Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

131

if r(i,:)==0 & i<n-1

ni=n+1-i;

for j=1:m

r(i,j)=r(i-1,j)*ni;

ni=ni-2;

end

Теперь для того же полинома созданная функция возвращает

таблицу с отрицательным коэффициентом в первом столбце, что пра-

вильно указывает на неустойчивую систему с двумя правыми корнями

характеристического уравнения.

>> routh(p)

ans =

1.0000 8.0000 37.0000 50.0000

3.0000 18.0000 75.0000 0

2.0000 12.0000 50.0000 0

8.0000 24.0000 0 0

6.0000 50.0000 0 0

-42.6667 0 0 0

50.0000 0 0 0

Ниже приводится текст окончательно записанного файла

routh.m, который соответствует функции пользователя, допускающей

применение наряду со стандартными функциями системы MATLAB.

Вывод по устойчивости системы пользователь должен сделать само-

стоятельно.

function r = routh(p)

% Расчет таблицы Рауса

% Входной параметр - полином p, выходной - матрица r

n=length(p);

m=round(n/2); r=zeros(n,m);

r(1,:)=p(1:2:n);

r(2,1:fix(n/2))=p(2:2:n);

m=m-1;

for i=3:n

den=r(i-1,1);

if den==0

den=realmin;

end

nom=r(i-2,1);

if abs(nom)==Inf

nom=realmax*sign(nom);

end

j=1:m;

132

r(i,j)=r(i-2,j+1)-r(i-1,j+1)*nom/den;

if r(i,:)==0 & i<n-1

ni=n+1-i;

for j=1:m

r(i,j)=r(i-1,j)*ni;

ni=ni-2;

end

Текст m-файла с реализацией критерия Гурвица приводится без

дополнительных пояснений.

function r = hurwitz(p)

% Расчет определителей и матрицы Гурвица

% Входной параметр - полином p, выходной - матрица r

n=length(p)-1; % проверка порядка (длины) полинома

if n<=1

return;

end

r=zeros(n); % формирование матрицы Гурвица

m = 1;

for i = 1:2:n

k = 1;

for j = m:n

if k <= n

r(i, j) = p(1 + k);

end

if k <= n + 1 & i < n

r(1 + i, j) = p(k);

end

k = k + 2;

end

m = m + 1;

end

for i=1:n % вычисление диагональных миноров

Determinants(i)=det(r(1:i,1:i));

end

Determinants % вывод значений определителей

end

При обращении к функции указывается полином, функцией воз-

вращаются значения определителей 1..n-порядка и матрица Гурвица.

Вывод по устойчивости системы пользователь делает самостоятельно.

>> k=[1 2 3 4 1];

>> hurwitz(k)

Determinants =

133

2 2 4 4

ans =

2 4 0 0

1 3 1 0

0 2 4 0

0 1 3 1

Из рабочей папки разработанные пользователем m-файлы будут

загружаться при вызове автоматически.

2.6 Конструктор-симулятор Simulink

Одним из наиболее эффективных приемов математического мо-

делирования является визуальное моделирование – синтез схемы ис-

следуемого устройства из типовых блоков с анализом его поведения

при выбранных возмущениях и условиях. Эта функция в MATLAB

возложена на пакет расширения Simulink (рисунок 2.8), для изложения

всех возможностей которого необходимо писать специальную книгу.

Рисунок 2.8

134

Работа с конструктором-симулятором Simulink не требует зна-

ния языков программирования, достаточно начальных навыков взаи-

модействия с операционной системой Windows. Он вызывается ко-

мандой simulink или кнопкой меню с аналогичной подсказкой. Стан-

дартное меню File окна Simulink Library Browser включает опции New

(создать новую модель Model или библиотеку Library), открыть Open

и закрыть Close mdl-файл модели, задать установки Preferences.

В окне Preferences выбираются параметры используемых шриф-

тов Font Defaults, на вкладке Solver начальное Start Time и конечное

Stop Time время моделирования, переменный Variable-Step (для не-

прерывных систем) или постоянный Fixed-step шаг расчета, метод ре-

шения дифференциального уравнения – от ode113 (Adams) до ode45

(Dormand-Prince по умолчанию) и заявленная точность. На вкладке

Data Import/Export определяются параметры, загружаемые из Work-

space – входной сигнал [t, u] и вектор начальных состояний xInitial, и

передаваемые по умолчанию в Workspace – массивы времени tout и

выходной величины yout, дополнительно можно отметить массив из-

менения переменных состояния xout и установившиеся значения xFi-

nal, которые можно сохранить и использовать как начальные состоя-

ния для следующего этапа моделирования.

В меню имеется возможность организовать поиск блока Enter

Search Term по минимум двум символам имени.

Окно разбито на две панели – слева дерево библиотек, справа

содержимое выделенной ветви, плюс и минус возле иконки в левой

части позволяют раскрыть и свернуть соответствующую библиотеку

элементов. Три вкладки правой панели отображают содержимое те-

кущей библиотеки, например, Library: Simulink, результаты поиска

блоков Search Results и постепенно формируемый набор самых затре-

бованных на данном компьютере блоков Most Frequently Used Blocks.

При моделировании линейных систем управления чаще всего необхо-

димы библиотеки Commonly Used Blocks (распространенные элемен-

ты), Continuous (непрерывные системы), Sinks (приемники), Sources

(источники).

В библиотеке Commonly Used Blocks (рисунок 2.9) наибольший

интерес представляют блоки Constant – постоянная величина, Gain –

коэффициент усиления, вход In1 и выход Out1, сумматор Sum, инте-

гратор Integrator, осциллограф Scope и подсистема Subsystem.

Естественно, все они будут повторяться в тех или иных библио-

теках специального назначения. Например, в библиотеку приемников

Sinks входят выходная клемма Out1 и осциллограф Scope, а также

дисплей Display, двухкоординатный графопостроитель XY Graph, бло-

135

ки остановки моделирования Stop Simulation и передачи данных в ра-

бочее пространство To Workspace или файл To File.

Рисунок 2.9

В библиотеку источников Sources, помимо уже названных Con-

stant и входной клеммы In1, входят источники и генераторы сигналов

различной формы, в том числе синусоиды Sine Wave и скачка Step,

линейно изменяющегося сигнала Ramp и импульсной последователь-

ности Pulse Generator, случайных чисел с разным распределением и

белого шума Band-Limited White Noise, гармонического сигнала ка-

чающейся частоты Chirp Signal и непрерывного сигнала произвольной

формы Signal Generator, а также блоки импорта данных из рабочего

пространства From Workspace и файла From File.

В библиотеку непрерывных элементов Continuous включены

(рисунок 2.10) блок формирования производной входного сигнала по

времени Derivative, несколько типов интеграторов, блок моделирова-

ния передаточной функции Transfer Fcn, модель в пространстве со-

стояний State-Space, описание нулями и полюсами Zero-Pole, блоки

задержки постоянной Transport Delay и переменной Variable Transport

Delay, Variable Time Delay величины, блоки линейных регуляторов

PID Controller и PID (2DOF) Controller с одной и двумя степенями

свободы.

136

Рисунок 2.10

Для построения S-модели (структурной схемы) необходимо вы-

звать рабочее поле командой File-New-Model в самом Simulink или в

главном окне MATLAB, будущая структура автоматически нарекается

безымянной Untitled. Строка состояния модели (внизу) включает при-

знак состояния (Ready), процент завершенности моделирования, ин-

дикатор процесса, текущее модельное время, метод решения диффе-

ренциального уравнения (рисунок 2.11).

Через меню File-Preferences модели открывается окно Simulink

Preferences, в котором рекомендуется установить опцию Configuration

Defaults-Diagnostics-Automatic solver parameter selection в состояние

none, чтобы избежать излишних сообщений о ходе решения диффе-

ренциального уравнения. Модель можно вызвать через File-Open и

сохранить через File-Save или File-Save as в файл с расширением mdl.

При сохранении могут возникнуть проблемы с надписями на кирил-

лице. Вызов из командной строки выполняется в форме open

имя_модели или просто вводом имени модели. Через меню Simula-

tion-Configuration Parameters задают установки процесса моделирова-

ния конкретно для данной модели.

137

Рисунок 2.11

Панель инструментов модели включает кнопки Start simulation

(треугольник), Stop simulation (черный квадрат), конечное время мо-

делирования Simulation stop time и способ формирования модельного

времени (Normal, Accelerator …). Отсюда можно вызвать библиотеку

элементов кнопкой Library Browser, либо командой меню View-Libra-

ry Browser.

Используя технологию Drag-n-Drop, цепляют левой кнопкой

мыши нужный элемент из библиотеки и перетаскивают его на рабочее

поле. Можно и просто переслать его, используя опцию контекстного

меню браузера Add to имя_модели. Если открыть контекстное меню

рабочего поля, то здесь имеется опция Most Frequently Used Blocks,

позволяющая вызывать накопленные ходовые элементы, не используя

окно библиотеки Simulink. Наконец, можно размножать элементы,

уже установленные на рабочем поле, перетаскиванием с нажатой кла-

вишей Ctrl или копированием. Однотипным элементам при добавле-

нии автоматически присваивается следующий порядковый номер.

Забрав в рамку с помощью левой кнопки мыши фрагмент схемы

или схему целиком, их можно перетащить на новое место, скопиро-

вать или удалить стандартными приемами Windows. Выделенный

блок можно перемещать по полю клавишами курсора. Выделенный

левой кнопкой мыши фрагмент связей или блок можно удалить кла-

вишей Backspace, правой кнопкой мыши выделяется весь гальваниче-

ски связанный участок и с ним работают через контекстное меню.

Двойным щелчком левой кнопки на конкретном элементе вызы-

вается окно настройки его индивидуальных свойств с кнопками внизу:

принять и выйти OK, отменить и выйти Cancel, справка Help, принять

138

изменения без выхода Apply. Здесь можно присвоить имя переменной

состояния State Name на выходе блока. Правой кнопкой мыши откры-

вается контекстное меню, позволяющее манипулировать как внешни-

ми, так и внутренними параметрами элемента.

Открыв свойства сумматора, у инвертирующего входа заменяют

плюс на минус. Входы сумматора размещаются симметрично относи-

тельно фасада (левой середины), вертикальная черта в списке знаков

List of signs соответствует неиспользуемому входу. Например, ++| оз-

начает расположение входов посередине и сверху, |+- означает неин-

вертирующий вход посередине, инвертирующий снизу, +|+ означает

по одному входу сверху и снизу. Можно изменить форму изображе-

ния сумматора с круглой round на прямоугольную rectangular, задать

одной цифрой число неинвертирующих входов.

При соединении узла и входа блока начинать соединительную

линию лучше с входа. Для быстрого соединения нужно выделить

блок-источник, нажать Ctrl и щелкнуть блок-приемник. Соединитель-

ные линии можно подписать, используя названия сигналов или имена

переменных состояния, окно для подписи открывается двойным

щелчком на линии, перетаскивается относительно линии. Командами

Flip и Rotate в контекстном меню Format можно изменить ориентацию

блока в пространстве, задать показ или скрытие имени Show|Hide

name. Стандартные названия следует изменить на желаемые, открыв

поле имени двойным щелчком.

Если в изображении блока на структурной схеме видны не все

коэффициенты или они заменены надписью, например, den(s), можно

увеличить видимый размер блока (растянуть прямоугольник).

Для сокращения числа используемых блоков и общего размера

схемы, ее читаемости, а также задания иерархии фрагментов схемы,

удобно использовать блок подсистемы Subsystem. Его можно перета-

щить на рабочее поле из библиотеки элементов, открыть и создать

внутри схему, используя для внешних связей блоки In и Out. Для об-

разования подсистемы в готовой схеме надо выделить рамкой группу

блоков с их связями и выбрать команду Edit-Create Subsystem.

Для моделирования и передачи результатов в рабочее простран-

ство необходимо иметь в схеме хотя бы один подключенный прием-

ник (выход Out, осциллограф Scope и т. д.), тогда как на входе должен

присутствовать источник сигнала. Размерность выходного массива

данных будет соответствовать числу подключенных приемников. Са-

мый распространенный источник сигнала Step имеет параметры на-

стройки: Step Time – момент формирования скачка, по умолчанию 1 с,

начальное Initial Value и конечное Final Value значения сигнала (по

139

умолчанию 0 и 1). Эти значения могут задаваться в форме перемен-

ных или вычисляемых выражений.

Блок Scope имеет функции меню: печать, параметры, масштаб,

масштаб по оси Х, масштаб по оси Y, автокалибровка, сохранение и

восстановление установок для осей, переход в режим Floating Scope и

настройки этого режима. На вкладке General меню Parameters опреде-

ляется число Y-осей Number of Axes, которое одновременно задает

число входов осциллографа и окон представления сигнала, при век-

торном сигнале в каждом окне для графиков используется шесть ос-

новных цветов. Здесь устанавливается время анализа процесса Time

Range. Если оно больше заданного интервала моделирования, под

графиком в строке Time offset выводится 0, в противном случае вели-

чина, равная времени от начальной точки графика до момента начала

процесса. Параметр Decimation определяет периодичность фиксации

характеристик процесса (число точек между замерами).

На вкладке Data History устанавливается максимальное число

точек расчета (5000 по умолчанию) и возможность вывода данных в

рабочее пространство Save data to workspace с предустановленным

именем переменной ScopeData в виде структуры или массива.

Щелчок правой кнопкой мыши на графике открывает контекст-

ное меню с опцией Axes Properties, где можно выставить крайние зна-

чения шкалы Y-min и Y-max и задать собственный заголовок окна

прибора. При переводе прибора в режим Floating Scope он подключа-

ется бесконтактным путем к точке схемы, которая выбирается из спи-

ска в окне Signal selector (последняя кнопка в строке меню). В этом

режиме часть функций прибора отключена, например, невозможно за-

дать имя графика.

Готовую структурную схему или S-модель можно скопировать в

буфер командой Edit-Copy Model to Clipboard и затем вставить в тек-

стовый документ MS Word, поле графического редактора Paint и т. д.

140

3 Описание систем управления в MATLAB

3.1 Математические модели систем управления

Структура системы управления может быть описана в команд-

ном окне (Command Window) программы, либо сформирована в кон-

структоре-симуляторе Simulink. Пакет расширения Control System

Toolbox поддерживает следующие LTI модели линейных стационар-

ных систем (Linear Time-Invariant system): пространство состояний

(SS), передаточную функцию (TF), описание посредством нулей-

полюсов-усиления (ZPK) и частотных характеристик (FRD). Этот спи-

сок дополняют модели регуляторов в параллельной PID и стандартной

PIDSTD формах.

Модель многомерной (Multiple-Input/Multiple-Output или MIMO)

системы в пространстве состояний (State Space) формируется функци-

ей ss() по матрицам коэффициентов собственных A, входов B, выхо-

дов C, обходных путей D (рисунок 3.1), или модели системы w, задан-

ной иным образом (кроме FRD модели).

sys=ss(a, b, c, d)

sys=ss([0 1 0; 0 0 1; -4 -3 -2],[0; 0; 1],[3.12 0 0],0)

sys=ss(w)

Рисунок 3.1

Это основная (рекомендуемая) модель для систем управления в

MATLAB. Уравнения состояния и наблюдения имеют вид

)()()(

ttt

DuCxy

BuAxx









Здесь u(t) и y(t) – входной и выходной сигналы, x(t) – вектор пе-

ременных состояния системы,



(t) – вектор их производных; для од-

номерной системы b это вектор-столбец, с – вектор-строка.

Функция sys=ss образует пустую SS модель, sys=ss(D) создает

модель по матрице коэффициентов усиления D, sys=rss(n) формирует