Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
Ip
Zp
Dp
Ep
Zp
Dp
Ep
Ip
Z
1
22
11
12
22
2
2
()
()
()
()
()
()
();
()
=+
-
=
-
1
11
11
22
11 22
()
()
()
()
()
();
() () ()
p
Dp
Ep
Zp
Dp
Ep
Dp Z pZ p
+
=-[()].Zp
12
2
Ðàññìîòðèì âèä ýòèõ ôóíêöèé, êîãäà å
1
= Å
0
= const è å
2
= E
m
sin wt. Ñîîòâåòñò
-
âåííî,
Ep
E
p
Ep
E
p
m
1
0
2
22
() () .==
+
è
w
w
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ Z
11
(p), Z
22
(p), Z
12
(p), à òàêæå E
11
(p)èE
22
(p) äëÿ òîêà
I
1
(p), íàïðèìåð, ïîëó÷èì
Ip
EG p
pH p
EGp
pHp
uG
mC
1
01
1
2
22
1
23
0
()
()
()
()
()()
() (
=-
+
+
w
w
p
pH p
Li G p
Hp
Li G p
Hp
G
LL
)
()
() ()
()
() ()
()
(
1
11 4
1
33 5
1
00
+
++ =
p
pp H p
)
()()
,
22
1
+w
ãäå
H p ap ap ap a LLp L r r L r r
13
3
2
2
1013
3
31 2 12 3
() [ ( ) ( )=+++= + +++]
() ;
p
rr r rr
LL
C
p
rr
C
2
12 3 23
13
2
13
2
+
++++
+
é
ë
ê
ù
û
ú
+
+
Gp G p pZ p r rp C Lp
Gp Gp
14 2223 23
2
23
1() () () ( ) ;
() ()
== =+++
==pZ p p r pL
Gp pZp rp C
12 3 3
5222
1
() ( );
() () .
=+
==+
 ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè I
1
(p) ïåðâûå äâà ÷ëåíà îïðåäåëÿþò òîê â ïåðåõîäíîì
ïðîöåññå ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ïîä äåéñòâèå ÝÄÑ e
1
è e
2
. Ïîñëåäíèå òðè ÷ëåíà îï
-
ðåäåëÿþò òîê ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, âîçíèêàþùåãî â öåïè çà ñ÷åò íåíóëåâûõ íà
-
÷àëüíûõ çíà÷åíèé òîêîâ â êàòóøêàõ L
1
è L
3
è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå C
2
.
Åñëè äî ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à òîê â êàòóøêå L
3
îòñóòñòâîâàë, òî i
3L
(0) = 0 è ÷ëåí, ñî
-
äåðæàùèé ýòîò òîê, îòñóòñòâóåò. Èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé âûòåêàåò òàêæå âîç
-
ìîæíîñòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íàëîæåíèåì ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, ðàñ
-
ñ÷èòàííûõ îòäåëüíî îò êàæäîé ÝÄÑ, íà÷àëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé.
Êàê âèäíî èç äàííîãî ïðèìåðà, îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ äðîáü, ãäå è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìà
-
ìè îïåðàòîðà p. Â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå áóäåò ðàññìîòðåí ñïîñîá ïåðåõîäà îò
èçîáðàæåíèÿ ê îðèãèíàëó, â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàöèî
-
íàëüíûõ äðîáåé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòè äðîáè ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó, ïðåä
-
ñòàâëåííîìó â òàáëèöàõ, â êîòîðûõ äàíû ñîîòâåòñòâóþùèå èì îðèãèíàëû. Îä
-
íàêî â ýòèõ òàáëèöàõ (íàïðèìåð, Äèòêèí Â. À., Êóçíåöîâ Ï. È. Ñïðàâî÷íèê ïî
îïåðàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ) òàêèå ôîðìóëû ïðèâåäåíû äëÿ ïîëèíîìîâ H
1
(p)
îòíîñèòåëüíî íèçêîãî ïîðÿäêà.
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 103
10.5. Ïåðåõîä îò èçîáðàæåíèé ê îðèãèíàëó. Òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ
Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà ïðåäñòàâèì èçîáðàæåíèå, ïîëó÷åííîå â âèäå ðàöèî
-
íàëüíîé äðîáè, ïðîñòåéøèìè ñëàãàåìûìè, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû îðèãèíàëû.
Ñ ýòîé öåëüþ âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ. Ïóñòü èìååòñÿ èçîáðàæåíèå
â âèäå
Xp
Gp
Hp
()
()
()
,=
ãäå G(ð)èÍ(ð) — ïîëèíîìû îò ð. Çäåñü áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñòåïåíü m ïîëè
-
íîìà â ÷èñëèòåëå ìåíüøå ñòåïåíè ï ïîëèíîìà â çíàìåíàòåëå (ò < ï).  äàëüíåé
-
øåì, â ãë. 12, ñíèìåì ýòî îãðàíè÷åíèå è óâèäèì, ÷òî ïðè ò ³ ï ïîÿâëÿþòñÿ ÝÄÑ,
òîêè è íàïðÿæåíèÿ, èìåþùèå èìïóëüñíûé õàðàêòåð, ò. å. ïðèíèìàþùèå áåñêîíå÷íî
áîëüøèå çíà÷åíèÿ â òå÷åíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ èíòåðâàëîâ âðåìåíè. Íå ðàññìàòðè
-
âàÿ çäåñü òàêèõ èìïóëüñíûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ, ïî ñóòè äåëà, ðåçóëüòàòîì
èäåàëèçàöèè ðåàëüíûõ ÝÄÑ, òîêîâ è íàïðÿæåíèé, áóäåì ïîëàãàòü ò < ï.
Ïðåäïîëîæèì, êðîìå òîãî, ÷òî óðàâíåíèå Í(ð) = 0 íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé,
à òàêæå íå èìååò êîðíåé, ðàâíûõ êîðíÿì óðàâíåíèÿ G(ð) = 0. Ïðè óêàçàííûõ
óñëîâèÿõ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå äðîáè:
Gp
Hp
A
pp
A
pp
A
pp
A
pp
n
n
k
k
k
n
()
()
,=
-
+
-
++
-
=
-
=
å
1
1
2
2
1
K
ãäå p
1
, p
2
, ..., ð
ï
— êîðíè Í(ð). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A
k
ìîæíî âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ îäíèì èç ìíîãèõ ïðèåìîâ, èçâåñòíûõ èç àëãåáðû. Óìíîæèâ îáå
÷àñòè ðàâåíñòâà íà (p–p
k
) è ïðèíÿâ ð = ð
k
, ïîëó÷èì ñïðàâà A
k
, à ñëåâà — íåîïðå-
äåëåííîñòü. Ðàñêðûâàÿ ýòó íåîïðåäåëåííîñòü, íàõîäèì
A
Gp p p
Hp
Gp
pp
Hp
Gp
H
k
k
pp
k
pp
kk
k
k
=
-
=
-
=
=
®
()( )
()
( ) lim
()
()
'
()
.
p
k
Òàêèì îáðàçîì,
Xp
Gp
Hp
A
pp
Gp
Hp pp
k
k
k
kn
k
k
k
kn
()
()
()
()
()
==
-
=
-
=
=
=
=
åå
11
1
'
k
.
Òàê êàê
A
pp
Ae
k
k
k
pt
k
-
Þ
, òî äëÿ èñêîìîé âåëè÷èíû õ(t) èìååì
xt
Gp
Hp
e
k
k
k
kn
pt
k
()
()
()
.=
=
=
å
'
1
Ýòî ðàâåíñòâî è íàçûâàþò òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç êîðíåé ïîëèíîìà Í(ð), äîïóñòèì p
1
, ðàâåí
íóëþ, òî
e
pt
k
= 1 è ñîîòâåòñòâóþùèé ÷ëåí â ðàçëîæåíèè îáðàùàåòñÿ â ïîñòîÿí
-
íóþ âåëè÷èíó. Âûäåëÿÿ ýòîò ÷ëåí, íàïèøåì
Xp xt
G
H
Gp
Hp
e
k
k
k
kn
pt
k
() ()
()
()
()
()
.Þ= +
=
=
å
0
0
2
''
Ïîëèíîì Í(ð) ìîæåò èìåòü êîðåíü, ëåæàùèé â íà÷àëå êîîðäèíàò (p
1
= 0), êî
-
ãäà â äàííîé öåïè èìåþòñÿ èñòî÷íèêè ïîñòîÿííîé ÝÄÑ (èëè èñòî÷íèêè ïîñòî
-
104 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ÿííîãî òîêà). Âûäåëåííûé ïîñòîÿííûé ÷ëåí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óñòàíîâèâøèå
-
ñÿ òîê èëè íàïðÿæåíèå â öåïè.
Åñëè Í(ð) èìååò ïàðó ñîïðÿæåííûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé, ëåæàùèõ íà îñè
ìíèìûõ p
1
= jw, p
2
= –jw, òî ìîæíî çàïèñàòü
Xp xt
Gj
Hj
e
Gj
Hj
e
Gp
jt jt
k
() ()
()
()
()
()
()
Þ= +
-
-
+
-
w
w
w
w
ww
'' Hp
e
k
k
kn
pt
k
' ()
.
=
=
å
3
Ïîëèíîì Í(ð) ìîæåò èìåòü ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ êîðíåé â ñëó
-
÷àå, åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè íàëè÷èè â öåïè èñòî÷íèêîâ
ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ èëè èñòî÷íèêîâ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ. Äâà ïåðâûõ âûäå
-
ëåííûõ ÷ëåíà îïðåäåëÿþò ñèíóñîèäàëüíûé òîê èëè íàïðÿæåíèå óñòàíîâèâøåãî
-
ñÿ ðåæèìà.
Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå
ïðèìåðû.
 êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ðåøèì çàäà÷ó î ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà íà öåïü
(r, L), ðàññìîòðåííóþ ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. § 9.8). Ïóñòü íà÷àëüíîå
íàïðÿæåíèå êîíäåíñàòîðà u
C
(0) = U
0
, a íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà â êàòóøêå
i(0) = 0. Îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå òîêà èìååò âèä
Ip
Up Li
p
u
Zp
Up
rpL pC
UL
p
C
()
() () ()
() ( )
=
+-
=
-
++
=
=
-
0
1
0
1
0
0
2
++
=
-
++
r
L
pLC
UL
pp
1
2
0
2
0
2
()
,
dw
òàê êàê U(p) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå G(ð) = –U
0
/L è Í(ð) = p
2
+
+2dp +
w
0
2
. Êîðíè óðàâíåíèÿ Í(ð) = 0 áóäóò p
1,2
=
-±dd-w
2
0
2
. Òàê êàê
Hp p
Gp
Hp
UL
p
'
'
() ,
()
() (
.=+ =
-
+
22
2
0
d
d)
òî
Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷àåì
it
U
Lp
e
U
Lp
e
U
L
e
pt pt
()
((
(=
-
+
+
-
+
=
-
0
1
0
2
0
2
0
2
22
2
12
d) d)
d-w
pt p t
e
12
- ).
Ïóñòü êîðíè p
1
è p
2
ðàâíû äðóã äðóãó: p
1
= p
2
= – d è d=w
0
, ò. å. ïîëèíîì Í(ð)
èìååò êðàòíûå êîðíè. Ïðåäïîëîæèâ ñíà÷àëà, ÷òî p
1
¹ p
2
, ïîëó÷èì òîëüêî ÷òî
íàéäåííîå ðåøåíèå, îáðàùàþùååñÿ ïðè p
1
= p
2
â íåîïðåäåëåííîñòü. Ðàñêðûâàÿ
ýòó íåîïðåäåëåííîñòü ïðè p
1
®p
2
, ïîëó÷èì, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â § 9.8, èñêîìîå
ðåøåíèå â âèäå
i
U
L
te
t
=-
-
0
d
.
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå, êîãäà îäèí èç êîðíåé, äîïóñòèì p
1
, ïîëèíîìà Í(ð) ñòå
-
ïåíè n èìååò êðàòíîñòü q, ðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå
â âèäå
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 105
Gp
Hp
Gp
pp Hp
A
pp
A
pp
qqq
()
()
()
()()()()
=
-
=
-
+
-
+
-
11
11
1
12
1
1
é
ë
ê
+
-
++
-
ù
û
ú
+
-
++
-
+
-+
K
KK K
A
pp
A
pp
A
pp
A
pp
s
qs
q
k
k
1
1
1
1
1
2
2
()
K+
-
A
pp
n
n
,
ãäå
A
s
d
dp
pp Gp
Hp
A
G
s
s
s
q
pp
k
1
1
1
1
1
1
1
=
-
-
é
ë
ê
ù
û
ú
=
-
-
=
()!
()()
()
;
()
()
()
()()
.
p
Hp
Gp
ppHp
k
k
k
k
q
k
=
-
¢
11
Îðèãèíàë ôóíêöèè
A
pp
s
qs
1
1
1
()-
-+
èìååò âèä
()
A
pp
A
qs
te
s
qs
s
qs
pt
1
1
1
1
1
()
()!
.
-
Þ
-
-+
-
Îðèãèíàë æå ôóíêöèè
A
pp
k
k
-
ðàâåí À
k
e
pt
k
.
Ðåøèì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ çàäà÷ó î âêëþ÷åíèè öåïè (r, L) ïîä
ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå è = U
m
sin (wt + y
u
) ïðè óñëîâèè i(0) = 0, ðàññìîò-
ðåííóþ ðàíåå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì (ñì. § 9.5). Èçîáðàæåíèå òîêà â öåïè ïîëó-
÷èì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî Z(p) = r+pL, à èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíîé
ôóíêöèè èìååò âèä
ut
j
Ue e Ue e
j
U
pj
U
p
m
j
jt
m
j
jt
m
m
uu
() ( )
&
*
=-Þ
-
-
+
-
-
1
2
1
2
y
w
y
w
w j
Up
w
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
= ().
Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå òîêà â öåïè îïðåäåëèòñÿ èç âûðàæåíèÿ
Ip
Up
Zp jL
U
pj prL
U
pj prL
m
m
()
()
()
&
(()(()
*
==
-+
-
++
é
1
2 w) w)
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
.
Ïðèìåíèâ òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷èì
Ip
jL
U
jrLpj
U
jrLprL
U
jr
mm
m
()
&&
*
=
+-
+
-- +
é
ë
ê
ê
-
-+
1
2
11
www w
Lp j
U
jrLprL j
U
rjL
e
U
r
m
m
jt
m
1
11
2
+
-
-
-+
ù
û
ú
ú
Þ
+
é
ë
ê
ê
-
w
ww
w
*
&&
+
-
-
+
-
ù
û
ú
ú
-
-
-
jL
e
U
rjL
e
U
rjL
e
r
L
t
m
jt
m
r
L
t
www
w
**
.
106 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ãðóïïèðóÿ ïåðâûé ÷ëåí ñ òðåòüèì è âòîðîé ñ ÷åòâåðòûì è èìåÿ â âèäó, ÷òî
j=arctg
wL
r
, íàõîäèì
it
U
rL
te
m
uu
r
L
t
() sin( ) sin( ) .=
+
+-- -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
222
w
wy j y j
 êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëåíèÿ ïåðåõîäíîãî òîêà â ðàç
-
âåòâëåííîé öåïè ðàññìîòðèì òàêîâîå ïðè âêëþ÷åíèè ïîä
ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U
0
öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.3,
ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâ
-
ëåíèå òàêîé öåïè
Zp pL
r
pC
rpC
prLC pL r
prC
()
()
.=+
+
=
++
+
1
11
2
Èçîáðàæåíèå ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ U
0
Þ U
0
/p.
Èçîáðàæåíèå òîêà ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå
Ip
Up
Zp
UprC
pprLC pL r
U
rLC
prC
pp
()
()
()
()
()
==
+
++
=
+
00
2
0
1
1
2
0
2
0
2
11
1
2
++
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
+
++
rC
p
LC
U
rLC
prC
pp p
()
()
.
dw
Òàêèì îáðàçîì,
Gp
U
rLC
prC() ( );=+
0
1
Hp p p p H p p p() ; () ;=+ + = + +
32
0
22
0
2
234dw dw'
Ip
Gp
Hp
A
pp
A
pp
A
pp
()
()
()
;==
-
+
-
+
-
1
1
2
2
3
3
pp p
12
2
0
2
3
2
0
2
0==-+ =--;;;dd-w dd-w
A
G
H
U
r
A
Gp
Hp
U
rLC
prC
p
1
0
2
2
2
0
2
2
0
0
1
2
== = =
+
×
()
()
;
()
()
()
(''
p
2
+d)
;
A
Gp
Hp
U
rLC
prC
pp
3
3
3
0
3
33
1
2
==
+
×+
()
()
()
()
.
' d
Òîãäà
it
U
r
U
rLC
prC
p
e
U
rLC
prC
pt
()
() ()
=+
+
×-
-
+
0
0
2
2
2
0
2
0
3
1
2
1
2
dw p
e
pt
3
2
0
2
2
3
×-dw
.
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 107
Ðèñ. 10.3
Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü òîêè â îñòàëüíûõ âåòâÿõ.
 çàêëþ÷åíèå íàéäåì îðèãèíàë èçîáðàæåíèÿ òîêà, ïîëó÷åííîãî â ïðåäûäó
-
ùåì ïàðàãðàôå äëÿ öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 10.2, â âèäå
Ip
Gp
pp H p
Gp
Hp
()
()
()()
()
()
,=
+
=
2
0
2
1
w
ãäå H
1
(p) = Ap
3
+ Bp
2
+ Cp + D = A(p–p
4
)(p–p
5
)(p–p
6
).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèãèíàëà äàííîé ôóíêöèè ïðè ïîìîùè òåîðåìû ðàçëîæå
-
íèÿ íåîáõîäèìî ïðåæäå âñåãî íàéòè êîðíè çíàìåíàòåëÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè.
 äàííîì ñëó÷àå çíàìåíàòåëü Í(ð) èìååò øåñòü êîðíåé: p
1
= 0, p
2
= jw, p
3
= –jw,
p
4
, p
5
, p
6
. Êîðíè p
4
, p
5
è p
6
ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ òðåòüåé ñòåïåíè ìåòîäàìè,
èçâåñòíûìè èç êóðñà ìàòåìàòèêè. Îðèãèíàë èñêîìîãî òîêà çàïèøåòñÿ â âèäå
it
G
H
Gj
Hj
e
Gj
Hj
e
jt jt
()
()
()
()
()
()
()
=+ +
-
-
+
-
0
0'' '
w
w
w
w
ww
Gp
Hp
e
Gp
Hp
e
Gp
Hp
e
pt pt pt
()
()
()
()
()
()
.
4
4
5
5
6
6
456
'''
++
 ýòîì âûðàæåíèè ïåðâûé ÷ëåí îïðåäåëÿåò ñîñòàâëÿþùóþ òîêà, ïîñòîÿííóþ
âî âðåìåíè; âòîðîé è òðåòèé ñîïðÿæåííûå ÷ëåíû — ñîñòàâëÿþùóþ òîêà, èçìå-
íÿþùóþñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. Ýòè òðè ÷ëåíà îïðåäåëÿþò óñòàíîâèâ-
øèéñÿ ðåæèì â öåïè. Ïîñëåäíèå òðè ÷ëåíà õàðàêòåðèçóþò çàòóõàþùèå ñîñòàâ-
ëÿþùèå òîêà. Îíè ìîãóò áûòü àïåðèîäè÷åñêèìè, åñëè êîðíè p
4
, p
5
è p
6
âåùåñòâåííû, èëè êîëåáàòåëüíûìè, åñëè äâà êîðíÿ — êîìïëåêñíûå ñîïðÿæåí-
íûå. Ýòè òðè ïîñëåäíèå ÷ëåíà îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé òîê â öåïè. Êàê âèäíî èç
ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ, ïîëüçóÿñü îïåðàòîðíûì ìåòîäîì, ïîëó÷àåì ïîëíîå ðå-
øåíèå, ñîäåðæàùåå êàê óñòàíîâèâøóþñÿ, òàê è ñâîáîäíóþ ñîñòàâëÿþùèå ïåðå-
õîäíîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì âñåõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
10.6. Ñâîéñòâà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Ðàññìîòðèì ëþáóþ ñêîëü óãîäíî ñëîæíóþ ïàññèâíóþ öåïü, ò. å. öåïü, â êîòîðîé
îòñóòñòâóþò èñòî÷íèêè ýíåðãèè.  òàêîé öåïè ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî çàòó
-
õàþùèé âî âðåìåíè ñâîáîäíûé ïðîöåññ, îïðåäåëÿåìûé çàïàñàìè ýíåðãèè â ìàã
-
íèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëÿõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè èñïîëüçî
-
âàíèè êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà òîê â ëþáîé k-é âåòâè â ýòîì ñëó÷àå íàõîäèòñÿ
â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Ñâîéñòâà êîðíåé a
i
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó
îäíîðîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, è ðàññìîòðèì â íàñòîÿùåì ïàðà
-
ãðàôå.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ñêàçàííîå îòíîñèòñÿ ê òåì êîðíÿì
p
i
ïîëèíîìà Í(ð), êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé ïðîöåññ. Ïîëèíîì Í(ð) ìîæ
-
íî çàïèñàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ Í(ð) = N(ð) Í
1
(ð), ãäå êîðíè óðàâíåíèÿ
N(ð) = 0 îïðåäåëÿþòñÿ âèäîì äåéñòâóþùåé â öåïè ÝÄÑ è õàðàêòåðèçóþò óñòà
-
íîâèâøèéñÿ ðåæèì. Êîðíè æå óðàâíåíèÿ Í
1
(ð) = 0 îïðåäåëÿþò ñâîáîäíûé ïðî
-
öåññ. Âñå ýòî õîðîøî âèäíî èç ïðèìåðîâ, ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå.
Êîðíè p
i
óðàâíåíèÿ Í
1
(ð) = 0 ñîâïàäàþò ñ êîðíÿìè a
i
õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ìåòîäå (p
i
=a
i
).
108 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ïåðâîå ñâîéñòâî ýòèõ êîðíåé äëÿ ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè çàêëþ÷àåò
-
ñÿ â òîì, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé äîëæíû áûòü îòðèöàòåëüíûìè:
Re( ) .a
j
< 0
Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì òîãî, ÷òî ïðîöåññ äîëæåí áûòü çà
-
òóõàþùèì.
Âòîðûì ñâîéñòâîì ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âñå êîìïëåêñíûå êîðíè
äîëæíû áûòü ïîïàðíî ñîïðÿæåííûìè, òàê êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþ
-
ùèå äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè [òîê i(t), íàïðÿæåíèå è(t)], äîëæíû áûòü
âåùåñòâåííûìè.
Òðåòüå ñâîéñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ÷èñòî ìíèìûå êîðíè a
i
= jw
i
è
a
i
*
=– jw
i
äîëæíû áûòü ïðîñòûìè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû òàêèå êîðíè èìåëè êàæäûé
êðàòíîñòü ò > 1, òî ñîîòâåòñòâóþùåå èì ðåøåíèå èìåëî áû âèä
()sin.AAtAt At t
m
m
i01 2
2
1
1
++ ++
-
-
K w
Ïðè ò>1 ìû ïîëó÷èëè áû êîëåáàíèÿ ñ íàðàñòàþùåé äî áåñêîíå÷íîñòè àì
-
ïëèòóäîé, ÷åãî íå ìîæåò áûòü, òàê êàê íà ðàññìàòðèâàåìóþ öåïü íå âîçäåéñòâó-
þò èñòî÷íèêè ýíåðãèè è ïåðâîíà÷àëüíûé çàïàñ ýíåðãèè â ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè-
÷åñêèõ ïîëÿõ öåïè íå ìîæåò âîçðàñòàòü.
Íà ðèñ. 10.4 ïîêàçàíî ðàñïîëîæåíèå âåùåñòâåííûõ è ñîïðÿæåííûõ êîì
-
ïëåêñíûõ êîðíåé äëÿ ðåàëüíîé öåïè, ñîäåðæàùåé êàòóøêè, êîíäåíñàòîðû è ðå
-
çèñòîðû.
×èñòî ìíèìûå êîðíè ìîãóò áûòü òîëüêî äëÿ öåïåé áåç ïîòåðü. Íà ðèñ. 10.5
ïîêàçàíî ðàñïîëîæåíèå ñîïðÿæåííûõ êîðíåé íà ìíèìîé îñè äëÿ ýòîãî èäåàëè
-
çèðîâàííîãî ñëó÷àÿ.
Ãëàâà 10. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 109
Ðèñ. 10.4 Ðèñ. 10.5
Ãëàâà îäèííàäöàòàÿ
Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ
ôóíêöèé — èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.
Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
ìåòîäîì ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê
11.1. Ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé âðåìåíè
ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ôóðüå
Íàðÿäó ñ ðàññìîòðåííûìè ðàíåå êëàññè÷åñêèì è îïåðàòîðíûì ìåòîäàìè àíàëè
-
çà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ìåòîä, â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ
âûðàæåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè, ñ ïîìîùüþ
èíòåãðàëà Ôóðüå. Ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè íåïå
-
ðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ñèíóñîèäàëüíûõ
ôóíêöèé ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè àìïëèòóäàìè è ñ ÷àñòîòàìè, èìåþùèìè âñå âîç-
ìîæíûå çíà÷åíèÿ îò –¥ äî +¥. Ñîîòâåòñòâåííî, ýòîò ìåòîä ìîæåò áûòü íàçâàí
ìåòîäîì ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê èëè, êîðî÷å, ÷àñòîòíûì ìå-
òîäîì. Êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, òàêîå ðàçëîæåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ
ôóíêöèé èìååò ìíîãî îáùåãî ñ ðàçëîæåíèåì ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ
ôóíêöèé â ðÿä Ôóðüå. Ñìûñë òàêîãî ðàçëîæåíèÿ, ïî ñóòè äåëà, òîò æå, ÷òî è ïðè
àíàëèçå ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ öåïÿõ, íàõîäÿùèõñÿ ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷å-
ñêîãî íåñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ. Îñóùåñòâëÿÿ òàêîå ðàçëîæåíèå íåïåðèî-
äè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñèíóñîèäàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå, ïîëó÷àåì âîçìîæ-
íîñòü, ïîëüçóÿñü õîðîøî èçâåñòíûìè ïðèåìàìè ðàñ÷åòà òîêîâ â öåïè ïðè
ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèÿõ, íàéòè òîêè â öåïè îò äåéñòâèÿ îòäåëüíûõ ñîñòàâ-
ëÿþùèõ íàïðÿæåíèÿ, à çàòåì ïîëó÷èòü ðåçóëüòèðóþùèé òîê, ïîëüçóÿñü ìåòîäîì
íàëîæåíèÿ.
Ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé âðåìåíè â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå
ìîæíî ïîëó÷èòü, èñõîäÿ èç óæå èçâåñòíîãî íàì ðàçëîæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê
-
öèé â ðÿä Ôóðüå, ïðåäñòàâëåííîãî â êîìïëåêñíîé ôîðìå (ñì. § 8.7):
ft
T
eFjq
Fjq fte
jq t
q
q
jq
() ( ),
() ()
=
=
=-¥
=+¥
-
å
1
1
1
1
w
w
w
w
ãäå
1
2
2
t
T
T
dt
-
+
ò
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
.
(*)
 îòëè÷èå îò § 8.7 çäåñü óãëîâàÿ ÷àñòîòà ïåðâîé ãàðìîíèêè îáîçíà÷åíà w
1
,ò.å.
ñíàáæåíà èíäåêñîì 1. Ýòî íåîáõîäèìî, ÷òîáû îòëè÷èòü åå îò íåïðåðûâíî èçìå
-
íÿþùåéñÿ ÷àñòîòû w, î êîòîðîé äàëüøå áóäåò èäòè ðå÷ü.
Äâà ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âçàèìíî îáðàòíûå ïðå
-
îáðàçîâàíèÿ, óñòàíàâëèâàþùèå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó f(t)èF (jqw
1
). Ôóíêöèÿ
F (jqw
1
) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíûé ñïåêòð ôóíêöèè f(t).
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî f(t) — íåïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.×òîáû
ïîëó÷èòü åå âûðàæåíèå, ïðèãîäíîå äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ t, íà îñíîâàíèè âûðà
-
æåíèé (*) áóäåì ðàññìàòðèâàòü äàííóþ íåïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ f(t) êàê ïå
-
ðèîäè÷åñêóþ ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèì ïåðèîäîì.
Ïðè áåñïðåäåëüíîì âîçðàñòàíèè T ðàçíîñòü Dw = 2p/T =w
1
ìåæäó óãëîâûìè
÷àñòîòàìè ëþáûõ äâóõ ñìåæíûõ ãàðìîíèê, ðàâíàÿ óãëîâîé ÷àñòîòå w
1
ïåðâîé ãàð
-
ìîíèêè, áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî, äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî çíà
-
÷åíèé ÷àñòîò ïåðåéäåò â íåïðåðûâíî èçìåíÿþùóþñÿ ÷àñòîòó w.
Ïåðåïèñàâ ïåðâîå âûðàæåíèå (*) â âèäå
ft e Fjq
jq t
q
q
() ( )=
=-¥
=+¥
å
1
2
1
1
p
ww
w
D
è óñòðåìëÿÿ Dw ê íóëþ, ïîëó÷èì
ft e Fj d
jt
() ( ) ,=
-¥
+¥
ò
1
2p
ww
w
(**)
ò. å. ðÿä Ôóðüå ïåðåõîäèò ïðè ýòîì â èíòåãðàë Ôóðüå.Ïðèýòîì ôóíêöèÿ
F(jw) îïðåäåëèòñÿ íà îñíîâàíèè âòîðîãî âûðàæåíèÿ (*) â âèäå
Fj fte dt
jt
() () .w
w
=
-
-¥
+¥
ò
(***)
Ñîîòíîøåíèå (***) íàçûâàþò ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå,
ïîçâîëÿþùèì íàéòè ïî çàäàííîé ôóíêöèè f(t) ñîîòâåòñòâóþùóþ åé F(jw).
Ñîîòíîøåíèå (**) íàçûâàþò îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå,
äàþùèì âîçìîæíîñòü ïî èçâåñòíîé ôóíêöèè F(jw) íàéòè f(t).
Åñëè ðàññìàòðèâàòü âêëþ÷åíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â ìîìåíò t = 0 ïîä äåéñò
-
âèå ÝÄÑ å (t) = f(t), òî èìååì óñëîâèå f(t) = 0 ïðè t < 0, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì
ñëó÷àå ñîîòíîøåíèå (***) ïðèíèìàåò âèä
Fj fte dt
jt
() ()w
w
=
-
+¥
ò
0
è íàçûâàåòñÿ ïðè ýòîì îäíîñòîðîííèì ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì
Ôóðüå.
Ñëåäóåò ñäåëàòü ñóùåñòâåííóþ îãîâîðêó, ÷òî ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
èìååò ñìûñë, åñëè èíòåãðàë â åãî ëåâîé ÷àñòè èìååò îïðåäåëåííîå êîíå÷íîå çíà
-
÷åíèå. Äëÿ ýòîãî íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ f(t) óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèÿì Äè
-
ðèõëå.  äîïîëíåíèå ê íèì ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû f(t) áûëà àáñîëþòíî
èíòåãðèðóåìà â ïðåäåëàõ îò –¥ äî +¥, ò. å. ÷òîáû ñóùåñòâîâàë èíòåãðàë
ftdt() .
-¥
+¥
ò
Ýòî, êàê ïðàâèëî, îçíà÷àåò, ÷òî f(t) äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ ïðè t ®¥
è ïðè t ® –¥.
Ãëàâà 11. Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé 111
11.2. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè
Ôóíêöèÿ F(jw) = F(w) e
ja(w)
íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé èëè ÷àñòîòíîé
õàðàêòåðèñòèêîé ôóíêöèè f(t), òàê êàê îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðåðûâ
-
íûé ñïåêòð ôóíêöèè f(t).
Îáîçíà÷åíèÿ F(w)èa(w) ïîêàçûâàþò, ÷òî ìîäóëü F è àðãóìåíò a âåëè÷èíû
F(jw) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè óãëîâîé ÷àñòîòû w.
Ñîîòíîøåíèå (**) ïîêàçûâàåò, ÷òî íåïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþ
-
ùàÿ âûøåóêàçàííûì óñëîâèÿì, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ñóììà áåñêîíå÷íî
áîëüøîãî ÷èñëà ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè àìïëèòóäà
-
ìè
1
2p
F(w) dw è ñ ÷àñòîòàìè, çàíèìàþùèìè âåñü äèàïàçîí îò –¥ äî +¥.
Âåëè÷èíà F(w), õàðàêòåðèçóþùàÿ çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû îò ÷àñòîòû, íàçû
-
âàåòñÿ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Âåëè÷èíà a(w),
õàðàêòåðèçóþùàÿ çàâèñèìîñòü íà÷àëüíîé ôàçû y=p/2 + a îò ÷àñòîòû, íàçûâà
-
åòñÿ ôàçî÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé.
Òàê êàê ñïåêòðàëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
Fj
Fe d
d
j
()
()
()
w
p
ww
w
p
aw
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
1
2
2
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåëåííóþ íà j êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó ãàðìîíè÷åñêîé ñî-
ñòàâëÿþùåé, îòíåñåííóþ ê åäèíèöå èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû f =w/(2p), òî åå íàçûâà-
þò òàêæå ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ôóíêöèè f(t).
Ïðåäñòàâèì ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó â âèäå
Fj F e F jF
j
( ) () () ().
()
ww =w+w
aw
=
12
Ïðè ýòîì âåëè÷èíà F
1
(w) íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé õàðàê
-
òåðèñòèêîé, à âåëè÷èíà F
2
(w) — ìíèìîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðè
-
ñòèêîé.
Çàìå÷àÿ, ÷òî F(jw)èF(–jw) ÿâëÿþòñÿ ñîïðÿæåííûìè êîìïëåêñíûìè âåëè÷è
-
íàìè, ìîæåì íàïèñàòü äëÿ èõ ìîäóëåé è ôàç
FF() ( ); () ( ).wwawaw=- =--
Ñëåäîâàòåëüíî, F(w) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé w,àa(w) — íå÷åòíîé ôóíêöè
-
åé. Ïîýòîìó, ïðåäñòàâèâ ïîäûíòåãðàëüíóþ âåëè÷èíó â âûðàæåíèè (**) â âèäå
eFj F t jF t
jtw
w w waw w waw( ) ()cos[ ()] ()sin[ ()],=++ +
áóäåì èìåòü
eFj e F j F t
jt jtww
wwwwaw( ) ( ) ()cos[ ()],+-= +
-
2
è, ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (**) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ôîðìå
ft F t d() ()cos[ ()] ,=+
¥
ò
1
0
p
wwaww
112 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé