Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

При этом

и У у . (4.44)

Далее, исходя из найденных соотношений в уравнениях (4. 37),

(4. 38) и (4. 39), производим замену переменных по формуле

62 = /-^61; (4.45)

Пределы интегрирования в первом интеграле правой части ра-

венств (4. 37), (4. 38) и (4. 39) получат такие значения:

нижний предел:

при = 61=

или, согласно (4. 43),

Р! =

(4. 46)

верхний предел

при = бз; 61 = ]/

«2

или, согласно (4. 109),

01 = Ьг.

(4.47)

В согласованной системе координат уравнения, характери-

зующие температуру газа и насадки во второй период работы реге-

нератора, примут вид

\ г «1 «1

<•1

52 „2 „2

» ®2

X 61 + Уо

с1В

г)

; (4.48)

201

Vо•

«2

«1

«2

«1

«2

X (/52(еО^^^е^ +

6(0

(4. 49)

Й^Ше ' -е

Уо-

Щ 2

Г!

\ '

Х/гСеОб! +

^<0

\ у П1

(4. 50)

202

Теперь можем перейти к определению начального распределе-

ния температуры в первый период работы регенератора при уста-

новившемся режиме. Подставим согласно условию (4. 41) в урав-

нение (4. 50) значение (/-,) = из равенства (4. 28). В уравне-

нии (4. 28) обозначим

е ^ =«1; (4.51)

гЩ^^Г г

Ио +

Г1

^ еУ1(г>10)^е = (р1(/-1); (4.52)

Ы ]//-1 — е') -

-ф!

{ги еО. (4. 53)

Тогда

Г1

= /2 (гг) = а,/? (/-О -

Ф1

(п) -1(гь рО /? (еО ад,. (4. 54)

Обозначим в равенстве (4. 50)

= «2;

Уо

(4. 55)

' «1

П1 ^

(4.56)

(4. 57)

203

Принимая во внимание (4. 55), (4. 56) и (4. 57) и учитывая

(4. 54), получим выражение для температуры насадки в конце

второго периода из (4. 50) в таком виде:

г,

а/г (п) —

Ф1

(п) — 111)1еО /? (еО

й^б!

—

=Й2

— фаСп) — (п, еО

Г1

01/? (рО —

ф1

(РО

- (дь е)/?(р) Ф

(4. 58)

Используем условие (4. 42). Тогда

(гО = (/-О —

а2ф1

(п) —

—

«2

г})!

(гь еО (рО —

Ф2

('"О —

Ь, Ь1

— «1 ^ {г\, рО (б!) + I

г|32

{гь рО ф1 (р]) й^х +

Ь] Г01

+ ]Ч1(еь ^Рь (4.59)

Гг 1о

Обозначим

'г

— «гф! (Гг) —

Ф2

(/-х) + ]

1152

{Гъ р!)

Ф1

(бО ^р! =

Ф4

{Гъ рх)- (4- 60)

''1

Перепишем с учетом (4. 60) уравнение (4. 59)

(1 — а^а^ (гх) =

ф4

(п, — «21

-фх

{гх, 51) (рО й^х —

— «1 |1152 [Гх, (дОсгд! - |а|)2 {гх, бО

(рь р) /?(Р)^Р

^Рь

или после некоторых изменении

= -пЬг'Р^ (^ь РО - 1

Ф1

(гь РО /? г,:) -

й.

«1

1 — (11(1.1

Ь рО/? (р1)^/р1

—

0x02 .

(/иЯ1)

Т])!

(рЬ р) /?(Р)Ф

аях. (4.61)

204

уравнение (4. 61) является интегральным, так как искомая

функция (/-5) входит, во-первых, в свободном виде, а во-вторых,

под знаком интеграла.

Интегральное уравнение (4. 61) заключает в себе не только

исходные дифференциальные уравнения для температуры насадки

(4. И) в обоих периодах с их краевыми условиями, но и условия

переключения (4. 41) и (4. 42). Таким образом, интегральное урав-

нение выражает все условия решаемой задачи определения исход-

ного распределения температуры насадки.

Уравнение (4. 61) является интегральным уравнением типа

Вольтерра второго рода. Решаем полученное урав-

нение методом последовательных приближений. Для этого

ставим перед интегралами в правой части (4. 61) сомножитель X

('•О = «Р^ ('•ь - ^ ^^ (''ь (РО ^е: -

Ьг

«1

Ь (п, рО /? (рОсгр! +

Ь,

1 — «102

(П , р])

Ьо

Ищем решение уравнения (4. 62) в виде бесконечного ряда

Следовательно,

т=0

(4.62)

(4.63)

(4.64)

Характерным для уравнений типа Вольтерра является то, что

ряд, полученный по методу последовательных приближений, яв-

ляется сходящимся при всех конечных значениях Я. В дальнейшем

для получения искомого решения принимаем, как обычно делается,

А, = 1. Подставляем (4. 63) и (4. 64) в уравнение (4. 62)

[П {гг)]о + X [П -ь [П (п)]2 -ь я® [П (/-0]з + • • • =

Г1

1 — 0102

^^ (''ь 2 1 ('•ь е.)

Ь,

1 —

«102

т=0

1 — 0102

т=0

(еьр)

-о

^Рь (4.65)

205

Путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях

буквы Я получаем следующую рекуррентную систему уравнений:

1 — Оха^

ф4

{ги сО;

•

«102

% (/и рО [/?

ь.

— Дхйг

Ьг

Г!

Щгг)

^(ръ д) [/?

-О

с1яь

1 — 0103

{ги еО

Ьг

1 — 0102

1 —

0)02

Ь {ги еО

ЬО

(еь о) [/?

(^Яь

—О1О2

Ь (п, сО [/? (е1)]я-1 —

Ьг

1 —0102 .

— О1О2

{ги дО

% {ги рО [И

;

(4.66)

(4. 67)

Уравнения (4. 66) и (4. 67) дают возможность определить зна-

чения [/?(/-1)]о. [/?(а)]1' [/?(/-1)]2 и т. д., а затем из выраже-

ния (4. 63), полагая Я = 1, найти искомую функцию /?(г1)

п (гг) = [П (гг)]о + [П {гг)]г + [П (гг)]2 + [П (г1)]з +

• • •

(4. 68)

Если принять разность температур теплого и холодного потоков

на входе в регенератор за единицу щ — Оц = 1, то при длитель-

206

ности безразмерного периода > 3,7 с точностью до 0,001 можно

пренебречь вторым и третьим членом правой части уравне-

ния (4. 67), при длительности периода >2,1 ими можно пре-

небречь с точностью до 0,01. Практические значения длительности

безразмерных периодов регенераторов воздухоразделительных

установок значительно больше 3,7.

Следовательно, для практического использования уравнениям

(4. 67) можно придать более простой вид

(Г1)]1 - I

^1)2

(п, 91) I (дь е) [7? (е)]оф

1о

Л('-1)]2= иа^п, еО

(^Яи

У1

(оь д) [/?(д)]1Ф

(4. 69)

/>1 Гш

('"О]" = I РО (сь а) [/?(е)]«-1ф

в итоге имеем, что при двух периодах работы регенератора для

практического установления распределения температуры насадки

в начале первого периода нами получены следующие уравнения:

'!Нг1}]о = щ{гх,Я1У; (4.66)

Ьг

/1 (п)]! = аО

(рь е) [/? (е)]о'^е

(91, с)

йЯй

(^Яй

(4. 69)

в уравнении (4. 66) сомножитель :

• с большой точностью может быть

1 —

ага^

принят равным 1. Сама же величина ф4 (г^, д^) с достаточной точностью будет

равна:

ь.

еО = ('•1) +1 (''1- еО

Ф1

(^1)

207

Значение же составит

/?(л)=[/?(г:)]о+[/?(п)]1 ••• (4.68)

Определив с помощью (4. 68) /? (г?), можно, используя ранее полу-

ченные выражения, найти температуру насадки и температуру

потоков газа в любом сечении регенератора в любой момент каж-

дого из периодов.

Это позволяет определить количество тепла, которое пере-

дано в регенераторе в установившийся период его работы. Соот-

ветствующие расчетные выражения приведены в п. 4. 5. В итоге

становятся известными все важнейшие параметры работы аппа-

ратов.

4. 3. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НАСАДКИ

В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ В НАЧАЛЕ ПЕРВОГО ПЕРИОДА

ПРИ ТРЕХ ПЕРИОДАХ РАБОТЫ РЕГЕНЕРАТОРА

В данном случае через аппарат проходят три потока в опреде-

ленной последовательности. Прохождение каждого потока состав-

ляет период работы регенератора. Пусть пёрвые два периода харак-

теризуются параметрами и данными, приведенными выше. В пер-

вый период с конца регенератора, принятого за начало оси абсцисс,

входит поток газа и движется в положительном направлении этой

оси, обмениваясь теплом с насадкой. Во второй период с противо-

положного конца поступает другой поток газа, который движется

противотоком к первому газу и также обменивается теплом с на-

садкой. Для конкретности принимаем, что в третий период новый

поток газа входит с того же конца регенератора, что и во второй

период, и движется в том же направлении, что и в предыдущий

период, обмениваясь теплом с насадкой. Для температуры насадки

в конце первого и второго периодов сохраняют силу уравне-

ния (4. 56) и (4. 58).

Предпосылки и допущения остаются такими же, как и при рас-

смотрении первых двух периодов. Температуру газа в третий пе-

риод обозначим V. На входе в регенератор в течение всего периода

она сохраняет постоянное значение, равное Vо. Коэффициент теп-

лоотдачи, характеризующий теплообмен между газом и насад-

кой в третий период, равен а^] водяной эквивалент потока газа

в третий период длительность третьего периода гз> темпера-

тура насадки в третий период /д. Обозначим

^^«з; ^ = (4.70)

Безразмерные переменные в третий период такого же характера,

как и в предыдущие периоды,

/•з-]/^; 63 = /^; (4.71)

208

2 2

Из

Т)—# =

5?-02

2т, Шз

(4. 72)

(4.73)

(4. 74)

Безразмерная полная длина насадки в третий период обозна-

чается через Ьз

Ьз = У2гцР. (4. 75)

Теперь по аналогии с уравнениями (4. 37), (4. 38) и (4. 39),

характеризующими температуру газа и температуру насадки во

второй период, напишем выражения для тех же параметров в тре-

тий период

V (гз, 5з) = е

е ^ л (15з У^^ — Гз) /з (рз) ез +

с» д

ь1-г1+з1

{гз, ==--й (гз) е ~е

«3

/8з1/бз-/-з +

(4.76)

«3

3 О

14 с. С. Будневич 753

(4.77)

209

Vо - 1А Шз

Г^)

V Ч-'-з ,]

Ьг

а Л 1

- их (14 ]/ез - г() й (яз) дз аяз +

0^г71 {тУь'з — г!) М

(4. 78)

В уравнении (4. 78) «з — это безразмерная длительность третьего

периода

8з - У2тгг1

(4. 79)

Согласуем теперь сечения регенератора в третий и первый

периоды. Так как сечения регенератора во второй период также со-

гласованы с первым, то этим самым у нас будет согласование во все

три периода.

Из равенств (4. 18), (4. 19) и (4. 71) находим зависимость между

Гд и и соответственно между Рз и р1

Гъ Рз

-бь

(4.80)

при этом

(4.81)

Как и в предыдущем случае, в уравнениях (4. 76), (4. 77)

и (4. 78) делаем замену переменных

(4.82)

Пределы интегрирования в первом интеграле правой части при

новом переменном р^ станут равными: нижний предел г^, верхний

предел &1. В согласованной системе уравнения, определяющие тем-

210