Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

9.1. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ. Ìåòîä

ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Êàêîé ðåæèì â ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ?

2. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæåò âîçíèêàòü ñâîáîäíûé òîê?

3. (Î) Êàêèì îáðàçîì ïî âèäó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìîæíî îïðåäåëèòü ïîðÿäîê

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ?

4. (Î) Âõîäÿùàÿ â ïðàâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ òîêà i

(t)

íåêîòîðîé âåòâè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ôóíêöèÿ f

(t): à) ïîñòîÿííà f

(t) = A; á)ÿâ

ëÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèåé âðåìåíè f

sin (wt + y

). Êàê ðàññ÷èòàòü âåëè

÷èíó

()

5. (Î) Çàâèñèò ëè ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïå

ðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè, îò âûáîðà ìåòîäà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ñîñòàâëÿåòñÿ

ñèñòåìà óðàâíåíèé (ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è äð.)?

6. Ïî÷åìó èìåííî òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ êîíäåíñàòîðîâ

îïðåäåëÿþò ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè?

7. Ïî÷åìó íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêè êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè îñòàþò-

ñÿ íåèçìåííûìè â ìîìåíò êîììóòàöèè?

8. Ìîãóò ëè â ìîìåíò êîììóòàöèè â ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ èñòî÷íèêà-

ìè ýíåðãèè êîíå÷íîé ìîùíîñòè áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøèìè: à) òîêè êàòóøåê

èíäóêòèâíîñòè; á) íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðàõ; â) íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ;

ã) íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè; ä) òîêè êîíäåíñàòîðîâ; å) òîêè ðåçè-

ñòîðîâ?

9. (Î) Ìîæåò ëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöè

àëüíîìó óðàâíåíèþ íåêîòîðîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îäíîâðåìåííî èìåòü îäèí

(èëè íåñêîëüêî) îòðèöàòåëüíûé âåùåñòâåííûé êîðåíü è ïàðó ìíèìûõ êîðíåé?

10. Ìîæåò ëè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå äèôôåðåíöèàëü

íîìó óðàâíåíèþ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, èìåòü êîðíè: à)8–j8; á)–3j; â)3j,3j;

ã)–8+8j; ä)–2+j3, –2 – j3; å)–4+j2,4+j2; æ) –6, –6; ç) –8, 8?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû

(èëè

) â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñõåìû êîòîðûõ èçî

áðàæåíû íà ðèñ. B9.1 (E = const, Á=const).

2. (Ð) Íàéäèòå çàïàñåííóþ ýíåðãèþ â óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ â öåïè äî çàìû

êàíèÿ è ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ.

3. (Ð) Äëÿ ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B9.1, îïðåäåëèòå

()

èëè

()

, ñ÷èòàÿ,

÷òî íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ e(t) = E

sin wt èëè

òîêà Á(t) = Á

sin wt. Ðàñ÷åò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà âûïîëíèòå â öåïè, êîòîðàÿ

îáðàçîâàëàñü ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à.

4. (Ð) Ñîñòàâüòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ òîêà i

èëè íàïðÿæåíèÿ u

â öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. B9.2. Çàïèøèòå òàêæå óðàâíåíèÿ ñî

ñòîÿíèé ýòèõ öåïåé.

5. (Ð) Ïðè âûðàæåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ ÷åðåç ïåðå

ìåííûå ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ðàññìîòðåòü íîâóþ öåïü, â êîòîðîé êàòóøêè èíäóê

òèâíîñòè ïðåäñòàâëåíû èñòî÷íèêàìè òîêà, à êîíäåíñàòîðû — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ.

×åìó ðàâíû âåëè÷èíû èñòî÷íèêîâ òîêà è èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ? Èñïîëüçóÿ ìåòîä

íàëîæåíèÿ, çàïèøèòå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé óïð. 4, çàìåíÿÿ

êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè èñòî÷íèêàìè òîêà, à êîíäåíñàòîðû — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ.

6. (O) Ñõåìà öåïè ñîäåðæèò ïîñëå êîììóòàöèè m êîíäåíñàòîðîâ è p êàòóøåê èí

äóêòèâíîñòè. Êàêîâ ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé, èñïîëüçóåìîé ïðè îï

ðåäåëåíèè ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, åñëè â ñõåìå èìååòñÿ k êîíòóðîâ, ñî

ñòîÿùèõ òîëüêî èç êîíäåíñàòîðîâ è n çâåçä, ñîñòîÿùèõ òîëüêî èç êàòóøåê

èíäóêòèâíîñòè? Êàêîâ ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî

ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â ýòîé öåïè?

7. Â öåïè èìååòñÿ êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç äâóõ êîíäåíñàòîðîâ C

è C

è èñòî÷íèêà

ÝÄÑ. Áóäóò ëè íàïðÿæåíèÿ

ÿâëÿòüñÿ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ?

154 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B9.1

Ðèñ. B9.2

8. Êàê äîëæíû áûòü ñîåäèíåíû äâå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è èñòî÷íèê òîêà,

÷òîáû òîê òîëüêî îäíîé èç íèõ âîøåë â ñèñòåìó óðàâíåíèé ìåòîäà ïåðåìåííûõ

ñîñòîÿíèé?

9. Èçîáðàçèòå ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåðæàùèå òðè êîíäåíñàòîðà è ðå

çèñòîðû, ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ: à) äèôôåðåíöèàëüíûì

óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà; á) äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïî

ðÿäêà; â) äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà.

10. (Î) Ïðèâåäèòå ïðèìåðû öåïåé, â êîòîðûõ îòñóòñòâèå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà

ïîñëå êîììóòàöèè ÿâèëîñü ñëåäñòâèåì: à) ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûõ íà÷àëüíûõ

óñëîâèé; á) êîíôèãóðàöèè öåïè.

11. (Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû i

(+0) è

t =+0

ïîñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû

êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. B9.3 (U = const, E = const, Á=const).

12. (Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû u

(+0) è

t =+0

ïîñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû

êîòîðûõ ïîêàçàíû íà ðèñ. B9.4 (U = const, E = const, Á=const).

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 155

Ðèñ. B9.3

Ðèñ. B9.4

13. (Ð) Íàéäèòå âåëè÷èíû i

(+0),

t =+0

0=+

(+0),

t =+0

0=+

ïî

ñëå êîììóòàöèè â öåïÿõ, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. B9.5 (U = const).

14. (Î) Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ñîñòàâëåííîå äëÿ öåïè èç ðåçèñòîðîâ, êà

òóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðà èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ êîðíåé: à)+j20;

á)–2+j5; â)–j20; ã) –2. Óêàæèòå, êàêèå åùå êîðíè äîëæíî èìåòü ýòî óðàâíåíèå.

15. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ óðàâ

íåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèå ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì, îïðåäåëÿþùèì ñâîáîäíûé

ïðîöåññ:

à) x²(t) = A

+ A

–dt

sin (w¢t + y);

á) x²(t) = (A

+ A

t + A

–dt

+ A

;

â) x²(t) = (A

+ A

t)e

–dt

sin (w¢t + y), a

<0,a

<0,a <0,d >0.

Êàêîé ïîðÿäîê èìåþò ñîîòâåòñòâóþùèå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ?

9.2. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ r, L è r, C

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäè

íåííûìè ó÷àñòêàìè r, L (èëè r, Ñ), åñëè à) óâåëè÷èòü ñîïðîòèâëåíèå r ðåçèñòîðà

â 2 ðàçà; á) óìåíüøèòü èíäóêòèâíîñòü L êàòóøêè (èëè åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà)

â 2 ðàçà?

2. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíÿåòñÿ ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà â öåïÿõ ñ ïîñëåäîâà

òåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L (èëè r, C) çà âðåìÿ t =t, t = 3t, t = 5t?

3. Ìîæíî ëè äëÿ óìåíüøåíèÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñî

åäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L: à) óâåëè÷èòü ïðîïîðöèîíàëüíî ëèíåéíûå ðàçìåðû

êàòóøêè, ñîõðàíèâ òåìè æå ÷èñëî âèòêîâ è ìàòåðèàë ïðîâîäà îáìîòêè; á) âíåñòè

â êàòóøêó, íàìîòàííóþ íà íåìàãíèòíûé ïîëûé öèëèíäð ôåððîìàãíèòíûé ñòåð

æåíü; â) óâåëè÷èòü ÷èñëî âèòêîâ, ñîõðàíèâ ðàçìåðû êàòóøêè; ã) íàìîòàòü êàòóøêó

áîëåå òîíêèì ïðîâîäîì èç òîãî æå ìàòåðèàëà, ñîõðàíèâ åå ðàçìåðû è ÷èñëî âèò

êîâ?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L â ìîìåíò âðåìåíè

t = 0 ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

sin (wt + y).

Êàê çàâèñÿò îò âåëè÷èíû y: à) i

(+0); á) u

(+0); â)

¢¢

(+0)?

156 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B9.5

2. Ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, C â ìîìåíò âðåìåíè

t = 0 ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

sin (wt + y).

Êàê çàâèñÿò îò âåëè÷èíû y: à) u

(+0); á) i

(+0); â)

()0

; ã) ìàêñèìàëüíîå çíà

÷åíèå òîêà i

(t)?

3. Èçîáðàçèòå êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì

¢¢¢

ututut

LLL

(), (), ()

, ïðè ïîä

êëþ÷åíèè ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L èñòî÷íèêà

ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

sin (wt + y) ïðè y=j+ p/2. Çäåñü

j=y

– y

— óãîë ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ïîñëå

îêîí÷àíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà.

4. Èçîáðàçèòå êðèâûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì

¢¢¢

ututut

CCC

(), (), ()

, ïðè ïîä

êëþ÷åíèè ê öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, C èñòî÷íèêà ñè

íóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

sin (wt + y) ïðè y=j. Çäåñü j=y

– y

—

óãîë ñäâèãà ïî ôàçå ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì â öåïè ïîñëå îêîí÷àíèÿ ïåðå

õîäíîãî ïðîöåññà u

(0) = 0.

5. (Ð) Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ðàñ÷åòà ïîñòîÿííîé âðåìåíè öåïè, ñîäåðæàùåé ïðî-

èçâîëüíîå ÷èñëî ðåçèñòîðîâ è: à) îäíó êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè; á) îäèí êîíäåí-

ñàòîð.

6. (Ð) Íàéäèòå ïîñòîÿííûå âðåìåíè öåïåé, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà

ðèñ. B9.6.

7. (Ð) Íàéäèòå òîê i(t) â öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. B9.7, ïðè

à) E = const; á) E = E(t).

8. (Ð) Ðàññ÷èòàéòå ýíåðãèþ, ðàññåèâàåìóþ â ðå

çèñòîðå r çà âðåìÿ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà â öåïè,

ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñ. B9.8. Ñðàâíè

òå åå ñ çàïàñåííîé ýíåðãèåé â ýëåêòðè÷åñêîì

ïîëå êîíäåíñàòîðà äî êîììóòàöèè. E = 20 Â,

r = 10 Îì, r

= 5 Îì, C = 1 ìêÔ.

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 157

Ðèñ. B9.7

Ðèñ. B9.8

Ðèñ. B9.6

9.3. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè r, L, C

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Êàêèìè äîëæíû áûòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí

íûìè ó÷àñòêàìè r, L, C, ÷òîáû ïðè âêëþ÷åíèè öåïè ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå

ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè îòñóòñòâîâàë?

2. Ïàðàìåòðû öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L, C òàêîâû,

÷òî èìååò ìåñòî àïåðèîäè÷åñêèé ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà. Ìîæåò ëè ðàçðÿä ñòàòü

êîëåáàòåëüíûì, åñëè: à) óìåíüøàòü ñîïðîòèâëåíèå r ðåçèñòîðà; á) óâåëè÷èâàòü

èíäóêòèâíîñòü L êàòóøêè; â) óìåíüøàòü åìêîñòü C êîíäåíñàòîðà; ã) óìåíüøàòü

îòíîøåíèå r/L; ä) óâåëè÷èâàòü ÷àñòîòó ðåçîíàíñà êîíòóðà; å) óâåëè÷èâàòü äîá

ðîòíîñòü êîíòóðà; æ) óâåëè÷èâàòü âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà?

3. (Î) Ïðè êàêèõ ñîïðîòèâëåíèÿõ r â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì

ýëåìåíòîâ r, L, C ïåðèîä êîëåáàíèé òîêà â íåé ïðè ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà áóäåò:

à) ìèíèìàëüíûì; á) ìàêñèìàëüíûì?

4. Ñïðàâåäëèâû ëè óòâåðæäåíèÿ, ÷òî äëÿ óâåëè÷åíèÿ äåêðåìåíòà êîëåáàíèé D

ïðè êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà íà öåïü r, L ñëåäóåò: à) óâåëè÷èòü

ñîïðîòèâëåíèå r ðåçèñòîðà; á) óìåíüøèòü èíäóêòèâíîñòü L êàòóøêè; â) óâåëè-

÷èòü îòíîøåíèå r/L; ã) óâåëè÷èòü åìêîñòü C êîíäåíñàòîðà; ä) óâåëè÷èòü íàïðÿ-

æåíèå u

(0)? Êàêèì îáðàçîì èçìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëå-

áàíèé?

5. (Ð) Öåïü, ñîñòîÿùóþ èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ó÷àñòêîâ r, L, C, ïîä-

êëþ÷àþò ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U

ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Äî-

êàæèòå, ÷òî ïðè àïåðèîäè÷åñêîì ïåðåõîäíîì ïðîöåññå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñà-

òîðå íå ìîæåò ïðåâûñèòü âåëè÷èíó U

6. (Î) Ïîêàæèòå, ÷òî ïðè êîëåáàòåëüíîì ðàçðÿäå êîíäåíñàòîðà íà öåïü r, L íà-

ïðÿæåíèå íà íåì íå ïðåâûñèò åãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ.

9.4. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ

ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ó÷àñòêîâ öåïè

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. (O) Â êàêîì ñëó÷àå ìãíîâåííîå èçìåíåíèå èíäóêòèâíîñòè (åìêîñòè) öåïè íå

ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ (òîêà) áåñêîíå÷íî áîëüøîé àì

ïëèòóäû?

2. Âîçìîæíî ëè ïîÿâëåíèå áåñêîíå÷íî áîëüøèõ ñêà÷êîâ íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà

ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè ñîïðîòèâëåíèÿ?

3. (O) Ïîñëå êîììóòàöèè â öåïè âîçíèêëî ñå÷åíèå òîëüêî èç êàòóøåê èíäóêòèâ

íîñòè. ßâëÿåòñÿ ëè ýòî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ â öåïè

èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé àìïëèòóäû?

4. (O) Â ðåçóëüòàòå êîììóòàöèè â öåïè îáðàçîâàëñÿ êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç êîí

äåíñàòîðîâ è åùå îäíîãî ýëåìåíòà. Âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå èìïóëüñîâ òîêà

áåñêîíå÷íî áîëüøîé àìïëèòóäû, åñëè ýòîò ýëåìåíò: à) èäåàëüíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ;

á) ðåçèñòîð; â) èñòî÷íèê òîêà?

158 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

5. Â ðåçóëüòàòå êîììóòàöèè â öåïè îáðàçîâàëîñü ñå÷åíèå, ñîñòîÿùåå èç êàòóøåê

èíäóêòèâíîñòè è åùå îäíîãî ýëåìåíòà, íå ÿâëÿþùåãîñÿ êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè.

Ïî÷åìó â ýòîì ñëó÷àå âîçíèêíîâåíèå èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ áåñêîíå÷íî áîëü

øîé àìïëèòóäû âîçìîæíî òîëüêî, åñëè ýòîò ýëåìåíò èñòî÷íèê òîêà?

10.1. Îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé,

èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. ßâëÿåòñÿ ëè îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè f(t): à) ôóíêöèåé âðåìåíè;

á) ôóíêöèåé îïåðàòîðà p?

2. Îäèíàêîâû ëè ðàçìåðíîñòè íàïðÿæåíèÿ u(t) è åãî èçîáðàæåíèÿ ïî Ëàïëà

ñó U(p)?

3. (O) Ñóùåñòâóåò ëè îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè

4. Çàâèñèò ëè èçîáðàæåíèå èíòåãðàëà ôóíêöèè f(t) îò çíà÷åíèÿ f(0) ýòîé ôóíê

öèè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íèæíèì ïðåäåëîì èíòåãðàëà?

5. (Î) Ôóíêöèÿ f(t) èìååò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà ïðè t = 0: f (+0) ¹ f (–0). Êàêîå

èç çíà÷åíèé [f (+0) èëè f (–0)] ñëåäóåò ïðèíÿòü â êà÷åñòâå f(0) â âûðàæåíèè

=-ft pFp f() ( ) ( )0

6. Êàêîâû ðàçìåðíîñòè èçîáðàæåíèÿ: à) íàïðÿæåíèÿ U(p); á) òîêà I(p); â) ñîïðî-

òèâëåíèÿ Z(p); ã) ïðîâîäèìîñòè Y(p)?

7. Êàêèå óñëîâèÿ ñëåäóåò íàëîæèòü íà âûáîð âåëè÷èíû s

, âõîäÿùåé â ïðåäåëû

èíòåãðàëà ôîðìóëû îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà?

8. Ðàâíî ëè èçîáðàæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ f

(t)×f

(t) ôóíêöèé ïðîèçâåäåíèþ èõ îïå-

ðàòîðíûõ èçîáðàæåíèé F

(p)×F

(p)?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Ïîëó÷èòå îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ òîêîâ:

à) i(t) = 2e

–10(t–3)

; á) i(t) = 5e

–t

sin 100pt; â) i(t) = 10te

–t

; ã) i(t) = 3(1 – e

–10t

2. (Ð) Íàéäèòå îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. Â10.1 íàïðÿæå

íèé ñ ïîìîùüþ: à) èíòåãðàëà Ëàïëàñà; á) ìåòîäà íàëîæåíèÿ, èñïîëüçóÿ èçîáðàæå

íèå ôóíêöèè, ñìåùåííîé âî âðåìåíè: f(t – x) Þ e

–px

×F(p).

3. (P) Ïîêàæèòå, ÷òî îðèãèíàë f(t) ïðè t = +0 ïðè èçâåñòíîì åãî èçîáðàæåíèè

F(p) ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå f(+0) =

lim

p®¥

[pF(p)].

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 159

Ðèñ. B10.1

4. (P) Ïîêàæèòå, ÷òî îðèãèíàë f(t) ïðè t ®¥(ò. å. â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå)

ïðè èçâåñòíîì åãî èçîáðàæåíèè F(p) ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå

ft pFp

( ) lim [ ( )]

®¥

5. (Ð) Íàéäèòå òîêè i (+0) è i (¥) ïî çàäàííîìó îïåðàòîðíîìó èçîáðàæåíèþ òîêà

à)

UrCp

prLCp pL r

()

; á)

ULCp rCp

prLCp pL r

()

;

â)

ULCp

prLCp pL r

()

; ã)

ULCp

p L Cp rLCp pL r

()

()( )

++++

23 2

;

ä)

ULCp Cp

prLC p LCp rCp

()

+++

23 2

6. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè: à) i

(t) Þ I

(p)èi

(t) Þ I

(p), òî i

(t)+i

(t) Þ I

(p)+I

(p);

á) i (t) Þ I(p), òî ïðè r = const ri

(t) Þ rI

(p).

7. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f(t) èìååò ñâîèì èçîáðàæåíèåì F(p), òî

fAt

p() ,Þ

ãäå A = const.

Ïîëüçóÿñü ýòèì, íàéäèòå îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè U

sin kwt, ó÷èòû-

âàÿ , ÷òî

sinw

10.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. (Î) Â ÷åì ñîñòîèò ðàçëè÷èå â ó÷åòå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîä

íûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ êëàññè÷åñêèì è îïåðàòîðíûì ìåòîäàìè?

2. (O) Ïðè âûïîëíåíèè êàêîãî óñëîâèÿ âõîäíîå îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå Z(p)

äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïîëó÷èòü, çàìåíÿÿ âåëè÷èíó jw íà p â âûðàæåíèè åãî

êîìïëåêñíîãî âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z(jw)?

3. Ó÷àñòêè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî (ïàðàëëåëüíî). Ìîæ

íî ëè ñëîæèòü èõ îïåðàòîðíûå ñîïðîòèâëåíèÿ (ïðîâîäèìîñòè), åñëè íà÷àëüíûå

óñëîâèÿ: à) íóëåâûå; á) íåíóëåâûå?

4. (Î) Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â íåêîòîðîé ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðàññ÷è

òûâàþò îïåðàòîðíûì ìåòîäîì ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ìîæíî ëè

óòâåðæäàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå ñîâ

ïàäàåò ñ àíàëîãè÷íîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííîé äëÿ

ýòîé æå öåïè êîìïëåêñíûì ìåòîäîì ïðè çàìåíå p ® jw,

I(p) ®

, E(p) ®

èò.ä.?

5. Êàê èçìåíÿòñÿ ïîëèíîìû G(p), H(p) âûðàæåíèÿ

I(p) = G(p)/H(p) ïðè èçìåíåíèè â öåïè íà÷àëüíûõ óñëîâèé?

160 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B10.2

6. Â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. B10.2, u

(0) ¹0. Ìîæíî ëè ïðè ïîäêëþ÷åíèè

öåïè ê èñòî÷íèêó íàïðÿæåíèÿ U ðàññ÷èòàòü òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè ñ ïî

ìîùüþ âûðàæåíèÿ I

(p) = U(p)/Z(p)?

7. (Î) Ïî÷åìó âåëè÷èíû G(p

)/H¢(p

) â ïðàâîé ÷àñòè òåîðåìû ðàçëîæåíèÿ ìîãóò

áûòü êîìïëåêñíûìè? Âåäü â åå ëåâîé ÷àñòè — ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíîãî àðãó

ìåíòà i(t)?

8. (Î) Ìîæíî ëè, çíàÿ îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè, îïðåäåëèòü êîðíè õà

ðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî åå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ

íåíèþ?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Î) Íàéäèòå îïåðàòîðíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. B10.3 ýëåêòðè

÷åñêèõ öåïåé.

2. (Ð) Èçîáðàçèòå äîïîëíèòåëüíûå èñòî÷íèêè, ââîäèìûå ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîä-

íûõ ïðîöåññîâ â ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. B10.4 öåïÿõ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì. Çà-

ïèøèòå óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå, ïðèíèìàÿ E = const,

Á=const.

3. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà I(p) ïðè ïîäêëþ÷åíèè öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî

ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L, C ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ïðè íó

ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, åñëè êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ: à) âåùåñòâåííû

è îòëè÷íû äðóã îò äðóãà; á) âåùåñòâåííû è ðàâíû äðóã äðóãó.

4. (Ð) Çàïèøèòå âûðàæåíèå äëÿ òîêà I(p) (èëè íàïðÿæåíèÿ U(p)) èñòî÷íèêà

â èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B10.5 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à,

ñ÷èòàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íóëåâûìè è ïðèíèìàÿ e(t) = E

sin wt, Á(t) = Á

sin wt.

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 161

Ðèñ. B10.3

Ðèñ. B10.4

5. (Ð) Ðàññ÷èòàéòå îïåðàòîðíûì ìåòîäîì òîêè â âåòâÿõ

öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. B10.6 ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ

ïàðàìåòðîâ: r = 40 Îì, L = 0,1 Ãí, Ñ = 10 ìêÔ, u = U

= 120 Â.

6. Çàïèøèòå óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé â îïå

ðàòîðíîé ôîðìå äëÿ èçîáðàæåííîé íà ðèñ. B10.2 öåïè.

7. (Ð) Íàéäèòå òîê i(t) ïî çàäàííîìó åãî îïåðàòîðíîìó èçîáðàæåíèþ

à)

()

()( )

; á)

()

15 1

; â)

()

()()

8. (Ð) Íàéäèòå âûðàæåíèå äëÿ òîêà â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè

ó÷àñòêàìè r, L ïðè äåéñòâèè íà åå âõîäå íàïðÿæåíèÿ

uUe

-a

è íà÷àëüíîì

óñëîâèè

i()00=

9. (Ð) Íàéäèòå âûðàæåíèÿ äëÿ òîêîâ

it it

(), ()

âîçäóøíîãî òðàíñôîðìàòîðà

(ðèñ. Â10.7), ïîäêëþ÷àåìîãî ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ïàðàìåò

ðû ïåðâè÷íîãî è âòîðè÷íîãî êîíòóðîâ ðàâíû

, L

è r

, L

, ñîîòâåòñòâåííî,

00()=

Ðàññìîòðèòå ÷àñòíûå ñëó÷àè:

rL r L

11 2 2

= ;

LL M

×= ;

rr rMLL L

12 1 2

== = = =,.

162 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B10.6

Ðèñ. B10.7

Ðèñ. B10.5