Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà äåñÿòàÿ

Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè

îïåðàòîðíûì ìåòîäîì

10.1. Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèé,

èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ

Â ïðåäûäóùåé ãëàâå áûë èçëîæåí êëàññè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðî

öåññîâ â ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè. Òàêèå

ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ ïîñòî

ÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíû òàêæå

îïåðàòîðíûì ìåòîäîì.

Õåâèñàéä ïðèìåíèë ýòîò ìåòîä â êîíöå 19-ãî ñòîëåòèÿ ê ðàñ÷åòó ïåðåõîäíûõ

ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ. Ïðè ýòîì Õåâèñàéä, íå ññûëàÿñü íà ïðåäûäó

ùèå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû â ýòîé îáëàñòè, íå ïðèâîäèò è ìàòåìàòè÷åñêîãî

îáîñíîâàíèÿ ìåòîäà.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè,

íàçûâàåìûå îðèãèíàëàìè, çàìåíÿþò èõ îïåðàòîðíûìè èçîáðàæå-

íèÿìè. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ

ïîìîùüþ íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå

âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãè-

íàëîâ çàìåíÿëèñü àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èõ èçîáðàæåíèÿìè. Â òàêîì

ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îðèãèíàëîâ ïåðåõîäÿò â àëãåáðàè÷å-

ñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ èõ èçîáðàæåíèé.

Ñâÿçü ìåæäó îðèãèíàëîì f(t) è åãî èçîáðàæåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìî

ùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà:

Fp fte dt

() () ,=

ãäå ð = s + jh — êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå

äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ð.

Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, ôóíêöèÿ f(t)

äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Îíà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü

óñëîâèÿì Äèðèõëå, ò. å. çà ëþáîé êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè èìåòü êîíå÷

íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà è êîíå÷íîå ÷èñëî ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ.

Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè t>0 óäîâëåòâîðÿåòñÿ óñëîâèå |f(t)| < Ae

ãäå A è a — íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Èíûìè ñëîâàìè, ìîæíî âûáðàòü A

è a òàê, ÷òîáû ìîäóëü ôóíêöèè f(t) âîçðàñòàë ìåäëåííåå, ÷åì Ae

. Âñå ðåàëüíûå

òîêè è íàïðÿæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì. Äëÿ òîãî ÷òîáû èíòåãðàë Ëà

ïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå, íåîáõîäèìî ïîëàãàòü s>a.

Êîìïëåêñíîå ÷èñëî ð íàçûâàþò îïåðàòîðîì.

Óñëîâèìñÿ çàïèñûâàòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà òàêæå â âèäå

Fp ft() [ ()].= ¸

Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è èçîáðàæåíèåì çàïèñûâàåòñÿ óñëîâíî â âèäå

Fp ft() ().Þ

Çàìåòèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïðèìåíèìî íà÷èíàÿ

ñ ìîìåíòà t = +0. Äàëåå, îáîçíà÷àÿ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè è åå ïðîèçâîä

íûõ ÷åðåç f(0), f ¢(0), f ² (0), ..., f

(n)

(0), áóäåì ïîíèìàòü ïîä íèìè èõ çíà÷åíèÿ ïðè

t = +0.

Ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ôóíêöèîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, äàþùåå âîçìîæíîñòü

îïðåäåëèòü îðèãèíàë ïî åãî èçîáðàæåíèþ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, íîñÿùåå íà

çâàíèå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, èìååò âèä

Fpe dp ft p j

() (), .

-¥

+¥

==+ãäå

Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà êðàòêî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

[()] ().Fp ft

Â ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ïðàêòèêå ðàñïðîñòðàíåíî òàêæå ôóíêöèîíàëüíîå ïðå-

îáðàçîâàíèå, íàçûâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèåì ïî Êàðñîíó, èìåþùåå âèä

pfte dt pFp p

() ( ) ( ).

Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Êàðñîíó ÿâëÿåòñÿ îäèíàêîâîñòü ðàçìåðíî-

ñòåé îðèãèíàëà è èçîáðàæåíèÿ. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèå pt äîëæíî

áûòü áåçðàçìåðíûì. Â ñëó÷àå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ðàçìåðíîñòü èçî-

áðàæåíèÿ ðàâíà ðàçìåðíîñòè îðèãèíàëà, óìíîæåííîé íà ðàçìåðíîñòü âðåìåíè.

Äîñòîèíñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó ÿâëÿåòñÿ åãî ñîîòâåòñòâèå ïðåîá

ðàçîâàíèþ Ôóðüå, íà êîòîðîì îñíîâûâàåòñÿ øèðîêî èñïîëüçóåìûé â íàñòîÿùåå

âðåìÿ ÷àñòîòíûé ìåòîä àíàëèçà öåïåé è êîòîðûé áóäåò èçëîæåí â ãë. 11. Èñõîäÿ

èç ïîñëåäíåãî ñîîáðàæåíèÿ, à òàêæå èç òîãî, ÷òî â çíà÷èòåëüíîé ÷àñòè ñîâðåìåí

íîé ëèòåðàòóðû ïðèìåíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ïî Ëàïëàñó, â äàëüíåéøåì áóäåì

òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì.

Ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé

[f(t)] = f ¢(t). Èìååì

ft fte dt

''() () .Þ

Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî, ñîãëàñíî íàëîæåííûì íà f(t) óñëîâè

ÿì, [e

–pt

f(t)]

t=¥

= 0, ïîëó÷àåì

ft eft peftdtpFp f

pt pt

' () () () ( ) ( ).Þ+ =-

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè, êîãäà f(0) = 0, äëÿ èçîáðà

æåíèÿ ïðîèçâîäíîé èìååì

94 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ft pFp' () ( ).Þ

Èçîáðàæåíèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé

ft ppFp f f pFp

() [ ( ) ( )] ( ) ( )

() ()

Þ--=--

Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà n ïîëó÷àåì

ft pFp

()

() ( )

() () () ()

Þ-----

00 0 0

Â ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, åñëè ïðè t = 0 ñàìà ôóíêöèÿ

f(t) è âñå åå ïðîèçâîäíûå äî (ï–1)-é âêëþ÷èòåëüíî ðàâíû íóëþ, èìååì

ft pFp

()

() ( ).Þ

Íàéäåì òåïåðü èçîáðàæåíèå èíòåãðàëà y(t) =

ftdt

()

Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèè y(t) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà

Ëàïëàñà è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì

Y( ) () () () .ptedtt

te dt

pt pt pt

==-+

òò

yy y

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ, òàê êàê ôóíêöèÿ y(t) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü

óñëîâèþ | e

–pt

y(t)|

t=¥

= 0, à ïðè t = 0 áóäåò y(t) =

ftdt

()

. Âòîðîå ñëàãàåìîå

ðàâíî

F(p), òàê êàê y¢(t) = f(t)èf(t) Þ F(p). Òàêèì îáðàçîì, èçîáðàæåíèå èíòå-

ãðàëà, âçÿòîãî â ïðåäåëàõ îò 0 äî t, áóäåò

ftdt

()

Èòàê, ìû óáåäèëèñü, ÷òî, èçîáðàæàÿ ôóíêöèè âðåìåíè f(t) ñ ïîìîùüþ èíòå

ãðàëà Ëàïëàñà, îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé

çàìåíÿåì àëãåáðàè÷åñêèìè îïåðàöèÿìè íàä èçîáðàæåíèÿìè ýòèõ ôóíêöèé.

Â äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ ïðîèçâîäíîé ïî

âðåìåíè ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè äëÿ íàïðÿæåíèÿ u

íà êàòóøêå:

. Îáîçíà÷àÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà i(t) â âèäå I(p), ïîëó÷àåì ñî

ãëàñíî âûøåèçëîæåííîìó îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå äëÿ è

(t):

Up pLIp Li

() () ().=-0

Ñ èíòåãðàëîì ÷àùå âñåãî âñòðå÷àåìñÿ â âûðàæåíèè íàïðÿæåíèÿ è

íà êîí

äåíñàòîðå: è

idt u

+ ()

Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 95

Èçîáðàæåíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ñîãëàñíî èçëîæåííîìó áóäåò I(p)/(pC).

Âòîðîå ñëàãàåìîå è

(0) ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è èìååò èçîáðàæåíèå

uedt

()

() ()

=- =

Ñëåäîâàòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå ïðè íåíóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè èçîáðàæå

íèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå è

(t) èìååò âèä

()

.=+

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé öåïè â îïåðàòîðíîé ôîðìå àâòî

ìàòè÷åñêè áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ âñå ôèçè÷åñêèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ — çíà÷åíèÿ

òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ïðè t = 0.

10.2. Ïðèìåðû èçîáðàæåíèé ôóíêöèé

Èçîáðàæåíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû A èìååò âèä

Ae dt

pt pt-

=- =

ò. å.

¸[]AAp=

èëè À Þ A/p.

Ïóñòü f(t) = e

, òîãäà

() ()

Fp e e dt e dt

pt pt

()===-

òò

è, ñëåäîâàòåëüíî,

Åñëè at = j(wt + y), òî

eee

jjt

=Þ

Ñëåäîâàòåëüíî,

sin ( )w

jp j p j

jt jt

=-Þ

2 2

Íà îñíîâå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùóþ òàáëèöó ñîîòâåòñò

âèÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèé (îðèãèíàëîâ) è èõ èçîáðàæåíèé.

Îðèãèíàë Èçîáðàæåíèå

p -a

96 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Îðèãèíàë Èçîáðàæåíèå

pp pp

a)(

sha

tee

()

cha

tee

()

sin ( )w

jt jt

jp j p j

cos ( )w

tee

jt jt

pj pj

sin(wy)t +

sin cosywy

cos(wy)t +

cos sinywy

t-d

wsin

d) w( p ++

t-d

wcos

d) w(

t-d

( p +d)

Â ïðèâåäåííîé òàáëèöå äàíû ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îðèãèíàëàìè è èõ èçîáðà

æåíèÿìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Êàð

ñîíà ñëåäóåò óìíîæèòü âñå èçîáðàæåíèÿ íà ð. Â ýòîì ñëó÷àå èçîáðàæåíèåì ïî

ñòîÿííîé âåëè÷èíû áóäåò ñàìà ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,

÷òî êðàòíûå ïîëþñû â âûðàæåíèè äëÿ F(ð) èçîáðàæàþò ôóíêöèè, â êîòîðûõ âðå

ìÿ t âõîäèò ìíîæèòåëåì (ïîñëåäíèå äâà âûðàæåíèÿ â òàáëèöå).

Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè, ñìåùåííîé âî âðåìåíè íà âåëè÷èíó x, ïðè

óñëîâèè, ÷òî ïðè t < 0 èìååì f(t) = 0. Åñëè f(t) Þ F(p), òî äëÿ èçîáðàæåíèÿ òîé

æå ôóíêöèè ïðè t¢=t–xïîëó÷èì

Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 97

ft x ft xe dt e ft xe e dt

pt px pt px

() () ()-Þ - = - =

òò

xptpxptpx

ft e dt e fte dt e Fp() () (),''

òò

òî åñòü

ft x e Fp

() ().-Þ

Íàéäåì îðèãèíàë, ñîîòâåòñòâóþùèé ñìåùåíèþ èçîáðàæåíèÿ â êîìïëåêñíîé

ïëîñêîñòè íà êîìïëåêñíîå ÷èñëî a.

Ïóñòü

Fp fte dt ft

( ) () ().=Þ

Òîãäà

()

F p a f t e dt f t e e dt f t e

pat

( ) () [ () ] ()+= = Þ

òî åñòü

fte Fp a

() ( ).

Þ+

Ïîäðîáíûå òàáëèöû ñîîòâåòñòâèÿ îðèãèíàëîâ è èçîáðàæåíèé ïðèâåäåíû

â ñïåöèàëüíûõ ñïðàâî÷íèêàõ.

10.3. Çàêîíû Êèðõãîôà è Îìà â îïåðàòîðíîé ôîðìå

Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê óçëó öåïè äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ òîêîâ

èìååò âèä

= 0.

Òàê êàê òîê i

èçîáðàæàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ëàïëàñà, à èíòåãðàë ñóììû

ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ îò ñëàãàåìûõ ýòîé ñóììû, òî ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà â

îïåðàòîðíîé ôîðìå çàïèñûâàåòñÿ â âèäå

() .

= 0

Ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â ïðèìåíåíèè ê êîíòóðó öåïè

åå

= ,

ãäå e

— ñóììà ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â k-é âåòâè è u

— íàïðÿæåíèå íà k-é

âåòâè, çàïèñûâàåòñÿ â îïåðàòîðíîé ôîðìå:

Ep Up

() ().

åå

Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå

íåîáõîäèìî çàäàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè âñåõ òîêîâ è ñîáëþäàòü

âñå ïðàâèëà çíàêîâ, óñòàíîâëåííûå ðàíåå ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé íà îñíîâå

çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé âðåìåíè. Â îáùåì ñëó÷àå äëÿ

âåòâè, ñîäåðæàùåé âñå òðè ýëåìåíòà (r, L, Ñ), èìååì

98 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

uriL

dt C

idt u

kkk k

=+ + +

();

ïîýòîìó ñîãëàñíî § 10.1 ñ ó÷åòîì íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷èì

Up rIp pLIp Li

kkk kk kk

() () () ()

() ()

=+ -++0

èëè

Up Li

Ipr pL

kkk

() ()

()

() .+-= ++

Âåëè÷èíó

rpL

++ =

()

íàçûâàþò îáîáùåííûì ñîïðîòèâëåíèåì âåòâè, èëè, èíà÷å, îïåðà

òîðíûì ñîïðîòèâëåíèåì âåòâè.

Îêîí÷àòåëüíî ïðè ýòîì îïåðàòîðíàÿ çàïèñü çàêîíîâ Êèðõãîôà ïðèìåò âèä

Ep IpZp Li

kkkkk

() ;

() () () ()

()

åå

=-+

Òîê â k-é âåòâè è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â ýòîé âåòâè â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñâÿ-

çàíû ñîîòíîøåíèåì

Up Li u p

kkkCk

()

() () ()

()

+-00

êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí Îìà, îáîáùåííûé íà ñëó÷àé ïåðåõîäíîãî ïðî

öåññà. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè i

(0) = 0

è u

(0) = 0, èìååì

rpL pC

kk k

()

.==

++1

Çàìåòèì, ÷òî ñòðóêòóðû çàïèñè îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâè è êîì

ïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîé æå âåòâè

ZrjL

kk k

=+ +w

òîæäåñòâåííû è âûðàæåíèå äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z

ìîæíî ïî

ëó÷èòü ÷åðåç îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå Z

(ð) ïóòåì çàìåíû p íà jw,ò.å.

= Z

(jw). Â ÷àñòíîñòè, ïîëàãàÿ ð = 0, ïîëó÷èì ñîïðîòèâëåíèå âåòâè ïîñòîÿííî

ìó òîêó.

Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñ èõ âûðà

æåíèÿìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå

&&&

,IEIZ

kkkk

ååå

==0 è

Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 99

ãäå êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû

, Z

ñîäåðæàò ÷àñòîòó w òîëüêî ñ ìíîæèòåëåì j,âè

äèì, ÷òî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ çàêîíû Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé

ôîðìå îäèíàêîâû ïî âèäó ñ ýòèìè çàêîíàìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Ïîýòîìó ïðè

íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ñïîñîáû ðàñ÷åòà ëþáûõ ñëîæíûõ öåïåé ïðè ïåðå

õîäíûõ ïðîöåññàõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì àíàëîãè÷íû ñïîñîáàì ðàñ÷åòà óñòàíî

âèâøèõñÿ ðåæèìîâ êîìïëåêñíûì ìåòîäîì. Â ÷àñòíîñòè, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ

óñëîâèÿõ âõîäíîå îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå ñêîëü óãîäíî ñëîæíîãî ïàññèâíî

ãî äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïîëó÷èòü èç êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýòîãî äâóõ

ïîëþñíèêà çàìåíîé jw íà p.

Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæåì âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà äëÿ âñåõ

êîíòóðîâ çàïèñàòü â âèäå

Ep Li

IpZp

kkk

() ()

()

() ().

åå å å

+-=0

Ðàññìàòðèâàÿ ÷ëåíû S L

(0) è –S u

(0)/p êàê ÝÄÑ äîáàâî÷íûõ èñòî÷íèêîâ

ýíåðãèè â êîíòóðàõ (ðèñ. 10.1), ìîæåì ñ èõ ó÷åòîì ñîõðàíèòü âñå òå æå îáùèå ìå-

òîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé. Â ÷àñòíîñòè, ìîæíî âîñïîëüçî-

âàòüñÿ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ è ðàññ÷èòàòü ïðîöåññ â öåïè ñíà-

÷àëà ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, à çàòåì íàëîæèòü íà

íåãî ïðîöåññ, âîçíèêàþùèé òîëüêî ïîä äåéñòâèåì îäíèõ äî-

áàâî÷íûõ ÝÄÑ, îïðåäåëÿåìûõ íà÷àëüíûìè òîêàìè â êàòóø-

êàõ è íà÷àëüíûìè íàïðÿæåíèÿìè íà êîíäåíñàòîðàõ.

Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå íåñêîëüêèõ

ó÷àñòêîâ öåïè. Ïóñòü öåïü ñîñòîèò èç îäíîãî êîíòóðà. Â òàêîì

ñëó÷àå òîê äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ýòîé öåïè îäèí è òîò æå. Ïðèìå-

íÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, èìååì

Ep Ip Zp Li

kk k kk

() () () ()

()

åååå

=-+0

Âåëè÷èíà Z(ð) = S Z

(p) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðíûì ñîïðîòèâëåíèåì âñåé öåïè.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå

ñîïðîòèâëåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ.

Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå äâóõ âåòâåé. Â ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæå

íèå íà íèõ îáùåå. Ïóñòü â êàæäîé âåòâè ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåíû r, L è C.

Èìååì äëÿ êàæäîé âåòâè

Up I pZ p Li

() () () ()

()

=-+

11 11

Up I pZ p Li

() () () ()

()

,=-+

22 22

ãäå

Zp r pL

111

222

() () .=+ + =+ +è

100 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 10.1

Ñóììàðíûé òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè èçîáðàæàåòñÿ êàê

Ip I p I p

Up Li u p

Up L

() () ()

()

=+=

11 1

00 iup

C22

00() ()

()

Îòñþäà âèäèì, ÷òî ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü

I(p) êàê ïðîèçâåäåíèå U(p) íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü Y(p), èìåþùèé ñìûñë îïå

ðàòîðíîé ïðîâîäèìîñòè. Îäíàêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ýòî âîçìîæíî,

òàê êàê ïðè ýòîì

Ip Up

Zp Z p

UpY p Y p Up() ()

() ()

()[ () ()] (=+

=+=

)().Yp

Âåëè÷èíû Y

(p) =

Zp()

, Y

(p) =

Zp()

è Y(p) =

Zp()

íàçûâàþò îïåðàòîð

íûìè ïðîâîäèìîñòÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ â ñëó÷àå ïàðàëëåëüíîãî ñîåäè

íåíèÿ ó÷àñòêîâ öåïè èõ îïåðàòîðíûå ïðîâîäèìîñòè ñêëàäûâàþòñÿ.

10.4. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

îïåðàòîðíûì ìåòîäîì

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ, èññëåäîâàííûõ ðàíåå êëàññè-

÷åñêèì ìåòîäîì.

Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, L) ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå è = U = const èìååì

U(p) = U/p è Z(p) = pL + r, à ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè

i(0) = 0 îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà, ñîãëàñíî çàêîíó Îìà â îïåðàòîðíîé ôîð-

ìå, ïîëó÷àåò âûðàæåíèå

rpL

rpprL

()

.==

Ïîëüçóÿñü èçîáðàæåíèåì ôóíêöèè e

(ñì. § 10.2), äëÿ èñêîìîãî òîêà ìîæåì

íàïèñàòü

() .=-

Â ñëó÷àå âêëþ÷åíèÿ öåïè (r, Ñ) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè

(0) = 0 èìååì

rpC

rp rC

()

() ()

è, ñîîòâåòñòâåííî,

() .=

Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè (r, L, C) ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè íó

ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïîëó÷àåì

Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 101

rpL pC

pLC

()

d) w

p'(

ãäå

d =

; w¢

– d

Èñïîëüçóÿ òàáëèöó èç § 10.2, íàõîäèì îðèãèíàë èñêîìîãî òîêà:

() sin .=

Äîñòîèíñòâî îïåðàòîðíîãî ìåòîäà äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, çàêëþ

÷àþùååñÿ â àëãåáðàèçàöèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé öåïè, îñîáåííî ïðî-

ÿâëÿåòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ öåïåé.

Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî, ó÷èòûâàÿ ÷ëåíû âèäà L

(0)

è–u

(0)/ð êàê äîáàâî÷íûå ÝÄÑ, ìîæåì äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ âîñ-

ïîëüçîâàòüñÿ âñåìè ìåòîäàìè ðàñ÷åòà ñëîæíûõ öåïåé, ðàññìîòðåííûìè â ãë. 5

ïðèìåíèòåëüíî ê óñòàíîâèâøèìñÿ ðåæèìàì. Åñëè â öåïè èìåþòñÿ èíäóêòèâ-

íî-ñâÿçàííûå âåòâè, òî ÷ëåíû âèäà M

(0) òàêæå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íåêî-

òîðûå äîáàâî÷íûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ, è óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà äëÿ

êîíòóðà, â êîòîðîì äåéñòâóþò ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, ñëåäóåò ïèñàòü â âèäå

Ep Li Mi

uZpIppM

kkk kss Ck kk k

() () () () () ()

åå å å

++ - = +00

Ip().

åå

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà ñëîæíîé öå

ïè ðàññìîòðèì ðàñ÷åò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

â öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.2, ïðè ðàçìû

êàíèè êëþ÷à. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòî

äó êîíòóðíûõ òîêîâ:

ZpIpZpIp Ep

ZpIpZpI

11 1 12 2 11

21 1 22

() () () () ();

() () ()

222

() (),pEp=

ãäå

Zp rr pL L Z p r r

11 1 3 1 3 22 2 3

() ( ); () ;

()

=++ + = ++ +

==+ =+ +Zp r pL Ep EpLi Li

LL21 3 3 11 1 1 1 3 3

00() ; () () () ();

(

pEp

)()

()

().=- +

Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷èì

102 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 10.2