Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

òî

jjtt

=+ =+

1AÔ 1A Aexp( ) .

Òîãäà Ô

k+1

= Ô

(2×1 + AÔ

Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ Ah äëÿ äîñòàòî÷íî òî÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ

è Ô

ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ìàëûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè

=+ + + +1A

hh()

()

Ô1

=++

()

;

gÔb

= ,

ïðèíÿâ n£1 ... 4.

Ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö

è Ô

ìîæíî îïðåäåëèòü

ìàòðèöû

, Ô

è g

, ñîîòâåòñòâóþùèå øàãó èíòåãðèðîâàíèÿ H = 2

h. Íàïðè

ìåð, ïðè N = 10 H = 2

h = 1024h.

Ðàññìîòðèì ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ øàãîâ äëÿ ðåøåíèÿ óðàâ-

íåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíûõ ïàññèâíûõ öåïåé ïðè íàëè÷èè â íèõ èñòî÷íèêîâ ïî-

ñòîÿííûõ òîêîâ è ÝÄÑ. Óðàâíåíèÿ òàêèõ öåïåé èìåþò âèä

Ax b x b x x=+

ÁÁ

=+ Î =èëè , , , ( ) .0

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, âûðàæåííîå ÷åðåç ñâîáîäíûå è ïðèíóæäåííûå ñî-

ñòàâëÿþùèå, èìååò âèä

xAõAb() exp( ) exp( ) .tt d

Ðàíåå îòìå÷àëîñü, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå è ÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå åãî ðåçóëü

òàòîâ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü ñ óêðóïíåííûìè øàãàìè H, îïðåäåëÿþùèìè íàáëþ

äàåìûå, âûâîäèìûå íà ïå÷àòü èëè èçîáðàæàåìûå ãðàôè÷åñêè âåëè÷èíû. Ïóñòü

= nH. Ñ÷èòàÿ çíà÷åíèå x

â ìîìåíò âðåìåíè t

íà÷àëüíûì äëÿ ñëåäóþùåãî èí

òåðâàëà H, çàïèøåì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå â âèäå

õõAõAb() exp()exp().tH H d

nn n

+= = +

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî exp (AH)=

jjjj

= 1 + AÔ

, à èíòåãðàë ðàâåí g

= Ô

ìîæíî çàïèñàòü

xxÔbx1ÀÔxÔbxÔÀxb

n NnN n NnN nNn

=+ =+ +=+ +

jj ,() ();

=+ = +

xÔx x xg

nNnn NnN

;.jj

Ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðà íàèáîëüøàÿ â ñëó÷àå ïðèìåíå

íèÿ ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè ñèñòåìíîì ìåòîäå ðåøå

íèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ìàòðè÷íîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå x

n+1

= x

+ Ô

ÿâ

ëÿåòñÿ àíàëîãîì ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäà Ýéëåðà, ãäå âìåñòî øàãà h

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 83

èñïîëüçóåòñÿ ìàòðèöà Ô

. Óðàâíåíèÿ x

n+1

= x

+ Ô

, x

n+1

+ g

îïèñûâà

þò ñèñòåìíûå ìåòîäû ïåðâîé ñòåïåíè. Ïî àíàëîãèè ñ òðàäèöèîííûìè ðàçíî

ñòíûìè ìåòîäàìè ìîæíî ïîñòðîèòü ñèñòåìíûå ìåòîäû áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé.

Öåííîñòü ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ â òîì, ÷òî ïîäáîðîì N ìîæíî äîñòè÷ü çàäàííóþ

òî÷íîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàê êàê íîðìà ìàòðèöû

À =

åå

()

îïðå

äåëÿåò a

max

, à ïðè ìàëûõ (ïîðÿäêà 10

–1

) çíà÷åíèÿõ

ñh= À

ñõîäèìîñòü ýêñïîíåí

òû e

îáåñïå÷èâàåòñÿ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèì

(2 ... 5) ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðÿäà

, òî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äîñòàòî÷íî,

÷òîáû

hc£ A

(c » 0,1). Ïîäáîðîì N ìîæíî äîñòè÷ü æåëàåìîé ñòåïåíè óêðóïíå

íèÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ â 2

ðàç. Äàëüíåéøèé ðàñ÷åò ïðîèç

âîäèòñÿ ñ øàãîì H = 2

h, à ïðè íåîáõîäèìîñòè â ëþáîé ìîìåíò ìîæíî ïðîèçâå

ñòè óâåëè÷åíèå è ýòîãî øàãà.

Äëÿ òàêîãî óêðóïíåíèÿ øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ôîð-

ìóëà

jjjj

kk+

ÔÔ1

kk k+

()jj

gÔb

kk++

, íî óæå îòíîñèòåëüíî

è g

ðàññìàòðèâàåìûõ â êà÷åñòâ àíàëîãîâ

è g

. Ïóñòü, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ÷èñëà

øàãîâ k, ñëåäóåò åùå áîëåå óêðóïíèòü øàã H, òåïåðü óæå â 2

ðàç, òîãäà

è g

äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû èç ñîîòíîøåíèé

jjjjjjjjjjjj

==,,=

==+

NNMM

NN ii

,()

gg g g,()().ÔÔ1ÀÔÔ1

ii ii i++

=×+ = +

2 jj

Äàëüíåéøåå ïðèìåíåíèå ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè

N + M

-êðàòíîå óêðóïíåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà h. Åñëè N = 10, M = 5, òî íîâûé

øàã áóäåò â 2

= 32 768 ðàç áîëüøå ïðåäûäóùåãî.

Èçëîæåííûì ìåòîäîì öåëåñîîáðàçíî ïðîèçâîäèòü óêðóïíåíèå øàãà èíòåã

ðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì. Íàïðèìåð, åñëè èìåþòñÿ òðè ãðóïïû ñèëüíî ðàçëè

÷àþùèõñÿ ìåæäó ñîáîé ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïåðâîãî ïî

ãðàíè÷íîãî ñëîÿ t

ïñ1

ìîæíî ïðîèçâåñòè N-êðàòíîå, à ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ âòîðîãî

ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ 2

-êðàòíîå óâåëè÷åíèå øàãà.

Â ðàññìîòðåííîì â § 9.16 óðàâíåíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ãäå a

= –2×10

, a

= –10,

èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ ïðèíÿò T = 5t

= 5×0,1= 0,5 ñ. Ïðè ÷èñëå íàáëþäàåìûõ çíà

÷åíèé, ðàâíîì 100, ïåðâîíà÷àëüíûé øàã h =t

äîëæåí áûòü óâåëè÷åí â H/h =

= 5×10

–3

/5×10

–12

= 10

ðàç. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïî ôîðìóëå

jjjj

kk+

ïðîèçâå

ñòè 30-êðàòíîå ïîñëåäîâàòåëüíîå óäâîåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî øàãà h.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ óâåëè÷åíèÿ øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü è íåÿâ

íûå ìåòîäû. Îäíàêî ïðè ýòîì øàã íå ìîæåò áûòü áîëüøå çíà÷åíèé, îãðàíè÷åí

íûõ äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòüþ. Íàïðèìåð, ïðè íåÿâíîì ìåòîäå Ýéëåðà ïðèåì

ëåì, ñ òî÷êè çðåíèÿ îáåñïå÷åíèÿ ÷èñëåííîé óñòîé÷èâîñòè, ïðàêòè÷åñêè ëþáîé

øàã. Îäíàêî ñäåëàòü øàã h áîëüøå çíà÷åíèÿ, îïðåäåëåííîãî ïîãðåøíîñòüþ è íîð

ìîé ìàòðèöû A, íåëüçÿ.

84 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðèìåðíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñ ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé âîçäåéñò

âèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ

= Ax + b, x(0) = x

, ñîãëàñíî Þ. Â. Ðàêèòñêîìó, âû

ãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì.

1. Ââîäÿò ìàòðèöó A, íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ (âåêòîð x

âåêòîð b), æåëàåìûé èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ T, êîíñòàíòó c (c » 0,1), øàã

íàáëþäåíèÿ H.

2. Âû÷èñëÿþò íîðìó ìàòðèöû A.

3. Íàõîäÿò h è H èç âûðàæåíèé

NHc hc»£(ln ) ln , .AA2

4. Îïðåäåëÿþò

= 1 + Ah +…+(Ah)

/n!èg

= Ô

b = h[1 + Ah/2 + … +(Ah )

n-1

/n!]b.

5. Ðàññ÷èòûâàþò

jjjj

kk+

è g

i+1

(

1 +jj

6. Ñ÷èòàþò i = i + 1; åñëè i < N, ïåðåõîäÿò ê ï. 5.

7. Âû÷èñëÿþò x

ñâ n+1

è x

n+1

= x

ñâ n+1

+ g

8. Åñëè (n +1)H < T, ïåðåõîäÿò ê ï. 5 è ïå÷àòàþò ðåçóëüòàò. Åñëè (n +1)H > T,

òî âû÷èñëåíèå çàêàí÷èâàþò.

Ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ïðè ðåøåíèè ëèíåéíûõ óðàâ-

íåíèé ñîñòîÿíèÿ áîëåå îáùåãî âèäà:

xAxf=+

, x = x(t) Î R

, f = f(t) Î R

x(0) = x

, à òàêæå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ

= f(t,x), x, f Î R

, x(0) = x

åñëè ïðèìåíÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíàÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ýòèõ óðàâ-

íåíèé ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè âèäà

= A

+ b

, x

) = x

, t Î [t

, t

n+1

]

Çàìåòèì, òàêèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëåííî-àíàëè-

òè÷åñêèìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ñèñ-

òåìíîãî ìåòîäà x

n+1

= x

+ Ô

f(t

, x

) îáëàäàåò ôîðìàëüíûì ñõîäñòâîì ñ ðàç-

íîñòíûì óðàâíåíèåì ÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà x

n+1

= x

+ hf(t

, x

). Ïðè ýòîì ðîëü

øàãà h èãðàåò ìàòðèöà Ô

. Èñïîëüçóÿ äðóãèå ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè

f(t, x), ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëîãè è äðóãèõ êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ,

íàïðèìåð íåÿâíûé ñèñòåìíûé ìåòîä (x

n+1

= x

+ Ô

f(t

n+1

, x

n+1

)), ñîîòâåòñòâóþ

ùèé íåÿâíîìó ìåòîäó Ýéëåðà (x

n+1

= x

+ hf(t

n+1

, x

n+1

)).

Îñíîâíûì äîñòîèíñòâîì ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ èõ óíèâåðñàëüíîñòü,

òàê êàê îíè ïîçâîëÿþò ðåøàòü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîèç

âîëüíîé æåñòêîñòè. Îñîáåííî ýôôåêòèâíû ýòè ìåòîäû ïðè ðåøåíèè äîñòàòî÷íî

æåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïðè ðåøåíèè æå íåæåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïðè

ìåíåíèå ñèñòåìíûõ ìåòîäîâ íå äàåò êàêèõ-ëèáî ñóùåñòâåííûõ ïðåèìóùåñòâ ïî

ñðàâíåíèþ ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòî ïðî

èñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîñëåäíåãî òèïà íå íàëàãàåò áîëüøèõ

îãðàíè÷åíèé íà øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà. Øàã èí

òåãðèðîâàíèÿ íåæåñòêèõ ñèñòåì âûáèðàþò â îñíîâíîì ñ ó÷åòîì îáåñïå÷åíèÿ çà

äàííîé òî÷íîñòè è ÷àñòî ïðèíèìàþò ðàâíûì øàãó èíòåðïîëÿöèè. Ïîýòîìó ïðè

ðåøåíèè çàâåäîìî íåæåñòêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé ïðåäïî÷òèòåëüíåé èñïîëüçî

âàòü òàêèå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ, âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû êîòîðûõ íàèáî

ëåå ïðîñòû, íàïðèìåð ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà. Êðîìå òîãî, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ

òàêîé ïîäõîä ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ïðîèçâîëüíîé æåñò

êîñòè, â îñíîâó êîòîðîãî ïîëîæåíû ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèÿ èñõîäíûõ ñèñòåì

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 85

óðàâíåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåì ÿâíûì ìåòî

äîì Ýéëåðà ñ øàãîì äèñêðåòèçàöèè, áëèçêèì ê øàãó èíòåðïîëÿöèè ðåøåíèÿ.

9.18. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ìåòîäîì ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì

Â § 9.13 áûë ðàññìîòðåí îäèí èç îáùèõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, îðèåíòèðîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðîâ, — ìå

òîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ. Â ýòîì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàåòñÿ áîëåå ñîâðåìåí

íûé ïîäõîä ê êîìïüþòåðíîìó àíàëèçó ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì — ìåòîä ñèíòåòè÷å

ñêèõ ñõåì.

Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ìåòîäîì ïåðåìåííûõ

ñîñòîÿíèÿ ïðåäïîëàãàåò ôîðìèðîâàíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, àïïðîê

ñèìàöèþ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè, ÷èñëåííîå ðåøåíèå

ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé íà êàæäîì øàãå ðàñ÷åòà ïî âðåìåíè.

Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñ÷åòà ýôôåêòèâíà äëÿ öåïåé ñ íåáîëüøèì ÷èñ

ëîì ðåàêòèâíûõ è íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ òàêèõ öåïåé ìî-

ãóò áûòü ñôîðìèðîâàíû âðó÷íóþ èëè ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà ïî ñðàâíèòåëüíî

ïðîñòûì àëãîðèòìàì, ðàññìîòðåííûì â § 9.13. Ïðè ýòîì íà òî÷íîñòü ïîëó÷àå-

ìîãî ðåøåíèÿ áóäåò âëèÿòü òîëüêî âûáîð ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ñ ðîñòîì ñëîæíîñòè öåïåé ïîëó÷åíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ âðó÷íóþ ñòàíîâèòñÿ

ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì, è âîïðîñû ýôôåêòèâíîñòè àâòîìàòè÷åñêîãî ôîð-

ìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé íà÷èíàþò èãðàòü íå ìåíüøóþ ðîëü, ÷åì âîïðîñû ïîñëå-

äóþùåãî èõ ðåøåíèÿ. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî äëÿ öåïåé ñ áîëüøèì ÷èñëîì

ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ è ñ ìíîãîïîëþñíûìè íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè îòñóò-

ñòâóþò óíèâåðñàëüíûå àëãîðèòìû ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ. Ðàçðà-

áîòêà æå äëÿ êàæäîé íîâîé öåïè ñïåöèàëüíîãî àëãîðèòìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

äîâîëüíî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Ê òîìó æå ðåàëèçàöèÿ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ òðåáóåò

ñóùåñòâåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò. Ïîýòîìó ïðè êîìïüþòåðíîì ðàñ÷åòå ñëîæ

íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðåäïî÷òåíèå îòäàåòñÿ òàêîìó ïóòè, â êîòîðîì ïðî

öåäóðà ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé íàèáîëåå ïðîñòà, óíèâåðñàëüíà è ñîãëàñîâàíà

ñ ïîñëåäóþùèì ÷èñëåííûì ðåøåíèåì. Òàêîé ïóòü ïðåäïîëàãàåò èíóþ ïîñëåäî

âàòåëüíîñòü ýòàïîâ ðàñ÷åòà.

Ñíà÷àëà âûïîëíÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòäåëü

íûõ ýëåìåíòîâ öåïåé ðàçíîñòíûìè óðàâíåíèÿìè. Ïîëó÷åííûì ðàçíîñòíûì óðàâ

íåíèÿì ñòàâÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèå àêòèâíûå ðåçèñòèâíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ. Â ðå

çóëüòàòå ñòðîèòñÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ âñåé öåïè, ñîäåðæàùàÿ òîëüêî èñòî÷íèêè

òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ è ðåçèñòèâíûå ýëåìåíòû. Çàòåì äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ìî

ìåíòà âðåìåíè ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ

ïðîöåññ â àêòèâíîé ðåçèñòèâíîé ñõåìå çàìåùåíèÿ öåïè. Ïîñëå ýòîãî ðåøàåòñÿ

ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé ïå

ðåìåííûõ â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ñëåäóåò çàíîâî ðàññ÷èòàòü ïàðàìåò

ðû ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ðåøèòü åå.

Ïîäîáíûé ïóòü ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïðåîáðàçîâàíèå çàäà÷è ðàñ÷åòà

ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàäà÷ ðàñ

÷åòà ïî ïîñòîÿííîìó òîêó ðåçèñòèâíûõ öåïåé òîé æå òîïîëîãè÷åñêîé ñòðóêòóðû.

86 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïðè òàêîì ïîäõîäå äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû

ìåòîäû àíàëèçà ÷èñòî ðåçèñòèâíûõ öåïåé, îòëè÷àþùèåñÿ ïðîñòîòîé àëãîðèòìîâ

ôîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé.

Çàìåíà ýëåìåíòîâ èñõîäíîé öåïè àêòèâíûìè ðåçèñòèâíûìè äâóõïîëþñíè

êàìè ïîçâîëÿåò ñîõðàíèòü òîïîëîãèþ öåïè è ïðèìåíèòü âñå èçâåñòíûå ìåòîäû

ðàñ÷åòà ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà. Ïîýòîìó ìåòîä, îáú

åäèíÿþùèé ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè

ñ ìåòîäàìè ðàñ÷åòà ðåçèñòèâíûõ öåïåé, äàëåå áóäåì íàçûâàòü ìåòîäîì ñèíòå

òè÷åñêèõ ñõåì, à àêòèâíóþ ðåçèñòèâíóþ ìîäåëü ýëåìåíòà — åãî ñèíòåòè÷åñêîé

ñõåìîé. Íàðÿäó ñ ýòèìè â ëèòåðàòóðå èñïîëüçóþò òàêæå íàçâàíèÿ «ìåòîä äèñ

êðåòíûõ ñõåì» è «äèñêðåòíàÿ ñõåìà».

Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû äâóõïîëþñíîé ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ. 9.41, â)êà

òóøêè è êîíäåíñàòîðà (ðèñ. 9.41, à è á).

Âûïîëíèì ðàçíîñòíóþ àïïðîêñèìàöèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êà-

òóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà íà îñíîâå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà. Äëÿ

ýòîãî ïðèìåíèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà x

n+1

= x

+ hf

n+1

= f(t

n+1

, x

n+1

) (ïîäðîáíåå ñì. § 9.14) ê óðàâíåíèÿì, ñâÿçûâàþùèì òîê è íàïðÿ-

æåíèå íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðå:

LL CC

()

;

()

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå òîêè è íà

ïðÿæåíèÿ â ýòèõ ýëåìåíòàõ â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t = nh, n = 0, 1, 2, …:

äëÿ êàòóøêè

Ln Ln Ln,,,

;

äëÿ êîíäåíñàòîðà

Cn Cn Cn,, ,++

Cn Cn Cn,,,

Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ è äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è äëÿ êîíäåíñàòî

ðà ìîæíî çàïèñàòü â îáùåé äëÿ îáîèõ ýëåìåíòîâ ôîðìå

igu

nnn++

=+Á

(*)

ãäå g = h/L è Á

= i

L,n

äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè, g = C/h è Á

= (–C/h)u

C,n

äëÿ

êîíäåíñàòîðà.

Óðàâíåíèå (*) ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíî êàê óðàâíåíèå ïåðâîãî çàêîíà

Êèðõãîôà äëÿ óçëà k öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.41, â, à âåëè÷èíû g è Á

èìåþò

ðàçìåðíîñòè, ñîîòâåòñòâåííî, â ñèìåíñàõ è àìïåðàõ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàêòèâíûé

ýëåìåíò çàìåíÿåòñÿ äâóõïîëþñíèêîì, ñîñòîÿùèì èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ

ïðîâîäèìîñòè

è èñòî÷íèêà òîêà Á

ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåò

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 87

Ðèñ. 9.41

ðîâ. Ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 9.41, â, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèíòåòè÷åñêóþ, èëè

äèñêðåòíóþ, ñõåìó ðåàêòèâíîãî ýëåìåíòà.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà òðàïåöèé äëÿ ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè êîì

ïîíåíòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåí

ñàòîðà ïîëó÷èì äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè:

nnnn++

=++

òîãäà

, Á= +

nn n

è äëÿ êîíäåíñàòîðà:

nnnn++

=++

òîãäà

nn n

=Á=+

Òàêèì îáðàçîì, âèä ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû ðåàêòèâíîãî ýëåìåíòà íå èçìåíèë

ñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè èíîãî ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Èçìåíèëèñü

ëèøü ïàðàìåòðû ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû. Îòìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð g äèñêðåòíîé ìî

äåëè ïðè èñïîëüçîâàíèè ëþáîãî íåÿâíîãî ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ

îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ïàðàìåòðàìè ýëåìåíòà è âåëè÷èíîé øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ h.

Ïàðàìåòð Á

çàâèñèò òàêæå îò çíà÷åíèé òîêà èëè (è) íàïðÿæåíèÿ, ïîëó÷åííûõ

íà n-ì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ìåòîäîâ Ýéëåðà è òðàïåöèé, è òàêæå îò çíà÷å-

íèé ïåðåìåííûõ â áîëåå ðàííèå ìîìåíòû âðåìåíè ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäîâ

÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.

Ïðèìåíèì ìåòîä ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 9.42. Çàìåíèì âõîäÿùèå â öåïü ðåàêòèâ

íûå äâóõïîëþñíèêè èõ ñèíòåòè÷åñêèìè ñõåìàìè è èçîáðàçèì åå â ïðåäñòàâëåí

íîì íà ðèñ. 9.43 âèäå. Ïàðàìåòðû ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì ïðè èñïîëüçîâàíèè íåÿâ

íîãî ìåòîäà Ýéëåðà èìåþò âèä:

LL C LnnLnnC

13 2 1 3 2

== =Á=Á=Á;;; ; ;

,, , , ,n

Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ñèíòåòè÷åñêàÿ ñõåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñõåìó

ïîñòîÿííîãî òîêà è ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ëþáûì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷å

òà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (ìåòîäîì êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è äðó

ãèìè). Â ñîâðåìåííûõ ïðîãðàììàõ, îñíîâàííûõ íà ìåòîäå ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì,

÷àùå èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ïîñêîëüêó èìåííî â ðàìêàõ ýòî

ãî ìåòîäà ñîçäàíû âåñüìà ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèé

öåïè.

88 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.42 Ðèñ. 9.43

Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé

0, n+1

= (u

10, n+1

; u

20, n+1

; u

30, n+1

; u

40, n+1

)

â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = (n +1)h, n = 0, 1, 2, …) â ñèíòåòè÷åñêîé ñõå

ìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 9.43, ïî çíà÷åíèÿì èñòî÷íèêîâ òîêà, ðàññ÷èòàííûì

â ìîìåíò âðåìåíè t = nh, èìååò âèä

rr r

11 1

-- -

2123

10 1

20 1

30 1

40 1

111

rr r

´=

-ÁÁ+

()

() ()

enh

ÁÁ

ÁÁ+

èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

01,

nn+

=ÁÁ

Ðàññìîòðèì äàëåå àëãîðèòì ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â öåïè, îñíîâàí-

íûé íà ïîñëåäîâàòåëüíîì ðåøåíèè ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ äèñêðåòíûõ ìî-

ìåíòîâ âðåìåíè t = nh, n = 0, 1, 2, ….

Â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (n = 0, t = 0) òîêè êàòóøåê è íàïðÿæåíèå íà êîí-

äåíñàòîðå èçâåñòíû:

C10 3 0

,, ,

()

,().==

Ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò áûòü âû-

÷èñëåíû çíà÷åíèÿ

Á= Á= Á=-

LL CC

ii Cuh

13 22

010 030 0 20,, , , , ,

âñåõ èñòî÷íèêîâ òîêà

ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû â ìîìåíò âðåìåíè t = 0. Ïîñëå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé

01 0,

=ÁÁ

è îïðåäåëåíèÿ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé U

0,1

= (u

10, 1

; u

20, 1

; u

30, 1

; u

40, 1

)

ìî

æåì ðàññ÷èòàòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ âñåõ âåòâåé àíàëèçèðóåìîé öåïè â ìîìåíò

âðåìåíè t = h. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ òîêîâ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ

íà êîíäåíñàòîðå èìååì:

igu i gu u

LL L LC11 10 1 0 3 1 30 1 0 1

11 3 32

,,,, ,,,

,(),=+ÁÁ=-+ÁÁ=u

30 1,

ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ t = h ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû çíà÷åíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà ñèí

òåòè÷åñêèõ ñõåì ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ:

Á= Á= Á =-

LL CC

ii Cuh

13 22

111 1 31 1 21,, , , , ,

êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà èñòî÷íèêîâ òîêà

ÁÁ=-Á + Á Á + - -

132

LLC

,,,

()

;;

()

;

() ()h

Ïîñëå ðåøàåì óðàâíåíèå

02 1,

=ÁÁ

, îïðåäåëÿåì óçëîâûå íàïðÿæåíèÿ

0,2

= (u

10,2

; u

20,2

; u

30,2

; u

40,2

)

äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 2h, çàòåì ðàññ÷èòûâàåì òîêè

è íàïðÿæåíèÿ âñåõ âåòâåé öåïè äëÿ ýòîãî ìîìåíòà âðåìåíè è ò. ä. Äåéñòâóÿ

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 89

òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì ÷èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è, òî åñòü íàïðÿæåíèÿ è

òîêè âñåõ âåòâåé ñõåìû â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè t = nh, n = 0, 1, 2, ….

Îòìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ðàñ÷åòà ìîæíî âû÷èñëÿòü ïî óçëîâûì íàïðÿ

æåíèÿì íå âñå ïåðåìåííûå, à òîëüêî òå, êîòîðûå îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ ýëå

ìåíòîâ âåêòîðà èñòî÷íèêîâ òîêà

Ðàñ÷åò îñòàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íå

ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå íà êàæäîì øàãå ðàñ÷åòà âû

÷èñëÿëèñü òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå, òî åñòü

ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ öåïè. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå â êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ,

ðàñ÷åò êîòîðûõ îáÿçàòåëåí íà êàæäîì øàãå, ìîãóò âûñòóïàòü è èíûå òîêè èëè

íàïðÿæåíèÿ, âçàèìíî-îäíîçíà÷íî ñâÿçàííûå ñ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ. Èñ

ïîëüçîâàíèå ýòîé îñîáåííîñòè ìåòîäà ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì ïîçâîëÿåò çà ñ÷åò íå

êîòîðîé ñâîáîäû â âûáîðå ïåðåìåííûõ ïîâûøàòü ýôôåêòèâíîñòü àíàëèçà ïðî

öåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.

Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ìåòîäà ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì ÿâëÿåòñÿ íåèçìåííîñòü â õî

äå ðàñ÷åòà ìàòðèöû G ñèñòåìû óðàâíåíèé

01,nn+

=ÁÁ

ïðè ïîñòîÿííîì øàãå

èíòåãðèðîâàíèÿ h. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óñêîðèòü ïðîöåññ

ðàñ÷åòà. Åñëè ïðåäâàðèòåëüíî âûïîëíèòü îáðàùåíèå (èëè òðèàíãóëÿöèþ) ìàò-

ðèöû G, òî çàòåì äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî íà êàæäîì øàãå óìíîæàòü

îáðàòíóþ ìàòðèöó íà âåêòîð-ñòîëáåö èñòî÷íèêîâ òîêà

ÁÁ

Ýôôåêòèâíîñòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ èçëîæåííûì ìåòîäîì ìîæíî

ïîâûñèòü çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííîé ïî ìå-

òîäó óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû âñåé öåïè. Ýòîãî ìîæíî

äîñòè÷ü ïîñòðîåíèåì ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû ó÷àñòêà öåïè, ñîäåðæàùåãî íåñêîëü-

êî ýëåìåíòîâ. Àëãîðèòìû îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ òàêîé ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû

íàçûâàþò ìàêðîìîäåëÿìè.

Â ðàìêàõ ìàêðîìîäåëè ó÷àñòêà öåïè, ñîäåðæàùåãî íåñêîëüêî ýëåìåíòîâ, ìîæíî

âûäåëèòü ìàêðîìîäåëè âûñøåãî è íèçøåãî óðîâíåé. Ìàêðîìîäåëü âûñøåãî

óðîâíÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ïðîâîäèìîñòè g

è èñòî÷íèêà òîêà Á

ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìû ó÷àñòêà öåïè. Ìàêðîìîäåëü íèçøåãî

óðîâíÿ ðåàëèçóåò ïðîöåäóðó îïðåäåëåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà êàæäîì èç

ýëåìåíòîâ ó÷àñòêà öåïè, äëÿ êîòîðîãî ñòðîèòñÿ ìàêðîìîäåëü.

Ïðèìåíèì ìàêðîìîäåëèðîâàíèå äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â èçîáðà

æåííîé íà ðèñ. 9.42 öåïè, èñïîëüçóÿ íåÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà. Ïîñòðîèì ìàêðîìî

äåëü âåòâè, ñîäåðæàùåé ðåçèñòîð r

è êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè L

Âûðàæàÿ èç óðàâíåíèÿ

âåëè÷èíó

uir

3333

è ñîñòàâëÿÿ

ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå

()

uir

nn nn31 3

31 31 3,, ,,

+++

=+ - ×

ïåðåïèøåì åãî â âèäå

igu g

hr L

nnn n

31 331 3 3

,,, ,

=+Á =

Á=

ãäå

+ L

90 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ

3,n

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàêðîìîäåëü âûñøåãî óðîâíÿ

rL-âåòâè.

Â ìàêðîìîäåëè íèçøåãî óðîâíÿ îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé

íà ýëåìåíòàõ ó÷àñòêà öåïè, äëÿ êîòîðîãî ñòðîèòñÿ ìàêðîìîäåëü, íåîáõîäèìûõ

äëÿ âû÷èñëåíèÿ èñòî÷íèêà òîêà â ñèíòåòè÷åñêîé ñõåìå. Äëÿ rL-äâóõïîëþñíèêà

ýòîé ïåðåìåííîé ÿâëÿåòñÿ òîê êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè (ïåðåìåííàÿ ñîñòîÿíèÿ),

è îí ìîæåò áûòü îïðåäåëåí èç ñîîòíîøåíèÿ i

3, n+1

= g

(–u

20, n+1

)+Á

3,n

, êîòîðîå

è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêðîìîäåëü íèçøåãî óðîâíÿ. Îòìåòèì, ÷òî â äàíîì ñëó

÷àå â ìàêðîìîäåëè íèçøåãî óðîâíÿ âîçìîæíî èñïîëüçîâàíèå è äðóãîé ïåðåìåí

íîé, îäíîçíà÷íî ñâÿçàííîé ñ ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ, íàïðèìåð íàïðÿæåíèÿ íà

ðåçèñòîðå.

Ïîñòðîèì ìàêðîìîäåëü ó÷àñòêà öåïè, ñîñòîÿùåãî èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäè

íåííûõ r

, C

è èñòî÷íèêà ÝÄÑ e

(t) (ðèñ. 9.42). Àëãåáðàèçóÿ ñ ïîìîùüþ ðàçíîñò

íîãî óðàâíåíèÿ íåÿâíîãî ìåòîäà Ýéëåðà êîìïîíåíòíîå óðàâíåíèå êîíäåíñàòîðà

, ìîæåì çàïèñàòü:

uuhCi

Cn Cn n

1221,, ,

()

. Óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõ

ãîôà

uuire

222 2

-+ =

äëÿ êîíòóðà «óçåë 0, C

, r

, óçåë 4, óçåë 0», çàïèøåì äëÿ

äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí íà ìîìåíò âðåìåíè t

n+1

= (n+1)h,

è â ðåçóëüòàòå ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ìàêðîìîäåëü âûñøåãî

óðîâíÿ:

hCr

ge e u ri

nnnnn2

22212222

Á= - - +

,( )

,,,,,

Â ìàêðîìîäåëè íèçøåãî óðîâíÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïåðåìåííûå, íåîáõîäèìûå äëÿ

âû÷èñëåíèÿ èñòî÷íèêà òîêà Á

2,n

íà êàæäîì øàãå ðàñ÷åòà. Â äàííîì ñëó÷àå ýòî

òîê i

2,n

è íàïðÿæåíèå u

2,n

ó÷àñòêà öåïè, äëÿ êîòîðîãî ñòðîèòñÿ ìàêðîìîäåëü

2,n+1

= –u

20,n+1

igu

nnn21 221 2,,,++

=+Á

Âìåñòî òîêà i

2,n+1

è íàïðÿæåíèÿ u

2,n+1

ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ è ïåðåìåííàÿ ñî

ñòîÿíèÿ

uuri

Cn n n

121221,, ,++ +

. Â ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ èñòî÷íèêà òîêà Á

ïðèìåò âèä

Á= - -

+22212

, ,,,

()

nnnCn

ge e u

Â äàííîì ñëó÷àå, èñïîëüçîâàíèå âìåñòî ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ òîêà è íàïðÿ

æåíèÿ rCe-âåòâè ìîæåò áûòü îïðàâäàíî òåì, ÷òî ýòè âåëè÷èíû òàê èëè èíà÷å

ïðèñóòñòâóþò â ðàñ÷åòå è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ìîæåò íå îïðåäåëÿòüñÿ

äîïîëíèòåëüíî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçîâàíèå ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ ïîçâî

ëÿåò óïðîñòèòü âûðàæåíèå äëÿ Á

, èñêëþ÷èâ îïåðàöèþ âû÷èòàíèÿ, ÷òî ïðè

îïðåäåëåííûõ ñî÷åòàíèÿõ ïàðàìåòðîâ rCe-âåòâè ìîæåò ïîâûñèòü òî÷íîñòü âû

÷èñëåíèé. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàêðîìîäåëåé ñëîæíûõ ìíîãîïîëþñíûõ öåïåé îòìå

÷åííàÿ ñâîáîäà â âûáîðå ïåðåìåííûõ ìîæåò îêàçàòü ðåøàþùåå âëèÿíèå íà ýô

ôåêòèâíîñòü è òî÷íîñòü ìîäåëè.

Ìàêðîìîäåëèðîâàíèå ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ñèíòåòè÷åñêóþ ñõå

ìó àíàëèçèðóåìîé öåïè. Òàê, â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ïðè èñïîëüçîâàíèè

ïîëó÷åííûõ âûøå ìàêðîìîäåëåé ñèíòåòè÷åñêàÿ ñõåìà öåïè ïðèíèìàåò âèä, ïî

Ãëàâà 9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì 91

êàçàííûé íà ðèñ. 9.44. Â ðåçóëüòàòå ÷èñëî óçëîâ ñîêðàòèëîñü, è ïîðÿäîê ñèñòåìû

óðàâíåíèé ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ñòàë ðàâåí äâóì. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî

óçåë 1 òàêæå ìîæíî èñêëþ÷èòü, åñëè ïîñòðîèòü ìàêðîìîäåëü ó÷àñòêà öåïè ñ ýëå

ìåíòàìè e

, r

, L

(ñì. ðèñ. 9.42).

Ñîâðåìåííûå ïðîãðàììû àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öå

ïÿõ, èñïîëüçóþùèå ìåòîä ñèíòåòè÷åñêèõ ñõåì, èìåþò îáøèðíûå áèáëèîòåêè

ìàêðîìîäåëåé ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðíûõ ãðóïï ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Âõîäÿùèå â áèáëèîòåêè ìàêðîìîäåëè îõâàòûâàþò íå òîëüêî äâóõïîëþñíûå, íî

è ìíîãîïîëþñíûå ýëåìåíòû.

92 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 9.44