Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

9. (Î) Ê ÷åìó ïðèâîäèò îòêëîíåíèå îò ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè b=kw êîýôôèöè

åíòà ôàçû ïðè ïåðåäà÷å ñèãíàëà ÷åðåç ôèëüòð?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Èçîáðàçèòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ a(w) èäåàëüíûõ ôèëüòðîâ:

à) íèæíèõ ÷àñòîò; á) âåðõíèõ ÷àñòîò; â) ïîëîñîâîãî; ã) çàãðàæäàþùåãî îò ÷àñòî

òû w.

2. (Î) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ Z

, Z

Ã =a+ jb èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B14.6 ôèëüòðîâ, âû÷èñëÿÿ ïðåäâàðèòåëüíî èõ

ñîïðîòèâëåíèÿ â ðåæèìàõ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. Çíà÷åíèÿ ñî

ïðîòèâëåíèé íà ñõåìå óêàçàíû â îìàõ, èíäóêòèâíîñòåé — â ìèëëèãåíðè, åìêî

ñòåé êîíäåíñàòîðîâ — â ìèêðîôàðàäàõ, f = 500 Ãö.

3. (Î) Ðàññ÷èòàéòå è ïîñòðîéòå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ a(w)

è êîýôôèöèåíòà ôàçû b(w) ôèëüòðîâ, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. Â14.6,

ïðè óñëîâèè èõ ñîãëàñîâàíèÿ ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè èñòî÷íèêà è ïðèåìíèêà ïðè

âñåõ ÷àñòîòàõ. Cðàâíèòå ïîñòðîåííûå çàâèñèìîñòè a(w) ñ àíàëîãè÷íûìè, ïîëó

÷åííûìè ïðè ïèòàíèè ôèëüòðîâ îò èäåàëüíîãî èñòî÷íèêà ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèè

ïðèåìíèêà r

ïð

= 200 Îì.

4. (Î) Íàéäèòå ïàðàìåòðû Z

è Z

Ã-îáðàçíîãî ôèëüòðà,

âêëþ÷åííîãî ìåæäó èñòî÷íèêîì ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâ

ëåíèåì Z

è ïðèåìíèêîì ñ ñîïðîòèâëåíèåì Z

ïð

è ñîãëà

ñóþùåãî èñòî÷íèê è ïðèåìíèê.

5. (Ð) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé

õàðàêòåðèñòèêè è ïîñòðîéòå çàâèñèìîñòü K(w) äëÿ èçî

áðàæåííûõ íà ðèñ. Â14.7 ôèëüòðîâ: à — íèæíèõ ÷àñòîò;

á — âåðõíèõ ÷àñòîò. Ïðèìèòå ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû ýëå

ìåíòîâ: à) r

= 75 êÎì, r

= 3,94 êÎì, Ñ

= 10

–7

Ô,

= 9,5·10

–7

Ô, k = 10; á) r

= 39,3 êÎì, r

= 717 Îì,

= Ñ

= 10

–7

Ô, k = 100.

Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14 223

Ðèñ. B14.6

Ðèñ. B14.7

14.3. Ýëåêòðè÷åñêèå ôèëüòðû íèæíèõ ÷àñòîò òèïîâ k è m

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü ôèëüòð âåðõíèõ ÷àñòîò òèïà k?

2. (Î) Ê êàêèì êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì çàâèñèìîñòè

a(w) Ã-çâåíà, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. Â14.8, ïðèâåäåò ñî

åäèíåíèå íåñêîëüêèõ Ã-çâåíüåâ, ïðè óñëîâèè ñîãëàñîâà

íèÿ èõ ìåæäó ñîáîé, ñ èñòî÷íèêîì è íàãðóçêîé?

3. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü ôèëüòð âåðõíèõ ÷àñòîò òèïà m?

4. (Î) Îäèíàêîâà ëè ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ çâåíà-ïðîòî

òèïà è ïðîèçâîäíûõ îò íåãî çâåíüåâ?

5. (Î) Êàêèìè ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè êà÷åñòâàìè õàðàêòåðèçóåòñÿ

Ã-îáðàçíîå çâåíî ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò, ñîäåðæàùåå êàê ïàðàëëåëüíûé, òàê è

ïîñëåäîâàòåëüíûé LC-êîíòóðû îäíîâðåìåííî?

6. Ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû ïîñòðîèòü ôèëüòð íèæ

íèõ ÷àñòîò, èìåÿ ñõåìó ôèëüòðà âåðõíèõ ÷àñòîò?

7. Ìîæíî ëè ïðèìåíèòü ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôèëüò-

ðîâ, íå ïðèíàäëåæàùèõ ê òèïàì k è m?

8. (Î) Êàê èçìåíÿòñÿ õàðàêòåðèñòèêè a(w),

()

ôèëüòðîâ íèæíèõ è âåðõíèõ

÷àñòîò ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÷àñòîòû â ñîîòâåòñòâèå ñ ôîðìóëîé p(s) = bs?

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Ð) Ôèëüòð íèæíèõ ÷àñòîò òèïà k èìååò ïàðàìåòðû ýëåìåíòîâ L = 0,1×10

–3

Ãí,

C = 64×10

–8

Ô. Ðàññ÷èòàéòå ÷àñòîòó ñðåçà w

, à òàêæå çàâèñèìîñòè Z

ñ ò

(w), Z

ñ ï

(w).

Ïîñòðîéòå çàâèñèìîñòè a=a(w), b=b(w) è íàéäèòå ÷àñòîòó, ïðè êîòîðîé: à)êî

ýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ a ðàâåí 3 äÁ; á) êîýôôèöèåíò ôàçû b ðàâåí p/4.

2. (Ð) Ðàññ÷èòàéòå ïàðàìåòðû LC-ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò, íàãðóæåííîãî íà ïðè

åìíèê ñîïðîòèâëåíèåì r

ïð

= 10 Îì è ïîäêëþ÷åííîãî ê èñòî÷íèêó ñ âíóòðåííèì

ñîïðîòèâëåíèåì r

= 10 Îì. ×àñòîòà ñðåçà ôèëüòðà w

= 10

–1

3. Ðàññ÷èòàéòå ÷àñòîòû ñðåçà ôèëüòðîâ íèæíèõ ÷àñòîò, ñõåìû êîòîðûõ èçîáðà

æåíû íà ðèñ. B14.6 (âàðèàíòû á, â).

4. (Ð) LC-ôèëüòð íèæíèõ ÷àñòîò (L = 0,2 Ãí, C = 0,2 ìêÔ) ñîãëàñîâàí ñ èñòî÷íè

êîì è ïðèåìíèêîì. Íà âõîäå ôèëüòðà äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå u(t) = 2 sin 0,4×10

t +

+ 2 sin 1,5×10

t Â. Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ôèëüòðà.

5. Ðàññ÷èòàéòå ïàðàìåòðû ïîñëåäîâàòåëüíî-ïðîèçâîäíîãî ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñ

òîò òèïà m è íåîáõîäèìîå ÷èñëî çâåíüåâ ïðè çàäàííûõ ÷àñòîòå ñðåçà w

= 10 c

–1

ñîïðîòèâëåíèè ïðèåìíèêà r

ïð

= 10 Îì, êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ a=20 äÁ ïðè

w=1,2w

224 Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14

Ðèñ. B14.8

14.4. Ýëåêòðè÷åñêèå ôèëüòðû íèæíèõ ÷àñòîò

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Î) Ïðè ìàêñèìàëüíî ïëîñêîé àïïðîêñèìàöèè õàðàêòåðèñòèêè K(w) = U

èäåàëüíîãî ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò èñïîëüçóþò ôóíêöèþ

()w

, ãäå

e — ïàðàìåòð, w

=w/w

, w

— ÷àñòîòà ñðåçà, n = 1, 2, ... — ïîðÿäîê ôèëüòðà. Èçî

áðàçèòå ôóíêöèþ f(w) ïðè e=0,5, e=1, n = 1, n = 2.

2. (Ð) Ðàññ÷èòàéòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà e, âõîäÿùåãî â âûðàæåíèå àïïðîêñèìè

ðóþùåé ôóíêöèè

()w

, ïðè êîòîðîì íåðàâíîìåðíîñòü êîýôôèöè

åíòà çàòóõàíèÿ ôèëüòðà íèçêîé ÷àñòîòû â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ íå ïðåâûñèò çíà

÷åíèÿ Da = 3 äÁ.

3. (Ð) Çàäàííàÿ íåðàâíîìåðíîñòü êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñ

òîò â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ ñîñòàâëÿåò Da = 2 äÁ. Íàéäèòå ïîðÿäîê ôèëüòðà ïðè

ìàêñèìàëüíî ïëîñêîé àïïðîêñèìàöèè åãî õàðàêòåðèñòèêè K(w), ïðè êîòîðîì

êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ ïðè ÷àñòîòå ñèãíàëà w³2w

ïðåâûøàåò 10 äÁ.

4. (Ð) Íàéäèòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåòðàìè rC-ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñòîò

ïðè ìàêñèìàëüíî ïëîñêîé àïïðîêñèìàöèè åãî õàðàêòåðèñòèêè K(w) è íåðàâ-

íîìåðíîñòè êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ Da = 3 äÁ â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ. Ðàñ-

ñ÷èòàéòå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ ïðè ÷àñòîòå ñèãíàëà w=2w

ïð

=¥).

5. (Ð) Íàéäèòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåòðàìè r, L, C ôèëüòðà

íèæíèõ ÷àñòîò âòîðîãî ïîðÿäêà (ðèñ. B14.9) ïðè ìàêñèìàëüíî

ïëîñêîé àïïðîêñèìàöèè åãî õàðàêòåðèñòèêè K(w) è íåðàâíî

ìåðíîñòè êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ Da = 3 äÁ â ïîëîñå ïðîïóñ

êàíèÿ (r

ïð

= ¥).

6. (Î) Çàïèøèòå àìïëèòóäíûå è ôàçîâûå ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðîâ

(ñì. óïð. 5, §13.5, ñõåìû âàðèàíòîâ á, â, ã, ä, å), èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ

äëÿ èõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé.

14.5. Óñòîé÷èâîñòü â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Î) Ìîæåò ëè áûòü íåóñòîé÷èâîé ëèíåéíàÿ à) ïàññèâíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü;

á) ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, íå ñîäåðæàùàÿ íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ; â) ýëåêòðè÷å

ñêàÿ öåïü ñ çàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè?

2. Ìîæåò ëè áûòü íåóñòîé÷èâîé ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, íå ñîäåðæàùàÿ ðåàêòèâíûõ

ýëåìåíòîâ?

3. (Ð) Â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè óñèëèòåëÿ ñ êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ K(p) = k

âêëþ÷åíî óñòðîéñòâî ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

Wp Tp() ( )=+11

. Ìîæåò ëè ýòà

ñèñòåìà áûòü íåóñòîé÷èâîé (k > 0)?

Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14 225

Ðèñ. B14.9

4. (Ð) Óñèëèòåëü ñ êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ k îõâà÷åí îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé

ñâÿçüþ. Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ óñòðîéñòâà îáðàòíîé ñâÿçè

à) W(p) =

ap ap++

; á) W(p) =

ap ap ap+++

Ìîæåò ëè ñèñòåìà áûòü íåóñòîé÷èâîé? (a

, a

>0)

5. (Ð) Óñèëèòåëü ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

=+-KkÒð k()1 b

íåóñòîé÷èâ. Äëÿ

ñòàáèëèçàöèè åãî îõâàòûâàþò îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, ïðè÷åì ïåðåäà

òî÷íàÿ ôóíêöèÿ óñòðîéñòâà îáðàòíîé ñâÿçè ñóòü W

îñ

(p) =a. Ïðè êàêèõ a îí áó

äåò óñòîé÷èâûì? (k >0)

6. (Ð) Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, ïîëó

÷åííîå â óïð. 5 § 13.5, íàéäèòå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïàðàìåòðà

ìè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. Â14.10), ïðè âûïîëíåíèè êîòîðî

ãî öåïü ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâîé.

7. (Î) Îïðåäåëèòå ñîîòíîøåíèå ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ ýëåê

òðè÷åñêèõ öåïåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â13.15, ïðè êîòîðîì öå-

ïè óñòîé÷èâû.

8. (Ð) Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå óñòîé÷èâîé ñèñòåìû èìååò âèä

+ b

ð + b

= 0. Óñòîé÷èâà ëè ñèñòåìà, õàðàêòåðè-

ñòè÷åñêîå óðàâíåíèå êîòîðîé b

+ b

ð + b

= 0?

9. (Ð) Óñòîé÷èâû ëè ñèñòåìû, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êîòîðûõ èìåþò

âèä:

à)3ð

+ ð

+2ð +1= 0; á) ð

+ ð

+3ð

+2ð +1= 0; â) ð

+3ð

+2ð +1= 0;

ã) ð

+3ð

+2ð

+ ð

+4ð +1= 0; ä) ð

+3ð

+2ð

+ ð

+4ð = 0;

å) ð

+3ð

+ ð

+4ð +1= 0; æ) ð

+3ð

+5ð

+ ð +1= 0;

ç)7ð

+6ð

+4ð

+5ð

+ ð

+2ð

+3ð –1= 0.

10. (Ð) Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ãóðâèöà íàéäèòå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðàìåòðàìè

ýëåìåíòîâ è êîýôôèöèåíòîì K óñèëåíèÿ óñèëèòåëÿ äëÿ ñõåì (ñì. ðèñ. Â13.15),

ïðè êîòîðûõ öåïè áóäóò óñòîé÷èâû.

226 Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14

Ðèñ. B14.10

Ðèñ. B14.11

Ðèñ. B14.12

11. (Î) Íà ðèñ. Â14.11 èçîáðàæåíû ãîäîãðàôû K(jw) àìïëèòóäíî-ôàçîâûõ ÷àñ

òîòíûõ õàðàêòåðèñòèê òðåõ ñèñòåì ñ ðàçîìêíóòîé öåïüþ îòðèöàòåëüíîé îáðàò

íîé ñâÿçè (ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçîìêíóòîé ñèñòåìû ñóòü K(ð) = K

(ð)W(p),

ãäå K

(ð), W(p) — ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè îñíîâíîãî óñòðîéñòâà è óñòðîéñòâà îá

ðàòíîé ñâÿçè). Êàêèå èç ñèñòåì óñòîé÷èâû ïðè çàìûêàíèè öåïè îáðàòíîé ñâÿçè?

12. (Î) Íà ðèñ. Â14.12 èçîáðàæåíû ëîãàðèôìè÷åñêèå àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå è

ôàçî÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ñèñòåì ñ ðàçîìêíóòûìè öåïÿìè åäèíè÷íîé

îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçè. Êàêàÿ èç ñèñòåì óñòîé÷èâà ïðè çàìûêàíèè öåïè

îáðàòíîé ñâÿçè?

Âîïðîñû óïðàæíåíèÿ è çàäà÷è ê ãëàâàì 13 è 14 227

Ãëàâà ïÿòíàäöàòàÿ

Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

15.1. Çàäà÷à ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Âñå èçëîæåííîå ðàíåå îòíîñèëîñü ê àíàëèçó ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ,

ò. å. ê èññëåäîâàíèþ èçìåíåíèé âî âðåìåíè òîêîâ è íàïðÿæåíèé â çàäàííîé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îäíàêî èñêëþ÷èòåëüíîå çíà÷åíèå èìååò îáðàòíàÿ çàäà÷à —

ïîñòðîèòü òàêóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ïðîöåññû â êîòîðîé áóäóò ïðîòåêàòü ïî

çàäàííîìó çàêîíó. Ðåøåíèå ïîäîáíûõ çàäà÷, îáðàòíûõ çàäà÷å àíàëèçà, íîñèò íà

èìåíîâàíèå ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Ïóñòü ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñîçäàòü öåïü ñ òðåáóåìûìè õàðàêòåðèñòèêàìè èç ëè

íåéíûõ ýëåìåíòîâ. Âõîäíàÿ âåëè÷èíà (íàïðÿæåíèå èëè òîê) ÿâëÿåòñÿ çàäàííîé

ôóíêöèåé âðåìåíè x

(t). Åå îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå X

(p), ñëåäîâàòåëüíî, òàê

æå èçâåñòíî. Çàäàí òàêæå è òðåáóåìûé çàêîí èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè âûõîäíîé

âåëè÷èíû x

(t) (íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà), è, ñîîòâåòñòâåííî, èçâåñòíî åå îïåðàòîð-

íîå èçîáðàæåíèå X

(p).

Òàêèì îáðàçîì, èìååì âûðàæåíèå K(p) = X

(p)/X

(p) äëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíê-

öèè, êîòîðîé äîëæíà îáëàäàòü ñîçäàâàåìàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, ïðåîáðàçóþùàÿ

(t)âx

(t).

Çàäà÷à, ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî çàäàííîìó îïåðàòîðíîìó âû-

ðàæåíèþ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè K(p) öåïè èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ïî çàäàííîé ÷àñ-

òîòíîé õàðàêòåðèñòèêå K(jw) öåïè ïîñòðîèòü êîíêðåòíóþ öåïü, îáëàäàþùóþ òà-

êîé õàðàêòåðèñòèêîé èëè õîòÿ áû õàðàêòåðèñòèêîé, áëèçêîé ê çàäàííîé.

Âõîäíûå ñîïðîòèâëåíèå èëè ïðîâîäèìîñòü äâóõïîëþñíèêà ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, åñëè â êà÷åñòâå âõîäíîé ôóíê-

öèè ðàññìàòðèâàòü îäíó èç âåëè÷èí — òîê èëè íàïðÿæåíèå íà âõîäå, à â êà÷åñòâå

âûõîäíîé — äðóãóþ èç ýòèõ âåëè÷èí: íàïðÿæåíèå èëè òîê íà âõîäå. Íåðåäêî äëÿ

îáùíîñòè è êðàòêîñòè âõîäíûå è ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè öåïè íàçûâàþò ïðîñòî

ôóíêöèÿìè öåïè èîáîçíà÷àþò ÷åðåç F(p).

Ôóíêöèè öåïè äëÿ ëèíåéíûõ öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿ

þòñÿ ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû p =s+ jw. Èõ ñâîéñòâà,

à ñëåäîâàòåëüíî, è ñâîéñòâà îïèñûâàåìûõ èìè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îäíîçíà÷íî

îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì íóëåé è ïîëþñîâ ýòèõ ôóíêöèé. Ôóíêöèè öåïè

ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òàêæå â âèäå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê.

Ïðè àíàëèçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ìû âèäåëè, ÷òî ðàçëè÷íûå ýëåêòðè÷åñêèå

öåïè ìîãóò èìåòü îäèíàêîâóþ ïî âèäó ôóíêöèþ öåïè. Íàïðèìåð, äâå ðàçëè÷íûå

öåïè íà ðèñ. 13.13 ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèðóþùèìè öåïÿìè è èìåþò îäèíàêîâûé

âèä ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, à òàêæå äâå ðàçëè÷íûå öåïè íà ðèñ. 13.14 ÿâëÿþò

ñÿ èíòåãðèðóþùèìè è îáëàäàþò ïåðåäàòî÷íûìè ôóíêöèÿìè îäèíàêîâîãî âèäà.

Óæå îòñþäà âèäíî, ÷òî îäíà è òà æå çàäà÷à ñèíòåçà ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íûå êîí

êðåòíûå ðåøåíèÿ, ò. å. ðåøåíèå åå íåîäíîçíà÷íîå.

Â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íàîáîðîò, êîíêðåòíîå ðåøåíèå çàäà÷è ñèíòåçà ñ ïîìî

ùüþ ëèíåéíûõ ïàññèâíûõ öåïåé ìîæåò îòñóòñòâîâàòü, íàïðèìåð, åñëè äëÿ ðåà

ëèçàöèè çàäàííîé ôóíêöèè òðåáóåòñÿ èìåòü â öåïè îòðèöàòåëüíîå àêòèâíîå ñî

ïðîòèâëåíèå.

Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàþò ñëåäóþùèå îñíîâíûå âîïðîñû ñèíòåçà öåïè ïî çà

äàííîé ôóíêöèè öåïè F(p).

Ïåðâûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ âûÿñíåíèå âîçìîæíîñòè ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè

öåïè, ñîîòâåòñòâóþùåé çàäàííîé ôóíêöèè F(p), ñ ïîìîùüþ îáû÷íûõ ýëåìåí

òîâ — êîíäåíñàòîðîâ, êàòóøåê, ðåçèñòîðîâ.

Åñëè ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôè÷åñêè â âèäå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè èëè ÿâ

íîé ôóíêöèè âðåìåíè, òî â ñâÿçè ñ ýòèì âîïðîñîì âîçíèêàåò çàäà÷à åå àíàëèòè

÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ôèçè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ öåïè áûëà

âîçìîæíîé.

Âòîðûì âîïðîñîì ñèíòåçà ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäà êîíêðåòíîé ðåàëèçà

öèè çàäàííîé ôóíêöèè ñíà÷àëà â âèäå ñõåìû öåïè, à çàòåì è â âèäå ôèçè÷åñêîé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ïðè ýòîì âàæíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûáîð ðàöèîíàëüíîãî

ïóòè ðåàëèçàöèè ââèäó óêàçàííîé ðàíåå ìíîãîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è; â ÷à

ñòíîñòè, îêàçûâàþòñÿ âîçìîæíûìè ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñõåìû öåïè

ñ öåëüþ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà åå ýëåìåíòîâ.

Äëÿ âûðàáîòêè òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëÿåìûõ ê ôóíêöèè F(p) â îòíîøåíèè

åå ðåàëèçóåìîñòè ïðè ïîìîùè ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, ðàñ-

ñìîòðèì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå íåêîòîðûå ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé Z(p)

è Y(p) ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

15.2. Ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé

ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Â íàñòîÿùåì è â ÷åòûðåõ ïîñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ áóäåì ðàññìàòðèâàòü âõîä-

íûå îïåðàòîðíûå è êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè, ò. å. âõîäíûå

ôóíêöèè äâóõïîëþñíèêîâ, òàê êàê äëÿ íèõ ìîæíî íàèáîëåå ëåãêî óÿñíèòü óñëî

âèå ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè çàäàííîé ôóíêöèè F(p) ñ öåëüþ ñèíòåçà äâóõïîëþñ

íèêîâ. Â ïîñëåäíåì ïàðàãðàôå ãëàâû ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé âîïðîñ —

î ñèíòåçå ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ïî çàäàííîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè.

Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ñâîéñòâà âõîäíûõ ôóíêöèé ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷å

ñêèõ öåïåé, óñòàíîâëåííûå èëè æå âûòåêàþùèå èç ðàññìîòðåííîãî ðàíåå.

Ïåðâûì ñâîéñòâîì âõîäíûõ îïåðàòîðíûõ ñîïðîòèâëåíèé Z(p) è ïðîâîäèìî

ñòåé Y(p) ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè áóäóò âåùåñòâåí

íûìè ïðè âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ p (p =s). Äåéñòâèòåëüíî, êîýôôèöèåíòû

ïîëèíîìîâ îò p â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå âåëè÷èí Z(p)èY(p) ÿâëÿþòñÿ âåùå

ñòâåííûìè, òàê êàê îíè îáðàçóþòñÿ ñóììàìè, ðàçíîñòÿìè, ïðîèçâåäåíèÿìè è ÷à

ñòíûìè îò äåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ R, L, C ó÷àñòêîâ öåïè. Ïîýòîìó

ïðè p âåùåñòâåííîì Z(p)èY(p) áóäóò âåùåñòâåííûìè.

Âòîðîå ñâîéñòâî âåëè÷èí Z(p)èY(p), îòìå÷åííîå â § 10.6, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,

÷òî èõ ïîëþñû è íóëè ðàñïîëàãàþòñÿ òîëüêî â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè êîìïëåêñ

íîãî îïåðàòîðà p =s+ jw (êîìïëåêñíîé ÷àñòîòû) èëè íà îñè ìíèìûõ, ò. å. s

£ 0,

ïðè÷åì â ñëó÷àå s

= 0 ïîëþñû è íóëè ïðîñòûå. Ïðè ýòîì âñå êîýôôèöèåíòû ïî

ëèíîìîâ îò p, ñòîÿùèõ â ÷èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, âûðà

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 229

æàþùèõ Z(p)èY(p), ïîëîæèòåëüíû. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçëîæèâ ïîëèíîì íà ìíî

æèòåëè:

ap ap a app pp pp

nn n

+++=-- -

-1

011

KK()( )(),

áóäåì èìåòü äëÿ êàæäîé ïàðû ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ êîðíåé

kk+

ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæèòåëåé âèäà

(p –

)(p –

) = (p – s

– jw

)(p – s

+ jw

) = (p – s

)

è äëÿ âåùåñòâåííûõ êîðíåé p

ìíîæèòåëè âèäà p – p

= p – s

. Îòñþäà âèäíî, ÷òî

åñëè âñå s

£ 0ès

£ 0, òî ìíîæèòåëè, íà êîòîðûå ðàçëîæåí ïîëèíîì, íå ñîäåðæàò

îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå êîýôôèöèåíòû a

, a

n–1

, ..., a

ïîëèíî

ìà ïîëîæèòåëüíû.

Òðåòüèì âàæíûì ñâîéñòâîì ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî èõ

âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ïîëîæèòåëüíà èëè ðàâíà íóëþ: Re [Z(p)] ³ 0èRe[Y(p)] ³ 0,

ò. å. íå îòðèöàòåëüíà ïðè óñëîâèè, ÷òî s³0. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü s=0, ò. å.

p = jw. Â ýòîì ñëó÷àå Z(jw)èY(jw), êàê áûëî óêàçàíî â § 10.3, ÿâëÿþòñÿ îáû÷íû-

ìè êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèåì è ïðîâîäèìîñòüþ. Ïðè íàëè÷èè îòëè÷àþùå-

ãîñÿ îò íóëÿ ïîëîæèòåëüíîãî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ õîòÿ áû â îäíîé âåò-

âè äâóõïîëþñíèêà àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íà âõîäå äâóõïîëþñíèêà ïîëîæèòåëüíà

è, ñëåäîâàòåëüíî, àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è àêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòü âñåãî äâóõ-

ïîëþñíèêà òàêæå ïîëîæèòåëüíû, ò. å. Re [Z(jw)] > 0. Êîãäà â öåïè èìåþòñÿ òîëü-

êî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû, òî Re [Z(jw)] = 0. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî Re [Z(p)]>0

äàæå äëÿ ÷èñòî ðåàêòèâíîé öåïè, åñëè s > 0. Íàïðèìåð, äëÿ öåïè íà ðèñ. 15.1, à

èìååì â ýòîì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:

Zp pL

LjL

CjC

() ( )

()

.=+ =+ +

=+ +

11 1

Ýòî âûðàæåíèå ïî ôîðìå ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ êîìïëåêñíîãî

ñîïðîòèâëåíèÿ Z(jw) = r + jwL + 1/(g + jwC) öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 15.1, á.

Ïîñëåäíåå ïðè r >0èg > 0 èìååò âåùåñòâåííóþ ÷àñòü áîëüøå íóëÿ, òî÷íî òàê æå

è âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü îïåðàòîðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z(p) öåïè íà ðèñ. 15.1, à ïðè

s > 0 áîëüøå íóëÿ. Äëÿ ëþáîé ñëîæíîé öåïè, ñîñòîÿùåé

òîëüêî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, àíàëîãè÷íî ìîæåò áûòü

ïîñòðîåíà öåïü, ñîäåðæàùàÿ àêòèâíûå ýëåìåíòû, ïðè÷åì

ïîñëåäîâàòåëüíî ñ êàæäîé êàòóøêîé L

äîáàâëÿåòñÿ ñîïðî

òèâëåíèå r

=sL

è ïàðàëëåëüíî êàæäîìó êîíäåíñàòîðó C

äîáàâëÿåòñÿ ïðîâîäèìîñòü g

=sC

. Ïðè ýòîì îïåðàòîðíîå

âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå Z(p) ðåàêòèâíîé öåïè ïðè

p =s+ jw è s > 0 áóäåò ïî ôîðìå ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íûì êîìïëåêñíîìó ñî

ïðîòèâëåíèþ Z(jw) âñåé öåïè ñ äîáàâëåííûìè àêòèâíûìè ýëåìåíòàìè. Àêòèâ

íîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäíåé öåïè r = Re [Z(jw)] áîëüøå íóëÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñî

îáðàæåíèé, òàê êàê äëÿ íåå àêòèâíàÿ ìîùíîñòü ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî,

èRe[Z(p)] > 0 ïðè s > 0 äëÿ ðåàêòèâíîé öåïè. Ýòî óñëîâèå è ïîäàâíî èìååò

ìåñòî äëÿ öåïè, ñîäåðæàùåé àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè.

230 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 15.1

Ôóíêöèè, îáëàäàþùèå óêàçàííûìè âûøå ñâîéñòâàìè, íàçûâàþò ïîëîæè

òåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè.

Èç èçëîæåííîãî âûòåêàåò, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü

ap a p a

bp b p b

()

+++

ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé îïåðàòîðíîå âûðàæåíèå âõîäíîé ôóíêöèè è ìîãëà áûòü ðåà

ëèçîâàíà â âèäå êîíêðåòíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, îíà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ïå

ðå÷èñëåííûì òðåáîâàíèÿì, ò. å. ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äîëæíû èìåòü íóëè

â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè èëè íà îñè ìíèìûõ, âñå êîýôôèöèåíòû a

è b

äîëæíû

áûòü âåùåñòâåííûìè è ïîëîæèòåëüíûìè è, íàêîíåö, äîëæíî áûòü Re [F(p)] ³ 0

ïðè Re (p) =s³0.

Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â § 6.6 ñòåïåíè n è m ïîëèíîìîâ

÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íå äîëæíû îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà áîëåå ÷åì íà åäè

íèöó.

15.3. Ïðåäñòàâëåíèå âõîäíûõ ôóíêöèé â âèäå ïðîñòûõ äðîáåé

Âõîäíóþ ôóíêöèþ F(p), ÿâëÿþùóþñÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü â âèäå ñóììû äâó÷ëåíà A

p + A

è ïðîñòûõ äðîáåé:

Ap A

()

,==++

¥ 0

ãäå p

, p

, ..., p

— êîðíè çíàìåíàòåëÿ Q(p). Ïðè ýòîì A

¹ 0, åñëè ñòåïåíü n ÷èñëè-

òåëÿ íà åäèíèöó áîëüøå ñòåïåíè m çíàìåíàòåëÿ. Ñëó÷àé A

= 0èA

¹ 0 èìååò

ìåñòî, åñëè n = m. Êîãäà n = m – 1, êîýôôèöèåíòû A

= 0èA

= 0. Èíäåêñ ¥ ó ïåð-

âîãî êîýôôèöèåíòà A

èìååò òîò ñìûñë, ÷òî ýòîò êîýôôèöèåíò ïðè n = m +1

îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ äëÿ F(p), ïðèâåäåííîãî â êîíöå ïðåäûäóùåãî ïàðà

ãðàôà â âèäå

=¥

()

. Êîýôôèöèåíòû A

, ..., A

îïðåäåëÿþòñÿ ïîñëå

âûäåëåíèÿ äâó÷ëåíà A

p + A

ïî ñïîñîáó, èçëîæåííîìó â § 10.5.

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà êîðíè çíàìåíàòåëÿ Q(p) ëèáî ìíèìûå,

ëèáî âåùåñòâåííûå.

Ìíèìûå êîðíè äîëæíû áûòü ïîïàðíî ñîïðÿæåííûìè. Ïóñòü, íàïðèìåð,

= jw

è p

k+1

= –jw

. Ïðè ýòîì

AAjA A

kk k k

¢¢

äîëæíû áûòü ñîïðÿæåííûìè

âåëè÷èíàìè, ò. å.

A AAjA

kkkk+

¢¢

. Îáúåäèíÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ïàðó ïðî

ñòûõ äðîáåé, ïîëó÷àåì

Ap j Ap j

pj pj

kkkk

++ -

()()

()(

kk kkk

AApAAj

)

()()

++-

¢¢

22 22

Óáåäèìñÿ, ÷òî åñëè ñîáëþäåíî óñëîâèå Re [F(p)] ³ 0 ïðè s³0, òî

¢¢

Ïóñòü p =s®0, òîãäà èç ýòîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî (–2

¢¢

) ³ 0 è, ñëåäîâà

Ãëàâà 15. Ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 231

òåëüíî,

¢¢

£ 0. Ïóñòü òåïåðü p = jw è w > w

,ò.å.p

= – w

< 0. Òîãäà èç

òîãî æå óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî

¢¢

,ò.å.

¢¢

³ 0. Îáà íåðàâåíñòâà äëÿ

¢¢

óäîâëåòâîðÿþòñÿ îäíîâðåìåííî òîëüêî ïðè

¢¢

= 0. Ó÷èòûâàÿ ýòî, èìååì

22 22

ãäå B

= 2

= 2A

— âåùåñòâåííîå ÷èñëî.

Åñëè êîðåíü p

= –d

âåùåñòâåííûé, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ïðîñòàÿ

äðîáü èìååò âèä

Òàêèì îáðàçîì, ðàçëîæåíèå ôóíêöèè F(p) ïðè íàëè÷èè òîëüêî âåùåñòâåííûõ

è ìíèìûõ êîðíåé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Ap A

()

==++

(*)

15.4. Ðåàëèçàöèÿ âõîäíûõ ôóíêöèé äâóõïîëþñíèêà,

èìåþùèõ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå êîðíè çíàìåíàòåëÿ,

ïðè ïîìîùè ðàçëîæåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé íà ïðîñòûå äðîáè

Ïóñòü âñå êîýôôèöèåíòû â ðàçëîæåíèè (*) ôóíêöèè F(p) âåùåñòâåííû è ïîëî-

æèòåëüíû. Ðàññìîòðèì, êàê ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû îòäåëüíûå ÷ëåíû ýòîãî ðàç-

ëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ F(p) äîëæíà âûðàæàòü âõîäíîå îïåðàòîð-

íîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè, ò. å. F(p) = Z(p).

Ïåðâîå ñëàãàåìîå A

p = Z

(p) ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ êàòóøêè ñ èíäóêòèâíî

ñòüþ L

= A

, òàê êàê îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå äëÿ íåå ðàâíî L

Âòîðîå ñëàãàåìîå A

= Z

(p) ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ó÷àñòêà ñ àêòèâíûì ñî

ïðîòèâëåíèåì r

= A

Ñëàãàåìîå, èìåþùåå âèä

ppBpB

kkkk

22 2

+ww()

ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ

ó÷àñòêà öåïè, ñîñòîÿùåãî èç ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðà ñ åìêîñòüþ

è êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòüþ L

(ðèñ. 15.2). Äåéñòâèòåëüíî, îïåðàòîðíîå ñî

ïðîòèâëåíèå òàêîãî ó÷àñòêà èìååò âèä Z

(p) =

1pC pL

+ ()

, è, ñëåäîâàòåëüíî,

âûáðàâ C

= 1/B

è L

= B

, îñóùåñòâèì òðåáóåìóþ ðåàëèçàöèþ.

232 ×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 15.2

Ðèñ. 15.3

Ðèñ. 15.4