Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

10. (Ð) Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè âõîäÿùèé â âûðàæåíèå I(p) = G(p)/H(p) ïîëèíîì

H(p) èìååò ïàðó ñîïðÿæåííûõ ìíèìûõ êîðíåé è ìîæåò áûòü çàïèñàí â âèäå

H(p) = (p

+ w

)N(p), òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

jt jt

()

Im e

jtw

Èñïîëüçóéòå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïîëèíîìîâ H(jw)èG(jw):

H¢(jw) = 2jw N(jw), H¢(–jw) = 2jw N(–jw),

Nj Nj Gj Gj() (),() ().

-= -=wwww

11.1. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Îäèíàêîâ ëè êëàññ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ ìîãóò áûòü âûïîëíåíû ïðÿìûå ïðå

îáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è Ëàïëàñà?

2. Ìîæíî ëè âûïîëíèòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñëåäóþùèõ íåïåðèîäè

÷åñêèõ ÝÄÑ, òîêîâ, íàïðÿæåíèé (a > 0):

à)

()

á) i(t) = 10e

,(t > 0); â) i(t) = 10e

–at

,(t > 0);

ã)

At t T

()

<£

ä) i(t) = 20 ln at; å) u(t) = 100 sh at; æ) i(t) = 5shat?

3. Ìîãóò ëè ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ: à) âåùåñòâåííàÿ; á) ìíèìàÿ;

â) àìïëèòóäíàÿ; ã) ôàçîâàÿ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé, òîêîâ?

4. Êàêèå èç èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B11.1 ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê f

(w), f

(w)

è f

(w) ìîãóò ÿâëÿòüñÿ: à) âåùåñòâåííîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèãíàëà;

á) ìíèìîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèãíàëà; â) àìïëèòóäíîé ÷àñòîòíîé õà

ðàêòåðèñòèêîé ñèãíàëà; ã) ôàçîâîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèãíàëà?

5. (Î) Êàê èçìåíÿþòñÿ øèðèíà è àìïëèòóäà ïåðâîãî ëåïåñòêà (ïðè |w| < p/a)

àìïëèòóäíîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà (ðèñ. B11.2):

à) ïðè óìåíüøåíèè äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà; á) ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû èì

ïóëüñà?

6. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ çíà÷åíèå àìïëèòóäíîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè

U(w) íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

–dt

sin w

t â òî÷êå w=0 è èçìåíåíèè âåëè÷èíû d

îò 0,5w

äî w

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 163

Ðèñ. B11.1

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ðàññ÷èòàéòå ìîäóëü è ôàçó ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè íàïðÿæåíèé u

(t) = U

–t/t

(t) = U

–2t/t

ïðè w=0, w=t, w=2t.

2. (Ð) Íàéäèòå ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó U(jw) íàïðÿæåíèé u(t), èçîáðàæåí

íûõ íà ðèñ. B11.3:

à)

Uta

áut

()

)()

si=

<00

n, ,

wpw

<£

âut

ta a t

ta t a

)()

(), ,

£-

+ -££

--££

0 a.

Ïîñòðîéòå àìïëèòóäíóþ è ôàçîâóþ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè íàïðÿæåíèé u(t).

3. Âûðàçèòå ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ïðèâåäåííûõ äàëåå íàïðÿæåíèé ÷åðåç

ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü F(jw) íàïðÿæåíèÿ u(t): à) u(at), a >0;á) tu(t); â) u(t)/t;

ã) u(t – t

); ä) u(–t); å) u(t)

u(–t); æ) u(t)–u(–t) (ñì. 10.1, óïð. 7).

4. ×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íàïðÿæåíèÿ u(t) ðàâíà U(jw). Âûðàçèòå ÷àñòîòíûå

õàðàêòåðèñòèêè íàïðÿæåíèé u(t) sin w

t, u(t)cos w

t ÷åðåç U(jw).

5. Îïðåäåëèòå ÷àñòîòó w

, ïðè êîòîðîé ìîäóëü ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè U(jw)

íàïðÿæåíèÿ u(t) = U

–at

– e

–bt

) â 10 ðàç ìåíüøå ïî ñðàâíåíèþ ñ åãî çíà÷åíèåì

ïðè ÷àñòîòå w=0, (a >0,b >0,a < b).

164 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B11.2

Ðèñ. B11.3

6. Îïðåäåëèòå äèàïàçîí ÷àñòîò 0 < Dw < w

ãð

àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòå

ðèñòèêè E(w) èìïóëüñà ÝÄÑ e(t) = E

–at

, â êîòîðîì ñîñðåäîòî÷åíî 90 % åãî

ýíåðãèè (a > 0).

7. (Ð) Ïåðèîäè÷åñêîå íàïðÿæåíèå u(t) ÿâëÿåòñÿ áåñêî

íå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ îäèíàêîâûõ èìïóëüñîâ

èìï

(t), ïîâòîðÿþùèõñÿ ÷åðåç èíòåðâàëû âðåìåíè

T = 2p/w

(ðèñ. B11.4). Ïîëó÷èòå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçû

âàþùåå äèñêðåòíûé ñïåêòð U(jqw

) ôóíêöèè u(t)ñî

ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ U(jw) îäèíî÷íîãî èìïóëüñà

èìï

(t).

11.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè ïîìîùè

÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèãíàëîâ è ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Íà êàêîì ýòàïå ðàñ÷åòà òîêà â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå ìåòîäîì ÷àñòîòíûõ õàðàê

òåðèñòèê íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êîìïëåêñíûé ìåòîä ðàñ÷åòà öåïåé ïåðåìåí-

íîãî òîêà?

2. ×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà z(w) öåïè ïîëó÷åíà îïûòíûì ïóòåì ïðè èçìåíå-

íèè ÷àñòîòû îò w

min

= 0äîw

max

=w¢. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ïîãðåøíîñòü íàõîæäå-

íèÿ òîêà i(t) íà âõîäå öåïè ïî åãî ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå I(w) = U

âõ

(w)/z(w),

ïîëó÷àåìîé â äèàïàçîíå ÷àñòîò 0 £w£w¢, ãäå U

âõ

(w) — àìïëèòóäíàÿ ÷àñòîòíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà íàïðÿæåíèÿ u

âõ

(t) íà âõîäå öåïè, áóäåò ïðèåìëåìîé?

3. (Î) Ìîæíî ëè ðàññ÷èòàòü ìåòîäîì ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïåðåõîäíûå ïðî-

öåññû, ïðîòåêàþùèå ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ íàïðÿæåíèÿõ íà êîíäåíñàòîðàõ

è òîêàõ â êàòóøêàõ?

4. Ïðåäëîæèòå ïîäõîä äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷àñòîòû w

ãð

, òàêîé, ÷òî ïðè w > w

ãð

ñî

ïðîòèâëåíèå (èëè ïðîâîäèìîñòü) äâóõïîëþñíèêà, ñîäåðæàùåãî ðåàêòèâíûå ýëå

ìåíòû, ìîíîòîííî óáûâàåò ñ ðîñòîì ÷àñòîòû w.

5. Íà âõîä öåïè ïîäàåòñÿ íàïðÿæåíèå u

âõ

(t). Êàêàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè äîëæíà

áûòü íàéäåíà, ÷òîáû, èñïîëüçóÿ ñïåêòðàëüíûé ìåòîä, ðàññ÷èòàòü: à) íàïðÿæåíèå

âûõ

(t) íà íåêîòîðîì ýëåìåíòå öåïè; á) òîê i

âûõ

(t)

íåêîòîðîãî ýëåìåíòà öåïè?

6. (Ð) Îïðåäåëèòå òîê i(t), âåùåñòâåííàÿ ÷àñòîòíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà I

(w) êîòîðîãî, ïîëó÷àåìàÿ ïðè

àïïðîêñèìàöèè åå îòðåçêàìè ïðÿìûõ, ïîêàçàíà íà

ðèñ. B11.5. Èçîáðàçèòå çàâèñèìîñòè i(t).

12.1. Ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Êàêîé âèä äîëæíî èìåòü ïðèëîæåííîå ê öåïè âîçäåéñòâèå ïðè íàõîæäåíèè åå

à) ïåðåõîäíîé; á) èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè?

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 165

Ðèñ. B11.4

Ðèñ. B11.5

2. Êàêèå ýëåêòðè÷åñêèå öåïè èìåþò íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè ïåðåõîäíûå õàðàê

òåðèñòèêè?

3. Ìîæåò ëè ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè: à) èìåòü ðàçìåð

íîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ; á) ïðîâîäèìîñòè; â) áûòü áåçðàçìåðíîé?

4. Ê âõîäó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîäêëþ÷àþò èñòî÷íèê ñêà÷êîîáðàçíîãî íà

ïðÿæåíèÿ u(t) = U

×1(t – t). Ìîæíî ëè ðàññ÷èòàòü òîê íà âõîäå öåïè ñ ïåðåõîä

íîé ïðîâîäèìîñòüþ Y(t), ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè: à) i(t) = U

×1(t)×Y(t – t);

á) i(t) = U

×1(t – t)×Y(t); â) i(t) = U

×1(t – t)×Y(t–t)?

5. (O) Â îäíîé èç âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äåéñòâóåò èìïóëüñíàÿ ÝÄÑ. Êàê

ñëåäóåò èçîáðàçèòü ýòó âåòâü ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ â ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó

èìïóëüñàìè? Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè âìåñòî èñòî÷íèêà ÝÄÑ â âåòâü âêëþ÷åí

èìïóëüñíûé èñòî÷íèê òîêà?

6. (Î) Â ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà è â ìîìåíò ïàóçû ïðîöåññû â öåïè îïèñû

âàþòñÿ ðàçëè÷íûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Â ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ èõ

ðàçëè÷èå?

7. Êàêîâû àìïëèòóäà, äëèòåëüíîñòü è ïëîùàäü èìïóëüñíûõ ôóíêöèé K

d(t),

d(t + t), K

d(t –2t)?

8. (Î) Äëÿ íàõîæäåíèÿ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè ñëåäóåò ðåøàòü îäíî-

ðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå. Ïî÷åìó óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâîå ðåøå-

íèå? Çàâèñèò ëè ðåøåíèå îò ïàðàìåòðîâ èìïóëüñà?

9. Çàâèñèò ëè òîê â öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ r, L êìî-

ìåíòó îêîí÷àíèè äåéñòâèÿ èìïóëüñíîé ÝÄÑ íà åå âõîäå îò: à) ñîïðîòèâëåíèÿ r;

á) ïëîùàäè èìïóëüñà?

10. (Î) Öåïü ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ðåçèñòîðîì è êîíäåíñàòîðîì ïîä-

ñîåäèíåíà ê èñòî÷íèêó èìïóëüñíîãî òîêà (IDt = K). Èçìåíÿåòñÿ ëè íàïðÿæåíèå

íà êîíäåíñàòîðå: à) â ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà; á) ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñò

âèÿ èìïóëüñà?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê h(t) = u

(t)/u

Y(t) = i

(t)/u

èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B12.1 ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

2. Ïåðåõîäíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðèâåäåíû íà ðèñ. B12.2.

Èçîáðàçèòå ñîîòâåòñòâóþùèå èì èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè.

166 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B12.1

3. (Ð) Ïîìåõà u(t) íà âõîäå èçîáðàæåííîé íà ðèñ. B12.3 öåïè

èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ àìïëèòó

äîé U

è äëèòåëüíîñòüþ T. Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåíèå íà ñîïðî

òèâëåíèè r

íàãðóçêè ïðè U

= 10 ìÂ, L = 10

–2

Ãí, C = 10

–9

Ô,

= 10

Îì, Ò = 10

–5

4. (Ð) Íàéäèòå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ à)

Utdt

d()

-¥

; á)

d()tdt

t =+

; â)

()tdt

,(t > 0);

ãtdt)( )dt

;

ät dt)( )dt

;

åt dt)( )dt

;

ætdt)( )dt

-¥

;

çt dt)( )dt

;

èt dt)( )dt

; ê)

()tdt

; ë)

Utdt

d()

-¥

; ì)

1( )tdt

-¥

5. (Ð) Íà âõîäå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè äåéñòâóåò èìïóëüñíàÿ ÝÄÑ Kd(t), õàðàêòå-

ðèçóåìàÿ âåëè÷èíîé K = EDt. Çàïèøèòå âûðàæåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ íåêîòîðîé

âûõîäíîé âåëè÷èíû x

âûõ

(òîêà ëèáî íàïðÿæåíèÿ) ê ìîìåíòó îêîí÷àíèÿ äåéñò-

âèÿ èìïóëüñà (t = +0) è ïðè t >0.

6. (Ð) Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè äëÿ íàéäåííûõ ïðè ðåøåíèè óïð. 1 ïåðåõîäíûõ

õàðàêòåðèñòèê h(t) = u

(t)/u

, Y(t) = i

(t)/u

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ïîëó÷èòå èì

ïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ öåïåé.

7. (Ð) Íà âõîäå öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ýëåìåíòàìè r, C (u

(0) = 0)

äåéñòâóåò èìïóëüñíàÿ ÝÄÑ Kd(t). Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó òîê ÷åðåç êîíäåíñàòîð ïî

ñëå îêîí÷àíèÿ èìïóëüñà ìåíÿåò íàïðàâëåíèå. Ìåíÿåò ëè íàïðàâëåíèå íàïðÿæå

íèå íà êîíäåíñàòîðå? Çàïèøèòå âûðàæåíèå u

(t).

8. (Ð) Íà âõîäå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé (ñì. ðèñ. B12.1) â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 äåé

ñòâóåò èìïóëüñíàÿ ÝÄÑ Kd(t). Ðàññ÷èòàéòå òîê i

è íàïðÿæåíèå u

â ìîìåíò

âðåìåíè t = +0 ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå i

(t)

è u

(t) ïðè t >0.

12.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ

ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Äþàìåëÿ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Î) Íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå u(t). Âõîäíîé òîê ìîæíî ðàññ÷èòàòü

ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

it u Y t Yt xu xdx() ( ) () ( ) ( )=+-

0 '

. Êàêîé âèä ïðèìåò ýòî

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 167

Ðèñ. B12.2

Ðèñ. B12.3

âûðàæåíèå ïðè ðàñ÷åòå: à) òîêà i

(t)âk-é âåòâè, íå ÿâëÿþùåéñÿ âõîäíîé; á)íà

ïðÿæåíèÿ u

(t)íàk-é âåòâè?

2. (Î) Öåïü ïîäêëþ÷àþò ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. Ìîæ

íî ëè ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ,

åñëè: à) â íåé çàäàíû íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ; á) îíà ÿâëÿåòñÿ àêòèâíûì

äâóõïîëþñíèêîì?

3. (Ð) Íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå

ut t t

()

() ,

££

<<¥

0ïðè

ïðè

ïðè÷åì: à) u

) = u

)èá) u

) ¹ u

). Èñïîëüçóÿ ìåòîä íàëîæåíèÿ, ïîëó÷è

òå íà îñíîâå èíòåãðàëà Äþàìåëÿ âûðàæåíèå äëÿ âõîäíîãî òîêà i(t) öåïè.

4. (Ð) Íà âõîäå öåïåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B12.1, äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå óêà

çàííîãî íà ðèñ. B12.4 âèäà. Çàïèøèòå âûðàæåíèå äëÿ òîêà i

(t).

5. (Ð) Íàïðÿæåíèå íà âõîäå ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. B12.1 öåïåé èçìåíÿåòñÿ ïî çà

êîíó u(t) = U

sin wt ïðè 0 £ t £ T/4; u(t) =

sin wt ïðè T/4 £ t £ T/2; u(t) = 0 ïðè

t > T/2, ãäå w = 2p/T. Íàéäèòå çàâèñèìîñòü i

(t).

6. (Ð) Â § 12.3 ïðè âûâîäå èíòåãðàëà Äþàìåëÿ íàïðÿæåíèå u(t) çàìåíÿþò ñóì

ìîé ñòóïåí÷àòûõ íàïðÿæåíèé. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå èíòåãðàëà â èíîé ôîðìå,

çàìåíÿÿ íàïðÿæåíèå u(t) ñóììîé èìïóëüñíûõ íàïðÿæåíèé ïðÿìîóãîëüíîé

ôîðìû.

12.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ

ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Íà âõîäå öåïè (ðèñ. Â12.5) äåéñòâóþò èìïóëüñû íàïðÿæåíèÿ ïðÿìîóãîëü

íîé ôîðìû àìïëèòóäîé U

= 100 Â ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ T = 2·10

–4

c è äëè

òåëüíîñòüþ Ò

= 10

–4

ñ. Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå u

[n] ïðè

168 Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12

Ðèñ. B12.4

íà÷àëüíîì óñëîâèè u

(0) = 0, ñîñòàâëÿÿ è ðåøàÿ ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå. Çàïèøè

òå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïðè Ò

® 0, U

® ¥ è ñîõðàíåíèè çíà÷åíèÿ K = U

= 10

–2

Â·ñ, ò. å. ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìãíî

âåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ Ê.

2. (Ð) Íà âõîäå öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè

ó÷àñòêàìè r, L äåéñòâóþò ìãíîâåííûå èìïóëüñû íàïðÿ

æåíèÿ ñ ïåðèîäîì Ò = 2·10

–4

c è èíòåíñèâíîñòüþ

Ê = 10

–4

Â·ñ. Ðàññ÷èòàéòå òîê i(t) â öåïè ïðè i(0) = 0,

r = 10 Îì, L = 0,02 Ãí.

3. (Ð) Íàéäèòå z-èçîáðàæåíèÿ ìãíîâåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ åäèíè÷íîé

èíòåíñèâíîñòüþ, îáðàçóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: à) (1, 0, 0, …); á) (1, 1, 0, 0, …);

â) (1, 1, 1, 0, 0, 0, …); ã) (1, –1, 1, –1, …); ä) (1, 1, –1, –1, …).

4. (Ð) Íàéäèòå z-èçîáðàæåíèÿ ðåøåò÷àòûõ ôóíêöèé f (nT) = f [n], ñîîòâåòñòâóþ

ùèõ ôóíêöèÿì: à)

ut U e

() ( )=-

; á)

ut U t

() sin=w

; â)

ut at()=

5. (Ð) Íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîå (ñ ïåðèîäîì Ò = 3·10

–4

ñ) íà-

ïðÿæåíèå àìïëèòóäîé U

= 100 Â (ðèñ. Â12.6). Ðàññ÷èòàéòå òîê i

[n] êàòóøêè

ïðè i

(0) = 0 ìåòîäîì z-ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12 169

Ðèñ. Â12.5

Ðèñ.Â12.6

Ãëàâà òðèíàäöàòàÿ

Àíàëèç îáùèõ ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ

13.1. Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà

Ëþáîé ñëîæíîé öåïè, èìåþùåé äâà âõîäíûõ çàæèìà, ðàíåå áûëî äàíî îáùåå íà

èìåíîâàíèå äâóõïîëþñíèêà. Äâóõïîëþñíèê áûë íàçâàí ïàññèâíûì, åñëè âíóòðè

íåò èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, è àêòèâíûì, åñëè â íåì ñîäåðæàòñÿ èñòî÷íèêè ýíåðãèè.

Äâóõïîëþñíèê îáîáùåííî õàðàêòåðèçîâàëñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì — âõîäíûì ñî

ïðîòèâëåíèåì èëè, ñîîòâåòñòâåííî, âõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ.

Ìíîãèå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, ñëóæàùèå äëÿ ïåðåäà÷è ýíåðãèè èëè

ñèãíàëîâ, èìåþò äâà âõîäíûõ è äâà âûõîäíûõ çàæèìà, ïðè÷åì èõ âíóòðåííÿÿ

ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ìîæåò áûòü âåñüìà ñëîæíîé. Òàêèå óñòðîéñòâà íîñÿò íàçâàíèå

÷åòûðåõïîëþñíèêîâ — ïàññèâíûõ, åñëè âíóòðè íèõ îòñóòñòâóþò èñ

òî÷íèêè ýíåðãèè, è àêòèâíûõ,åñëè âíóòðè íèõ ñîäåðæàòñÿ èñòî÷íèêè ýíåðãèè.

Â íàñòîÿùåé ãëàâå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïàññèâíûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè, òàê

êàê àêòèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê ìîæåò áûòü çàìåíåí ýêâèâàëåíòíûì åìó ïàñ-

ñèâíûì è âûíåñåííûìè çà çàæèìû ïîñëåäíåãî ýêâèâàëåíòíûìè ÝÄÑ, ÷òî áóäåò

ïîêàçàíî â § 13.8. Ïàðàìåòðû âñåõ ýëåìåíòîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà áóäåì ïîëàãàòü

ïîñòîÿííûìè.

Îòìåòèì, ÷òî ëèíåéíûé ïàññèâíûé äâóõïîëþñíèê, à òàêæå ëèíåéíûé ïàñ-

ñèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò ñîäåðæàòü âíóòðè ñåáÿ èñòî÷-

íèêè ýíåðãèè, íî ñ îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì, ÷òî äåéñò-

âèå èõ âçàèìíî êîìïåíñèðóåòñÿ âíóòðè äâóõïîëþñíèêà

èëè, ñîîòâåòñòâåííî, âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà òàêèì

îáðàçîì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ íà âõîäíûõ, à äëÿ ÷åòûðåõïî-

ëþñíèêà — òàêæå è íà âûõîäíûõ ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ

ðàâíû íóëþ.

Êàê ñåé÷àñ áóäåò ïîêàçàíî, ïàññèâíûé ÷åòûðåõïî

ëþñíèê ìîæåò áûòü îáîáùåííî îõàðàêòåðèçîâàí òðåìÿ

íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðå

äåëåíû ðàñ÷åòîì, åñëè èçâåñòíî âíóòðåííåå ñòðîåíèå

÷åòûðåõïîëþñíèêà, à òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíî. Ýêñïå

ðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñ

íèêà èìååò îñîáî âàæíîå çíà÷åíèå, êîãäà âíóòðåííåå

ñòðîåíèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåèçâåñòíî.

Ïðèìåðàìè ïàññèâíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ÿâëÿþòñÿ òðàíñôîðìàòîð, ýëåê

òðè÷åñêèé ôèëüòð, ìîñòîâàÿ öåïü, ñõåìû êîòîðûõ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 13.1. Îíè

èìåþò äâà âõîäíûõ (1, 1¢) è äâà âûõîäíûõ (2, 2¢) çàæèìà.

Â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñâîéñòâà ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ïðè óñòà

íîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññàõ.

Èññëåäîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ â ÷åòûðåõïîëþñ

íèêàõ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â äèñêðåòíûé ðÿä Ôóðüå

ê ðàññìîòðåíèþ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ äëÿ îòäåëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñî

ñòàâëÿþùèõ.

Ðèñ. 13.1

Èññëåäîâàíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ÷åòûðåõïîëþñíèêàõ ïðè íóëåâûõ íà

÷àëüíûõ óñëîâèÿõ òàêæå ñâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ôóðüå ê ðàññìîòðåíèþ

ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ. Èññëåäîâàíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ñ ïîìîùüþ

îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íî èññëåäîâàíèþ ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ

ïðîöåññàõ ñ çàìåíîé îïåðàòîðà p íà âåëè÷èíó jw. Âñå ñêàçàííîå äàåò îñíîâàíèå

îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñ

íîãî ìåòîäà.

Óñòàíîâèì çàâèñèìîñòè, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé âõîäíûå è âûõîäíûå íà

ïðÿæåíèÿ è òîêè:

UU I I

1 212

(ðèñ. 13.2).

Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèé è òî

êîâ âûáåðåì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.2. Ïðè ýòîì ïî

ëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýíåðãèè íà âõîä

íûõ çàæèìàõ 1, 1¢ áóäåò ê ÷åòûðåõïîëþñíèêó, à íà

âûõîäíûõ çàæèìàõ 2, 2¢ — îò ÷åòûðåõïîëþñíèêà,

÷òî ïîêàçàíî ñòðåëêàìè ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì. Òàêîé âûáîð ïîëîæèòåëüíûõ

íàïðàâëåíèé öåëåñîîáðàçåí, êîãäà ÷åòûðåõïîëþñíèê ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðå-

äàòî÷íîå óñòðîéñòâî.

Ïóñòü ðåàëüíàÿ ñõåìà ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñîäåðæèò n íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ.

Â êà÷åñòâå ïåðâîãî âûáåðåì êîíòóð, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ èñòî÷íèê ýíåðãèè íà

âõîäíûõ çàæèìàõ 1, 1¢. Â êà÷åñòâå âòîðîãî âûáåðåì êîíòóð, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ

ïðèåìíèê, ïðèñîåäèíåííûé ê âûõîäíûì çàæèìàì 2, 2¢. Íå èíòåðåñóÿñü ïàäåíè-

åì íàïðÿæåíèÿ â èñòî÷íèêå ýíåðãèè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàïðÿæåíèå

íà

âõîäíûõ çàæèìàõ ÷åòûðåõïîëþñíèêà êàê âûçûâàþùåå òîêè â öåïè.

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ. Ïðè ýòîì âñå ñîáñòâåííûå è

îáùèå ñîïðîòèâëåíèÿ âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà áóäåì îòìå÷àòü äîïîëíèòåëüíî

øòðèõîì (¢), òàê êàê äàëåå áóêâàìè Z

, Z

è Z

áåç øòðèõîâ áóäóò îáîçíà÷åíû

ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëå

íèå âòîðîãî êîíòóðà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé Z¢

+ Z

ïð

, ãäå Z¢

— ÷àñòü ýòîãî ñîïðîòèâëå

íèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà, a Z

ïð

— ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà,

ðàñïîëîæåííîãî âíå ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Èìååì óðàâíåíèÿ:

ZI ZI ZI ZI U

ZI Z

nn11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 2

&& & &&

;

(

222332

31 1 32 2 33

0++

ZI ZI ZI

ZI ZI Z

nnïð

)

&& &

;

.............

IZI

nn33

0++

Òàê êàê

ZI U

ïð

, ãäå

— íàïðÿæåíèå íà âûõîäíûõ çàæèìàõ ÷åòûðåõïî

ëþñíèêà, òî, ïåðåíåñÿ âåëè÷èíó

â ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ïðèâåäåì

ñèñòåìó óðàâíåíèé ê âèäó

ZI ZI ZI ZI U

ZI Z

nn11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22

&& & &&

;

&& &&

;

&& &

IZI ZI U

ZI ZI ZI

nn2233 2 2

31 1 32 2 33 3

=K ZI

nn3

;

.............

Ãëàâà 13. Àíàëèç îáùèõ ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ 171

Ðèñ. 13.2

Ïîëüçóÿñü ðåøåíèåì ýòèõ óðàâíåíèé, ïðèâåäåííûì â § 5.11, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

ïðàâûå ÷àñòè âñåõ óðàâíåíèé, êðîìå ïåðâûõ äâóõ, ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì âûðàæå

íèÿ äëÿ âõîäíîãî

è âûõîäíîãî

òîêîâ ÷åðåç âõîäíîå

è âûõîäíîå

íàïðÿ

æåíèÿ:

&&&

;

&&&

.IUUI UU

=- =-

Îòíîøåíèÿ D

/D, D

/D è D

/D, èìåþùèå ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè,

îáîçíà÷èì, ñîîòâåòñòâåííî:

=-= = -=YYY Y;; .è

Òîãäà óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííûå ÷åðåç Y-ïàðàìåòðû, ïðèíè

ìàþò âèä

&&&

;

&&&

.IYUYU I YUYU

1 11 1 12 2 2 21 1 22 2

=+ =+

Äëÿ ëèíåéíîé ïàññèâíîé öåïè D

, è ïîýòîìó Y

= –Y

Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé

ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííûå ÷åðåç Z-ïàðàìåòðû, èìåþ-

ùèå ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ:

&&&

;

&&&

,UZIZIUZIZI

1 11 1 12 2 2 21 1 22 2

=+ =+

ãäå

YY YY

11 22 12 21

;;

YY YY

11 22 12 21

;

ïðè ýòîì Z

= –Z

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ôîðìîé çàïèñè óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà ÿâ

ëÿåòñÿ òàêàÿ, ïðè êîòîðîé âõîäíûå âåëè÷èíû

âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âûõîä

íûå

. Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííóþ ÷åðåç Z-ïà

ðàìåòðû, îòíîñèòåëüíî

, ïîëó÷àåì

&&&

;

&&&

,UAUBIICUDI

122122

=+ =+

ãäå

ZZ ZZ

==-

11 22 12 21

21 21

;;;.

Çàìåòèì, ÷òî A è D—áåçðàçìåðíûå, B èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ,

C — ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè.

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå Z

= –Z

, ÷òî ìåæäó ïàðàìåòðàìè A,

B, C è D ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñóùåñòâóåò ñâÿçü

AD BC-=1.

Íàëè÷èå ýòîé ñâÿçè, òàê æå êàê è ñâÿçè Y

= –Y

è Z

= –Z

, ïîêàçûâàåò, ÷òî

ïðè ëþáîé ôîðìå çàïèñè óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþò

ñÿ òîëüêî òðè ïàðàìåòðà.

172 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé