Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

на участке О — г\в течение всего третьего периода остается неиз-

менной и равной температуре в конце второго периода

/К _ /К

3 (о-.^) 2 (О-.^)-

(4. 104)

Наличие участка О — в третьем периоде работы регенератора

математически можно учесть тем, что длительность третьего пе-

риода на этом участке прини-период

3-й период

мается равной нулю

(о-.;)

- 0. (4. 105)

-ггО

ггп

-ггЬ,

Учитываем (4. 105), получаем

из равенства (4. 88)

= (4.106)

из равенства (4. 89)^

(о-.;) = (4. 107)

из равенства (4. 90)

( - П М ЮЯ'» движения потоков

(о—г") ~ ^ '' В трех регенераторах с одним несквоз-

^ ным потоком

Теперь, как и для рассмотренной ранее трехпериодной работы реге-

нератора при всех сквозных потоках, мы можем воспользоваться

для установления температуры насадки в начале первого периода

полученными тогда уравнениями (4. 94), (4. 99), (4. 100) и (4. 103).

При этом только надо учесть для участка насадки О — Гх соотно-

шения (4. 105), (4. 106), (4. 107) и (4. 108).

Тогда для участка насадки регенератора О — Г1 получим

о =

—

охОз

Ф1

(/-О —

— ахОз

Ф2

(п) +

1 — а^а^

Ыгъ

(4. 109)

П (п)

— йхОг

1131

(п. аО —

1 — аха.^

(4. 110)

221

Ь.

1 — «102

X И;! (с, с)

Ч'1

(п. оО

1 — «10.,

Г1

1 — 0102

Ьг

1 — «102

Ь (Гъ 61) X

Ьо

(1Яи

Значение же (п) составит

П{гг)= П(гг)]о+ [П{гг)]г +

+ [/?1'-1)]2Н

(4. ПО)

(4. 111)

Уравнения (4. 109) и (4. 110) тождественны уравнениям (4. 66)

и (4. 67), определяющим температуру насадки в начале первого

периода при двухпериодной работе регенератора. Разница за-

ключается только в том, что в равенствах (4. 66) и {4. 67) длина

рассматриваемого участка

— Г; совпадает с длиной всего реге-

нератора, т. е. п = бь В данном случае длина участка О — п

составляет только часть длины регенератора Г1 •< 6ь но интегри-

рование ведется по всей длине регенератора. Этим учитывается

влияние распределения температуры в части насадки

— п

на температуру ее участка п — &1, которое связано с тем, что в пер-

вый и второй периоды потоки вначале омывают первую, а затем

вторую часть насадки.

Для практических расчетов выражения (4. 109) и (4. ПО) упро-

щаются

й,

7? (г1)]о = -Ф2 (п) +1^2 (Г1, еО

Ф1

(сО адг, (4. 112)

222

!'(Г1)]1 =1 еО

Г1

П (п)

ь.

11^2

{г1, еО X

X М о) [/'1

(4. 113)

Для остальной части регенератора (участок Гх — Ьг, на рис. 4. 1)

сохраняют силу уравнения (4. 102), (4. 101) и (4. 103), которые

определяют начальную температуру насадки в первый период

при трехпериодной его работе. Влияние распределения темпера-

туры насадки в части его

— на /? (К) в части

Гх

— Ъ\ учиты-

вается тем, что интегрирование во внутреннем интеграле уравне-

ний (4. 101) ведется по всей высоте насадки, включая участок

О-Гь

Из вышесказанного видно, что при наличии одного несквоз-

ного потока в случае трехпериодной работы регенератора для опре-

деления /?(г1) можно пользоваться выражениями (4. 99), '(4. 100)

и (4. 103), полученными для трех сквозных потоков, но для участка

регенератора, не омываемого потоком газа, учитывать зависимости

(4. 105), (4. 106), (4. 107) и (4. 108). Для практического использо-

вания рекомендуются уравнения (4. 112) и (4. 113).

4. 5. УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛА,

ПЕРЕДАННОГО В РЕГЕНЕРАТОРЕ

Количество тепла, переданного в регенераторе за один период,

может быть определено двояким путем. С одной стороны, это тепло

отводится от газа или подводится к нему и может быть установ-

лено по температурам газа при входе и выходе из аппарата. С дру-

гой стороны, это же тепло подводится к насадке регенератора или

отводится от нее, т. е. может быть найдено, исходя из распределе-

ния температуры насадки в начале и конце периода.

Тепло, отданное газом за период, находится из равенства

^пер

=--

Чг («о - ир) аг = V^\ (//о - 'V) (4. 114)

223

Здесь

г'^

— длительность периода ч\

— температура газа на выходе из регенератора. Если, как

это сделано выше, время выражено в виде безразмерного пара-

метра 5, то

т = —- = 2тг'' • з = йг = —.

03' ' ' к ' ,п

Учитывая написанное, получаем еще одно уравнение для тепла,

отданного газом в рассматриваемый период.

Тепло, воспринятое насадкой, в тот же период, очевидно, равно

теплу, отданному газом,

р р

^пер = Х 1 - ^^ = ® I - Ах. (4.

16)

о о

Если длина выражена в виде безразмерного параметра г, то надо

учесть следующие приведенные ранее соотношения:

« = Ъ = уш-, г^УШ-, =

Учитывая последнее, получаем второе уравнение для вычисле-

ния тепла, воспринятого или отданного насадкой в течение пе-

риода, ^

= (4-117)

Количество тепла, найденное из уравнений (4. 114) или (4. 115),

должно равняться количеству тепла, найденному по равенствам

(4. 116) или (4. 117).

4. 6. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛООБМЕНА В РЕГЕНЕРАТОРЕ

Ранеевп.4.1 было получено уравнение (4.15), характеризующее

процесс теплообмена в регенераторе. Там прямо было написано

решение этого уравнения. Но получение решения уравнения (4. 15)

представляет значительный интерес для теории регенераторов.

Поэтому мы здесь приводим его полностью [16, 21, 24]. Уравне-

ние теплообмена в регенераторе (4. 15) имеет вид

д^и , ди , ди р. //I 1с\

+ '"1^-! «137 = 0- (4.15)

дхдг ^ "Ч дх ' "1 дг

224

Оно должно удовлетворять граничным и начальным условиям

(4. 8) и (4. 9)

при

= о и = «о; (4. 8)

при 2=0 (4.9)

Начальное распределение температуры газа по длине регене-

ратора (при 2 = 0) находим из начального распределения темпе-

ратуры насадки (4. 9).

Для момента времени 2 = 0 уравнение (4. 6) примет вид

или

Ли , а, «1 {О/ \ г,

(4. 118)

Равенство (4. 118) представляет собой обыкновенное линейное

дифференциальное уравнение первого порядка. Решение его может

быть записано так:

«г=0

а,е

йг

(4. 119)

Постоянную интегрирования С определяем из граничных условий

(4. 8)

С^щ, (4.120)

тогда

4=0 = е

•^0 ~Г

Учитывая (4. 14), получаем

г=0 = е

-ПгХ

(4. 121)

Равенство (4. 121) дает возможность определить температуру

газа по длине регенератора в начале первого периода, если известна

температура насадки в этот момент времени. При этом, как уже

было сказано выше, мы пренебрегаем тем, что заполнение регене-

ратора теплым газом после переключения потоков требует опре-

деленного, правда, очень небольшого времени. В итоге для опре-

деления температуры газа в первый период, меняющейся во вре-

мени и по длине регенератора, нами получено дифференциальное

15 с. С. Будневич 753 225

уравнение (4. 15), представляющее собой линейное уравнение

с частными производными второго порядка с двумя независимыми

переменными и постоянными коэффициентами. Решение его должно

удовлетворять граничным условиям (4. 8) и начальным усло-

виям (4. 121).

Дифференциальное уравнение (4. 15) является уравнением

гиперболического типа во всех точках трехмерного простран-

ства и, X, г. Это следует из того, что в (4. 15) разность квадрата

коэффициента при смешанной производной и произведения коэф-

фициентов при вторых производных по

л:

и 2 > 0. (Первый коэффи-

циент равен единице, а два остальных нулю.) В нашем случае гра-

ничные и начальные условия (4. 8) и (4. 12) заданы на двух харак-

теристиках (д; = О и 2 = 0) дифференциального уравнения (4. 15).

Действительно, характеристическое уравнение для (4. 15) может

быть записано так:

йхйг = 0. (4.122)

Интегралами уравнения (4. 122) являются два семейства пря-

мых в плоскости хог, параллельных координатным осям,

X = С0П81; I

2 = С0П51. I (4.123)

Наличие краевых условий (4. 8) и (4. 121), определяющих зна-

чение самой функции и на характеристиках л; = О и 2 == О, позво-

ди ди

ляет вдоль этих линии наити и частные производные и

значение которых необходимо для решения уравнения (4. 15)

с помощью преобразования Римана [16, 21, 24].

Вначале найдем ^ ^ ^ вдоль характеристики л; = 0.

Согласно (4. 8) при х = О

следовательно.

дг

х=0 = «о >

= 0. . -(4.124)

Подставляя значение ~ из (4. 124) в (4. 15), получаем, что при

д: = О (плоскость гОи)

Вдоль прямой л; = о мы можем рассматривать уравнение (4. 125)

как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно .

Решение этого уравнения имеет вид

ди

дх

226

= (4.126)

Переходим теперь к определению |и вдоль характери-

стики уравнения (4, 15) 2 = 0. Согласно (4. 121) имеем

«0 +

П1

ди

=0 = е

Находим частную производную при 2 = 0

ди

дх

2=0

«0 + Л11/?

«1/? (X).

После упрощений

ди

дх

2=0

-«1

«0 +

Л1

[/1(6)6"'® ^е

. (4. 127)

ди

Подставляя значение из (4. 127) в (4. 15), получаем, что при

2 = 0 (плоскость хОи)

д / ди

дх

«0 + Л1

йг

= 0.

(4. 128)

Уравнение (4. 128) вдоль прямой 2 = 0 есть обыкновенное линей-

ное дифференциальное уравнение первого порядка относительно ^.

Решением этого уравнения будет

дг

г=о

= ё

—п^х

С2 — гпхпг

— е

/ ^

е"'® йг

(4. 129)

Для нахождения произвольных постоянных с^ и Са в равенствах

(4. 126) и (4. 129) определяем значение ^ ив точке Л искомой

поверхности ы = / (х, г), проектирующейся на плоскость хОг

в начало координат О (О, 0).

15*

227

На рис. 4. 2 показана поверхность в трехмерном простран-

стве X, и, г, характеризующая функцию и = [ {х, г). На этом же

рисунке показаны линии, получаемые при сечении этой поверх-

ности координатными плоскостями гОи (л: = 0) и хОи (2 = 0).

, найденная из равенства (4. 126),

В точке А (О, ,0, и)

ди

х=0

г=0

должна равняться

Из равенства (4. 126) имеем в точке А

дх

, определенной из уравнения (4. 127).

дх

л:=0

2=0

(4. 130)

Рис. 4. 2. Поверхность и = } {х, г) в трехмерном про-

странстве и, X, г

Из равенства (4. 127) получаем, что в точке А

дх

2=0

= Пх

/?(0)-«о

(4. 131)

В выражении (4. 131) /? (0) — это температура насадки во входном

сечении регенератора (х = 0) в начале первого периода. Сопостав-

ляя равенства (4. 130) и (4. 131), получаем

С1 [/?(0)-«о'

да

Аналогично в точке А (рис. 4. 2)

ди

л:=0

(4. 132)

, найденная из уравне-

ния (4. 124), должна равняться

(4. 129).

228

х=0

, найденной из равенства

Определяем ^ в точке А из выражения (4. 124)

ди

дг

х=0

2=0

= 0

ди

И В точке А из уравнения (4. 129)

ди

дг

г=0

л;=0

-С,.

Сравнивая (4. 133) и (4. 134), имеем

С2 = 0.

(4. 133)

(4. 134)

(4. 135)

В результате после подстановки найденных значений произволь-

ных постоянных С1 и Са в уравнения (4. 126) и (4. 129) получаем

дх

д;=0

= «1 /?(0)-Мо

(4. 136)

дг

2=0

= т1«1е

—П1Х

с1е. (4. 137)

Таким образом, кроме дифференциального уравнения (4. 15)

нам известно значение искомой функции и ее частных производных

вдоль характеристик уравнения (4. 15) х = О и г = 0. Их вели-

чина определяется равенствами (4. 8), (4. 121), (4. 136) и (4. 137).

Эти данные дают возможность воспользоваться преобразо-

ванием Римана для нахождения решения уравнения (4.15).

Метод Римана состоит во введении дополнительной функции,

называемой функцией Римана, которая является решением диффе-

ренциального уравнения, сопряженного заданному и удовлетво-

ряет на характеристиках исходного дифференциального уравне-

ния вполне определенным условиям, указанным ниже. В итоге

при использовании метода Римана решение заданного уравнения

приводится к нахождению функции Римана, которая связана с ис-

комой функцией вполне определенными соотношениями, что дает

возможность определить значение последней.

Применим метод Римана к решению дифференциального урав-

нения (4. 15). С этой целью рассмотрим на плоскости хОг об-

ласть О (рис. 4. 3), ограниченную осями координат х и г и пря-

мыми параллельными указанным осям характеристиками урав-

нения (4. 15), выходящими из точки Р (х, г). Область О в рассмат-

риваемом случае представляет собой прямоугольник.

753

229

преобразование Римана дает следующее выражение для опре-

деления искомой функции и в точке Р\

2и (Р) = и(А)V {А} и (В) V (В)

(4.138)

В выражении (4. 138) V есть решение однородного, сопряженного

с (4. 15) уравнения

дхдг дг

(4. 139)

Соотношение (4. 138) справедливо только в том случае, если реше-

ние уравнения (4. 139) удовлетворяет следующим условиям:

на прямой РА

(4.140)

РМ РМ

на прямой РВ

дV „

(4. 141)

Рис. 4. 3. Область О на

плоскости хг

Вдоль прямой РА уравнение (4. 140)

можно рассматривать как обыкновенное

дифференциальное уравнение относитель-

но х. Интегрируя его, получим значе-

ние V на прямой РА

] п^йх

. V(x,^) =

е=^

(4. 142)

Аналогично вдоль прямой РВ уравнение (4. 141) можно рассмат-

ривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относи-

тельно 2. Интегрируя (4. 141), получаем значения

на прямой РВ

т]) = (4.143)

Из (4. 142) и (4. 143) получаем, что в точке Р

ю{Р) = \. (4.144)

Таким образом, для нахождения температуры газа в точке Р

« = / (х, г) необходимо найти решение дифференциального урав-

нения (4. 139), которое на прямых РА и РВ имеет заданные зна-

чения, определяемые равенствами (4. 142) и (4. 143). Решение

уравнения (4. 139), удовлетворяющее условиям (4. 142) и (4. 143),

230