Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

и называется функцией Рнмана. Для нее точка {х, г) играет роль

параметра, а точка 11) — роль аргумента.

В уравнении (4. 138) представим подынтегральное выражение

в первом интеграле правой части в таком виде:

ди дV , п ди дV ,

и— —и— 1- 2яг1«у — и

дг

ди

дг

д (иV)

+ 2у(

ди

т^и). (4.145)

дг \ дг

Соответственно, во втором интеграле правой части (4. 138)

дх ' ~ " дх

д (иV)

ди Зу , о ди дV ,

— - « ^ -ь = -у ^ - « ^ +

дх

+ (4.146)

Учитывая (4. 145) и (4. 146), переписываем уравнение (4. 138)

2и (Р) = и(А)а(А) и (В) V (В) — «у +

в А

+ 2 I у + ах — + 2 ^ V + т^и^ йг,

о о

или после упрощений

и (Р) = и (0) у (0) + I у т,и)с1г +

(4. 147)

Для решения дифференциального уравнения (4. 139) введем новую

переменную по формуле

• уе'^Сл^-^ + Жг-т)). (4.148)

Находим значение старых производных по новому переменному

ди дМ^'

или

д1

до

е-Л (2-Г1)

(4. 149)

(Эт]

231

или

дц

+ (4.150)

дт

+ е

• /

аг

откуда после упрощений

д1дц

аг1

(4. 151)

Значение производных из выражений (4. 149), (4. 150) и (4. 151)

подставляем в уравнение (4. 139)

+ -гпхё

или

{•к + - т,К - П1[х)

= 0.

(4. 152)

В итоге дифференциальное уравнение (4. 139) приводится к виду

дт

+ — тД —

Л1[г)

= 0.

(4. 153)

Значения А, и до сих пор отставались неопределенными. Для

упрощения уравнения (4. 153) принимаем

(4. 154)

К = «1.

(4. 155)

232

с учетом этого получаем

— т^п^Ш^О. (4.156)

Решение уравнения (4. 139) должно удовлетворять дополнитель-

ным условиям (4. 142) и (4. 143). Для нового' переменного

уравнение (4. 139) приняло вид (4. 156). Найдем теперь, как запи-

сываются дополнительные условия (4. 142) и (4. 143) для урав-

нения (4. 156).

Учитывая (4. 148), (4. 153), (4. 154) и (4. 155), получаем усло-

вие (4. 142) для переменного в таком виде:"

_ 1.х-1):+ гпг (2-Г1) ^-п, (х-1) _ ^ПН (г-г1)

На прямой РА У] = г. Поэтому на этой прямой

Грл=1. (4.157)

Условие (4. 143) примет вид

На прямой РВ ^ = X

(4.158)

следовательно, и в точке Р

Гр=1. (4.159)

Таким образом, для переменного условия (4. 142) и (4. 143)

принимают вид (4. 157) и (4. 158).

Переходим теперь к решению дифференциаль-

ного уравнения (4. 156). Введем переменную у по фор-

муле

у = у(х-1)(г-ц). (4.160)

Будем искать решение относительно Н^ в виде: — ф (г/). На

характеристике РА

Т1

= 2; у = 0 и Г = 1; (4. 161)

на характеристике РВ

I у =

и Г = 1; (4. 162)

следовательно, при у — О

1Г(0) = 1. (4.163)

233

Найдем значение смешанной производной второго порядка

по I и т] через новую переменную у

д1 ~ ду ' д1'

ду^ ' дц' д^ ду ' д1д1\ •

Подставим значение ^^ из (4. 164) в (4. 156)

Из (4. 160) определяем и . Переменные

от л; и 2 не зависят. Поэтому

и Т]

Умножая (4. 166) на (4. 167), получаем

= (4-168)

Определяем теперь из (4. 166) значение

^(х-Ю (г-11)

й^йг) 4

- (г - Г1) •

После упрощений получаем -

Учитывая (4. 168) и (4. 169), находим из (4. 165)

Относительно у (4. 170) является обыкновенным дифференциаль-

ным уравнением. Перепишем его в таком виде:

= 0. (4.171)

234

Уравнение (4. 171) является одним из разновидностей уравнения

Бесселя. Общий интеграл уравнения (4. 171) будет

Г {у) = СЛ (21 /яш у) С^Ко {21 уШу). (4. 172)

В уравнении (4.172) Л {21 Утпу) — это функция Бесселя нуле-

вого порядка первого рода, а Ко {21Утпу) — функция Бесселя ну-

левого порядка второго рода. В развернутом виде последняя имеет

вид

/Со

{21 Утп у) = р/о {21 V тп у) [21 У тп у)

+ 2 (4.173)

5=0

Согласно дополнительному условию (4. 163) при ^ = О (0) «= 1.

Равенство (4. 173) не удовлетворяет этому условию, так как

в точке у О оно обращается в бесконечность. Поэтому постоян-

ную С2 в решении (4. 172) мы должны взять равной нулю.

Произвольную постоянную Сх в уравнении (4. 172) находим

из условия (4. 163)

Г (0) = 1 = С1/0 (0) = С1; С^ = 1. (4. 174)

Тогда решение уравнения (4. 171) в окончательном виде

^ (4.175)

Учитывая (4. 160), получаем

1Г(х, 2, ^ (4.176)

Вернемся к переменному V функции Римана. Зависимость

между переменными у и дана уравнением (4. 148). Исходя

из (4. 148) и учитывая (4. 154) и (4. 155), получаем

У е-"* 'л (21 Ут^щ (х-^)(2-т1)). (4. 177)

Теперь преобразование Римана (4. 177) позволяет найти темпера-

туру газа и (Р). При этом будем иметь в виду, что в точке, проекти-

рующейся на плоскость хг в начало координат (1 = 0, Т1 = 0),

о (0) = {21 У т^п^хг). (4. 178)

Перепишем теперь уравнение (4. 147), имея в виду (4. 177),

(4. 178), (4. 8), (4. 121), (4. 124) и (4. 127),

и(х, г) = {21 1 1щп^хг) +

235

+ ] е-"' (21 Утгпг (х - г) \пШ) -

л,л

— п^е '

Но

сЦ.

В точке Л т] = 2, а в точке В I = х. Учитывая это, после упро-

щений получаем

«оЛ (21

г) П (1)

тдЫо I (21 /ш!»!^ (г - т])) А]

(4. 179)

Равенство (4. 179), являющееся решением дифференциального

уравнения (4. 15), дает возможность определить температуру

газа и в любой точке трехмерного пространства х, и, г, проекти-

рующейся на плоскость хг в точку с координатами (х, г). В нашем

случае это значит, что мы можем определить температуру газа и

в любой момент первого периода в любой точке регенератора х.

Переходим к определению температуры насадки регенератора.

Согласно (4. 11) при учете (4. 14) температура насадки может

быть определена из выражения

^(х, г)^.и{х, + (4.180)

Найдем значение частной производной . Для этого продиф-

ференцируем уравнение (4. 179). Известно, что если пределы инте-

грирования не зависят от параметра, по которому производится

интегрирование, то справедливо выражение

с1з

(4. 181)

Равенство (4. 181) используется при дифференцировании второго

интеграла правой части (4. 179). При этом 8 = х, / = 1]. Если

пределы интегрирования зависят от параметра, по которому про-

изводится ди(|х})еренцирование, то справедливо уравнение

82 Е2

аз

236 '

(4.182)

е.

Выражение (4. 182) используется при дифференцировании первого

интеграла правой части уравнения (4. 179). При этом 3 = х,

/ = Кроме этого, при дифференцировании функции Бесселя

нулевого порядка имеем

йх

(4. 183)

Следовательно,

ди

дх

«1 с е"' Ч {21 Ут^п^ (х -1) г)Ц) й1 +

-I- т^щ I е"" Vо [21 Ут^п^х{г —

т))}

— «оА (21 Ут^п^хг) ^

- т,«о I е'"'V, (2/ Ут,п,х{г-ц))

•

^^ " ^^

2 ]//П1Я1л; (г — г])

- йг\

После упрощений

ди

дх

= — п^е

—п,х—1п,г

ЫоЛ (21 пг^п^хг)

+ «1 I {21 Ут,П1 /? (Ц +

2 '

+ т^ио I {21 Ут^п^х (г — т))} йц

«о +

— е

—п^х—Шуг

+ 1[21 Ут,п,{х-1)г) <И -

237

X {X) Ч

йц

(4. 184)

\\з выражения (4. 180) при учете (4. 179) и (4. 184) получаем

^^ (х^г) = е'

—П1Х—17112

{21 ]/ т^п-^хг) +

+ 1 {21 Ут,п, {х - I) г) /? "

I е'"'(2/ У йц

— е

—п^х—т^г

ио^о{2^Vп^^п^xг) +

I {21 Ут,п,{х-1)г) +

" , V

+ т^ио I {21 Ут1П1Х (г — т])) ^т]

I-

^—п'^х—т^г

«1

+ «1 Iи, {21 Ут,п,{х~1)х) /?(11 -

После упрощений '

т^ид

П1

I ущ и, {21 Ут,пЛх-1)г) /? (|)

1 |/"Ж|Ел) {21 Ут,п,х{г-ц^)

+ \

. (4. 185)

238

с целью дальнейшего упрощения произведем некоторые изме-

нения в выражениях (4. 179) и (4. 185). Во втором интеграле пра-

вой части названных равенств сделаем замену неременной 1]

по формуле & = г — У]-, йц = — йО.

Новые пределы интегрирования будут:

нижний предел: при т] = О •О = г;

верхний предел: при г| == 2 = 0.

Учитывая написанное, получаем уравнения (4. 179) и (4. 185)

в таком виде

и (X, г)

===

е"""-'"'' «„Л (21 Ут^щхг) +

л:

+ «11 (2/ VтгПу {х - I) г) /? (Е)

(11

+ т1«о I е'"' {21Ут^п^х^) М ; (4.16)

и М =/?(-)

—ПгХ—т^г

(4. 17)

4. 7. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ НАСАДКИ

В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ ПРИ ДВУХ ПЕРИОДАХ РАБОТЫ

РЕГЕНЕРАТОРА

Работа рассматриваемого регенератора характеризуется сле-

дующими основными данными. В первый период через аппарат

проходит поток воздуха давления 6 ата с постоянной температу-

рой на входе в аппарат То^ = 303° К; количество воздуха Уд =

= 16045 нм^/ч. Во второй период с противоположного конца по-

ступает поток азота давления 1,2 ата с постоянной температурой

= К. Количество азота равно 12 790 нм^1ч. Теплоем-

кость воздуха — 0,241 ккал! кг

•

град\ теплоемкость азота —

0,25 ккал1кг-град. Коэффициент теплоотдачи от воздуха к на-

садке а1 = 50 ккал/м'^-град-ч-, коэффициент теплоотдачи от на-

садки к азоту а^ — 50 ккал1м^-град-ч. Теплопередающая поверх-

ность насадки регенератора = 11250 ее вес 3041 кг; средняя

теплоемкость материала насадки с„ = 0,185 ккал!кг• град. Про-'

должительность обоих периодов одинакова г1 ^ 22 = 3 мин.

239

Определяем исходные расчетные величины. Расчет сводим

в табл. 4. 2. Для большей общности расчета температуру потоков

и насадки приводим к безразмерному виду.

/(О - '

^0в-' ' ОЛ'г

где Т — температура потока или насадки в сечении г К;

Т(,е и Гол', — соответственно температура воздуха и азота

на входе в аппарат, ° К.

Таблица 4. 2

Определение исходных расчетных величин

Пери-

оды

Определяемая величина и ее размерность

Номер рас-

четной фор-

мулы

Численное

значение

1 И 2

Водяной эквивалент массы насадки

(й,ккал/м^ 'град

—

0,05

Водяной эквивалент потока воздуха

ккал/град-ч

Пу

МмР-

•гщ \/ч

Безразмерная длина насадки Ь^

Безразмерная длительность периода

(4. 14)

(4. 26)

(4. 27)

5000

0,01

1000

Водяной эквимлент потока азота

и^'з, кшл/ерад- ч

Ум?

т^ 1/ч

Безразмерная длина насадки Ь^

Безразмерная длительность периода з^

(4. 29)

(4. 34)

(4. 40)

4000

0,0125

1000

16,77

Тогда на входе в регенератор безразмерная температура воз-

духа «0=1. а безразмерная температура азота Оо = 0.

Отметим, что в нашем случае безразмерный перепад темпера-

тур «о — ^'о = 1 соответствует разности температур 303—90 =

= 213° К.

Определение начальной температуры насадки Темпера-

тура насадки в начале первого периода /?{г^ определяется из

уравнения (4. 68), представляющего собой сходящийся бесконеч-.

ный ряд,

/? (г,) = [/? (г:)]о + [/? (г,)], + [/? Ш2 + [/? (Г1)]з + . . .

в свою очередь, [/? (г1)]о находится из равенства (4. 66)

У? ('•1)]о = — ф2 (п) -г I ь (''и 9]) ф1 ^рО ^еь

240