Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

ìîæíî îïðåäåëèòü, ðàññ÷èòàâ êëàññè÷åñêèì èëè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì òîê i(t)

ïðè âêëþ÷åíèè äàííîé öåïè ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U = const,

è òîãäà Y(t) = i(t)/U. Íàïðèìåð, äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûìè r è L

èìååì

()=-

(ñì. § 9.5), à äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè

r è C èìååì

()=

(ñì. § 9.6).

Åñëè ê öåïè ïðèëîæåíà ñêà÷êîîáðàçíàÿ ÝÄÑ, òî

it E tY t

EY t t

() () ()

;

() .

=× =

ïðè

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ äðóãîé ôóíêöèè, íàçûâàåìîé èìïóëüñíîé.

Ïðè ðàññìîòðåíèè â § 9.11 ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïè, â êîòîðîé ïðîèñõî

äèò ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå èíäóêòèâíîñòè èëè åìêîñòè, áûëî óêàçàíî, ÷òî

â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ âîçíèêàþò íàïðÿæåíèÿ è òîêè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî

çíà÷åíèÿ è áåñêîíå÷íî ìàëîé äëèòåëüíîñòè (Dt ® 0). Òàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ,

èìåþùèå èìïóëüñíûé õàðàêòåð, ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ èìïóëüñíîé

ôóíêöèè Kd(t), ãäå K — âåùåñòâåííîå ÷èñëî, à d(t) ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé èì-

ïóëüñíîé ôóíêöèåé,îïðåäåëÿåìîé ñëåäóþùèì îáðàçîì: d(t) =¥ïðè t = 0

è d(t) = 0 ïðè t ¹ 0(ò.å.d(t) = 0 ïðè t <0èïðèt > 0), ïðè÷åì

d()tdt=

-¥

+¥

Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî ìîæíî íàïèñàòü

d() ()tdt t

-¥

è, ñëåäîâà-

òåëüíî, åäèíè÷íóþ èìïóëüñíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîèçâîä

íóþ åäèíè÷íîé ñêà÷êîîáðàçíîé ôóíêöèè

d( ) lim

()

=®D

. Åñëè åäèíè÷íàÿ èì

ïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ èìååò çíà÷åíèå d(t) =¥â ìîìåíò t =t, òî åå ìîæíî çàïèñàòü

â âèäå d(t–t).

Êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèÿ, ïëîùàäü åäèíè÷íîé èì

ïóëüñíîé ôóíêöèè ðàâíà åäèíèöå.

Ïðè âîçäåéñòâèè íà ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü èìïóëüñíîé

ÝÄÑ ñëåäóåò ðàçëè÷àòü äâà ýòàïà âîçíèêàþùåãî â öåïè

ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Íà ïåðâîì ýòàïå çà âðåìÿ äåéñò

âèÿ èìïóëüñíîé ÝÄÑ (Dt ® 0) â ýëåêòðè÷åñêèå ïîëÿ

êîíäåíñàòîðîâ è ìàãíèòíûå ïîëÿ êàòóøåê ïîñòóïàåò íå

êîòîðàÿ êîíå÷íàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ çàòåì, íà âòîðîì ýòà

ïå, ïîñëå çàâåðøåíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñíîé ÝÄÑ ðàñ

ñåèâàåòñÿ â öåïè.

Èìïóëüñíóþ ÝÄÑ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó

äâóõ ñêà÷êîîáðàçíûõ ÝÄÑ, èìåþùèõ áåñêîíå÷íî áîëü

øèå çíà÷åíèÿ, ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó è ñìåùåííûõ âî âðåìåíè íà Dt ® 0

òàê, ÷òî E Dt = K = const (ðèñ. 12.5).

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 123

Ðèñ. 12.5

Íà ïåðâîì ýòàïå (îò t = 0äît =Dt ® 0) òîê âîçíèêàåò ïîä äåéñòâèåì îäíîé

ïîëîæèòåëüíîé ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ. Ïîëó÷èì äëÿ íåãî âûðàæåíèå, ó÷èòûâàÿ,

÷òî E Dt = K è

lim

()

®0

=d(t). Èìååì

it EtYt E tYt

tt tt

() () () lim () () lim==× =

=® =®DD

()

( ) lim

()

() ().

KY t

=®

Äëÿ óÿñíåíèÿ ñìûñëà ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ïðèìåíèì åãî ê ñëó÷àþ, êîãäà

èìïóëüñíàÿ ÝÄÑ äåéñòâóåò â öåïè (r, L), — ðèñ. 12.6. Äëÿ ýòîé öåïè, êàê òîëüêî

÷òî áûëî ñêàçàíî,

()=-

è, ñëåäîâàòåëüíî, Y(0) = 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ

d(t) ïðè t = 0 ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, òî ïîëó÷àåì íåîïðåäåëåííîñòü. Çàïèñàâ

âûðàæåíèå

lim

()

=®0

äëÿ i(t) â âèäå

it K t

tt t

() lim ()

()

lim ( )

()

=® ®D

ó÷èòûâàÿ, ÷òî 1(t) = 1 ïðè t ® 0, è ðàñêðûâàÿ íåîïðåäåëåííîñòü, ïîëó÷èì

it i K

() ( )

()

.==

Ýòîò òîê ïîä äåéñòâèåì èìïóëüñà ÝÄÑ óñòàíàâëèâàåòñÿ ñêà÷êîì, è, ñîîòâåò-

ñòâåííî, óñòàíàâëèâàåòñÿ ñêà÷êîì ïîòîêîñöåïëåíèå îò Y=0äî Y(0) = Li(0) = K.

Òàêîå ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå ïîòîêà è òîêà â êàòóøêå îêàçàëîñü âîçìîæíûì

â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ÝÄÑ â áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæó-

òîê âðåìåíè, ÷òî ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò èçëîæåííîìó â § 9.11.

Òàêèì îáðàçîì, íà ïåðâîì ýòàïå ñêà÷êîîáðàçíî ïðîèñõîäèò íàêîïëåíèå ýíåð

ãèè â ïîëÿõ öåïè, â äàííîì ñëó÷àå â ìàãíèòíîì ïîëå êàòóøêè. Íàêîïëåííàÿ

ýíåðãèÿ ðàññåèâàåòñÿ â ñîïðîòèâëåíèÿõ öåïè â

ïåðåõîäíîì ïðîöåññå, ïðîèñõîäÿùåì íà âòîðîì

ýòàïå. Ýòîò ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ ïîñëå äåéñòâèÿ

âòîðîé, îòðèöàòåëüíîé, ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ

(ðèñ. 12.5). Ñîîòâåòñòâåííî, ðåàêöèþ öåïè, â äàí

íîì ñëó÷àå òîê i(t), ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóì

ìó ðåàêöèé íà îáå ñêà÷êîîáðàçíûå ÝÄÑ — ïîëî

æèòåëüíóþ (+E) è îòðèöàòåëüíóþ (–E). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïåðå

õîäíóþ ïðîâîäèìîñòü ñëåäóåò îïðåäåëÿòü êàê ôóíêöèþ ïðîìåæóòêà âðåìåíè,

îòñ÷èòûâàåìîãî îò ìîìåíòà äåéñòâèÿ ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ äî ðàññìàòðèâàåìîãî

ìîìåíòà âðåìåíè t. Ñëåäîâàòåëüíî,

it EY t EY t t E t

Yt Yt t

( ) lim [ ( ) ( )] lim

() (

=--=

®®DD

)

(),

KY t

ãäå âåëè÷èíà K = E Dt = const ðàâíà ïëîùàäè èìïóëüñíîé ôóíêöèè, à

Yt()

— ïðî

èçâîäíàÿ ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòè öåïè.

124 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 12.6

Äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ïðèìåðà (ðèñ. 12.6) èìååì

eie

() ()==

÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ, ïîëó÷åííîìó â § 9.5 äëÿ ñëó÷àÿ çàìûêàíèÿ öåïè

(r, L) íàêîðîòêî ïðè íà÷àëüíîì òîêå I = i(0).

Âåëè÷èíó

Yt()

, â îáùåì ñëó÷àå

ht()

, îáîçíà÷àþò h

(t) è íàçûâàþò è ì

ïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè,îïðåäåëÿþùåé ïðîöåññû â öåïè ïî

ñëå çàâåðøåíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà.

Îáðàòèì âíèìàíèå íà èíòåðåñíûé ôàêò, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

Yt()

, îïèñûâàþùàÿ ïðîöåññ ïîñëå äåéñòâèÿ èìïóëüñà, ÿâëÿåòñÿ âñåãäà ïðîèç

âîäíîé ïî âðåìåíè îò ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè Y(t), îïèñûâàþùåé ïðîöåññ

ïîñëå äåéñòâèÿ ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ. Ýòî ëåãêî ïîíÿòü, èñõîäÿ èç ïðîñòûõ ñîîá

ðàæåíèé. Òîê i(t) ïîñëå äåéñòâèÿ èìïóëüñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâîáîäíûé (ïðå

õîäÿùèé) òîê i²(t) â öåïè, ñóùåñòâóþùèé ïðè îòñóòñòâèè ÝÄÑ è ÿâëÿþùèéñÿ

ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ. Òîê i(t) ïîñëå äåéñòâèÿ ñêà÷êîîá

ðàçíîé ÝÄÑ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òîãî æå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííîé ïðàâîé ÷àñòüþ.

Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî

âðåìåíè îò ýòîãî òîêà ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ, ò. å. òî÷íî òàêîå æå óðàâíåíèå,

êàê äëÿ òîêà ïîñëå äåéñòâèÿ èìïóëüñíîé ÝÄÑ. Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ïî

âðåìåíè òîêà ïîñëå äåéñòâèÿ ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ èìååò òî÷íî òàêîé æå çàêîí

èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè, êàê è òîê ïîñëå äåéñòâèÿ èìïóëüñíîé ÝÄÑ. Îíè îòëè÷à-

þòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ìíîæèòåëÿìè E èëè K. Ïðîöåññ ïîñëå äåéñòâèÿ ñêà÷-

êîîáðàçíîé ÝÄÑ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ñêà÷êà E, à ïðîöåññ ïîñëå äåéñòâèÿ

èìïóëüñà — ïëîùàäüþ èìïóëüñà K.

Â ñëó÷àå äåéñòâèÿ èìïóëüñà ÝÄÑ â öåïè ñ êàòóøêîé, êàê ìû âèäåëè â ðàñ-

ñìîòðåííîì ïðèìåðå, âåëè÷èíà K = E Dt =DYîïðåäåëÿåò ïîòîê, îáðàçóþùèéñÿ

â êàòóøêå âî âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà. Â ñëó÷àå äåéñòâèÿ èìïóëüñà èñòî÷íèêà

òîêà I â öåïè ñ êîíäåíñàòîðîì áóäåì èìåòü K = I Dt =Dq, ò. å. âåëè÷èíà K îïðåäå

ëÿåò çàðÿä, îáðàçóþùèéñÿ â êîíäåíñàòîðå âî âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà. Ïîýòîìó

âåëè÷èíà K è îïðåäåëÿåò íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïåðåõîäíîãî òîêà ïîñëå äåéñò

âèÿ èìïóëüñà.

Íàéäåì îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå åäèíè÷íîé ñêà÷êîîáðàçíîé ôóíêöèè è

åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè. Òàê êàê åäèíè÷íàÿ ñêà÷êîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ

âî âñåì èíòåðâàëå 0 £ t £ +¥ åñòü ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ åäèíèöå, òî åå

îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå, ñîãëàñíî ñêàçàííîìó â § 10.2, áóäåò

() .t

Åäèíè÷íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé åäèíè÷íîé ñêà÷êî

îáðàçíîé ôóíêöèè

d()

[()]

. Ïðè îïðåäåëåíèè åå îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ

íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî îíà íå ðàâíà íóëþ òîëüêî â òî÷êå t = 0, ò. å. â èíòåðâàëå

îò t = –0 äî t = +0. Ñîîòâåòñòâåííî, ÷òîáû ó÷åñòü òîë÷îê íà ñèñòåìó ñî ñòîðîíû

èìïóëüñíîé ôóíêöèè ïðè îïðåäåëåíèè åå èçîáðàæåíèÿ, íåîáõîäèìî âçÿòü íèæ

íèé ïðåäåë èíòåãðàëà Ëàïëàñà t = –0, ò. å.

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 125

d()

[()]

() ()t

edt te p te

pt pt pt

Þ=+

òò

dt p

Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ 1(t) = 0 ïðè t < 0, ò. å. 1(–0) = 0, è, ñëåäîâà

òåëüíî, ïåðâîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ êàê ïðè âåðõíåì, òàê è ïðè íèæíåì ïðåäå

ëàõ. Èíòåãðàë æå âî âòîðîì ñëàãàåìîì ðàâåí 1/p êàê îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå

åäèíè÷íîé ôóíêöèè.

Òàêèì îáðàçîì, èìååì îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé

ôóíêöèè

d() .t Þ 1

Äëÿ íååäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíêöèè, ðàâíîé Ad(t), åå îïåðàòîðíîå èçî

áðàæåíèå ðàâíî A.

12.3. Ðàñ÷åò öåïè ïðè âîçäåéñòâèè ÝÄÑ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû —

èíòåãðàë Äþàìåëÿ

Ïóñòü íà çàæèìàõ öåïè, îáëàäàþùåé ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ Y(t), äåéñòâóåò

íàïðÿæåíèå u(t) èëè ÝÄÑ e(t) ïðîèçâîëüíîé ôîðìû (ðèñ. 12.7). Öåïü â îáùåì

ñëó÷àå ìîæåò èìåòü ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ êîíôèãóðàöèþ. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïàñ-

ñèâíûì äâóõïîëþñíèêîì. Òîê i(t) íà âõîäå öåïè, âîçíèêàþùèé ïîä äåéñòâèåì

íàïðÿæåíèÿ u(t), ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: çàìåíèì äåéñòâèòåëü-

íóþ êðèâóþ u(t) ïðèáëèæåííî ñòóïåí÷àòîé ñ èíòåðâàëàìè ïî îñè t, ðàâíûìè Dx

(ðèñ. 12.7). Òîê â ìîìåíò t ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçíèêàþùèé ïîä äåéñòâè-

åì ñåðèè ñêà÷êîîáðàçíûõ íàïðÿæåíèè, ñëåäóþ-

ùèõ äðóã çà äðóãîì ÷åðåç ïðîìåæóòêè Dx â èíòåð-

âàëå îò 0 äî t. Ïåðâûé ñêà÷îê ðàâåí u(0) â ìîìåíò

t = 0. Ïîñëåäóþùèå ñêà÷êè ðàâíû Du =

Dx.Ñî

ñòàâëÿþùàÿ òîêà, âûçâàííàÿ îòäåëüíûì ñêà÷êîì

íàïðÿæåíèÿ, äåéñòâóþùèì â ìîìåíò x, ðàâíà

DuY(t – x). Ïåðåõîäíóþ ïðîâîäèìîñòü íóæíî ðàñ

ñìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ àðãóìåíòà t – x, òàê êàê

îò ìîìåíòà x âîçíèêíîâåíèÿ äàííîãî ñêà÷êà íà

ïðÿæåíèÿ äî ìîìåíòà t îòñ÷åòà çíà÷åíèÿ òîêà ïðîøëî âðåìÿ t – x. Âåñü òîê i(t)

ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñîñòàâëÿþùèõ òîêà, âûçâàííûõ îòäåëüíûìè ñêà÷êàìè íàïðÿ

æåíèÿ, ò. å.

it u Y t Y t x

() ( ) () ( ) .»+-

Ïðè óìåíüøåíèè èíòåðâàëîâ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ èíòåðâàëîâ dx ñòóïåí÷à

òàÿ êðèâàÿ íàïðÿæåíèÿ ïåðåéäåò â çàäàííóþ êðèâóþ u(t), è, ñîîòâåòñòâåííî, ïî

ëó÷èì òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîãî òîêà i(t):

it u Y t Yt xu x dx

() ( ) () ( ) ( ) ,=+-

(*)

126 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 12.7

ãäå

' ( ) lim .==

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ i(t) íîñèò íàçâàíèå èíòåãðà

ëà Äþàìåëÿ, ïîçâîëÿþùåãî ðåøèòü çàäà÷ó î âêëþ÷åíèè öåïè

ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ u(t) ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, ïðè÷åì

Y(t) îïðåäåëÿåòñÿ â èòîãå ðåøåíèÿ áîëåå ïðîñòîé çàäà÷è —

âêëþ÷åíèÿ òîé æå öåïè ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿ

æåíèÿ.

Â âèäå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âêëþ÷åíèå èçîáðàæåííîé

íà ðèñ. 12.8 öåïè (r, C) ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ u(t) =

= U(1 – e

–t/T

). Íà ðèñ. 12.9 ïîêàçàíà êðèâàÿ èçìåíåíèÿ íà

ïðÿæåíèÿ u íà çàæèìàõ öåïè. Ïîñòîÿííàÿ T îïðåäåëÿåò

ñêîðîñòü íàðàñòàíèÿ ýòîãî íàïðÿæåíèÿ. Â ÷àñòíîñòè, ïðè

T = 0 èìååì ðàíåå ðàññìîòðåííûé ñëó÷àé âêëþ÷åíèÿ ýòîé

öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U = const.

Ïîëó÷àåì

uut

eux

() ; () () .00=

Äëÿ äàííîé öåïè, ñîãëàñíî íàéäåííîìó â § 9.6 ðåøåíèþ ïðè ðàññìîòðåíèè

âêëþ÷åíèÿ åå ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå, ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü èìååò âû-

ðàæåíèå

eYtx

ttx

() ( ) ,=-=

ttt

ãäå t=rC — ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè.

Ïîëüçóÿñü èíòåãðàëîì Äþàìåëÿ, íàõîäèì

edx

ee dx

tx x

()===

-- -

tt t

Ïîòåðè ýíåðãèè, âûäåëÿåìîé â âèäå òåïëîòû çà âðåìÿ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà,

ðàâíû

Wirdt

ee e

()

Îòñþäà íàõîäèì îòíîøåíèå ýòèõ ïîòåðü ê ýíåðãèè, çàïàñàåìîé â êîíäåíñà

òîðå,

1 t

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 127

Ðèñ. 12.8

Ðèñ. 12.9

è êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ çàðÿäà êîíäåíñàòîðà

CU W

Â ïðèâåäåííîé òàáëèöå äàíû çíà÷åíèÿ âåëè÷èí a è h â ôóíêöèè T/t. Îòñþäà

âèäèì, ÷òî h ïðè âêëþ÷åíèè êîíäåíñàòîðà ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå ïîëó÷à

åòñÿ ðàâíûì òîëüêî 50% íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ r. ×åì

ìåíüøå r, òåì áûñòðåå ñîâåðøàåòñÿ çàðÿä, íî âìåñòå ñ òåì

âîçðàñòàåò òîê çàðÿäà, òàê ÷òî ýíåðãèÿ, âûäåëÿåìàÿ â ñî

ïðîòèâëåíèè, îêàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùåé îò r. Îäíàêî,

ñíèæàÿ ñêîðîñòü ïîâûøåíèÿ ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ,

ìîæíî ïîâûñèòü çíà÷åíèå h, è ïðè áåñêîíå÷íî ìåäëåí

íîì óâåëè÷åíèè íàïðÿæåíèÿ êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî

äåéñòâèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì 100% ïðè ëþáîì êîíå÷íîì

çíà÷åíèè r.

Åñëè èíòåãðàë â âûðàæåíèè (*) âçÿòü ïî ÷àñòÿì, òî íåòðóäíî ïîëó÷èòü äðóãîå

âûðàæåíèå äëÿ òîêà i(t), à èìåííî

it Y ut Y t x ux dx

() ( ) () ( ) ( ) .=+-

Ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ôîðìóëå (*) ñîäåðæèò ïåðåõîäíóþ ïðîâîäè-

ìîñòü Y(t – x) öåïè, à ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå â ïîñëåäíåé ôîðìóëå — èì-

ïóëüñíóþ ïðîâîäèìîñòü Y¢(t – x) òîé æå öåïè.

12.4. Ðàñ÷åò óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ïðè ïîìîùè

èíòåãðàëà Äþàìåëÿ è ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ áûëè ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè ðàñ÷åòà òîêîâ è íàïðÿ

æåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè ïåðåõîäå îò îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà

ê äðóãîìó — â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò ïðîöåññ îáóñëîâ

ëåí íåñîîòâåòñòâèåì íàïðÿæåíèé è òîêîâ ïðåäêîììóòàöèîííîãî u

(–0), i

(–0)

+ui

(), ()00

ïîñëåêîììóòàöèîííîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìîâ, îïðåäåëÿþ

ùèõ ýíåðãèþ, íàêîïëåííóþ â ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ êîíäåíñàòîðîâ è ìàãíèòíûõ

ïîëÿõ èíäóêòèâíûõ êàòóøåê. Ïðåõîäÿùåå çíà÷åíèå òîêà

¢¢

(èëè íàïðÿæåíèÿ

¢¢

õàðàêòåðèçóþùåå íàëè÷èå è èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåòñÿ

èç óñëîâèÿ i

(–0) = i

(+0) = i'

(+0) + i"

(+0). Åñëè i

(–0) = i'

(+0), òî i"

(+0) = 0,

è íîâûé ðåæèì óñòàíîâèòñÿ â ìîìåíò êîììóòàöèè t = 0. Òàêîé ìãíîâåííûé ïåðå

õîä îò îäíîãî ñîñòîÿíèÿ ê äðóãîìó èìååò âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòèêè. Èçáàâ

ëåíèå îò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîçâîëÿåò ïðåäîòâðàòèòü ìíîãèå íåæåëàòåëüíûå

ÿâëåíèÿ. Íàïðèìåð, óäàåòñÿ èñêëþ÷èòü âîçíèêàþùèå â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå

íåæåëàòåëüíûå ïåðåíàïðÿæåíèÿ â âûñîêîâîëüòíûõ ëèíèÿõ ýëåêòðîïåðåäà÷. Òà

êîå ÿâëåíèå èìååò ìåñòî ïðè ïîäêëþ÷åíèè ëèíèè ýëåêòðîïåðåäà÷è ê èñòî÷íèêó

ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà, ò. å. íåíàãðóæåííîé ëè

íèè. Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå òàêîé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòèðîâàí öåïüþ

r, C. Â § 9.6 ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê èñòî÷íèêó ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿ

128 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

T/t

0,5

0,33

0,20

0,5

0,67

0,75

0,833

æåíèÿ r, C öåïè (ëèíèè ïåðåäà÷è) íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà (ëèíèè

ïåðåäà÷è) ìîæåò âäâîå ïðåâûñèòü òàêîâîå íà âõîäå öåïè â ñëó÷àå íåáëàãîïðèÿò

íîãî ïîäáîðà ìîìåíòà êîììóòàöèè. Â äðóãèõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð â ýëåêòðè÷å

ñêèõ öåïÿõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, ìîæíî ïîâûñèòü èõ áûñòðîäåéñòâèå, èñêëþ÷èâ

âðåìåííûå çàäåðæêè, ñâÿçàííûå ñ çàòÿãèâàíèåì ïðîöåññà äîñòèæåíèÿ òîêà óïðàâ

ëåíèÿ îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ.

Óñëîâèÿ i

(–0) =

()0

è u

(–0) =

()0

ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû äâóìÿ ñïî

ñîáàìè: ëèáî çàäàíèåì â ìîìåíò êîììóòàöèè íà÷àëüíûõ òîêîâ i

(–0) è íàïðÿ

æåíèé u

(–0) ðàâíûìè

()0

, ëèáî âûáîðîì äëÿ êîììóòàöèè òàêîãî

ìîìåíòà âðåìåíè, êîãäà äîêîììóòàöèîííûå (ñòàðûå) çíà÷åíèÿ i

(–0) è u

(–0)

â ìîìåíò êîììóòàöèè t = 0 ðàâíû ïîñëåêîììóòàöèîííûì (íîâûì) ðàñ÷åòíûì

çíà÷åíèÿì

()0

. Â ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñî ìíîæåñòâîì ðåàê

òèâíûõ ýëåìåíòîâ, ò. å. êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ, ðåàëèçîâàòü

ýòè óñëîâèÿ äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ íå âñåãäà âîçìîæíî è ïðèõîäèòñÿ óäîâëåòâî

ðèòüñÿ âûáîðîì òàêîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðîé ðåàëèçàöèÿ âîçìîæ

íà. Äëÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû òðåáóåòñÿ âûáèðàòü òàêîé ìåòîä

ðàñ÷åòà òîêîâ è íàïðÿæåíèé öåïè, êîòîðûé íàèáîëåå ïðèñïîñîáëåí äëÿ íàõîæ-

äåíèÿ èìåííî óñòàíîâèâøèõñÿ çíà÷åíèé

()0

. Ýòó çàäà÷ó ïðîùå âñåãî

ðåøèòü ïðè ïîìîùè ìåòîäà ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé. Â ýòîì ìåòîäå èìåííî òîêè

è íàïðÿæåíèÿ u

ÿâëÿþòñÿ èñêîìûìè ïåðåìåííûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ôîðìèðî-

âàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èçíà÷àëüíî ðàçðåøåííûõ îòíîñè-

òåëüíî èõ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ, èçâåñòíûõ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ïîä íà-

çâàíèåì óðàâíåíèé Êîøè.

Â ñëó÷àå ïðîñòåéøåé öåïè, ñîcòîÿùåé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçè-

ñòîðà r, èíäóêòèâíîé êàòóøêè L è èñòî÷íèêà ÝÄÑ å, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíå-

íèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî åäèíñòâåííîé ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ i, èìååò âèä

di/dt = –ir/L+e/L = –i/t +e/L.

Ïðè ïðîèçâîëüíîé ïî ôîðìå êðèâîé ÝÄÑ òîê â öåïè ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí

ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Äþàìåëÿ (ñì. § 12.3). Äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè íàïðÿæå

íèÿ íà çàæèìàõ öåïè u(t) = e(t) èñêîìûé òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà áóäåò ðàâåí

i = u(0)Y(t)+

Yxu t xdx

() ( )

= u(t)Y(0) +

Yxut xdx

()( )

, (*)

èëè

i = u(0)Y(t)+

Yt xu xdx

()()-

= u(t)Y(0) +

Yt xuxdx

()()

Ïîñêîëüêó èíòåãðàë Äþàìåëÿ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíê

öèè, â äàííîì ñëó÷àå òîêà, íà âñåì èíòåðâàëå âðåìåí îò 0 äî ¥, òî è óñòàíîâèâ

øååñÿ çíà÷åíèå òîêà

ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè ïîìîùè ýòèõ âûðàæåíèé. Òåîðå

òè÷åñêè òîê äîñòèãàåò ñâîåãî óñòàíîâèâøåãîñÿ çíà÷åíèÿ ïðè t =¥, îäíàêî

ïðàêòè÷åñêè ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ìîæíî ñ÷èòàòü çàâåðøåííûì ïî èñòå÷åíèè

êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, îïðåäåëÿåìîãî óðîâíåì òî÷íîñòè ðàñ÷åòà èëè

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 129

èçìåðåíèÿ èñêîìîé âåëè÷èíû. Åñëè èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðàñ÷åòà çàäàþòñÿ

ñ òî÷íîñòüþ, ñêàæåì, äî ÷åòûðåõ çíà÷àùèõ ÷èñåë, òî ïðîöåññ ìîæíî ñ÷èòàòü

çàâåðøåííûì ïðè óñëîâèè e

–t/t

< 0,00001. Ïðè òàêîé ñòåïåíè òî÷íîñòè ðàñ÷åòà

ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðàêòè÷åñêè çàâåðøàåòñÿ ïî èñòå÷å

íèè âðåìåíè îêîëî t Î (10–12)t

max

, ãäå t

max

— ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè ñëîæíîé

öåïè, îïðåäåëÿþùàÿ íàèáîëåå ìåäëåííî çàòóõàþùóþ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çà

êîíó e

–t/t

ñîñòàâëÿþùóþ ïðåõîäÿùåãî òîêà i".

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà

Äþàìåëÿ ðàññìîòðèì ñëó÷àé r, L-öåïè, êîãäà u(t) = Ue

. Äëÿ ýòîé öåïè ïåðå

õîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü ðàâíà (ñì. § 12.3) Y(t) = (1 – e

–t/t

)/r. Ñîîòâåòñòâåííî,

èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü Y'(t) = dY(t)/dt = L

–1

–t/t

= L

–1

–pt

. Åñëè

âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì óðàâíåíèåì (*) è ó÷åñòü, ÷òî Y(t) = (1– e

–t/t

)/r = 0

ïðè t = 0, è òàê æå îáîçíà÷èòü p = 1/t=r/L,òî

iutY Yxutxdx

eutxdx

-= -=

òò

()() ()() ()0

px a t x

edx

()-

Äëÿ

èìååì

=-= =

òò

eutxdx

edx

La p

apx

()

(

()

)

()

raL

apx

Åñëè îáîçíà÷èòü f(t–x) = u(t–x), òî äëÿ

ìîæíî çàïèñàòü

=-= -=

òò

eutxdx

eftxdx

Fpt

px px

11 1

() () (,)

èëè

=iFptL(,) ,

ãäå

Fpt e ft xdx

(,) ( )=-

èëè

Upt e ut xdx

(,) ( )=-

Ìû ïðèõîäèì ê èíòåðåñíîìó âûâîäó î òîì, ÷òî óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå òîêà

â öåïè ñ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü îïðåäåëå

íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ f(t) Þ F(ð,t), èçâåñòíîãî â ìàòå

ìàòèêå ïîä íàçâàíèåì ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (ÏÏË).

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ òîêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà äîñòàòî÷íî â èçîáðàæåíèè

F(ð, t) çàìåíèòü îïåðàòîð ð íà êîýôôèöèåíò ñ îáðàòíûì çíàêîì, íà êîòîðûé

â óðàâíåíèè Êîøè óìíîæàåòñÿ ïåðåìåííàÿ ñîñòîÿíèÿ i, â äàííîì ñëó÷àå íà

r/L = –(–r/L), è óìíîæèòü F(p, t) íà êîýôôèöèåíò ïðè u(t) — â äàííîì ñëó÷àå

íà 1/L. Ðàçóìååòñÿ, äëÿ ýòîé ïðîñòîé öåïè ðåøåíèå äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ òîêà

ïðîùå íàéòè íåïîñðåäñòâåííî ÷åðåç èíòåãðàë Äþàìåëÿ. Îäíàêî äàæå â ýòîì ñëó

÷àå ðàñ÷åòû óïðîùàþòñÿ ïðè íàëè÷èè òàáëèö ìíîæåñòâà ïðåäâàðèòåëüíî íàé

äåííûõ èçîáðàæåíèé ïðàâûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà, íàïîäîáèå ïðèâåäåííîé

â § 10.2 òàáëèöû, ñîñòàâëåííîé ïðè ïîìîùè îáûêíîâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëà

ïëàñà. Åùå áîëåå ñóùåñòâåííû ïðåèìóùåñòâà òàêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà óñòàíîâèâ

øèõñÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.

130 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Òàáëèöà íåêîòîðûõ îðèãèíàëîâ è èõ ÏÏË-èçîáðàæåíèé

Îðèãèíàë Èçîáðàæåíèå

AA/p

cos (w t + y)

wwy wy

sin cos() ()

tpt

+- +

sin (w t + y)

pt t

sin( ) cos( )wyw wy

+- +

tt/p +1/p

d(t – t

), t

³ 0

ett

pt t--

()

df (t)/dt f (t)–ðF(p,t)

Â ñëó÷àå ñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùåé ìíîæåñòâî êîíäåíñàòîðîâ è êàòóøåê èí-

äóêòèâíîñòè, ïðè óñëîâèè îòíåñåíèÿ âåòâåé ñ êîíäåíñàòîðàìè ê äåðåâó ãðàôà è

âåòâåé ñ êàòóøêàìè èíäóêòèâíîñòè ê êîãðàôó öåïè, ò. å. ê çâåíüÿì ãðàôà, óäàåò-

ñÿ ñôîðìèðîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ñîñòîÿíèé (ñèñòåìó óðàâíåíèé Êîøè) îò-

íîñèòåëüíî ìíîæåñòâà u

è i

(ñì. § 5.14, § 9.2 è 9.13) â ìàòðè÷íîì âèäå

dx/dt = Ax + Âv,

ãäå õ = (u

, u

,…,u

Cq–1

, i

,…,i

)

— âåêòîð-ñòîëáåö, â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå ñî-

ñòîÿùèé èç q – 1 íàïðÿæåíèé u

äåðåâà ãðàôà è n òîêîâ i

çâåíüåâ ãðàôà öåïè,

V = (e

, e

,…,e

q–1

, Á

,…,Á

)

— âåêòîð-ñòîëáåö èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ â q–1

äåðåâüÿõ ãðàôà è n çâåíüÿõ ãðàôà öåïè. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà À, íàçûâàåìàÿ ìàò

ðèöåé ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ öåïè (ìàòðèöà ïàðàìåòðîâ), ñîäåðæèò

âñþ ñîâîêóïíîñòü äàííûõ, îòðàæàþùèõ ñòðóêòóðó ñîåäèíåíèé è âåòâåé öåïè,

è èõ ïàðàìåòðîâ. Ìàòðèöà Â îïðåäåëÿåò íàëè÷èå ïðåîáðàçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ

ÝÄÑ è òîêîâ â ðàçðåçàõ è êîíòóðàõ.

Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå ëèíåéíûõ öåïåé ïðèìåí

èì'

ïðèíöèï íàëîæåíèÿ, âîçäåé

ñòâèå ìíîæåñòâà èñòî÷íèêîâ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ñóììèðîâàíèþ âîçäåéñòâèé

îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ. Èñõîäÿ èç ýòîé âîçìîæíîñòè, ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó

÷àé, êîãäà òîëüêî â íåêîòîðîé k-é âåòâè öåïè èìååòñÿ èñòî÷íèê ÝÄÑ èëè

òîêà f

(t). Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû îòíîñè

òåëüíî k-é ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé õ

/dt = Ax

+ Â

(t).

Ïóñòü äëÿ f

(t) íàéäåíî, èëè èç òàáëèö èçâåñòíî, åãî èçîáðàæåíèå F

(p, t).

Ïóñòü íåèçâåñòíîå èçîáðàæåíèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæè

ìà

t()

ñóòü

X (,)pt

. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðàâîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå ïðîèçâîä

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 131

íîé ôóíêöèè f

(t) èìååò âèä f

(t)–ðF

(p, t), óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ

x ()t

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

+xpX AX B

kk k kk

tpt ptFpt() (,) (,) (,)

èëè

=xApX B

kkkk

tptFpt() ( ) ( , ) ( , ).

Åñëè äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ð ñîñòîèò èç íåêðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé

ìàòðèöû À, òî ìîæíî ïðèíÿòü (À + ð) = 0, è òîãäà

=-xBA

kkk

tFt() ( , )

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñêîìûå óñòàíîâèâøèåñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé

ñëîæíîé öåïè ìîæíî çàïèñàòü íåïîñðåäñòâåííî ïî èçîáðàæåíèþ F

(p, t), ïîäñòà

âèâ â íåãî âìåñòî îïåðàòîðà ð ìàòðèöó –À è óìíîæèâ F

(–À,t)íàÂ

ñïðàâà.

Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è ïðè íàëè÷èè ìíîæåñòâà èñòî÷íèêîâ ìîæíî çà

ïèñàòü â âèäå

xx BA¢=

åå

() ) ( , )ttFt

(

Ïðèâëåêàòåëüíîñòü òàêîãî ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé óñòà

íîâèâøåãîñÿ ðåæèìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè íàëè÷èè îôîðìëåííûõ â âèäå

òàáëèö èçîáðàæåíèé F

(p, t) ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ àâòîìà-

òè÷åñêè â óíèâåðñàëüíîé ìàòðè÷íîé ôîðìå ïóòåì ïðîñòîé çàìåíû â F

(p, t) îïå-

ðàòîðà ð íà ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ –À, íî óæå êîíêðåòíîé öåïè. Îäíàêî ðåàëüíàÿ

ñëîæíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äàæå ïðè íàëè÷èè èçî-

áðàæåíèé èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ íåâîçìîæíî ïðîèçâåñòè êà÷åñòâåííûé àíà-

ëèç îñîáåííîñòåé ïðîöåññîâ â ñèñòåìå, õàðàêòåðèçóåìîé äàæå äâóìÿ ïåðåìåí-

íûìè ñîñòîÿíèÿ, à ïðè èñïîëüçîâàíèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ïðèõîäèòñÿ

îïåðèðîâàòü ôóíêöèÿìè îò ìàòðèö Â

(–À,t). Â îöåíêå áàëàíñà ïðåèìóùåñòâ

è íåäîñòàòêîâ ìåòîäà ñëåäóåò ó÷åñòü è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ

ïðè àíàëèçå ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íå èçáåæàòü èñïîëüçîâàíèÿ ÝÂÌ

ñ îáøèðíûì ïðîãðàììíûì îáåñïå÷åíèåì, ñðåäè êîòîðûõ èìååòñÿ äîñòàòî÷íîå

êîëè÷åñòâî ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì, ïîçâîëÿþùèõ îïåðèðîâàòü øèðîêèì íàáî

ðîì ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü âû÷èñ

ëåíèå óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ïðè ïîìîùè èçëîæåííîãî âûøå ìåòîäà.

12.5. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ öåïÿõ

ïðè ïîìîùè ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

Èíòåíñèâíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãèåé ýëåêòðè÷åñêèõ è

ìàãíèòíûõ ïîëåé, íàêîïëåííûõ â êîíäåíñàòîðàõ è èíäóêòèâíûõ êàòóøêàõ äî

êîììóòàöèè. Ïðè íàëè÷èè ðåçèñòîðîâ â öåïè, ò. å. ïðåâðàùåíèè â íèõ ýíåðãèè

ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â èíûå âèäû, íàêîïëåííàÿ â ýòèõ ïîëÿõ ýíåðãèÿ óìåíü

øàåòñÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ ñâîáîäíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ çà

òóõàþò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Â § 9.2 ïðèâåäåíî ôîðìàëüíîå ðåøåíèå

ìàòðè÷íîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ dx/dt = Ax + Âv, çàïèñàííîå â âèäå

xAx ABv() [exp( )] ( ) [exp( ( )] ( )tt t d

=+-

ttt

. (*)

Â ýòîì ðåøåíèè ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìîå ñâîáîä

íîå ðåøåíèå, ò. å. òó ñîñòàâëÿþùóþ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, êîòîðàÿ ïîðîæäàåòñÿ

132 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé