Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
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íàêîïëåííîé â ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè ýíåðãèåé. Âòîðàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ îò
-
ðàæàåò ïðèíóæäåííóþ ðåàêöèþ öåïè íà âîçäåéñòâèå èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ è òîêîâ.
Ïðåäñòàâëåíèå ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå â âèäå
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Ïîñêîëüêó ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
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ìå, èñêëþ÷àþùåé îïåðàöèþ èíòåãðèðîâàíèÿ.
Âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì òàêîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷åíèÿ ïðîöåäóðû ïîøàãîâîãî èí-
òåãðèðîâàíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ øèðîêîãî ñïåêòðà âîçäåéñòâóþùèõ ôóíêöèé
â âèäå òàáëèö èçîáðàæåíèé F
k
(p, t). Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïî ýòîìó
ìåòîäó ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî ðàññ÷èòàòü èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé, îïðåäåëÿþ-
ùèõ ÝÄÑ è òîêè. Èìåííî ïðåäâàðèòåëüíî ðàññ÷èòàííûå ïðè ïîìîùè ïðàâîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà èçîáðàæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé äàííîé ìåòîäèêè.
Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â êîíêðåòíîé öåïè ñëåäóåò ëèøü ñîñòàâèòü
ìàòðèöó À ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèé äàííîé öåïè è, çàìåíèâ îïåðàòîð ð
â èçîáðàæåíè F
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(p, t)íà–À, îïðåäåëèòü óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå ôóíêöèè
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. Ïðè òàêîé çàìåíå äëÿ èñêîìûõ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïðî
-
èñõîäèò ïåðåõîä îò îðäèíàðíûõ ôóíêöèé âðåìåíè ê ìàòðè÷íûì.
Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, òàêæå êàê è óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, ñëîæ
-
íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, êàê ïðàâèëî, ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ÝÂÌ ñ áîëü
-
øèì ïàêåòîì ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì, â òîì ÷èñëå è ñ ïðîãðàììàìè, îïåðèðóþ
-
ùèìè ìàòðè÷íûìè ôóíêöèÿìè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïåðåõîä îò ïîøàãîâîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ê îïåðàöèÿì ñ ìàòðè÷íû
-
ìè ôóíêöèÿìè ÿâëÿåòñÿ áîëüøèì ïðåèìóùåñòâîì. Ýòî ïðåèìóùåñòâî ñòàíîâèò
-
ñÿ ðåøàþùèì â çàäà÷àõ, ãäå öåëüþ ïîøàãîâîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (*)
ÿâëÿåòñÿ âûõîä íà óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì.
 îïèñàííîé ìåòîäèêå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ
-
íåíèé ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (à òàêæå èíûõ ñèñòåì ñ àíàëîãè÷íûìè
óðàâíåíèÿìè) âàæíîå ìåñòî, ïîìèìî îïåðàöèé ñ ôóíêöèÿìè îò ìàòðèö F
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(–À,t),
çàíèìàåò âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû
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Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 133
â òîì, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå
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ïðè ïîìîùè ðàçëîæåíèÿ
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êàê ïî ìåðå ðîñòà t íåîáõîäèìî óâåëè÷èâàòü êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ äëÿ ñîõðà
-
íåíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòà. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âàæíåéøèì òðåáîâàíèåì
îðãàíèçàöèè ïðîöåññà ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû ÿâëÿåòñÿ ñî
-
÷åòàíèå òî÷íîñòè ðàñ÷åòà ñ ýôôåêòèâíîñòüþ ïðîöåññà âû÷èñëåíèÿ.  ñëó÷àå ìàò
-
ðèöû À ñ î÷åíü ìàëûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè áîëü
-
øèì ïîñòîÿííûì âðåìåíè, ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ âðåìå
-
íè ðàñ÷åòà. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîé âðåìåííîé øàã h, ïðè êî
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êîëè÷åñòâå ñëàãàåìûõ ðÿäà. Îäíàêî òàêîé øàã èíòåãðèðîâàíèÿ â âûðàæåíèè (*)
è ïðè âû÷èñëåíèè
e
tA
ïðèâåäåò ê íåæåëàòåëüíîìó è â áîëüøèíñòâå ñëó÷àå íå
-
ïðèåìëåìîìó óäëèíåíèþ âðåìåíè ðàñ÷åòà.
Èçÿùíûé ìåòîä ðåøåíèÿ (*), óæå èñïîëüçîâàâøèéñÿ â § 9.17, ïðåäëîæèë
Þ. Â. Ðàêèòñêèé.  ÷àñòè âû÷èñëåíèÿ
e
tA
îí çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì
óäâîåíèè íà÷àëüíîãî øàãà h äî çíà÷èòåëüíî áîëüøåãî øàãà
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ðîì ðåøåíèå äîñòèãàåòñÿ çà ïðèåìëåìîå âðåìÿ. Äëÿ ýòîé öåëè èì ïðåäëîæåíû
ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíîå óâåëè÷åíèå øàãà h äî çíà-
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ðåêóððåíòíûõ ðàñ÷åòîâ, ñî-
ñòîÿùèõ èç îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå ìàòðèöû
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ëåãêî èñïîëüçîâàòü òå æå ðåêêóðåíòíûå ñîîò-
íîøåíèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âû÷èñëåíèÿ
e
tA
â æåëàåìûå ìîìåíòû âðåìåíè,
êðàòíûå H.
12.6. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè
èìïóëüñíûõ ÝÄÑ ìåòîäîì ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà
 §§ 9.10 è 12.2 ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïÿõ ñ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè èìïóëüñíûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè. Òàì æå
áûëî óêàçàíî, ÷òî òàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ôèçè÷åñêè
íåðåàëèçóåìûõ äîïóùåíèé, íàïðèìåð ìãíîâåííîãî õàðàêòåðà ïðîöåññà êîììó
-
òàöèè, ïðåíåáðåæåíèÿ èíäóêòèâíîñòÿìè è åìêîñòÿìè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ è
ó÷àñòêîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Òàêîãî ðîäà äîïóùåíèÿ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïî
-
çâîëÿþò óïðîñòèòü çàäà÷ó ðàñ÷åòà öåïåé è íåðåäêî èñïîëüçóþòñÿ íà ïðàêòèêå.
Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ðàñ÷åòà öåïåé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàëè÷èå â íèõ
áåñêîíå÷íûõ, ò. å. â êîëè÷åñòâåííîì îòíîøåíèè íåîïðåäåëåííûõ òîêîâ è íàïðÿ
-
æåíèé. Íåîïðåäåëåííîñòü àìïëèòóäûõ çíà÷åíèé èìïóëüñîâ çàñòàâëÿåò îïåðè
-
ðîâàòü ñî ñâÿçàííûìè ñ íèìè îïðåäåëåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Èìïóëüñíûå òîêè è ÝÄÑ êîëè÷åñòâåííî îäíîçíà÷íî ìîãóò áûòü õàðàêòåðè
-
çîâàíû âåëè÷èíàìè èõ ïëîùàäåé. Ïëîùàäü èìïóëüñà òîêà êîíå÷íà è ðàâíà èíòå
-
134 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
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è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî ñâÿçàííîãî ñ
ýòèì èìïóëüñîì çàðÿäà Q. Â çàìêíóòîì êîíòóðå, ñîäåðæàùåì ðåçèñòîðû è êîí
-
äåíñàòîðû, ïðîõîæäåíèå èìïóëüñà òîêà ÷åðåç êîíäåíñàòîð èçìåíÿåò åãî çàðÿä íà
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it Q()()®¥ ® =DD0
. Â çàìêíóòîì êîíòóðå, ñîñòîÿùåì èç
ðåçèñòîðîâ è èíäóêòèâíûõ êàòóøåê, èìïóëüñ ÝÄÑ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò èçìå
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íåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y êîíòóðà, ò. å. ñóììû ïîòîêîñöåïëåíèé èíäóêòèâíûõ
êàòóøåê, íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó
et()()®¥ ® =DDY0
. Ñîãëàñíî ôàðàäååâñêîé
ôîðìóëèðîâêå çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè (ñì. § 1.10)
DY = DrQ
,èì
-
ïóëüñ ÝÄÑ â çàìêíóòîì êîíòóðå ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ èìïóëüñà òîêà, çàâèñÿ
-
ùåãî îò ñîïðîòèâëåíèÿ r êîíòóðà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñ÷åò öåïåé ñ èìïóëüñíûìè
èñòî÷íèêàìè òîêà è ÝÄÑ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîùàäåé èì
-
ïóëüñíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé öåïè. Â ðåçèñòèâíûõ öåïÿõ òîêè è íàïðÿ
-
æåíèÿ âåòâåé ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïðè ïîìîùè èçâåñòíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà öåïåé
èìåÿ â âèäó, ÷òî îíè îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ èõ êîíå÷íûìè ïëîùàäÿìè.
Äëÿ ðåçèñòèâíûõ öåïåé òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè ðàâíû íóëþ âî âñåì èíòåðâà
-
ëå âðåìåíè, êðîìå èíòåðâàëîâ
Dt()® 0
âîçäåéñòâèÿ èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è òîêîâ.
 öåïÿõ ñ èíäóêòèâíûìè êàòóøêàìè è êîíäåíñàòîðàìè èìïóëüñíûå òîêè è
íàïðÿæåíèÿ ñêà÷êîîáðàçíî íà êîíå÷íóþ âåëè÷èíó ìåíÿþò òîêè èíäóêòèâíûõ
êàòóøåê è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ýòè èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò â ïåðâîé,
äëÿùåéñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè
Dt()® 0
, èìïóëüñíîé ôàçå ïðîöåññà. Ýòîò ïðîöåññ
ïðèâîäèò òàêæå ê ñêà÷êîîáðàçíîìó èçìåíåíèþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èíäóê-
òèâíûõ êàòóøåê è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðîâ. Ñïóñòÿ âðåìÿ
Dt()® 0
íàñòóïàåò âòîðàÿ ôàçà ïðîöåññà, â òå÷åíèå êîòîðîé ó÷àñòêè öåïè ñ èñòî÷íèêàìè
èìïóëüñíûõ ÝÄÑ îêàçûâàþòñÿ êàê áû êîðîòêîçàìêíóòûìè, ïîñêîëüêó íà ýòèõ
ó÷àñòêàõ ÝÄÑ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ ðàâíû íóëþ, à ó÷àñòêè
öåïè ñ èìïóëüñíûìè èñòî÷íèêàìè òîêà — ðàçîìêíóòûìè, ïîñêîëüêó òîêè â íèõ
ðàâíû íóëþ. Âî âòîðîé ôàçå èìïóëüñíûå ÝÄÑ è òîêè ðàâíû íóëþ è ïðîöåññ â
öåïè ïîääåðæèâàåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî ïîÿâèâøåéñÿ ïîñëå ïåðâîé ôàçû ýíåðãèåé
ìàãíèòíûõ ïîëåé èíäóêòèâíûõ êàòóøåê è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé êîíäåíñàòîðîâ.
Ýòà ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåò ìàòðèöó íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèé
öåïè x(0), à òàêæå ñâîáîäíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìàòðèöû x(t). Ïðè íàëè÷èè ðå
-
çèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïðîöåññ â öåïè íîñèò çàòóõàþùèé õàðàêòåð è ñâîáîäíûå
òîêè è íàïðÿæåíèÿ ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû ïî ôîðìóëå x(t) = [exp(At)]·x(0).
Ñêàçàííîå îòíîñèëîñü ê ñëó÷àþ îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Åñëè èìïóëüñû èñòî÷íè
-
êîâ ÝÄÑ è òîêîâ ïîâòîðÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî íåêîòîðîìó çàêîíó, òî òàêîé ïðî
-
öåññ ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí ïðè ïîìîùè ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.
Ðàñ÷åò ïðîöåññîâ â öåïÿõ ñ èñòî÷íèêàìè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ è òîêîâ â îáùåì
ñëó÷àå, â ñâåòå èçëîæåííîãî â § 12.5, òàêæå ñâîäèòñÿ òîëüêî ê íàõîæäåíèþ èçî
-
áðàæåíèÿ âîçäåéñòâóþùåé íà öåïü èìïóëüñíîé ôóíêöèè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà
ðàññìîòðèì ðàñ÷åò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà â öåïè r, C ïðè âîçäåéñòâèè ÝÄÑ
â âèäå çíàêîïåðåìåííûõ èìïóëüñîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà èíòåðâàë Ò/2.
Òàêàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
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¢
-
¢
- 2
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 135
ãäå f(t) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿþùàÿ ïëîùàäü èìïóëüñà, d(t) — åäèíè÷
-
íàÿ èìïóëüñíàÿ ôóíêöèÿ ñ ïëîùàäüþ ðàâíîé åäèíèöå,
¢
=-ttEt22()
,àE(t/2) —
öåëàÿ ÷àñòü àðãóìåíòà t/2.
Ïðàâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà d(t) â ïåðâîì èíòåðâàëå 0 – Ò/2 èìååò âèä
D(,) [ ( )].pt e e
pt pT
=-+
-
111
2
Âû÷èñëèì óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå â öåïè r, C,
äëÿ êîòîðîé óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä
du
C
/dt = Àu
C
+Âu(t) = –u
C
/rC+u(t)/rC.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ U(p, t) ñëåäóåò ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå, ÷òî D(p, t) ÿâëÿåòñÿ
èçîáðàæåíèåì èìïóëüñíîé ôóíêöèè ñ Ê = ÅDt = 1 (ñì. § 12.2). Äëÿ ïåðåõîäà îò
D(p, t) ê èçîáðàæåíèþ ôóíêöèè u(t) íåîáõîäèìî ëèáî çàðàíåå çàäàòü çíà÷åíèå
ïëîùàäè èìïóëüñà, ëèáî îïðåäåëèòü åe ïðè ïîìîùè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.
Ïóñòü ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñà òîêà áåñêîíå÷íîé âåëè÷èíû êîíäåíñàòîð
çàðÿæàåòñÿ äî çíà÷åíèÿ U
0
. Îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó óñëîâèþ ïëî
-
ùàäü èìïóëüñíîé ôóíêöèè f(t)d(t). Ýòà ïëîùàäü ðàâíà
UtU
xx
D ( ®¥
è
Dt ® 0
).  òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè
Dt ® 0
ïî êîíäåíñàòîðó ïðîòåêàåò òîê
Uri
x
=®¥
, ïðèâîäÿùèé ê ñêà÷êîîáðàçíîìó ðîñòó çàðÿäà êîíäåíñàòîðà íà âå-
ëè÷èíó Q. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
Ut tUrr tir
xx
DD D==
. Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî
QtiUC==D
0
ìîæíî îïðåäåëèòü ïëîùàäü èìïóëüñà
UtUrC
x
D=
0
. Òîãäà U(ð, t) =
=D(,)ptU rC
0
èëè
Upt UrCe e
pt pT
(,) [ ( )].=-+
-
0
2
111
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ
¢
ut
C
()
äîñòàòî÷íî â U(p, t) çàìåíèòü ð = –À = –(–1/rC) ==1/rC
è óìíîæèòü íà êîýôôèöèåíò 1/rC ïðè u(t). Òîãäà â èíòåðâàëå 0 < t < T/2
¢
==-+=
+
-
-
-
ut U rCtrCUe e
Ue
C
pt pT
tT
rC
() ( , ) [ ( )]1111
1
0
2
0
2
e
T
rC2
èëè
¢
=
+
-
-
ut
Ue
e
C
t
rC
T
rC
()
0
2
1
.
Âî âòîðîì ïîëóïåðèîäå
¢
ut
C
()
âñëåäñòâèå àñèììåòðè÷íîñòè ôóíêöèé d(t)è
¢
ut
C
()
èìååò ìåñòî óñëîâèå
¢
+=-
¢
utT ut
CC
()()2
, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè T/2 < t < T
¢
=
-
+
-
-
ut
Ue
e
C
tT
rC
T
rC
()
0
2
1
.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå äëÿ
¢
ut
C
()
â ïåðâîì ïîëóïåðèîäå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíî äëÿ ðàñ÷åòà ïðîöåññà ïðè âîçäåéñòâèè îäèíî÷íîãî èìïóëüñà. Äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî â âûðàæåíèå äëÿ
¢
ut
C
()
ïîäñòàâèòü
T ®¥
, è òîãäà
¢
=-ut U trC
C
() exp( ).
0
Ðåøåíèå ýòîé ïðîñòåéøåé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü è ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ
ñîîáðàæåíèé. Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè ïîëîæèòåëüíîì èìïóëüñå u(t)íà
-
ïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå
¢
ut
C
()
ñêà÷êîîáðàçíî ìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó U
0
îò íå
-
êîòîðîãî çíà÷åíèÿ –U
1
äî U
2
, à ïðè îòðèöàòåëüíîì èìïóëüñå — îò U
1
äî –U
2
.
136 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Çàòåì â ïðîöåññå ðàçðÿäà, êîãäà ÝÄÑ ðàâíà íóëþ (öåïü íà âõîäíûõ çàæèìàõ êàê
áû êîðîòêîçàìêíóòà), íàïðÿæåíèå U
2
óìåíüøàåòñÿ ïî çàêîíó
Ue
trC
2
-
äî çíà÷å
-
íèÿ
UUe
TrC
12
2
=
-
. Ïîñêîëüêó U
2
+U
1
= U
0
, òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
U
1
= (U
0
– U
1
)
e
TrC- 2
èëè
Ue U
TrC
1
2
0
1().+=
Òîãäà â èíòåðâàëå 0 < t < T/2
¢
=-+
-
ut U e e
C
TrC trC
() ( ( ))
0
2
111
èëè
¢
=
+
-
-
ut
Ue
e
C
tT
rC
T
rC
()
0
2
2
1
.
 êà÷åñòâå áîëåå ñëîæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîöåññû â öåïè ñ äâóìÿ
êîíäåíñàòîðàìè (ðèñ. 12.10). Ìàòðèöà ñîåäèíåíèé A ýòîé öåïè èìååò âèä(ñì.
§ 9.12)
EC
1
C
2
r
3
r
4
1
1–1–1
2
–1 1 1
3
1–1
Ìàòðèöà êîíòóðíûõ ñîåäèíåíèé F äëÿ äâóõ êîíòóðîâ, îáðàçîâàííûõ äâóìÿ
âåòâÿìè ñâÿçè (âåòâü 3 ñ ðåçèñòîðîì r
3
è âåòâü 4 ñ ðåçèñòîðîì r
4
), èìååò âèä
ÅC
1
C
2
3 (r
3
)–1
4 (r
4
)1 1 1
Ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì â § 9.13 ôîðìóëàì, äëÿ F
GC
ìîæíî çàïèñàòü
–1
11
Äëÿ îñòàëüíûõ ìàòðèö èìååì: F
GÅ
= | 0,1|
t
, R = diag(r
3
, r
4
), C = diag(C
1
, C
2
),
ABCA
1
44
444
1
4
4
1
1
41 41
11
111
10
10
11
1
=
+
==
-
rr
rrr
r
r
rC rC
r
,,
42
43
43 2
C
rr
rrC
+
.
Ïðîèçâåäÿ âñå ìàòðè÷íûå îïåðàöèè äëÿ íàïðÿæåíèé äâóõ íàêîïèòåëåé ýíåð
-
ãèè u
1
è u
2
, ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèé
d
dt
u
u
rC rC
rC
rr
rrC
u
u
rC
rC
1
2
41 41
42
43
43 2
1
2
41
42
11
1
10
1
=
+
+
0
1
0
u
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 137
Ðèñ. 12.10
èëè
d
dt
u
u
rC rC
rC
rr
rrC
u
u
u
u
u
1
2
41 41
42
43
43 2
1
2
1
2
11
1
=
+
=+=ABuA
1
2
41
42
1
1u
rC
rC
u+ .
 äàííîì ñëó÷àå òàêæå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíî
-
ãî óñëîâèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èçîáðàæåíèÿ U(p, t) ïî èçâåñòíîìó D(p, t). Íàëè÷èå
ïóòè äëÿ áåñêîíå÷íîãî èìïóëüñà òîêà ïî äâóì êîíäåíñàòîðàì ÷åðåç ðåçèñòîð r
4
ïðèâîäèò ê ñêà÷êîîáðàçíîìó ðîñòó èõ çàðÿäîâ íà âåëè÷èíó Q. Ïðè ýòîì ñêà÷êî
-
îáðàçíî èçìåíÿþòñÿ òàêæå íàïðÿæåíèÿ u
1
è u
2
êîíäåíñàòîðîâ.  êà÷åñòâå äîïîë
-
íèòåëüíîãî óñëîâèÿ ïðèìåì, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èìïóëüñà òîêà ñóììàðíîå
íàïðÿæåíèå ðàâíî u
2
(+0)+u
1
(+0) = U
0
. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñêà÷êè íàïðÿ
-
æåíèé Du
2
è Du
1
êîíäåíñàòîðîâ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû åìêîñòÿì êîíäåí
-
ñàòîðîâ. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ çàðÿä Q = U
0
C
ý
= U
0
/(1/C
1
+1/C
2
) = U
0
C
1
C
2
/(C
1
+C
2
).
Ñëåäîâàòåëüíî, àíàëîãè÷íî ïðèìåðó ïðîñòîé öåïè, D(p, t) ñëåäóåò óìíîæàòü
íà U
0
èíàr
4
C
ý
(ãäå C
ý
= C
1
C
2
/(C
1
+C
2
)). Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ U(ð, t) ðàâíî
U(ð, t) =D(p, t)U
0
/(1/r
4
C
1
+1/r
4
C
2
) =D(p, t)U
0
r
4
C
1
C
2
/(C
1
+C
2
).
Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïðè âîçäåéñòâèè ÝÄÑ
â ôîðìå ïåðèîäè÷åñêèõ çíàêîïåðåìåííûõ èìïóëüñîâ áóäåò èìåòü âèä
¢
=-+ +
-
uA B
AA
(,) [ ( )] ( ).te e UrCCCC
tT
111
2
04 1 2 1 2
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïëîùàäü èìïóëüñà U
0
r
4
C
1
C
2
/(C
1
+C
2
) ôîðìàëüíî
ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ìàòðèöå Â. Îíà îáðàòíà ñóììå òåõ ñòðîê Â, êîòîðûå âõîäÿò
â êîíòóð, îáðàçîâàííûé êîíäåíñàòîðàìè C
1
è C
2
.  äàííîì ñëó÷àå â êîíòóð âõî-
äÿò îáå ñòðîêè è ïëîùàäü ðàâíà U
0
/(1/r
4
C
1
+1/r
4
C
2
) = U
0
r
4
C
ý
.
Ýíåðãåòè÷åñêèå ïðîöåññû â öåïÿõ ñ èìïóëüñíûìè ÝÄÑ è òîêàìè, ñ òî÷êè çðå
-
íèÿ ýôôåêòèâíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, òðåáóþò îñîáîãî
ðàññìîòðåíèÿ. Â § 12.2 ïðè èññëåäîâàíèè ïðîöåññà çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà â öå
-
ïè rC ïîêàçàíî, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè è ÊÏÄ åå èñïîëüçîâàíèÿ âïðÿìóþ çàâèñÿò
îò ñêîðîñòè íàêà÷êè ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà. Òîëüêî ïðè áåñ
-
êîíå÷íî ìåäëåííîì ïðèðàùåíèè íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà óäàåòñÿ
âñþ ýíåðãèþ èñòî÷íèêà ïåðåâåñòè â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå êîíäåíñàòîðà. Ïðè ñêà÷
-
êîîáðàçíîì ïðèëîæåíèè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ê öåïè r, C ïîëîâèíà ýíåðãèè
èñòî÷íèêà òåðÿåòñÿ è ÊÏÄ ïðîöåññà çàðÿäêè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì 0,5.  öåïÿõ
ñ èìïóëüñíûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè, ãäå èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ
â ïðîöåññå çàðÿäêè ìîãóò áûòü òåîðåòè÷åñêè áåñêîíå÷íî áîëüøèìè, ñëåäóåò
îæèäàòü åùå áîëüøèõ ïîòåðü ýíåðãèè è åùå áîëåå íèçêèõ ÊÏÄ èñïîëüçîâàíèÿ
ýíåðãèè.
Íàïðèìåð, ÷òîáû â öåïè r, C çà î÷åíü ìàëîå âðåìÿ Dt íàïðÿæåíèå íà êîí
-
äåíñàòîðå âûðîñëî, ñêàæåì, îò íóëÿ äî âåëè÷èíû U
0
ïðè êîíå÷íîé ïîñòîÿííîé
âðåìåíè rC, íåîáõîäèìî áóäåò ïðèëîæèòü òàêîå íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì
U
õ
(1 – e
–Dt/t
) = U
0
. Ïðè óñëîâèè Dt<<t,U
õ
äîëæíî áûòü áîëüøå U
0
â 1/(1 – e
–Dt/t
)
ðàçà. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå Dt<<t è ðàçëîæèâ e
–Dt/t
â ðÿä, U
õ
ïðèáëèæåííî ìîæíî
138 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ïðåäñòàâèòü â âèäå
UU t U t
x
»-- »
00
11(( ))DDtt
. Åñëè, íàïðèìåð, t=rC = 1ìñ
è äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà Dt = 0,0001 rC,òî
UU t U
x
»»
00
10000tD
. Ïîòåðè ýíåð
-
ãèè â âèäå âûäåëÿþùåãîñÿ â ðåçèñòîðå òåïëà ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàññ÷èòàòü
ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äëÿ ðàñ÷åòà òîêà â èíòåðâàëå 0 ... Dt âîñïîëüçóåìñÿ óñëî
-
âèÿìè Dt<< t è U
õ
>>U
0
. Òîãäà äëÿ ïðèáëèæåííîé îöåíêè ñ äîñòàòî÷íîé òî÷
-
íîñòüþ ìîæíî ïîëàãàòü
iUr
x
»
, è ïîòåðè ýíåðãèè çà âðåìÿ Dt áóäóò ðàâíû
Pt tU r
x
DD=
2
. Îòíîøåíèå à ïîòåðü ýíåðãèè ê ýíåðãèè, íàêîïëåííîé â êîíäåíñà
-
òîðå, áóäåò ðàâíî
a
tU
CU t
t
t
x
==
D
D
D
D
2
0
2
2
2
22t
t
t
,
è äëÿ ñëó÷àÿ ñ
tDt » 10000
ïîëåçíàÿ ýíåðãèÿ, íàêîïëåííàÿ â êîíäåíñàòîðå, îêà
-
çûâàåòñÿ ìíîãî ìåíüøå ïîòåðü ýíåðãèè. Íèçêèå çíà÷åíèÿ ÊÏÄ öåïåé ñ èìïóëüñ
-
íûìè òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ïðè èñïîëüçîâàíèè òàêèõ öå
-
ïåé â ñèñòåìàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè, ãäå ýôôåêòèâíîñòü åå èñïîëüçîâàíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âàæíûì êðèòåðèåì âûáîðà òîãî èëè èíîãî òåõíè÷åñêîãî ðåøåíèÿ.
Ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò âîçìîæíîñòè è ñëîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ
ìåòîäà ïðàâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà äëÿ ðàñ÷åòà óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ
ïðè èìïóëüñíûõ âîçäåéñòâèÿõ. Åùå ðàç îòìåòèì ãëàâíóþ îñîáåííîñòü äàííîãî
ìåòîäà, à èìåííî ïåðåâîä îñíîâíîé ñëîæíîñòè ðàñ÷åòà öåïè íà ýòàï ïîèñêà èçî-
áðàæåíèÿ âîçäåéñòâóþùåé íà öåïü èìïóëüñíîé ôóíêöèè. Íàëè÷èå íå çàâèñÿùå-
ãî îò êîíêðåòíîé çàäà÷è èçîáðàæåíèÿ ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ðàñ÷åòó êîíêðåòíîé è
ëþáîé èíîé öåïè ïðè ïîìîùè ïðîñòîé îïåðàöèè çàìåíû îïåðàòîðà ð â èçîáðà-
æåíèè íà ìàòðèöó ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ äàííîé öåïè è óìíîæåíèè
ýòîé ìàòðè÷íîé ôóíêöèè F
k
(–À, t)íàÂ
k
.
12.7. Ðàñ÷åò öåïè ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ
ïóòåì ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé öåïè
 ðÿäå ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, íàïðèìåð ïðè ïåðåäà÷å öèôðîâûõ ñèãíàëîâ, äîñòà
-
òî÷íî îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿ èñêîìîé ðåàêöèè öåïè òîëüêî â äèñêðåòíûå ìîìåí
-
òû âðåìåíè t = 0,T,2T, …, nT.  ýòîì ñëó÷àå èíôîðìàöèÿ î ðåàêöèè öåïè âíóòðè
èíòåðâàëà ïîâòîðÿåìîñòè èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì
äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Òàêèå çàäà÷è õàðàêòåðíû
äëÿ ñîâðåìåííûõ ñèñòåì ñâÿçè, óïðàâëåíèÿ è ïåðåðàáîòêè äàííûõ, êîãäà ïåðå
-
äàâàåìàÿ èíôîðìàöèÿ ïðåäñòàâëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èìïóëüñîâ. Ïîñëå
-
äîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ïåðèîäîì T èõ ñëåäîâàíèÿ
è äëèòåëüíîñòüþ èìïóëüñà Ò
è
. Â ïðåäåëàõ âðåìåíè äåéñòâèÿ èìïóëüñà ôîðìà
è àìïëèòóäà îòäåëüíûõ èìïóëüñîâ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà.
Ðàñ÷åò öåïè ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü âû
-
ïîëíåí îïåðàòîðíûì ìåòîäîì, à òàêæå ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ. Ïðè
èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðíîãî ìåòîäà îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àþòñÿ â ïîëó
-
÷åíèè îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ. Ïðèìåíåíèå
èíòåãðàëà Äþàìåëÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷íûõ èìïóëüñîâ òàêæå ïðèâî
-
äèò ê ãðîìîçäêîé ïðîöåäóðå âû÷èñëåíèé.
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 139
Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà öåïåé ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ
áûëè ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü çíà÷å
-
íèÿ òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ â öåïè (ðåàêöèþ öåïè) â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìå
-
íè, ñîâïàäàþùèå ñ íà÷àëîì äåéñòâèÿ êàæäîãî èìïóëüñà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,
÷òî äëèòåëüíîñòü Ò
è
èìïóëüñà ìàëà â ñðàâíåíèè ñ èíòåðâàëîì âðåìåíè, êîòîðîå íå
-
îáõîäèìî àíàëèçèðóåìîé öåïè äëÿ âûõîäà íà óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïîñëåäîâà
-
òåëüíîñòü èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü îïèñàíà àíàëèòè÷åñêè ñ ïîìîùüþ åäèíè÷íîé
ôóíêöèè 1(t) èëè c èñïîëüçîâàíèåì d-ôóíêöèè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ c àìïëèòóäàìè
UUUU
n
= {,, ,}
012
K
è äëèòåëüíîñòüþ Ò
è
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùåé ñóììû:
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n
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0
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è
èìïóëüñà ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì Ò ñëåäîâàíèÿ
èìïóëüñîâ, òî ðàññìàòðèâàåìóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ
d-ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ Ò
è
® 0 è ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè
ê ïðåäåëó ïðè íåèçìåííîé ïëîùàäè
KUT
nn
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n-ãî èìïóëüñà, èìååì
{}
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0
11
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,
îòêóäà ïîëó÷èì îïèñàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ ñ ïîìîùüþ d-ôóíê-
öèè
ut K t nT
n
n
n
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n
è K
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ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè äèñêðåòíî-
ãî àðãóìåíòà
U U nT U n K K nT K n
nn
== = =() [], () []
èëè ðåøåò÷àòûå ôóíêöèè.
Êâàäðàòíûå ñêîáêè çäåñü è äàëåå ïîêàçûâàþò, ÷òî çàêëþ÷åííàÿ â íèõ ïåðåìåí
-
íàÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Ðåøåò÷àòàÿ
ôóíêöèÿ ñ çàäàííûì ïåðèîäîì T ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè âðå
-
ìåíè f(t) êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè f â ìîìåíòû
âðåìåíè 0, T,2T, ¼ .
Ìîæíî ïðîâåñòè àíàëîãèþ ìåæäó ìåòîäàìè ðàñ÷åòà öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè
íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ è ìåòîäàìè ðàñ÷åòà öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè ïîñëåäîâà
-
òåëüíîñòè èìïóëüñîâ. Ïðè ýòîì ìåòîäàì, îñíîâàííûì íà ðåøåíèè äèôôåðåíöè
-
àëüíûõ óðàâíåíèé ïðè äåéñòâèè íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ, ñîîòâåòñòâóþò ìåòîäû,
îñíîâàííûå íà ðåøåíèè ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñîâ.
Ïðåîáðàçîâàíèþ Ëàïëàñà äëÿ íåïðåðûâíûõ ñèãíàëîâ ñîîòâåòñòâóåò òàê íàçû
-
âàåìîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà èëè z-ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ äèñêðåò
-
íûõ ôóíêöèé, ðàññìàòðèâàåìîå â ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ íàñòîÿùåé ãëàâû.
Ðàññìîòðèì ìåòîäû ôîðìèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé öåïè.
Ðàññ÷èòàåì òîê â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.12.11, ïðè äåéñòâèè íà åå âõîäå
ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé U
0
, ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ Ò
è äëèòåëüíîñòüþ Ò
è
. Ñîñòàâèì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà â öåïè, êîòîðîå
äëÿ öåïè ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, óñòà
-
140 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
íàâëèâàþùåå ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèåì òîêà â íà÷àëå (n + 1)-ãî èíòåðâàëà ñî çíà
-
÷åíèåì òîêà â íà÷àëå n-ãî èíòåðâàëà.
Òîê â öåïè íà èíòåðâàëå nT £ t £ (n+1)T îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèåì
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â ïðîìåæóòêå âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü âðåìÿ
ttnT¢= -
îò ìîìåíòà íà÷àëà äåéñòâèÿ n-ãî èìïóëüñà. Ðåøåíèå â èíòåðâàëå âðåìåíè
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â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå
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Ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå (*) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå
óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ïîçâîëÿåò ðàñ
-
ñ÷èòàòü, íà÷èíàÿ ñ i[1], ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé òîêà â öåïè:
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2
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-
a
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[] [] ( )301
32
=+++
--
a
tt
, ....
Òàê êàê i[0]=0, òî ïîëó÷àåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãåîìåò
-
ðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ
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-
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(**)
Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 141
Ðèñ. 12.11
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå äëÿ òîêà i[n] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåøåíèÿ ðàçíîñò
-
íîãî óðàâíåíèÿ (*). Ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ i[n] èçîáðàæåíà íà ðèñ. 12.12 óòîëùåí
-
íûìè âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè.
Àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
èìïóëüñîâ ìîæíî ïîëó÷àòü òàêæå è äðóãèì ñïîñîáîì, ñõîæèì ñî ñïîñîáîì ïîëó
-
÷åíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèå ëèíåéíîãî ðàçíîñòíî
-
ãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
in i n i n[] [] []=
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,
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îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ
in in[][]+- =10a
. Êàê è äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îäíîðîäíîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåò-
ñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
la-=0
. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ðàçíî-
ñòíîãî óðàâíåíèÿ (*) èìååò âèä:
in i n Ce
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[] []=
¢
+
-
t
.
Îáå ñîñòàâëÿþùèå ðåøåíèÿ äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ ïðè
t = 0
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. Ïðè
t ®¥
¢
+®
¢
in in[] []1
, ïîýòîìó
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t ®¥
â ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (*) ìîæíî ïîäñòàâèòü
¢
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¢
in in[][]1
è îïðå
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¢
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-
in q e
T
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t
. Êîýôôèöèåíò Ñ îïðåäåëèì èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé
iinC[] []00==
¢
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.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì:
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t
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ç
ö
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÷
.
÷òî ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì ðàíåå ðåøåíèåì (**).
Ðàññ÷èòàåì äàëåå çíà÷åíèå òîêà â öåïè íà âñåì èíòåðâàëå ïîâòîðÿåìîñòè
èìïóëüñîâ, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ i[n]. Ïîñêîëüêó íà èíòåðâàëå
äåéñòâèÿ èìïóëüñà ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî, òî äëÿ nT £ t £ nT + Ò
è
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£ t £ (n+1)Ò ìîæíî çàïèñàòü:
it inT T e
tnTT
() ( )=+
-
--
è
è
t
.
142 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðèñ. 12.12