Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

141

SS модель системы n-го порядка со случайно выбранными значениями

коэффициентов, которую в дальнейшем можно преобразовать в TF и

ZPK форму. При обращении можно задать желаемое число выходов m

и входов r, например, sys=rss(n, m, r). Функция sys=dss(a, b, c, d, e)

формирует модель ненормированной системы с коэффициентами пе-

ред производными в левой части уравнения

)()()( tutt BAxxE







для описания которых используется дополнительная матрица-дес-

криптор Е.

Команда ss(sys,'min') или ss(sys,'minimal') вычисляет минималь-

ную реализацию системы sys с исключенными ненаблюдаемыми и не-

управляемыми состояниями, а sys = ss(sys,'explicit') возвращает явное

(с единичной матрицей E) представление ненормированной системы.

Командой [a, b, c, d]=ssdata(sys) или [a, b, c, d, е]=dssdata(sys) мо-

гут быть получены матрицы описания системы sys в пространстве со-

стояний, при этом не обязательно, чтобы система была SS моделью и

представлена в явной форме (с единичной матрицей Е).

Модель одномерной (SISO или Single-Input/Single-Output) сис-

темы в виде передаточной функции (Transfer Function) формируется

функцией tf() по полиномам числителя Num (Numerator) и знаменате-

ля Den (Denominator), либо по готовой модели системы sys, заданной

другим образом. По умолчанию для комплексной переменной Лапласа

используется обозначение s.

Рассмотрим пример образования системы с передаточной функ-

цией

4s3s2s

asasa

bsbsb











...

)(

>> num=10; den=[1 2 3 4]; sys=tf(num,den)

Transfer function:

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

Все коэффициенты указываются в порядке убывания степени s,

ни один коэффициент, в том числе равный нулю, не должен быть про-

пущен. Возможны также формы sys=tf для создания пустого TF объ-

екта и sys=tf(D) для построения TF модели по матрице коэффициентов

усиления D.

142

Параметры системы, заданной передаточной функцией, могут

быть извлечены (с указанием на векторный характер данных в виде

строковой переменной 'v') обращением [num, den]=tfdata(sys, 'v').

Для привыкших обозначать и комплексную переменную Лапла-

са s =σ + jω = α + jβ и оператор дифференцирования p ≡ d/dt одинаково

символом «p», имеется возможность указать его в качестве основного

вместо «s». При объединении моделей с разными переменными s и p

результат будет записан с использованием p.

>>w=tf(num, den, 'variable', 'p')

Transfer function:

---------------------

p^3 + 2 p^2 + 3 p + 4

Программа позволяет описывать передаточную функцию и в

символической форме отношения полиномов от s или р, например

>>s=tf('s');

>>w=s/(s^2+2*s+10)

Transfer function:

--------------

s^2 + 2 s + 10

При формировании ПФ дифференцирующего и форсирующих

звеньев, у которых степень полинома числителя m больше степени

полинома знаменателя n, необходимо указывать единицу в качестве

знаменателя передаточной функции TF модели

>> w=tf([1 0],1) % дифференцирующее звено

Transfer function:

>> fors2=tf([1 2 3],1) % форсирующее звено второго порядка

Transfer function:

s^2 + 2 s + 3

либо использовать символьную запись

>> s=tf('s');

>> df=s; % дифференцирующее звено

>> fors2=s^2+2*s+3; % форсирующее звено второго порядка

143

Используя для создания MIMO системы функцию tf(), напри-

мер, системы с двумя каналами (два входа – один выход), числители

двух ПФ объединяют в один массив фигурными скобками, то же от-

носится и к знаменателям, если они разные.

>> sys=tf({10 [1 2]},[1 2 3 4])

Transfer function from input 1 to output:

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

Transfer function from input 2 to output:

s + 2

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 4

Обращение sys=tf({10 ; [1 2]},[1 2 3 4]) с вертикальной конкате-

нацией создаст систему из двух параллельных звеньев (общий вход и

общий выход).

Команды [a,b,c,d]=ord2(wn,ksi) и [num,den]=ord2(wn,ksi) строят

SS и TF модели второго порядка по значениям собственной частоты

wn и показателя затухания ksi в виде W(s)=1/(s^2+2*wn*ksi*s+wn^2).

Модель Zero-Pole-Gain в виде корней полинома числителя (ну-

лей zero), корней полинома знаменателя (полюсов pole) и общего ко-

эффициента усиления k передаточной функции формируется операто-

ром zpk. При выводе она отображается в факторизованном виде от-

ношения произведений простых полиномов не выше второго порядка,

при вводе задается векторами корней. Формы записи функции:

w=zpk(z, p, k) – построить ZPK модель по векторам z, p, k;

w=zpk(sys) – преобразовать в ZPK модель систему sys;

w=zpk – создать пустую ZPK модель;

w=zpk(D) – создать ZPK модель по матрице коэффициентов D.

Команда [z, p, k]=zpkdata(sys,'v') с обязательной ссылкой 'v' на

векторный характер данных позволяет извлечь параметры zpk-модели.

Пример задания системы триадой нули-полюса-коэффициент

(отсутствующим нулям соответствует пустая матрица [ ], в знаменате-

ле действительный корень -2 и комплексная пара корней -1±j3, коэф-

фициент усиления равен 5).

>> w=zpk([],[-2, -1+3i, -1-3i],5) % формирование ZPK модели

Zero/pole/gain:

----------------------

(s+2) (s^2 + 2s + 10)

144

>> [z,p,k]=zpkdata(w,'v') % выборка параметров модели

z =

Empty matrix: 0-by-1 % пустая матрица – нули отсутствуют

p =

-2.0000

-1.0000 + 3.0000i

-1.0000 - 3.0000i

k =

Для задания ZPK-модели может использоваться и символическое

описание

>> s = zpk('s');

>> w = 5/(s+2)/(s^2+2*s+10)

Zero/pole/gain:

----------------------

(s+2) (s^2 + 2s + 10)

Если, вызвав командой ltiview(имя_системы) окно графического

анализатора, выбрать в контекстном меню графиков тип графика Plot

Types-Pole/Zero, для одномерной системы будет выведена карта раз-

мещения нулей Zero (кружки) и полюсов Pole (крестики) системы на

комплексной плоскости. Аналогичные действия выполняет функция

pzmap(имя_системы), причем при обращении с левым аргументом

[p, z]=pzmap() она выводит не график, а значения полюсов и нулей,

например, для рассмотренной выше системы

>> [p,z]=pzmap(w)

p =

-2.0000

-1.0000 + 3.0000i

-1.0000 - 3.0000i

z =

Empty matrix: 0-by-1

Во всех приведенных случаях недостатком является отсутствие

сведений о значении общего коэффициента усиления, а следователь-

но, неоднозначное описание системы. Функция dcgain() выводит ко-

эффициенты усиления, но в установившемся режиме, т. е. для записи

ПФ с нормированием по свободному члену, поэтому для описанной

выше системы выводится не 5, а b

= 5/20 = 0.25.

>> dcgain(w)

ans =

0.2500

145

Отдельно полюса системы sys вычисляет функция pole(sys), ну-

ли – функция zero(sys), при обращении [Z, gain]=zero(sys) она выводит

матрицу нулей Z и общий коэффициент передачи gain нормированной

по старшему коэффициенту ПФ, записанной в форме ZPK. Имеется

форма tzero(a,b,c,d) для вычисления нулей MIMO-системы.

>> [z,k]=zero(w)

z =

Empty matrix: 0-by-1

k =

>> pole(w)

ans =

-2.0000

-1.0000 + 3.0000i

-1.0000 - 3.0000i

Функция преобразования модели tf2zp() рассчитывает значения

нулей, полюсов и коэффициента усиления по известным числителю и

знаменателю ПФ. Здесь и далее во всех именах, например, tf2zp, циф-

ра 2 заменяет предлог to, подразумевающий направление преобразо-

вания – в конкретном примере из записи передаточной функцией в

(to) описание через нули-полюса-коэффициент.

Функция zp2tf() производит обратное преобразование от ZPK

модели к описанию передаточной функцией.

>> num=[1 2]; den=[1 2 3 4]; w=tf(num, den); ww=zpk(w)

Zero/pole/gain:

(s+2)

----------------------------------

(s+1.651) (s^2 + 0.3494s + 2.423)

>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =

-2

p =

-1.6506

-0.1747 + 1.5469i

-0.1747 - 1.5469i

k =

>> [nums,dens]=zp2tf(z,p,k)

nums =

0 0 1 2

dens =

1.0000 2.0000 3.0000 4.0000

146

Использовать функцию tf2zpk() в линейных системах не реко-

мендуется, так как обратное преобразование по выведенному ею век-

тору нулей иногда приводит к неверному формированию числителя

ПФ (коэффициенты оказываются смещенными в сторону старших

степеней) и, соответственно, созданию совсем другой системы, что и

иллюстрирует пример.

>> num=[1 2]; den=[1 2 3]; [z,p,k]=tf2zpk(num,den)

z =

-2

p =

-1.0000 + 1.4142i

-1.0000 - 1.4142i

k =

>> [nums,dens]=zp2tf(z,p,k)

nums =

1 2 0

dens =

1.0000 2.0000 3.0000

>> w=tf(nums,dens)

Transfer function:

s^2 + 2 s

-------------

s^2 + 2 s + 3

Модель в виде экспериментально полученных частотных харак-

теристик (Frequency Response Data model) формируется функцией frd()

по векторам значений вещественной и мнимой составляющих ком-

плексного отклика K(jω) на заданных значениях вещественных неот-

рицательных частот frqs, измеряемых по умолчанию в рад/c.

sys=frd(response, frqs) – комплексный отклик response задан;

sys=frd(sys, frqs) – комплексный отклик рассчитывается для sys.

>> [yf,fr]=freqs(num,den); % вычисление отклика на 200 частотах

>> ww=frd(yf,fr) % формирование FRD-модели

Frequency(rad/s) Response

---------------- --------

0.1000 6.681e-001 - 0.0112i

... ... ...

9.7605 6.746e-004 - 0.1056i

10.0000 6.117e-004 - 0.1030i

Continuous-time frequency response.

147

Функция frd() без аргументов создает пустую FRD модель. Из

уже сформированной FRD модели можно получить массивы отклика и

отсчетов частоты командой [response, frqs]=frdata(sys). Это модель

низшего уровня, она позволяет строить, в основном, стандартные час-

тотные характеристики (bode, bode magnitude, nyquist, nichols, singular

value, margins) и не преобразуется в другие формы моделей.

Команда sps = ltisys(a,b,c,d,e) сохраняет SS модели в упакован-

ном виде



















Inf00

)(

sps DC

B1EA nj

где n – это порядок системы. Единичную матрицу E и нулевую D

можно не вводить, ни одна матрица не должна содержать комплекс-

ных чисел. Для автономной системы с уравнением





или





используются формы sps=ltisys(a) или sps=ltisys(a, e). TF мо-

дель архивируется аналогично командой sps=ltisys('tf', num, den).

Извлекаются данные из архива командами [a,b,c,d,e]=ltiss(sps),

[ns,ni,no] = sinfo(sps), где ns, ni, no – соответственно число состояний,

входов и выходов системы, [num,den] = ltitf(sps).

>> sys=ltisys(a,b,c)

sys =

-2.0000 0.5774 0 0 3.0000

0 -1.0000 3.0000 0 0

0 -3.0000 -1.0000 2.3094 0

1.2500 0 0 0 0

0 0 0 0 -Inf

>> [ns,ni,no]=sinfo(sys)

ns =

ni =

no =

Сведения по обычным системам предоставляет функция size(),

для FRD моделей nf = size(sys,'freq') возвращает число отсчетов nf.

>> w=tf([2 1],[3 2 1]);

>> size(w)

Transfer function with 1 outputs and 1 inputs.

>> size(zpk(w))

Zero-pole-gain model with 1 outputs and 1 inputs.

>> size(ss(w))

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 2 states.

148

3.2 LTI объекты

Control System Toolbox собирает все параметры описываемой

модели в структуру, называемую LTI объектом. Это позволяет мани-

пулировать сразу системой в целом, не задумываясь об использовании

отдельных матриц или векторов. Соответственно возможны SS, TF,

ZPK и FRD объекты, у которых имеются совпадающие и отличаю-

щиеся элементы структуры. Перечень свойств класса, к которому

принадлежит объект, формирует команда properties(объект).

Просмотреть все свойства LTI объекта позволяет команда get() с

указанием имени объекта, например, для SS модели второго порядка:

>> sys=rss(2); get(sys)

a: [2x2 double]

b: [2x1 double]

c: [0 -0.2050]

d: -0.1241

e: []

Scaled: 0

StateName: {2x1 cell}

StateUnit: {2x1 cell}

InternalDelay: [0x1 double]

InputDelay: 0

OutputDelay: 0

Ts: 0

TimeUnit: ''

InputName: {''}

InputUnit: {''}

InputGroup: [1x1 struct]

OutputName: {''}

OutputUnit: {''}

OutputGroup: [1x1 struct]

Name: ''

Notes: {}

UserData: []

Частные свойства можно оценить, указывая конкретное свой-

ство или используя обращение с разделяющей точкой, соответствую-

щее методам объектно-ориентированного программирования, напри-

мер, просмотр имени объекта sys (не заданного) и матрицы А

>> get(sys,'Name')

ans =

>> sys.a

ans =

-1.1008 0.3733

149

0.3733 -0.9561

Разъяснения по отдельным свойствам LTI объекта можно полу-

чить командой help объект.свойство, например, help ss.scaled.

Задать или изменить те или иные свойства LTI объекта sys по-

зволяет команда set(sys, 'property', value), в которой всегда использу-

ются пары «свойство property»-«значение value» (можно перечислять

несколько пар сразу). Принимаются только те свойства, которые при-

сущи данному типу модели – в частности, нельзя задать свойство

InternalDelay TF объекту.

>> set(sys, 'Name', 'MIMO System')

>> sys.name

ans =

MIMO System

Аналогично можно использовать запись с разделяющей точкой

>> sys.name='System A';

>> get(sys, 'name')

ans =

System A

Команда set(sys, 'property') без указания численного значения

позволяет получить значение данного свойства, присущее объекту,

однако команда get() в этом смысле предпочтительнее.

Воспроизведем свойства TF, ZPK и FRD объектов

>> w=tf(sys);

>> get(w)

num: {[-0.1241 -0.2424 -0.1546]}

den: {[1 2.0568 0.9130]}

Variable: 's'

ioDelay: 0

InputDelay: 0

OutputDelay: 0

Ts: 0

TimeUnit: ''

InputName: {''}

InputUnit: {''}

InputGroup: [1x1 struct]

OutputName: {''}

OutputUnit: {''}

OutputGroup: [1x1 struct]

Name: 'System A'

Notes: {}

UserData: []

>> ww=zpk(w);

150

>> get(ww)

z: {[2x1 double]}

p: {[2x1 double]}

k: -0.1241

DisplayFormat: 'roots'

Variable: 's'

ioDelay: 0

InputDelay: 0

OutputDelay: 0

Ts: 0

TimeUnit: ''

InputName: {''}

InputUnit: {''}

InputGroup: [1x1 struct]

OutputName: {''}

OutputUnit: {''}

OutputGroup: [1x1 struct]

Name: 'System A'

Notes: {}

UserData: []

>> freqs=0.01:0.01:10;

>> wf=frd(sys,freqs);

>> get(wf)

ResponseData: [1x1x1000 double]

Frequency: [1000x1 double]

FrequencyUnit: 'rad/s'

ioDelay: 0

InputDelay: 0

OutputDelay: 0

Ts: 0

TimeUnit: ''

InputName: {''}

InputUnit: {''}

InputGroup: [1x1 struct]

OutputName: {''}

OutputUnit: {''}

OutputGroup: [1x1 struct]

Name: 'System A'

Notes: {}

UserData: []

Только для SS объекта задаются значения матриц A, B, C, D и Е,

имена StateName и единицы измерения StateUnit переменных состоя-

ния, признак нормирования параметров системы для лучшей сходи-

мости вычислительных методов со значениями Scaled=0 (система не

сбалансирована) и Scaled=1 (система сбалансирована), и, наконец, зна-

чение внутренней задержки InternalDelay (по умолчанию в секундах).