Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Çàâèñèìîñòü èçìåíåíèÿ òîêà â öåïè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 12.12 ñïëîøíîé ëè

íèåé.

Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ðåàêöèè öåïè íà äåéñòâèå ïîñëåäîâà

òåëüíîñòè èìïóëüñîâ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí è äëÿ ïðîèçâîëüíîé öåïè ñ îäíèì

ðåàêòèâíûì ýëåìåíòîì. Ïîëó÷èì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïðîöåñ

ñû â öåïè ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðè äåéñòâèè íà âõîäå öåïè ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâà

òåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ

xnUn

âõ

[] []=

äëèòåëüíîñòüþ Ò

Çíà÷åíèå èñêîìîé âåëè÷èíû

âûõ

[]+ 1

ìîæíî îïðåäåëèòü ìåòîäîì íàëîæå

íèÿ êàê ðåçóëüòàò äâóõ ïðîöåññîâ. Ïåðâûé èç íèõ — ýòî ïðîöåññ èçìåíåíèÿ âû

õîäíîé âåëè÷èíû íà n-ì èíòåðâàëå, îïðåäåëÿåìûé ýíåðãèåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî

ïîëÿ, íàêîïëåííîé ê íà÷àëó n-ãî èíòåðâàëà â ðåàêòèâíîì ýëåìåíòå öåïè, âòî

ðîé — ýòî ïðîöåññ, âûçâàííûé äåéñòâèåì âõîäíîãî èìïóëüñà. Êîãäà äåéñòâóþ

ùèé âõîäíîé èìïóëüñ ðàâåí íóëþ è èìååò ìåñòî òîëüêî ïåðâûé ïðîöåññ, òî òîêè

è íàïðÿæåíèÿ èçìåíÿþòñÿ ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó è çà âðåìÿ Ò âûõîäíàÿ

âåëè÷èíà óìåíüøèòñÿ äî çíà÷åíèÿ

xne

âûõ

[]

-t

. Çíà÷åíèå âûõîäíîé âåëè÷èíû,

îïðåäåëÿåìîå òîëüêî äåéñòâèåì âõîäíîãî èìïóëüñà (âòîðîé ïðîöåññ), ê êîíöó

èíòåðâàëà áóäåò ðàâíî

x n hT hT T

âõ è

[](( ) ( ))--

ïðè

h()00=

. Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï

íàëîæåíèÿ, ïîëó÷èì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðè äåéñòâèè ïðÿ-

ìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ:

xn xne xnhThTT axn

âûõ âûõ âõ è âûõ

[ ] [] [](( ) ( )) [+= + - - =

][]+ bx n

âõ

Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàïðÿæåíèå u(t) íà âõîäå

öåïè ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè d-èìïóëüñîâ. Ïðè äåéñòâèè èì-

ïóëüñíîãî ñèãíàëà K[n] = K(nT) òîê íà âõîäå öåïè ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå K[n]

Y ()0

ãäå

Y ()0

— çíà÷åíèå èìïóëüñíîé ïðîâîäèìîñòè öåïè ïðè t = 0. Òîãäà ðàçíîñòíîå

óðàâíåíèå öåïè èìååò âèä:

in in KnY e

[]{[][]()}+= + ¢

Ïðè K[n] = K = const åãî ðåøåíèå ìîæíî íàéòè ðàññìîòðåííûì ñïîñîáîì:

in i e KY e

nT T

[] () ()=+

Äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L èìååì

eY L

() ( ), ( ) .=-

101

Â ðåçóëüòàòå ðåøåíèå äëÿ òîêà öåïè èìååò âèä

[] ( )=

Ñðàâíèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå äëÿ òîêà ñ âûðàæåíèåì (**), ïîëó÷åííûì ïðè

äåéñòâèè â öåïè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè. Ðàçëî

æèì ýêñïîíåíòó

, âõîäÿùóþ â ðåøåíèå (**), â ðÿä Òåéëîðà ïðè Ò

> 0 è óäåð

æèì â ðàçëîæåíèè òîëüêî äâà ïåðâûõ ÷ëåíà ðÿäà:

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 143

TTr

èè

»+ =+11

Ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèå ýêñïîíåíòû â âûðàæåíèå (**) è ïðîâîäÿ íåñëîæíûå

ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ âõîäíîãî òîêà, ïîëó÷åí

íûå ïðè äåéñòâèè íà âõîäå öåïè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè d-èìïóëüñîâ è èìïóëüñîâ

êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè ñîâïàäàþò ïðè Ò

® 0.

Ïðèìåíèì èçëîæåííûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ê öåïè ñ

ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ïóñòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â íå

êîòîðîé öåïè îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïîðÿäêà k. Ïîëó÷èì

óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå âåêòîð ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ öåïè â íà÷àëå n-ãî èí

òåðâàëà ñ åãî çíà÷åíèåì â íà÷àëå (n + 1)-ãî èíòåðâàëà:

X[n] = || X

[n],X

[n],…,X

[n]||

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè

x = A

x + B

v, çàïèñàííîãî â ìàòðè÷íîé

ôîðìå (ñì. § 9.2) íà èíòåðâàëå nT £ t £ (n+1)T, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íåîáõîäè-

ìîå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè âåêòîðà ïåðå-

ìåííûõ ñîñòîÿíèÿ:

X[n+1] = exp(A

T )X [n] + exp(–A

(n+1)T )

exp( () ()

()

ABvttt

ãäå v(t) — âåêòîð èñòî÷íèêîâ, äåéñòâóþùèõ íà n-ì âðåìåííîì èíòåðâàëå. Ïîñëå

÷èñëåííîãî èëè àíàëèòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà âî âòîðîì ñëàãàåìîì åãî

ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê íåêîòîðóþ ðåøåò÷àòóþ ôóíêöèþ BV[n], ãäå B – ìàòðèöà

ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó äèñ-

êðåòíûìè çíà÷åíèÿìè âåêòîðà ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïðèìåò âèä

X[n+1] = AX[n] + BV[n],

ãäå A = exp(A

T ) — ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, íàçûâàåìàÿ ïå

ðåõîäíîé ìàòðèöåé, èãðàåò òó æå ðîëü â àíàëèçå öåïåé ïðè äåéñòâèè äèñêðåòíûõ

ñèãíàëîâ, ÷òî è ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà exp(At), ââåäåííàÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñèã

íàëîâ. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè X[0] ìîæíî íàéòè, ïî

ñëåäîâàòåëüíî ðàññ÷èòûâàÿ âåëè÷èíû X[1], X[2], X[3], …, X[n+1]:

X[1] = AX[0] + BV[0],

X[2] = AX[1] + BV[1] = AX[0] + ABV[0] + BV[1],èò.ä.

Ñèñòåìà ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé äëÿ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé âåêòîðà ïåðåìåí

íûõ ñîñòîÿíèÿ X[n] = || X

[n],X

[n], …, X

[n]||

ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îäíîìó ðàç

íîñòíîìó óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà k îòíîñèòåëüíî ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè ëþáîé èç ïå

ðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ X

[n], i = 1, 2, ¼ k. Ïóñòü òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå âûïîëíåíî

äëÿ íåêîòîðîé ïåðåìåííîé, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç X[n]. Ðåøåíèå ðàçíîñòíî

ãî óðàâíåíèÿ ïîðÿäêà k

aXnk aXnk aXn fn

[ ] [ ] ... [] []++ +-++ =

-10

144 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ìîæåì èñêàòü ïî àíàëîãèè ñ ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäñòà

âèâ åãî â âèäå ñóììû

Xn X n X n[] [] []=

¢¢

÷àñòíîãî ðåøåíèÿ

Xn[]

ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ è îáùåãî ðåøåíèÿ

¢¢

Xn[]

îäíîðîä

íîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî èç èñõîäíîãî ïðè f[n] = 0. Îáùåå ðå

øåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå

¢¢

Xn C

[] l

, ãäå

— êîðíè õàðàêòåðè

ñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

aa a

ll+++=

0...

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííûõ C

, C

, …, C

èñïîëüçóþò âåëè÷èíû X[n] ïðè n = 0,

1, 2, …, n – 1. Ñîñòàâëÿþùàÿ

Xn¢[]

ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ f [n]

óðàâíåíèÿ; â ÷àñòíîñòè, ïðè f [n] = const âåëè÷èíó

X¢

[n] ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ

X[n] ® 0 ïðè

n ®¥

. Ðàññìîòðåííûé ïóòü ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî

ïðîöåññà ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ àíàëîãè÷åí

êëàññè÷åñêîìó ìåòîäó ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, èçëîæåííîìó â ãëàâå 9.

Áîëåå ýôôåêòèâíûì â ðÿäå çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ äðóãîé ìåòîä, íàçûâàåìûé ìåòî

äîì äèñêðåòíîãî, èëè z-ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûé èçëîæåí â ñëåäóþùèõ ïàðà-

ãðàôàõ.

12.8. Ìåòîä z-ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ìåòîä ðàñ÷åòà ðåàêöèè öåïè ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ,

îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè z-ïðåîáðàçîâàíèÿ, âî ìíîãîì àíàëîãè÷åí îïåðà-

òîðíîìó ìåòîäó. Îí ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü ïåðåõîä îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èì-

ïóëüñîâ ê èõ èçîáðàæåíèÿì, ïðåîáðàçîâàòü ðàçíîñòíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òî-

êàìè è íàïðÿæåíèÿìè íà ýëåìåíòàõ öåïè ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì, ðåøèòü

çàäà÷ó äëÿ z-èçîáðàæåíèé è çàòåì íàéòè îðèãèíàë â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

èìïóëüñîâ èñêîìîé ïåðåìåííîé.

Ïðåîáðàçîâàíèå, îïðåäåëÿþùåå ñîîòâåòñòâèå ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè f [n]èåå

z-èçîáðàæåíèÿ F (z), ìîæíî íàéòè, âû÷èñëÿÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè

f(t) =

f[n]d(t–nT), êîòîðàÿ îïèñûâàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìïóëüñîâ èíòåí

ñèâíîñòüþ (ïëîùàäüþ) f [n]. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå èìïóëüñ

íîé ôóíêöèè d(t–nT) ðàâíî

pnT-

(ñì. § 10.2), ïîëó÷àåì

Fp fne

pnT

() []=

. Îáî

çíà÷èâ

, ïðèõîäèì ê îäíîñòîðîííåìó ïðÿìîìó z-ïðåîáðàçîâàíèþ ðåøåò

÷àòîé ôóíêöèè f [n]:

Fz fzz

() []=

Ôóíêöèþ F(z) íàçûâàþò z-èçîáðàæåíèåì ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè f [n], ÷òî

óñëîâíî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

fn Fz[] ()Þ

. Ðÿä F(z) ñõîäèòñÿ, åñëè | f [n] | âîç

ðàñòàåò íå áûñòðåå, ÷åì ýêñïîíåíòà A

äëÿ âñåõ z, ëåæàùèõ âíå îêðóæíîñòè ðà

äèóñîì

íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äèñêðåòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

èìïóëüñîâ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ óäîâëåòâîðÿþò ýòèì

óñëîâèÿì.

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 145

Íàéäåì z-èçîáðàæåíèÿ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå ðåøåò÷àòûõ ôóíê

öèé.

Z-èçîáðàæåíèå ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè f [n] = A·1[n], êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò

ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ f(t) = A·1(t), èìååò âèä

Fz A n z A z z

() [] ( )=××=+++=

---

Äëÿ ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè

d[]

z-èçîáðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì 1,

ïîñêîëüêó â ñóììå F (z) â ýòîì ñëó÷àå òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå, ñîîòâåòñòâóþùåå

n = 0, îòëè÷íî îò íóëÿ.

Èçîáðàæåíèå ôóíêöèè

fn e

[]=

ðàâíî

eezez

nT nT n

aa a

Þ= =

åå

()

Íàéäåì z-èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé f[n+1] è f[n–1]. Ñ÷èòàÿ, ÷òî z-èçîáðàæå-

íèå ôóíêöèè f [n] èçâåñòíî è ðàâíî F (z), äëÿ z-èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèè f [n+1]

ïîëó÷èì:

fn fn z z fn z

[] [] []

()

+Þ + = + =

åå

11 1

= +-=-

z f n z zf zf zF z zf

[] () () () ().00 0

Àíàëîãè÷íî äëÿ z-èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèè f [n–1], ó÷èòûâàÿ ÷òî f [n] = 0 ïðè

n < 0, ïîëó÷èì:

fn fn z z fn z z Fz

[] [] [] ().

()

-Þ - = - =

11 1

Îáîáùåíèåì ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé ÿâëÿþòñÿ z-èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé

f [n+k]èf [n–k]:

fn k zFz fnz fn k z Fz

kkn

[] () [],[] ()+Þ - -Þ

Ðàññ÷èòàåì òàêæå èçîáðàæåíèå ðàçíîñòè

Dfn fn fn[] [ ] []=+-1

. Â ðåçóëüòàòå

ïîäñòàíîâêè f [n+1] è f [n] ïîëó÷èì

Dfn zFz f Fz z Fz zf[] ( () []) () ( ) () [].=--=--010

Èçîáðàæåíèÿ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ ôóíêöèé ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé

òàáëèöå.

Îðèãèíàë: ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

Èçîáðàæåíèå: z-ïðåîáðàçîâàíèå

fn n[], ,,,= 012K

Fz fnz

() [ ]=

An× 1[ ]

z - 1

146 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Îðèãèíàë: ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

Èçîáðàæåíèå: z-ïðåîáðàçîâàíèå

nTa

z()- 1

nTe

nTa

()-

enT

nTa

wsin( )

zÒ

ez z Ò e

sin( )

cos( )

aa2

2-+

1[ ]nN-

N-+

()1

fn[]+ 1 zF z zf() [ ]- 0

fn k[]+

zFz fnz

kkn

() [ ]-

fn k[]- zFz

()

Ðàññìîòðèì ñâÿçü ìåæäó z-èçîáðàæåíèåì F (z) ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè f [n]è

îïåðàòîðíûì èçîáðàæåíèåì F ( p) ñîîòâåòñòâóþùåé åé ôóíêöèè f(t).

Îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå

()

ôóíêöèè f(t ) ïðè ïðîñòûõ êîðíÿõ ïî-

ëèíîìà H(p) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (ñì. § 10.5)

Hp pp

()

¢-

åå

, ãäå

()

Òîãäà z-èçîáðàæåíèå F(z) ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè f [n] èìååò âèä

Fz A

()=

Äåéñòâèòåëüíî, îðèãèíàëîì ôóíêöèè

Fp A

()=

ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

ft Ae

()=

, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

fn Ae

pnT

[]=

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

pnT

, ïîëó÷èì ïðèâåäåííîå âûøå z-èçîáðàæåíèå.

Âûïîëíåíèå îáðàòíîãî z-ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò. å. íàõîæäåíèå ðåøåò÷àòîé ôóíê

öèè f [n]ïîååz-èçîáðàæåíèþ, ñâÿçàíî ñ âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà

Fzz dz

[] ()=

ãäå Ñ — çàìêíóòûé êîíòóð, îõâàòûâàþùèé âñå îñîáûå òî÷êè ôóíêöèè

Fzz

()

-1

Èì ìîæåò áûòü, â ÷àñòíîñòè, êðóã ðàäèóñîì

< .

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 147

Åñëè ôóíêöèÿ F(z) èìååò îñîáûå òî÷êè òîëüêî â âèäå ïîëþñîâ, òî îáðàòíîå

z-ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î âû÷åòàõ

fn Fz z

[] [ ( ) ],=

rez

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ïîëþñàì k ôóíêöèè

Fz z

()

-1

Åñëè

()

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ äðîáü è âñå ïîëþñû ïðî

ñòûå è îòëè÷íû îò íóëÿ, òî

[]

()

ãäå z

— êîðíè çíàìåíàòåëÿ H(z), à

=H z dH dz()

Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå îáðàòíîãî z-ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì òåî

ðåìû ðàçëîæåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.

Ðåøåò÷àòóþ ôóíêöèþ f [n] ìîæíî íàéòè òàêæå ïî åå z-èçîáðàæåíèþ ïóòåì

ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ F (z) è ïðåäñòàâëåíèÿ åãî â âèäå ñóììû íåñêîëüêèõ

ñëàãàåìûõ, èçîáðàæåíèÿ êîòîðûõ ïðèâåäåíû âûøå â òàáëèöå.

12.9. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ìåòîäîì z-ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ìåòîä z-ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíèòü ê ðåøåíèþ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ

öåïè. Â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷åíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòî÷-

íûì ýòàïîì ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ìîæíî òàêæå ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öå-

ïè ìåòîäîì z-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî ñõåìå öåïè, ìèíóÿ ýòàï ñîñòàâëåíèÿ ðàçíîñò-

íîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì äàëåå îáà ýòèõ ïîäõîäà ê ðàñ÷åòó ýëåêòðè÷åñêèõ

öåïåé.

Äîïóñòèì, ÷òî ïðîöåññ â öåïè îïèñûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî

ïîðÿäêà âèäà

xn axnbxn

âûõ

[ ] [] []+= +1

âûõ âõ

, òîãäà z-ïðåîáðàçîâàíèå âõîäÿùèõ

â íåãî ôóíêöèé ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ

zX z zx aX z bX z

âûõ âûõ âûõ âõ

()– () () ()0 =+

èç êîòîðîãî ïðè

âûõ

()00=

íàõîäèì:

XzXzbza

âûõ âõ

() () ( )=-

. Çàòåì, âûïîëíÿÿ

îáðàòíîå z-ïðåîáðàçîâàíèå, ìîæåì îïðåäåëèòü

âûõ

[]

Ïðèìåíèì äàííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ ê ðàñ÷åòó ïðîöåññà â öåïè r, L ïðè äåéñò

âèè íà åå âõîäå ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ

íàïðÿæåíèÿ. Äëÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè, ïîëó÷åííîãî

â § 12.8,

in e in

een

[] [] , ,,,+= + -

---

11012

ttt

èìååì

xninxnU n

âûõ âõ

[] [], [] []==×

Â ðåçóëüòàòå ìîæíî çàïèñàòü ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà i[n] â öåïè

â âèäå

i[n+1] = ai[n]+bU

×1[n], ãäå

ae b

== -

---

ttt

148 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ïåðåéäåì îò ïîëó÷åííîãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ, ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî

z-èçîáðàæåíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èçîáðàæåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëü

íûõ èìïóëüñîâ U

×1[n] èìååò âèä

, íàõîäèì z-èçîáðàæåíèå òîêà â öåïè

zze

()

()( )

Çàïèñûâàÿ ýòî âûðàæåíèå â âèäå

()=-

è ïîëüçóÿñü òàáëèöåé ñîîòâåòñòâèÿ ðåøåò÷àòûõ ôóíêöèé èõ z-èçîáðàæåíèÿì

(ñì. § 12.8), ïîëó÷àåì èñêîìîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà

[]=-

ñîâïàäàþùåå ñ íàéäåííûì â § 12.8.

Ðàññìîòðåííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí è ê ðàçíîñòíîìó óðàâ-

íåíèþ ïîðÿäêà k. Ïóñòü ïðîöåññ â öåïè îïèñûâàåòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì

k-ãî ïîðÿäêà âèäà

ax nk ax nk ax n x n

kkâûõ âûõ âûõ âõ

[] [ ]... [] []++ +-++ =

-10

, ñâÿçû-

âàþùèì âõîäíóþ

âõ

[]

è âûõîäíûå

xnxn xnk

âûõ âûõ âûõ

[ ], [ ], ..., [ ]++1

âåëè÷èíû,

òîãäà, ïåðåõîäÿ ê z-èçîáðàæåíèÿì åãî îáåèõ ÷àñòåé, ïîëó÷àåì ïîñëå ïðîñòûõ ïðå-

îáðàçîâàíèé âûðàæåíèå

az a z a

az a

âûõ

âõ âûõ

()

...

()

+++

...

ãäå ôóíêöèÿ

Xzx azaz az

âûõ âûõ01

0( ) [ ]( ... )=+++

xazaz az xkaz

kâûõ

[ ]( ... ) ... [ ]11

+++++-

âûõ

îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè

xx xk

âûõ âûõ âûõ

[ ], [ ], ..., [ ]01 1-

âûõîäíîé âå

ëè÷èíû. Çàòåì, âûïîëíÿÿ îáðàòíîå z-ïðåîáðàçîâàíèå, ìîæåì îïðåäåëèòü

âûõ

[]

Ìåòîä z-ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ýëåê

òðè÷åñêîé öåïè è áåç èñïîëüçîâàíèÿ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé.

Ïóñòü íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðÿìî

óãîëüíûõ èìïóëüñîâ

xnT

âõ

()

ñ ïåðèîäîì T è äëèòåëüíîñòüþ T

. Âûïîëíÿÿ z-ïðå

îáðàçîâàíèå ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè

xn xnT

âõ âõ

[] ( )=

, ìîæåì ïîëó÷èòü ôóíêöèþ

âõ

()

è äàëåå èç ñîîòíîøåíèÿ

XnHzXz

âûõ è âõ

[] () ()=

íàéòè z-èçîáðàæåíèå èñêî

ìîé âåëè÷èíû

âûõ

[]

Âõîäÿùàÿ â ýòî ñîîòíîøåíèå ôóíêöèÿ

()

ïðåäñòàâëÿåò z-èçîáðàæåíèå ðå

àêöèè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íà äåéñòâèå ñèãíàëà, z-èçîáðàæåíèå êîòîðîãî ðàâíî

åäèíèöå:

Hz X z X z

èâûõ âõ

() () () .==ïðè 1

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 149

Ñèãíàëîì, z-èçîáðàæåíèå êîòîðîãî ðàâíî åäèíèöå, ÿâëÿåòñÿ îäèíî÷íûé èì

ïóëüñ ñ èíòåíñèâíîñòüþ, ðàâíîé 1, ïðèëîæåííûé ê öåïè ïðè t = 0. Äåéñòâèòåëü

íî, îäèíî÷íûé èìïóëüñ åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè, ïðèëîæåííûé ê öåïè â ìî

ìåíò âðåìåíè t = 0, îïèñûâàåòñÿ ðåøåò÷àòîé ôóíêöèåé

xxn

âõ âõ

[] []01 0==è

ïðè

n = 12,,K

. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ïðÿìîãî z-ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååì

Xz xnz x

âõ âõ âõ

() [] []===

Ðåàêöèÿ öåïè

()

íà îäèíî÷íûé èìïóëüñ åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè îïðåäå

ëÿåòñÿ êàê ðàçíîñòü ïåðåõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê:

ht ht htT

èè

() () ( )=--

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà èñêîìîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ òîê íà âõîäå öåïè, èìå

åì

h t Yt Yt T

èè

() () ( )=--

. Ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

[]

ñîîòâåòñòâóåò ðåàêöèè öåïè

()

è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè

hn hnT

èè

[] ( )=

â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè nT, n = 1, 2, ¼ . Ôóíêöèÿ

()

ÿâ

ëÿåòñÿ z-èçîáðàæåíèåì ðåøåò÷àòîé ôóíêöèè

[]

, òàêèì îáðàçîì, èìååì

Hz hnz

èè

[]()=

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

èè

[] ()000==

, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîå ñëàãàåìîå ñóììû

ðàâíî íóëþ, ñóììèðîâàíèå ìîæíî íà÷àòü ñ

n = 1

, òîãäà

Hz hnz

èè

[]()=

Ïîëó÷èì ðàññìîòðåííûì ñïîñîáîì z-èçîáðàæåíèå òîêà I(z) â öåïè ïðè äåéñò

âèè íà åå âõîäå ïåðèîäè÷åñêèõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ äëèòåëüíîñòüþ

èïî

ñòîÿííîé àìïëèòóäîé

(ñì. ðèñ. 12.11). Ðåàêöèÿ öåïè

()

íà îäèíî÷íûé èì

ïóëüñ åäèíè÷íîé èíòåíñèâíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

h t Yt Yt T

èè

() () ( )=--=-

òîãäà

[]=-

, à ñîîòâåòñòâóþùåå z-èçîáðàæåíèå èìååò âèä

Hz hnz

eez

èè

() []==-

åå

eez

èè

150 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ

()

, ïîëó÷àåì z-èçîáðàæåíèå èñêîìîãî òîêà

I(z) = H

(z)U

âõ

(z)

zze

()( )

êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì â íà÷àëå ïàðàãðàôà.

Ðàññ÷èòàåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåøåò÷àòóþ ôóíêöèþ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

, òîãäà

zze

()

()( )

()

Òàê êàê êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ ðàâíû

,òî

()

-t

()

Â ðåçóëüòàòå èìååì

[] ( )=

-= -

T t

÷òî òàêæå ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå ðåøåíèåì.

12.10. Î ñëó÷àéíûõ ïðîöåññàõ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

Íåðåäêî ïðîöåññû â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ íîñÿò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, ò. å. ñëó-

÷àéíûé õàðàêòåð èìåþò ìãíîâåííûå ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ. Òàêèå ÝÄÑ, òîêè

è íàïðÿæåíèÿ íå ìîãóò áûòü îïèñàíû ïðè ïîìîùè ðàññìîòðåííûõ ðàíåå îïðåäå

ëåííûõ ôóíêöèé. Ýòè ìãíîâåííûå ÝÄÑ, òîêè è íàïðÿæåíèÿ â òîò èëè èíîé ìî

ìåíò âðåìåíè ìîæíî îïðåäåëèòü ëèøü ñ òîé èëè èíîé âåðîÿòíîñòüþ. Íàïðèìåð,

ïðè ïåðåäà÷å ïî ïðîâîäàì òåëåãðàôíûõ èìïóëüñîâ èëè êîëåáàíèé, ìîäóëÿöèÿ

êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ ðå÷è èëè èçîáðàæåíèé, íàïåðåä

íå èçâåñòíû íè çíà÷åíèå, íè äëèòåëüíîñòü ýòèõ èìïóëüñîâ, íè àìïëèòóäà è ôàçà

ìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé. Òî÷íî òàê æå òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïðè ïåðåõîäíûõ

ïðîöåññàõ, âîçíèêàþùèå â ýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïðè íàëè÷èè ìíîãî÷èñëåí

íûõ ïðèåìíèêîâ, âêëþ÷åíèÿ è îòêëþ÷åíèÿ êîòîðûõ âîçìîæíû â ëþáûå ìîìåí

òû âðåìåíè, íå ìîãóò áûòü íàïåðåä îïðåäåëåííî óêàçàíû âñëåäñòâèå íåâîçìîæ

íîñòè îäíîçíà÷íîãî ïðåäñêàçàíèÿ î÷åðåäíîñòè ýòèõ êîììóòàöèé.

Ïðè íàëè÷èè óñèëèòåëåé ñ î÷åíü áîëüøèìè êîýôôèöèåíòàìè óñèëåíèÿ íå

îáõîäèìî ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå òàê íàçûâàåìûé òåïëîâîé øóì ñîïðîòèâ

ëåíèé öåïè è äðîáîâîé ýôôåêò â ëàìïàõ. Â ïðîâîäíèêàõ ýëåêòðîíû íàõîäÿòñÿ

â òåïëîâîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè. Ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî

íà ôîíå îáùåãî õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ îïðåäåëåííîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â òîò

èëè èíîé ìîìåíò âðåìåíè áóäåò èìåòü íàïðàâëåííîå â îäíó ñòîðîíó äâèæåíèå,

êîòîðîå, äåéñòâóÿ êàê òîê íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì, ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ

ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà êîíöàõ ýòîãî ó÷àñòêà. Çíà÷åíèå ýòîãî íàïðÿæåíèÿ

Ãëàâà 12. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè âîçäåéñòâèè èìïóëüñíûõ ÝÄÑ 151

è åãî çíàê ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. ×àñòîòíûé ñïåêòð ýòîãî òåïëîâîãî

øóìà âñëåäñòâèå ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîãî ÷èñëà ýëåêòðîíîâ è èõ õàîòè÷åñêîãî

äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì äî âåñüìà âûñîêèõ ÷àñòîò.

Ýëåêòðîííûé òîê â ëàìïàõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæåíèå îòäåëüíûõ ýëåêòðî

íîâ, èñïóñêàåìûõ êàòîäîì è äîõîäÿùèõ äî àíîäà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñðåäíèé

àíîäíûé òîê ìîæåò áûòü âåëè÷èíîé ïîñòîÿííîé â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îäíî

âðåìåííî äîñòèãøèõ àíîäà ýëåêòðîíîâ, àíîäíûé òîê áóäåò ìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè.

Ïðè÷åì ýòè èçìåíåíèÿ áóäóò íîñèòü ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ýòîò ýôôåêò íîñèò

íàçâàíèå äðîáîâîãî ýôôåêòà.

Âî âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ è àíàëîãè÷íûõ èì ñëó÷àÿõ ìîæíî ãîâîðèòü ëèøü

î âåðîÿòíîñòè òîãî èëè èíîãî ïðîöåññà, òîãî èëè èíîãî çíà÷åíèÿ ÝÄÑ, òîêà è íà

ïðÿæåíèÿ.

Ðàñ÷åò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñâÿçàí ñ ïðîáëåìîé îïðå

äåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê èñòî÷íèêîâ âîçìóùåíèé â öåïè, íàïðè

ìåð äåéñòâóþùèõ â öåïè ÝÄÑ èëè èçìåíåíèé ïàðàìåòðîâ öåïè, è ñ ïðîáëåìîé

îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê òîêîâ è íàïðÿæåíèé, âîçíèêàþùèõ

â öåïè ïîä âîçäåéñòâèåì ýòèõ âîçìóùåíèé.

Ïåðâàÿ ïðîáëåìà ðåøàåòñÿ ïðè ïîìîùè ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ

èñòî÷íèêîâ âîçìóùåíèé, ò. å. ïóòåì ñáîðà è îáðàáîòêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòè-

ñòè÷åñêèõ äàííûõ.

Äëÿ îòûñêàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé

ñóùåñòâóåò ðÿä ðàçðàáîòàííûõ ìåòîäîâ. Ðàññìîòðåíèå ýòèõ ìåòîäîâ ïðåäñòàâëÿ-

åò ñîáîé ñïåöèàëüíóþ çàäà÷ó. Îòìåòèì çäåñü òîëüêî, ÷òî ïðè ýòîì ìîæåò áûòü

èñïîëüçîâàí ðÿä èçâåñòíûõ íàì ïîíÿòèé, íàïðèìåð ïîíÿòèÿ îá èìïóëüñíîé ïå-

ðåõîäíîé ôóíêöèè, î êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, î ñðåäíåì êâàäðàòè-

÷åñêîì çíà÷åíèè ôóíêöèè è ò. ä. Îòäåëüíûå ïîíÿòèÿ âèäîèçìåíÿþòñÿ â ñîîòâåò-

ñòâèè ñî ñïåöèôèêîé çàäà÷è.

Âåðîÿòíîñòíûå è ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû èìåþò ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå âî ìíî

ãèõ îáëàñòÿõ ýëåêòðîòåõíèêè, â ÷àñòíîñòè â îáëàñòè ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ, â îáëà

ñòè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ è ò. ä.

152 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé