Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé èíòåãðàë Ôóðüå (îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå) â òðè

ãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñî âñåé ÿñíîñòüþ ïîêàçûâàåò, ÷òî

íåïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ îòìå÷åííûì ðàíåå óñëîâèÿì,

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóììó áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâ

ëÿþùèõ ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè àìïëèòóäàìè

F(w) dw è íà÷àëüíûìè ôàçàìè

y(w) =p/2 + a(w). Òî, ÷òî àìïëèòóäû â ýòîì ñëó÷àå îêàçàëèñü â äâà ðàçà áîëüøå,

÷åì ïðè ðàññìîòðåíèè âûðàæåíèÿ (**), åñòü ðåçóëüòàò òîãî, ÷òî â ïîñëåäíåì âû

ðàæåíèè w èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî +¥,àíåîò–¥ äî +¥ è, ñîîòâåòñòâåííî, ãàðìîíèêè

ñ ÷àñòîòàìè w è–w, ñîäåðæàùèåñÿ â âûðàæåíèè (**), ïðîñóììèðîâàíû â ïîñëåä

íåì âûðàæåíèè.

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî

[()] ( )( )FFjFjwww

[()] ()( ) () ()Fd FjFjd Fjfte

ww w ww w

-¥

+¥

-¥

+¥

-¥

òò

=-=

-¥

+¥

-¥

+¥

òò

dt d

ft Fj e d

() ( )

+¥

-¥

+¥

òò

=dt f t dt2

p[()]

èëè

[()] [()] .ft dt F d

-¥

+¥

-¥

+¥

òò

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæàåò ñîáîé òåîðåìó Ðåëåÿ,àòàêæå íàçûâàåòñÿ

ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ.

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà f(t) = e ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÝÄÑ, âîçäåéñòâóþùóþ

íà öåïü òîëüêî ñ àêòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè,

gft dt[()]

-¥

+¥

ðàâíî ýíåðãèè, âûäå

ëÿåìîé â öåïè, ïðè÷åì g åñòü ýêâèâàëåíòíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåé öåïè. Ðàâåíñòâî

Ïàðñåâàëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà

ïî èçâåñòíîé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå ÝÄÑ.

11.3. Ïîëó÷åíèå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê

çàäàííîé ôóíêöèè âðåìåíè

Ñîïîñòàâëÿÿ ïðÿìîå îäíîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

Fj fte dt

() ()w

ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ïî Ëàïëàñó

Fp fte dt

() () ,=

Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé 113

âèäèì, ÷òî ïåðâîå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé âòîðîãî ïðè ð = jw. Èíûìè ñëîâàìè, îä

íîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî Ëàïëàñó

ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì, êîãäà â ïîñëåäíåì âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ïå

ðåìåííîé p ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

Áëàãîäàðÿ ýòîìó ìîæíî íå ïðîèçâîäèòü èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ

F(jw), à, âîñïîëüçîâàâøèñü ãîòîâûìè òàáëèöàìè äëÿ F(ð) [èëè äëÿ Ô(p) = pF(ð)],

èìåþùèìèñÿ â ñïðàâî÷íèêàõ, çàìåíèòü â âûðàæåíèÿõ F(ð) âåëè÷èíó ð íà jw.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðèìåðû äëÿ ôóíêöèé f(t), äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî ïðÿ

ìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.

Ïóñòü íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî çàêîíó u(t) = U

–dt

. Ñîãëàñíî

òàáëèöå èç § 10.2,

(),

è, ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôóíêöèè U

–dt

èìååò âèä

Fj Uj

() () ,ww

arctg

ò. å.

() () () () .ww

aw a w

==-

èarctg

Îáîçíà÷åíèå U(w) è èíäåêñ u ó a îçíà÷àþò, ÷òî ýòè âåëè÷èíû îòíîñÿòñÿ ê íà-

ïðÿæåíèþ. Âåëè÷èíû, îòíîñÿùèåñÿ ê òîêó, áóäåì îáîçíà÷àòü, ñîîòâåòñòâåííî,

I(w)èa

(w).

Íà ðèñ. 11.1, à è á ñîîòâåòñòâåííî, ïîêàçàíû àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ è ôàçî÷à

ñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè u(t) = U

–dt

, íà ðèñ. 11.2 — ñîîòâåòñòâåííî, âå

ùåñòâåííàÿ ÷àñòîòíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå îïðåäåëÿ

þòñÿ ôîðìóëàìè

Uj U

U()

(

dw)

)+ w).jU

(

114 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 11.1

Â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà âîçüìåì ôóíê

öèþ

ut U e t

() sin

()

.=Þ

Ñëåäîâàòåëüíî, ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

äëÿ ýòîé ôóíêöèè èìååò âèä

Fj Uj

() ()

(

;ww

dw)w

()

dw-w dw

222 22

dw-w

() .=-

arctg

Íà ðèñ. 11.3, à, á ïîêàçàíû ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîé ôóíêöèè ïðè

d=0,5w

Ïîëó÷èì â âèäå òðåòüåãî ïðèìåðà ÷àñòîòíóþ õàðàêòå

ðèñòèêó ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 11.4)

ïðÿìûì èíòåãðèðîâàíèåì ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (***)

èç § 11.1. Èìååì f(t) = u(t) = U

ïðè –a £ t £ a è f(t) = u(t) =0

ïðè | t | >a. Ïîëó÷àåì

Uj Ue dt

ee U

ja ja

() ( )

sin

www

òî åñòü

()

sin

= 2

Íà ðèñ. 11.5 ïðèâåäåíà àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýòîé ôóíêöèè.

Âåëè÷èíà a

(w) èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì íà p ïðè êàæäîì èçìåíåíèè çíàêà âåëè÷è

íû (sin aw)/w.

Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé 115

Ðèñ. 11.3

Ðèñ. 11.4

Ðèñ. 11.2

Ðàññìîòðèì åùå ïîëó÷åíèå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ èìåþùèõ âàæíîå

çíà÷åíèå â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ôóíêöèé f(t) = U

= const è f(t) = U

sin w

äëÿ êîòîðûõ íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåâîç

ìîæíî, òàê êàê èíòåãðàë â ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè äëÿ íèõ íå èìååò îïðåäåëåííîãî

êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ñëåäóþùèé ïðèåì:

óìíîæåíèå ýòèõ ôóíêöèé íà e

–dt

, ãäå d > 0. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôóíêöèè

–dt

è U

–dt

sin w

t íàéäåíû â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäå-

ëó, êîãäà d®0, ïîëó÷èì èñêîìûå ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè:

ut U

ut U t

() ;

() sin

()

=Þ

=Þ =

w+w

Ðàçëîæåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ÝÄÑ â íåïðåðûâíûé ñïåêòð ñèíóñîèäàëüíûõ

ñîñòàâëÿþùèõ íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â èìïóëüñíîé òåõíèêå, â ðàäèîòåõ-

íèêå, â òåõíèêå àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ, òàê êàê, ðàñïîëàãàÿ òàêèì ñïåê

òðîì è çíàÿ çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ öåïè îò ÷àñòîòû, ìîæíî îïðåäåëèòü õàðàê

òåð âîçäåéñòâèÿ òàêîé ÝÄÑ íà ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü.

11.4. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

ïðè ïîìîùè ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê

Ìåòîä ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.

Ïóñòü öåïü âêëþ÷àåòñÿ â ìîìåíò t = 0 ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ è(t) ïðè íó

ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ïðè÷åì ôóíêöèÿ è(t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì, ïðè

êîòîðûõ èíòåãðàë Ôóðüå ñóùåñòâóåò. Èñïîëüçóÿ ïðÿìîå îäíîñòîðîííåå ïðåîá

ðàçîâàíèå Ôóðüå

Uj ute dt

() () ,w

íàõîäèì ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó U(jw).

Çíàÿ êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè Z(jw) êàê ôóíêöèþ ÷àñòîòû, ìîæåì

ïîëó÷èòü ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó òîêà â öåïè:

116 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 11.5

()

() ,

(

aw)

ïðè÷åì

Zj z e r jx

( ) () () ().

(

ww w w

jw)

==+

Èñêîìûé ïåðåõîäíûé òîê íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ôóðüå:

it I j e d

() ( )=

-¥

+¥

èëè ñ ïîìîùüþ òîãî æå ïðåîáðàçîâàíèÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:

it I t d

() ( )cos[ ( ] .=+

+¥

wwaw)w

Ñàì ïî ñåáå ýòîò ïóòü ðàñ÷åòà íå äàåò êàêèõ-ëèáî ñóùåñòâåííûõ ïðåèìóùåñòâ

ïî ñðàâíåíèþ ñ èçëîæåííûì â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì.

Ñóùåñòâåííîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà èíòåãðàëà Ôóðüå îáíàðóæèâàåòñÿ ïðè íà-

õîæäåíèè òîêà i(t) ïî çàäàííîìó íàïðÿæåíèþ è(t), êîãäà èìååì ïðàêòè÷åñêè

îñóùåñòâëåííóþ ñëîæíóþ ëèíåéíóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü èëè âîîáùå êàêîå-ëè-

áî ñëîæíîå óñòðîéñòâî ñ ëèíåéíûìè ýëåêòðè÷åñêèìè ýëåìåíòàìè è ðàñïîëàãàåì

âîçìîæíîñòüþ ñíÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíî çàâèñèìîñòü âõîäíîãî êîìïëåêñíîãî ñî-

ïðîòèâëåíèÿ öåïè îò ÷àñòîòû, ò. å. ïîëó÷èòü ýêñïåðèìåíòàëüíî çàâèñèìîñòè z(w)

è j(w) èëè, ñîîòâåòñòâåííî, r(w)èõ(w).

Âû÷èñëèâ ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñïåêòðàëüíóþ õàðàê-

òåðèñòèêó U(jw) = U(w)

jaw

()

çàäàííîé ôóíêöèè è(t) è ïîëüçóÿñü îïûòíûìè

äàííûìè äëÿ z(w)èj(w), ìîæíî îïðåäåëèòü ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó

òîêà:

()

;() ()().w

aw aw jw==-

Èñêîìûé òîê i(t) ìîæíî òîãäà îïðåäåëèòü èç ïîñëåäíåãî èíòåãðàëüíîãî âû

ðàæåíèÿ, âûïîëíÿÿ èíòåãðèðîâàíèå õîòÿ áû òåì èëè èíûì ïðèáëèæåííûì ìå

òîäîì.

Èç ýòîãî æå âûðàæåíèÿ ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé ÷àñòîò

íîé I

(w) è ìíèìîé ÷àñòîòíîé I

(w) õàðàêòåðèñòèêàìè. Òàê êàê

Ij I e I jI I

( ) () ()cos () ()sin () ()

()

ww waw waw w

== + =

ii1

+ jI

(),w

òî

it I t d I t I

() ( )cos[ ( ] [ ( )cos ( )s=+= -

wwaw)w

ww win ] .wwtd

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïðè t < 0 èìååì i(t) = 0, ïîäñòàâèì â òîëüêî ÷òî

íàïèñàííîå âûðàæåíèå i(t) çíà÷åíèå t = –t:

Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé 117

[()cos ()sin ]ItItdww www

èëè

ItdItd

()cos ()sin ,www www

¥¥

òò

÷òî è âûðàæàåò ñâÿçü ìåæäó âåùåñòâåííîé I

(w) è ìíèìîé I

(w) ÷àñòîòíûìè õà

ðàêòåðèñòèêàìè.

Çàìåòèì, ÷òî ýòà ñâÿçü ñóùåñòâóåò äëÿ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê òåõ ôóíê

öèé i(t), äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.

Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå äëÿ òîêà i(t), èìååì

it I td I td() ( )cos ( )sin==-

¥¥

òò

www

www,

ò. å. ìîæåì îïðåäåëèòü ôóíêöèþ i(t) ëèáî ïî âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé, ëèáî ïî

ìíèìîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå.

Òàê êàê ìåæäó âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ñîñòàâëÿþùèìè ÷àñòîòíîé õàðàêòå-

ðèñòèêè I(jw) ñóùåñòâóåò ñâÿçü, òî, ñîîòâåòñòâåííî, â òåõ æå ñëó÷àÿõ åñòü ñâÿçü

è ìåæäó àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûìè è ôàçî÷àñòîòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.

Åñëè â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêàçàííûì èìååòñÿ ñâÿçü ìåæäó U(w)èa

(w), à òàêæå

ìåæäó I(w)èa

(w), òî äîëæíà áûòü ñâÿçü è ìåæäó Z(w)èj(w) èëè ñîîòâåòñòâåí-

íî ìåæäó r(w)èx(w). Äëÿ ðÿäà ñèñòåì îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíîé è ðàçðàáîòàíà

ìåòîäèêà îïðåäåëåíèÿ j(w)ïîz(w). Â òàêîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ñíÿòü ýêñïåðè-

ìåíòàëüíî òîëüêî õàðàêòåðèñòèêó z(w), ÷òî çíà÷èòåëüíî ïðîùå ýêñïåðèìåíòàëü-

íîãî ïîëó÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèêè j(w).

Òàê êàê ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü z(w) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà òîëüêî

ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû îò íóëÿ äî îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ w¢, òî íåîáõîäèìî

áûòü óâåðåííûì, ÷òî ìû íå äîïóñêàåì çàìåòíîé îøèáêè, âû÷èñëÿÿ i(t)ïîôîð

ìóëå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â ýòîì îãðàíè÷åííîì äèàïàçîíå âìåñòî

âñåãî äèàïàçîíà 0 < w < ¥. Íåêîòîðîé îöåíêîé äîñòàòî÷íîñòè âåðõíåãî ïðåäåëà

÷àñòîòû w¢ â ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîëó÷åíèÿ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê

ìîæåò ñëóæèòü óñëîâèå, ÷òîáû ìîäóëè y(w) = 1/z(w) ïðè ýòîé ÷àñòîòå w¢ ïðèáëè

æàëèñü ê íóëþ, ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè, ÷òî íà îñíîâå êàêèõ-ëèáî ñîîáðà

æåíèé ìîæíî áûòü óâåðåííûì, ÷òî ñ äàëüíåéøèì óâåëè÷åíèåì w îíè íå áóäóò

âíîâü âîçðàñòàòü.

Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå ïðèåìû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

ïðèãîäíû äëÿ íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî ñîîò

íîøåíèå I(jw) = U(jw)/Z(jw) ñîîòâåòñòâóåò ñîîòíîøåíèþ I(p) = U(p)/Z(p), ñïðà

âåäëèâîìó òîëüêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ñì. § 10.3). Ïðè íåíóëåâûõ

íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ, òàê æå, êàê è â îïåðàòîðíîì ìåòî

äå, ìåòîäîì íàëîæåíèÿ, ðàññ÷èòàâ ïðîöåññ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ è

íàëîæèâ íà íåãî ïðîöåññû, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî îò äåéñòâèÿ îäíèõ íà

÷àëüíûõ íàïðÿæåíèé íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêîâ â êàòóøêàõ.

118 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

11.5. Ñâÿçü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà.

Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîé ÷àñòîòå

Â § 11.3 áûëè ñîïîñòàâëåíû ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

Fp fte dt

() ()=

ñ ïðÿ

ìûì îäíîñòîðîííèì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå

Fj fte dt

() ()w

, îòêóäà âèäíî,

÷òî âòîðîå åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïåðâîãî ïðè p = jw. Â êîíöå § 11.1 áûëî îòìå÷åíî,

÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âîçìîæíî äëÿ îãðàíè÷åííîãî êëàññà ôóíêöèé f(t).

Áûëî óêàçàíî, ÷òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíàÿ èíòåã

ðèðóåìîñòü ôóíêöèè f(t).

Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì, òàê êàê p ðàññìàòðèâàåòñÿ

êàê êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, äî

ñòàòî÷íî áîëüøóþ, ÷òîáû èíòåãðàë Ëàïëàñà èìåë êîíå÷íîå çíà÷åíèå äëÿ âåñüìà

øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé f(t), ïðàêòè÷åñêè îõâàòûâàþùèõ âñå ôóíêöèè, ñ êîòî

ðûìè âñòðå÷àåìñÿ â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ,

íàêëàäûâàåìûå íà âåùåñòâåííóþ ÷àñòü âåëè÷èíû p, áûëè ñôîðìóëèðîâàíû â

íà÷àëå § 10.1.

Ìîæíî îáîáùèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå òàê, ÷òî îíî ñòàíåò ýêâèâàëåíòíî

ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà ïî øèðîòå îõâàòà êëàññà ôóíêöèé f(t), åñëè ââåñòè ïî-

íÿòèå êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû

= c + jw, ñîäåðæàùåé ïîëîæèòåëüíóþ âå-

ùåñòâåííóþ ÷àñòü c, íà êîòîðóþ íàëàãàþòñÿ òå æå ñàìûå òðåáîâàíèÿ, ÷òî è íà âå-

ùåñòâåííóþ ÷àñòü s îïåðàòîðà p. Òàêîå îáîáùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èìååò

âèä

Fc j fte dt

cj t

()() .

()

Ñîîòâåòñòâåííî, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â îáîáùåííîé ôîðìå, åñëè

çàìåíèòü â ôîðìóëå (**) èç § 11.1 âñþäó â âûðàæåíèè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà âå

ëè÷èíó jw íà âåëè÷èíó

,w= wcj+

ïðèíèìàåò âèä

Fc j e dc j

cj t

() () ().

()

== + +

-¥

+¥

Ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè äîëæåí áûòü èçáðàí òàê, ÷òî

áû âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû áûëà íå ìåíüøå òîé, êîòîðàÿ îáåñ

ïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü ïðÿìîãî îáîáùåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Â ÷àñòíîñòè,

ìîæíî èíòåãðèðîâàòü ïî ïðÿìîé, îòñòîÿùåé ñïðàâà îò îñè ìíèìûõ íà íåîáõîäè

ìóþ âåëè÷èíó ñ > 0. Ñ ýòèì è ñâÿçàí âûáîð ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îò ñ–j¥

äî ñ + j¥.

Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñîâïàäàåò ñ îáîáùåííûì ïðÿìûì ïðåîáðà

çîâàíèåì Ôóðüå ïðè çàìåíå p íà

Ïîýòîìó, ïîëüçóÿñü îáðàòíûì ïðåîáðàçî

âàíèåì Ôóðüå â îáîáùåííîé ôîðìå, ìîæåì çàïèñàòü îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå

Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé 119

Ëàïëàñà, äàþùåå âîçìîæíîñòü âû÷èñëèòü îðèãèíàë f(t) ïî åãî îïåðàòîðíîìó

èçîáðàæåíèþ F (ð) â âèäå

Fpe dp Fp

() ( ) [ ( )].== =

-¥

+¥

Îáîçíà÷åíèå

–

[()]

÷àñòî ïðèìåíÿþò äëÿ êðàòêîé çàïèñè ýòîãî ïðåîá

ðàçîâàíèÿ. Ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Ðèìàíà—Ìåëëèíà.

120 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ãëàâà äâåíàäöàòàÿ

Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è ÝÄÑ

ïðîèçâîëüíîé ôîðìû

12.1. Ïîíÿòèå îá èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ

Áîëüøîé êëàññ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ è âîîáùå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ çàäà÷ ñâÿçàí

ñ èññëåäîâàíèåì ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ïðîòåêàþùèõ ïîä âîçäåéñò

âèåì êðàòêîâðåìåííûõ âíåøíèõ âîçìóùåíèé, äëèòåëüíîñòü êîòîðûõ ñðàâíèìà

ñ äëèòåëüíîñòüþ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Òàêèå âîçìóùåíèÿ è ïðîöåññû íàçûâà

þòèìïóëüñíûìè. Èìïóëüñíûìè ñèñòåìàìè íàçûâàþò óñòðîéñòâà,

â êîòîðûõ ôîðìèðóþòñÿ è äåéñòâóþò èìïóëüñíûå ÝÄÑè òîêè.

Ïåðåäà÷à è ïðåîáðàçîâàíèå ñèãíàëîâ ïðè ïîìîùè èìïóëüñîâ íàõîäèò øè

ðîêîå ïðèìåíåíèå äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè, òàê êàê ïðè ýòîì âëèÿíèå ïîìåõ

îêàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì. Áëàãîäàðÿ êðàòêîâðåìåííîñòè èìïóëüñíîãî ïðîöåññà

ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èìïóëüñû î÷åíü áîëüøîé ìîùíîñòè, âî ìíî-

ãèå ñîòíè ðàç ïðåâûøàþùåé âîçìîæíóþ ìîùíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî óñòðîéñò-

âà ïðè íåïðåðûâíîé åãî ðàáîòå. Âåñüìà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ èìïóëüñíûé ìåòîä

â àâòîìàòèêå è òåëåìåõàíèêå, â ðàäèîýëåêòðîíèêå è ò. ä. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ èì-

ïóëüñíûõ ïðîöåññîâ ïðèìåíèìû âñå èçëîæåííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìåòîäû

àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Ïðè îïðåäåëåííûõ ôîðìàõ èìïóëüñîâ è õàðàê-

òåðå èçìåíåíèÿ èíòåðâàëîâ ìåæäó íèìè, çàâèñÿùèõ îò öåëåé, äëÿ êîòîðûõ ïðè-

ìåíÿþòñÿ èìïóëüñíûå ñèñòåìû, âîçìîæíû òå èëè èíûå ñïåöèàëèçèðîâàííûå

ìåòîäû àíàëèçà ïðîöåññîâ â èìïóëüñíûõ ñèñòåìàõ. Ïðèìåíÿþòñÿ èìïóëüñû ðàç-

íîîáðàçíîé ôîðìû, íàïðèìåð ïðÿìîóãîëüíûå (ðèñ. 12.1, à), òðàïåöåèäàëüíûå

(ðèñ. 12.1, á), òðåóãîëüíûå (ðèñ. 12.1, â), ýêñïîíåíöèàëüíûå (ðèñ. 12.1, ã), ðàäèî

èìïóëüñû, ò. å. èìïóëüñû ñ âûñîêî÷àñòîòíûìè êîëåáàíèÿìè (ðèñ. 12.1, ä) è äð.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ õàðàêòåðèçóåòñÿ âðåìåíåì T

èõ ïîâòîðåíèÿ,

äëèòåëüíîñòüþ T

èíò

èíòåðâàëà (ïàóçû) ìåæäó íèìè è äëèòåëüíîñòüþ t

èìï

ñàìîãî

èìïóëüñà (ðèñ. 12.2).

Â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé t

èìï

, T

èíò

, T

, çàêîíà èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí è

äëèòåëüíîñòè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû

àíàëèçà. Ïðè êàæäîì âîçäåéñòâèè èìïóëüñà ÝÄÑ â öåïè ïðîèñõîäèò ïåðåõîä

íûé ïðîöåññ. Ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè t

èìï

âîçäåéñòâèå èìïóëüñà çàêàí÷èâàåòñÿ

è â öåïè íà÷èíàåòñÿ äðóãîé ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, ñâÿçàííûé ñ ðàññåèâàíèåì

Ðèñ. 12.1

Ðèñ. 12.2

ýíåðãèè, íàêîïëåííîé çà âðåìÿ t

èìï

â ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ êîíäåí

ñàòîðîâ è êàòóøåê. Åñëè äëèòåëüíîñòü ýòîãî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàìíîãî

ìåíüøå äëèòåëüíîñòè ïàóçû T

èíò

, òî ê ìîìåíòó âîçäåéñòâèÿ ñëåäóþùåãî èìïóëü

ñà òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè áóäóò ðàâíû íóëþ, è ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî èìïóëü

ñà íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè. Ïîýòîìó ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ìîæíî

ðàññ÷èòàòü äëÿ êàæäîãî èìïóëüñà â îòäåëüíîñòè. Åñëè ôîðìû èìïóëüñîâ ïîâòî

ðÿþòñÿ, òî ïðè ýòîì ðàñ÷åò äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè äëÿ îäíîãî èìïóëüñà. Êîãäà

äëèòåëüíîñòü ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà îêàçûâàåòñÿ áîëüøå T

èíò

, ïåðåõîäíûé ïðî

öåññ â ñëåäóþùåì èìïóëüñå áóäåò çàâèñåòü îò ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â ïðåäûäó

ùèå ìîìåíòû âðåìåíè. Äëÿ àíàëèçà ïðîöåññîâ â òàêèõ ñèñòåìàõ äîëæíû áûòü

ïðèìåíåíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû. Îäíèì èç íèõ â ñëó÷àå ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ

äðóã çà äðóãîì ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé

íà äèñêðåòíîì ïðåîáðàçîâàíèè Ëàïëàñà.

12.2. Ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè è ðàñ÷åò öåïè ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíîé ÝÄÑ

Âêëþ÷åíèå öåïè ïîä äåéñòâèå èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîé ÝÄÑ E ñ ïîìîùüþ êëþ÷à

ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ðèñ. 12.3, à) ìîæíî ðàññìîòðåòü, êàê äåéñòâèå

â ýòîé öåïè ÝÄÑ Å(t) = Å×1(t), èìåþùåé âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü, ïîêàçàííóþ

íà ðèñ. 12.3, á, ïðè îòñóòñòâèè êëþ÷à. Óñëîâèìñÿ ôóíêöèè òàêîãî âèäà íàçûâàòü

ñêà÷êîîáðàçíûìè ôóíêöèÿìè.Ôóíêöèÿ 1(t) ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîé

åäèíè÷íîé ôóíêöèåé,èìåþùåé çíà÷åíèÿ

()

;

ïðè

Ñìåùåííóþ âïðàâî íà ïðîìåæóòîê âðåìåíè t ôóíêöèþ (ðèñ. 12.4) ìîæíî çà-

ïèñàòü â âèäå 1(t – t). Ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ ïðè t < t è ðàâíà åäèíèöå ïðè

t ³t.

Âîçíèêàþùèå â ëèíåéíîé öåïè òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû

ïðèëîæåííîé ê öåïè ñêà÷êîîáðàçíîé ÝÄÑ. Ïîýòîìó èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

xt Etht() () (),=

ãäå õ(t) — èñêîìàÿ âåëè÷èíà, ò. å. òîê èëè íàïðÿæåíèå íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå

öåïè â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå. Â äàëüíåéøåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ïîä õ(t)

ïîíèìàòü òîê i(t) íà âõîäå öåïè (ðèñ. 12.3, á); h(t) — ôóíêöèÿ âðåìåíè, íàçûâàå

ìàÿïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè.

Åñëè èñêîìîé âåëè÷èíîé õ(t) ÿâëÿåòñÿ òîê i(t) íà âõîäå öåïè, òî ïåðåõîäíóþ

õàðàêòåðèñòèêó h(t), èìåþùóþ ïðè ýòîì ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè, íàçûâàþò

ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè è îáîçíà÷àþò Y(t). Ôóíêöèþ Y(t)

122 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 12.3

Ðèñ. 12.4