctrlpref, и, как правило, присутст-

вующие в контекстных меню графиков LTI Viewer. Вызов графика из

командной строки предпочтителен, если используется не готовая мо-

дель, а наборы данных, или вызов функции производит программа.

>> P=timeoptions('cstprefs') % общие установки графиков

P =

Title: [1x1 struct]

XLabel: [1x1 struct]

YLabel: [1x1 struct]

TickLabel: [1x1 struct]

Grid: 'off'

XLim: {[1 10]}

XLimMode: {'auto'}

YLim: {[1 10]}

YLimMode: {'auto'}

IOGrouping: 'none'

InputLabels: [1x1 struct]

OutputLabels: [1x1 struct]

InputVisible: {'on'}

OutputVisible: {'on'}

Normalize: 'off'

SettleTimeThreshold: 0.0200 % зона для времени регулирования

RiseTimeLimits: [0.1000 0.9000] % диапазон нарастания

Здесь Title, Xlabel, Ylabel, TickLabel устанавливают текст и

стиль надписей, легенды и цифровой шкалы, Grid (on|off) – включе-

ние|выключение сетки, XlimMode и YlimMode – режим выбора преде-

лов (auto|manual), Xlim и Ylim – пределы измерения, IOGrouping –

объединение графиков (none нет| inputs входы| output выходы| all все в

одном), InputLabels и OutputLabels – стиль описания входов и

выходов, InputVisible и OutputVisible – показ каналов входа|выхода.

Эти свойства являются общими для всех стандартных графиков.

Только для временных графиков используются вписывание/нет

всех графиков в один масштаб Normalize (on|off), установка зоны Δ

для контроля времени регулирования SettleTimeThreshold и границ

контроля времени нарастания RiseTimeLimits в относительных едини-

цах. Пример установки Δ = 5 % и контроля времени нарастания по пе-

ресечению кривой с линией установившегося значения

120

>> sys=tf(10,[1 2 3 4]); P=timeoptions;

>> P.settletimethreshold=0.05; P.risetimelimits=[0 1];

>> step(sys,P)

Из частотных графиков наибольшее количество индивидуаль-

ных свойств, вызываемых командой bodeoptions, имеет bodeplot (при-

водимые значения устанавливаются по умолчанию).

FreqUnits: 'rad/sec' Единицы частоты [Hz|rad/s]

FreqScale: 'log' Шкала частоты [linear|log]

MagUnits: 'dB' Единицы А(ω) [dB|abs]

MagScale: 'linear' Шкала А(ω) [linear|log]

MagVisible: 'on' Показывать А(ω) [on|off]

MagLowerLimMode: 'auto' Выбор пределов А(ω) [auto|manual]

MagLowerLim: 0 Минимум А(ω)

PhaseUnits: 'deg' Единицы фазы [deg|rad]

PhaseVisible: 'on' Показывать ФЧХ [on|off]

PhaseWrapping: 'off' Включить ограничение фазы [on|off]

PhaseMatching: 'off' Точно переключать фазу [on|off]

PhaseMatchingFreq: 0 Частота точного переключения

PhaseMatchingValue: 0 Погрешность фазы переключения

Из собственных свойств других графиков отличается только

ShowFullContour: 'on|off ' (отображать/нет кривую для диапазона от-

рицательных частот) у Nyquistplot.

sigmaoptions

FreqUnits: 'rad/sec'

FreqScale: 'log'

MagUnits: 'dB'

MagScale: 'linear'

nyquistoptions

FreqUnits: 'rad/sec'

MagUnits: 'dB'

PhaseUnits: 'deg'

ShowFullContour: 'on'

nicholsoptions

FreqUnits: 'rad/sec'

MagLowerLimMode: 'auto'

MagLowerLim: 0

PhaseUnits: 'deg'

PhaseWrapping: 'off'

PhaseMatching: 'off'

PhaseMatchingFreq: 0

PhaseMatchingValue: 0

hsvoptions

YScale: 'linear'

AbsTol: 0