Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
2. à) Ïðèìåíÿÿ ìåòîä íàëîæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿåì íàïðÿæåíèå â âèäå ñóììû äâóõ
ñêà÷êîîáðàçíûõ íàïðÿæåíèé U
0
(t–t
1
)è–U
0
(t–t
2
) è çàïèñûâàåì èñêîìîå èçî
-
áðàæåíèå U(p) =
U
p
e
U
p
e
U
p
ee
pt pt pt pt
00 0
12 12
-- --
-= -()
, ó÷èòûâàÿ, ÷òî èçîáðàæå
-
íèå ñêà÷êîîáðàçíîãî íàïðÿæåíèÿ U
0
åñòü U
0
/p.
Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë Ëàïëàñà, ïîëó÷àåì òîò æå ðåçóëüòàò:
Up utedtU edt
U
p
ee
pt pt
t
t
pt pt
() () ( ).===-
-
¥
-
--
òò
0
0
0
1
2
12
Åñëè äëèòåëüíîñòü t
2
– t
1
=Dt äåéñòâèÿ èìïóëüñà íàïðÿæåíèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,
à åãî àìïëèòóäà âîçðàñòàåò, òàê ÷òî ïðîèçâåäåíèå U
0
×Dt ñîõðàíÿåòñÿ ïîñòîÿííûì,
òî â ïðåäåëå ïðè Dt ® 0 èçîáðàæåíèå ïðèíèìàåò âèä
Up
U
p
ee
t
tU te
tt
pt pt
pt
( ) lim .=
-
=
®
--
-
0
0
21
12
1
D
DD
3, 4. Âîñïîëüçóåìñÿ èçîáðàæåíèåì ïðîèçâîäíîé f¢(t) ôóíêöèè f(t):
fte dt
pt
' ()
-
¥
ò
0
= pF(p)–f(0).
Ïðè p ®¥èìååì
lim
p®¥
pF(p) =
lim
p®¥
[f(0) +
fte dt
pt
' ()
-
¥
ò
0
] = f(0), à ïðè p ® 0
lim ( ) ( ) ( ) ( )
p
pF p f f t f
®
¥
=+ =¥
0
0
0
.
5. à) i (+0) = 0, i (¥) = U
0
/2r ; á) i (+0) = U
0
/r, i (¥) = 0; â) i(+0) = U
0
/r, i(¥) = U
0
/r ;
ã) i (+0) = 0, i (¥) = 0; ä) i (+0) = U
0
/r, i (¥) = 0.
10.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì
ÂÎÏÐÎÑÛ
1. Ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ îïåðàòîðíûì ìåòîäîì òîêè â êàòóøêàõ
èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ â ìîìåíò âðåìåíè t = +0 âõîäÿò
â óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà è ó÷èòûâàþòñÿ, òàêèì îáðàçîì, íà íà÷àëü
-
íîé ñòàäèè ðåøåíèÿ çàäà÷è, à èìåííî íà ýòàïå ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé â îïåðà
-
òîðíîé ôîðìå. Ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì íà
-
÷àëüíûå óñëîâèÿ (òîêè â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ) ó÷èòûâàþò
óæå ïîñëå ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, à èìåííî íà ýòàïå íàõîæäåíèÿ
ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, âõîäÿùèõ â ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå
-
íèé öåïè.
2.  îáùåì ñëó÷àå ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ òîê I(p) íà âõîäå äâóõïî
-
ëþñíèêà íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå I(p) = U(p)/Z(p), ãäå U(p) — îïåðàòîðíîå
èçîáðàæåíèå âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ. Ïîýòîìó îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå Z(p)
íåëüçÿ ïîëó÷èòü, çàìåíèâ â âûðàæåíèè Z(jw) êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
äâóõïîëþñíèêà âåëè÷èíó jw íà îïåðàòîð p. Îäíàêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 503
óñëîâèÿõ èç âûðàæåíèÿ I(p) = U(p)/Z(p) ìîæíî íàéòè îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëå
-
íèå Z(p) = U(p)/I(p), êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ êîìïëåêñíûì ñîïðîòèâëåíèåì Z(jw)
ïîñëå çàìåíû â íåì âåëè÷èíû jw íà îïåðàòîð p.
4. Ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà ìîæíî ïîëó
-
÷èòü, çàìåíÿÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèÿõ êîìïëåêñíîãî ìåòîäà êîìïëåêñ
-
íûå òîêè
&
I
, íàïðÿæåíèÿ
&
U
, ñîïðîòèâëåíèÿ Z è ïðîâîäèìîñòè Y íà âåëè÷èíû I(p),
U(p), Z(p), Y(p). Îáðàòíîå òàêæå ñïðàâåäëèâî: çàïèñàâ óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõ
-
ãîôà, ìîæåì, ïðèíèìàÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íóëåâûìè, ïåðåéòè ê óðàâíåíèÿì â
êîìïëåêñíîé ôîðìå ïîñëå çàìåíû â íèõ îïåðàòîðà p íà âåëè÷èíó jw.
7. Åñëè ïîëèíîì H(p) îïåðàòîðíîãî èçîáðàæåíèÿ òîêà I(p) = G(p)/H(p) íå èìååò
êîìïëåêñíûõ êîðíåé, òî âñå êîýôôèöèåíòû G(p)/H(p) âåùåñòâåííûå. Åñëè æå
îí èìååò õîòÿ áû îäíó ïàðó êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíåé p
1
= –a + jw è
p
2
= –a – jw, òî êîýôôèöèåíòû À(ð
1
) = G(p
1
)/H¢(p
1
), A(p
2
) = G(p
2
)/H¢(p
2
), âõîäÿ
-
ùèå â âûðàæåíèå èñêîìîãî òîêà i(t) = exp (–at)[A(p
1
) exp (jwt)+A(p
2
) exp(–jwt)]
â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà A(p
1
) ¹ A(p
2
), äîëæíû áûòü êîìïëåêñíûìè, òàê êàê òîëüêî
òîãäà òîê i(t) áóäåò âåùåñòâåííûì.
8. Èç óðàâíåíèÿ Z(p)I(p) = U(p), â êîòîðîì I(p) — òîê íà âõîäå äâóõïîëþñíèêà,
Z(p) — åãî îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå, ñëåäóåò, ÷òî ïîëèíîì Z(p) ñîâïàäàåò ñ
õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîì ñîîòâåòñòâóþùåãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ öåïè. Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîä îò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè ê õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîìó âûïîëíÿåòñÿ òàê æå, êàê è ïåðåõîä îò äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ê îïåðàòîðíîìó, à èìåííî ïóòåì çàìåíû k-é ïðîèçâîäíîé òîêà íà k-þ
ñòåïåíü âåëè÷èíû a (ïðè ñîñòàâëåíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ) ëèáî íà
k-þ ñòåïåíü îïåðàòîðà p ïðè ïîëó÷åíèè îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ.  ïîñëåäíåì
ñëó÷àå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîæíî âñåãäà ïðèíÿòü íóëåâûìè, òàê êàê ñâîéñòâà
öåïè íå çàâèñÿò îò çàäàâàåìûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïðè ðàñ÷åòå îïåðàòîðíîãî
ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè òîêè âñåõ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè è íàïðÿæåíèÿ íà âñåõ
êîíäåíñàòîðàõ ñëåäóåò ïðèíÿòü ðàâíûìè íóëþ, âñå èñòî÷íèêè ÝÄÑ äîëæíû áûòü
çàìêíóòû íàêîðîòêî, à âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè òîêà — ðàçîðâàíû.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1. Îïåðàòîðíûå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïåé ñîîòâåòñòâóþùèõ âàðèàíòîâ ðàâíû:
à)
Zp
rr pL r r
rpL
()
()
=
++
+
12 1 2
2
; á)
Zp
rpLprLC
rCp
()=
++
+
2
1
; â)
Zp
rpLprLC
rpLCp
()
()
=
++
+
2
;
ã)
Zp
pL prC
Cp r pL
()
()
()
=
+
++
1
1
; ä)
Zp
rpL
rpLpC
()
()
=
+
++1
; å)
Zp
rpLprLC
pLC
()=
++
+
2
2
1
.
2. Èçîáðàæåííûì íà ðèñ. Ð10.1 ñõåìàì ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñîîòâåòñòâóþò çà
-
ïèñàííûå â îïåðàòîðíîé ôîðìå óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà:
à) I
r
(p) = I
L
(p)+I
C
(p), rI
r
(p)+pLI
L
(p) = E(p)+Li
L
(0), pLI
L
(p)–
1
Cp
I
C
(p) =
= Li
L
(0) +
E
p
+
u
p
C
()0
.
504 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
á) I
C
(p) =Á(p)+I
L
(p), pLI
L
(p)+
1
Cp
I
C
(p) = Li
L
(0) –
u
p
C
()0
.
ä) I
L
(p) = I
C
(p)+
I
r
1
(p), Á(p)+
Ip Ip
rr
12
() ()=
, I
L
(p)pL + I
C
(p)
1
Cp
=
=
E
p
+ Li
L
(0) –
u
p
C
()0
,
I
r
1
(p)r
1
+
I
r
2
(p)r
2
– I
C
(p)
1
Cp
=
u
p
C
()0
.
4. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ÝÄÑ è òîêà çàäàííûõ èñòî÷íèêîâ
cóòü
Ep
E
p
m
()=
+
w
w
22
,
Á=
Á
+
()p
p
m
w
w
22
, ïîëó÷àåì:
á)
Ip
ErrCp
prrCp
m
()
[( ) ]
()()
=
++
++
w
w
12
22
12
1
1
; â)
Ip
ECp
ppLC
m
()
()( )
=
++
w
w
222
1
;
ã)
Ip
ErrpL
prpLr
m
()
()
()()
=
++
++
w
w
12
22
12
; ä)
Up
Jr
pprC
m
()
()()
=
++
w
w
22
1
;
å)
Up
rpL
ppLr
m
()
()()
=
Á
++
w
w
22
; ç)
Ip
EpLr
prrpLrr
m
()
()
()[() ]
=
+
+++
w
w
22
12 12
.
5. Ó÷èòûâàÿ çàäàííûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ i
L
(–0) = 0, u
C
(–0) = U
0
= 120 Â ïðè ñî
-
ñòàâëåíèè óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà â îïåðàòîðíîé ôîðìå
-+ + =Ip Ip Ip
123
0() () ()
,
rI p
Ip
Cp
U
p
u
p
C
1
20
0
()
() ()
+=-
,
IppL
Ip
Cp
u
p
C
3
2
0
()
() ()
-=
è ðåøàÿ èõ îòíîñèòåëüíî òîêà I
2
(p), ïîëó÷àåì:
Ip
urC
prLC pL r p p
C
2
2
2
52
0
48 10
410 01 40
()
()
,
,
=-
++
=
-×
×++
-
-
.
Ðåøàÿ óðàâíåíèå H(p) = 0, ïîëó÷àåì p
1
= –2000, p
2
= –500. Äàëåå íàõîäèì G(p
1
) =
= G(p
2
) = –4,8×10
–2
, H¢(p
1
) = –0,06, H¢(p
2
) = 0,06 è òîê i
2
(t) = 0,8e
–2000t
– 0,8e
–500t
À.
Äàëåå ïîëó÷àåì:
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 505
Ðèñ. Ð10.1
u
C
(t) =
1
2
0
C
itdt
t
()
ò
+ u
C
(0) = –40e
–2000t
+ 160e
–500t
, i
3
(t) = 3 + 0,2e
–2000t
– 3,2e
–500t
À,
i
1
(t) = 3+e
–2000t
–4e
–500t
À.
7. Ðàñêëàäûâàÿ âûðàæåíèÿ I(p) íà ïðîñòûå äðîáè, íàõîäèì:
à)
Ip
U
r
Ap B
p
C
p
U
r
p
p
()
()
,,
()
=
+
+
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
=
+
+
-
0
2
0
2
1
3
025 075
1
025
3
,
,
p +
é
ë
ê
ù
û
ú
it
U
r
etee
ttt
() [ ];=+-
---
0
3
4
2
á)
it
U
r
e
t
() ( , );
,
=-
-
0
05
1025
â)
Ip U
p
pp
U
Ap B
p
C
p
()
()()
=
+
++
=
+
+
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
=
0
22
0
22
21
2
2
ww
=
++
++
-
++
é
ë
ê
ù
û
ú
U
p
pp
0
2
22 2 2
322
4
3
42
w
ww w()( )()()
,
it
U
t
U
t
U
e() cos
()
()
sin=
+
+
+
+
-
+
-
3
4
22
4
3
4
0
2
2
0
2
0
2
2
w
w
w
ww
w
w
t
.
8. Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå
Ip
Up
rpL
()
()
=
+
èçîáðàæåíèå
Up
U
p
m
()=
+a
âõîäíîãî íà-
ïðÿæåíèÿ, ïîëó÷àåì òîê
Ip
U
Lp p
m
()
()()
,=
++ad
ãäå
d=
r
L
,
it
U
rL
ee
m
tt
() ( ).=
-
-
--
a
ad
Çàâèñèìîñòü
it()
ïðè
da= 2
èçîáðàæåíà íà ðèñ. Ð9.5. Òîê i(t)
äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî
U
r
m
2
,
ïðè
t
0
103
=
-
@
da
d
aa
ln
,
.c
9. Çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿ
ri L
di
dt
M
di
dt
U
ri M
di
dt
L
di
dt
11 1
12
0
22
1
2
2
0
++ =
++ =
,
â îïåðàòîðíîé ôîðìå
( ) () () ,
() ( ) ()
rpLIpMpIpUp
MpI p r L p I p
111 2 0
1222
0
++=
++ =
506 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð9.5
è, ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ
dd s
1
1
1
2
2
2
22
2
12
1===-=
r
L
r
L
kk
M
LL
,, ,
, ïîñëå ïðîñòûõ ïðå
-
îáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì:
Ip
U
pL
p
pp
Ip
UM
LL
1
0
1
2
2
12 12
2
0
12
()
[( ) ]
,
()
[
=
+
++ +
=-
d
sdddd
sddddpp
2
12 12
++ +() ]
.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ, íàõîäèì âåëè÷èíû
it
U
r
U
bL
p
e
p
pt
1
0
1
0
1
2
2
1
1
11
1
()=+ +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
s
d
s
d
÷
é
ë
ê
ù
û
ú
=- -eUt
UM
bL L
ee
pt pt pt
212
2
0
12
,() ( ),
ãäå
bkpb=-+ =-+±() , [()].
,
dd dd dd s
12
22
12 12 1 2
42
 ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ òîêè
iti t
12
(), ()
âûðàæàþòñÿ áîëåå ïðîñòûìè ôîðìóëàìè.
Íàïðèìåð, ïðè
ddd
12
==
èìååì
it
U
r
U
r
ee it
U
r
k
t
k
t
1
0
1
0
1
11
2
0
2
2
() , ()=- +
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
+
-
-
dd
12
11
r
ee
k
t
k
t-
+
-
-
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
dd
.
Ïðè k = 1, ò. å. ïðè
MLL
2
12
=
, ïîëó÷àåì
it
U
r
U
r
eit
U
M
e
pt pt
1
0
1
0
1
2
12
2
0
12
11
() , ()
()
.=-
+
=-
+
d
dd dd
Åñëè ïðè ýòîì
rr r
12
==
è
LL L
12
==,
òî
it
U
r
eit
U
r
e
tt
1
0
2
2
0
2
1
1
22
() , () .=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=-
--
dd
10. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ G(jw) = G(w) exp [ j a(w)],N(jw) = N(w) exp [ j b(w)]. Òî
-
ãäà ïîëó÷àåì:
Gj
Hj
e
Gj
Hj
e
Ge e
jt jt
jjt
()
()
()
()
()
()
w
w
w
w
w
ww
aw w
''
+
-
-
=
-
2 jN e
Ge e
jN e
G
j
jjt
j
ww
w
ww
w
bw
aw w
bw
()
()
()
()
()
()
()
+
-
=
=
--
-
2
[]
()
()si
[()()] [()()]
ee
jN
G
jt jtwaw bw wawbw
ww
w
+- -++
-
=
2
n[ () ()]
()
()
()
()
()
wawbw
ww
w
ww
aw
bw
w
t
N
Ge
Ne
e
j
j
jt
+-
=
=
é
Im
ë
ê
ù
û
ú
=
é
ë
ê
ù
û
ú
Im
Gj
Nj
e
jt
()
()
.
w
ww
w
11.1. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ
ÂÎÏÐÎÑÛ
5. Êàê âèäíî èç àìïëèòóäíîé ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè U(w) = 2U
0
|(sin aw)/w |
ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà äëèòåëüíîñòüþ 2a (ñì. ðèñ. Ð11.1), ïðè óìåíüøåíèè
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 507
äëèòåëüíîñòè èìïóëüñà øèðèíà åå ïåðâîãî ëåïåñòêà óâåëè÷èâàåòñÿ, à àìïëèòóäà
ïàäàåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî øèðèíà ïîëîñû ÷àñòîò, â ïðåäåëàõ êîòîðîé çàêëþ÷åíà
îñíîâíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè ñèãíàëà, óâåëè÷èâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëèòåëüíîñòü
èìïóëüñà è øèðèíà òîé ÷àñòè åãî ñïåêòðà, â êîòîðîé çàêëþ÷åíà áîëüøàÿ ÷àñòü
ýíåðãèè ñèãíàëà, ñâÿçàíû îáðàòíî-ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Òàêàÿ ñâÿçü
ñóùåñòâóåò íå òîëüêî äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ, íî è äëÿ ñèãíàëîâ äðóãèõ
ôîðì. Ãîâîðÿò, ÷òî ÷åì ìåíüøå äëèòåëüíîñòü ñèãíàëà, òåì øèðå åãî ñïåêòð, ïî
-
íèìàÿ ïîä íèì ïîëîñó ÷àñòîò, îïðåäåëÿþùèõ åãî ýíåðãèþ.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
2. ×àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó íàïðÿæåíèÿ u(t) ìîæíî ïîëó÷èòü, çàïèñûâàÿ ïðå-
îáðàçîâàíèå Ëàïëàñà U(p) è çàìåíÿÿ îïåðàòîð p íà âåëè÷èíó jw, ëèáî âû÷èñëÿÿ
èíòåãðàë ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Óïðîñòèòü ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ìîæ-
íî, ïðåäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå u(t) â âèäå ñóììû ñäâèíóòûõ âî âðåìåíè íàïðÿ-
æåíèé, ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó êàæäîãî èç êîòîðûõ ìîæíî ëåãêî ðàññ÷è
-
òàòü.
Âàðèàíò à. Ïðåäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå â âèäå ñóììû äâóõ ñäâèíóòûõ íà âðåìÿ 2à
ñòóïåí÷àòûõ íàïðÿæåíèé U
0
è U
0
(t –2a) è çàïèñûâàÿ èõ îïåðàòîðíûå èçîáðàæå
-
íèÿ U
0
/p,–U
0
[exp (–2ap)]/p, ïîëó÷àåì ïîñëå çàìåíû îïåðàòîðà p íà âåëè÷èíó jw
èñêîìóþ ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó U(jw) =
U
j
0
w
(1 – e
–2jaw
), U(w) = 2U
0
sin aw
w
,
a(w) =
arctg
cos
sin
2
2
a
a
w-1
w
.
Àìïëèòóäíàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà U(w) ñîâïàäàåò ñ õàðàêòåðèñòèêîé
òàêîãî æå, íî ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííîãî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò
ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà (ñì. ðèñ. Ð11.1).
Âàðèàíò á. Èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ñèíócîèäàëüíîãî íàïðÿæå
-
íèÿ, çàïèøåì
Up
U
p
U
p
e
mm
p
()=
+
+
+
-
w
w
w
w
p
w
0
0
22
0
0
22
0
è íàõîäèì ïîñëå çàìåíû p ® jw ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó
508 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
Ðèñ. Ð11.1
Uj
U
e
U
m
j
m
() cosw
w
ww
w
ww
w
wp
w
=
-
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
+
-
0
0
22
0
0
22
11
0
p
w
wp
w
00
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
jsin ,
à òàêæå àìïëèòóäíóþ è ôàçîâóþ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè
U
U
m
() cos , ()
sin
cos
w
w
ww
wp
w
aw
wp
w
wp
=
-
=-
+
2
2
1
0
0
22
0
0
arctg
w
wp
w
0
0
2
=- .
7. Ñîïîñòàâëÿÿ ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó U(jw) îäèíî÷íîãî èìïóëüñà
Uj u te dt u te dt
jt jt
T
( ) () ()w
ww
==
-
-¥
¥
-
òò
èìï èìï
0
ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì ïåðèîäè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ
Ujq ute dt
jq t
T
() () ,w
w
1
0
1
=
-
ò
âèäèì, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû U(jqw
1
) = U(2pq/T) ìîæíî ïîëó-
÷èòü, âûïîëíÿÿ çàìåíó w íà qw
1
â âûðàæåíèè U(jw).
11.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè ïîìîùè ÷àñòîòíûõ
õàðàêòåðèñòèê ñèãíàëîâ è ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ÂÎÏÐÎÑÛ
3. Ìåòîä ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûå ïðîöåññû
â öåïÿõ òîëüêî ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ äëÿ òîêîâ â êàòóøêàõ è íàïðÿ-
æåíèÿõ íà êîíäåíñàòîðàõ. Ïðè íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ìîæíî, ïîëüçó
-
ÿñü ëèíåéíîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàññ÷èòàòü
òîêè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, îáóñëîâëåííûå íà÷àëü
-
íûìè çàïàñàìè ýíåðãèè â öåïè ïðè îòñóòñòâèè âíåø
-
íèõ èñòî÷íèêîâ (çàìêíóòûõ íàêîðîòêî èñòî÷íèêàõ
ÝÄÑ è ðàçîìêíóòûõ âåòâÿõ ñ èñòî÷íèêàìè òîêà), à
òàêæå äåéñòâèåì âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ïðè íóëåâûõ
íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïîñëåäíèé ðàñ÷åò ìîæíî âû
-
ïîëíèòü ìåòîäîì ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
6. Äëÿ âàðèàíòà à èìååì
it I td I td
I
t
() ( )cos ( )cos
()
===
¥
¢
òò
22
0
20
1
0
1
0
1
p
www
p
ww
p
w
sin .w' t
Çàâèñèìîñòü i(t) èçîáðàæåíà íà ðèñ. P11.2.
Äëÿ âàðèàíòà á ïîëó÷àåì
it
I
t
t()
()
(cos).=-
¢
-
¢
20
1
1
2
pw
w
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 509
Ðèñ. Ð11.2
12.1. Ïåðåõîäíûå è èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ÂÎÏÐÎÑÛ
5.  ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè èñòî÷íèê ÝÄÑ äîëæåí áûòü
çàìêíóò íàêîðîòêî, òàê êàê åãî âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ. Âåòâè,
ñîäåðæàùèå èìïóëüñíûå èñòî÷íèêè òîêà, â ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó èì
-
ïóëüñàìè äîëæíû áûòü ðàçîìêíóòû, òàê êàê âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå òàêèõ
èñòî÷íèêîâ áåñêîíå÷íî âåëèêî.
6. Ïðîöåññû â öåïè â ìîìåíòû äåéñòâèÿ èìïóëüñîâ îïèñûâàþò íåîäíîðîäíûìè
äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, òîãäà êàê â ìîìåíòû ïàóçû — îäíîðîäíûìè,
ñ ðàâíîé íóëþ ïðàâîé ÷àñòüþ.
8. Ïðè äåéñòâèè èìïóëüñà êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðû íàêàïëèâà
-
þò ýíåðãèþ â âèäå ýíåðãèè ìàãíèòíûõ è ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ
äåéñòâèÿ èìïóëüñà òîêè êàòóøåê è íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ìîãóò áûòü íå
ðàâíûìè íóëþ, òàê ÷òî â ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè ïðîòåêàþò
ïåðåõîäíûå ïðîöåññû, ïðè êîòîðûõ íàêîïëåííàÿ â ýòèõ ýëåìåíòàõ ýíåðãèÿ ðàñ-
ñåèâàåòñÿ â ðåçèñòîðàõ.
10.  ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà òîêà çàðÿä êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷è-
íó Dq = IDt è íàïðÿæåíèå íà íåì ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå Du =Dq/C. Ïîñëå îêîí÷à-
íèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå, êàê è åãî çàðÿä, îñòàþòñÿ
íåèçìåííûìè äî ìîìåíòà ïîÿâëåíèÿ ñëåäóþùåãî èìïóëüñà òîêà.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ õàðàêòåðèñòèê íà âõîä öåïè ïîäàåì ñêà÷êîîáðàç-
íîå íàïðÿæåíèå è, ðàññ÷èòûâàÿ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, íàõîäèì íàïðÿæåíèå u
2
(t)
è òîê i
1
(t). Ïîñëå äåëåíèÿ èõ íà âåëè÷èíó u
1
íàõîäèì èñêîìûå õàðàêòåðèñòèêè:
à) h(t) =
e
r
L
t-
, Y(t) =
1
1
r
e
r
L
t
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
; á) h(t) =
1-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
e
r
L
t
, Y(t)
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
1
1
r
e
r
L
t
;
â) h(t) =
1
2
2
e
r
L
t-
, Y(t) =
1
1
1
2
2
r
e
r
L
t
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
; ã) h(t)
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
1 e
t
rC
, Y(t) =
1
r
e
t
rC
-
;
ä) h(t) =
e
t
rC
-
, Y(t) =
1
r
e
t
rC
-
;å)h(t)
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
1
2
1
2
e
t
rC
, Y(t) =
1
2
1
2
r
e
t
rC
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
.
3. Çàïèñûâàÿ îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà
U(p) = U
0
/p –(U
0
/p) exp (– pT) = (U
0
/p)[1 – exp (– pT)], à òàêæå îïåðàòîðíîå ñî
-
ïðîòèâëåíèå öåïè Z(p) =
rLCp pL r
rCp
íí
í
2
1
++
+
, ïîëó÷àåì îïåðàòîðíîå èçîáðàæåíèå
íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè U
r
(p) =
Gp
Hp
()
()
=
-
++
-
Ur e
prLCp pL r
pT
0
2
1
í
íí
()
()
. Äëÿ
ðàñ÷åòà ôóíêöèè u
r
(t) èñïîëüçóåì òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ. Êîðíè ïîëèíîìà
H(p) ðàâíû: p
1
= 0, p
2
= –8,87×10
5
, p
3
= –1,13 ×10
5
. Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ H ¢(p
1
),
510 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷
H ¢(p
2
), H ¢(p
3
), íàõîäèì èñêîìîå íàïðÿæåíèå u
1r
(t) = 10
–2
+ 1,45×10
–3
e
t-×88710
5
,
–
-×
-- ×
115 10
2112710
5
,
,
e
t
 ïðè 0 £ t £ T è u(t) = u
2r
(t)–u
1r
(t – T) ïðè t ³ T.
4. Óêàçàííûå èíòåãðàëû ðàâíû à) U
0
; á)0;â)0;ã)0;ä)0;å)0;æ)1;ç)0;è)1;ê) t;
ë) U
0
1(t); ì)+¥.
5.  ìîìåíò âðåìåíè äåéñòâèÿ èìïóëüñà âûõîäíàÿ âåëè÷èíà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêî
-
íó x
âûõ
(t) = Kh(0)d(t), à ïîñëå åãî îêîí÷àíèÿ, äëÿ t >0—ïîçàêîíó x
âûõ
(t) = Kh
d
(t).
6. Èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè èìåþò âèä:
à) h
d
(t) =
-
-
r
L
e
r
L
t
, Y
d
(t) =
1
L
e
r
L
t-
; á) h
d
(t) =
r
L
e
r
L
t-
, Y
d
(t) =
1
L
e
r
L
t-
;
â) h
d
(t) =
-
-
r
L
e
r
L
t
4
2
, Y
d
(t) =
1
4
2
L
e
r
L
t-
; ã) h
d
(t) =
1
rC
e
t
rC
-
×, Y
d
(t) =
-
-
1
2
rC
e
t
rC
;
ä) h
d
(t) =
-
-
1
rC
e
t
rC
, Y
d
(t) =
-
-
1
2
rC
e
t
rC
; å) h
d
(t) =
1
2
rC
e
t
rC
-
, Y
d
(t) =
1
2
2
-
-
rC
e
t
rC
.
7.  ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà êîíäåíñàòîð çàðÿæàåòñÿ, ïðè÷åì òîê çàðÿäà áåñ-
êîíå÷íî âåëèê. Ê ìîìåíòó âðåìåíè îêîí÷àíèÿ èìïóëüñà (t = +0) íàïðÿæåíèå íà
êîíäåíñàòîðå ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì u(+0) = Kh
d
(0) = K/rC. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñò-
âèÿ èìïóëüñà êîíäåíñàòîð ðàçðÿæàåòñÿ, â ñâÿçè ñ ÷åì òîê â öåïè èçìåíÿåò ñâîå
íàïðàâëåíèå. Ïðè t > 0 èìååì u
C
(t) = (K/rC) exp (–t/rC), i
Ñ
(t) = –(K/r
2
C) exp (–t/rC).
8. Â ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà èìååì u
2
(t) = Kh(0)d(t), i
1
(t) = KY(0)d(t), à ïîñëå
åãî îêîí÷àíèÿ — u
2
(t) = Kh¢(t), i
1
(t) = KY ¢(t).
 öåïÿõ âàðèàíòîâ à, â, ä èìååì h(0) ¹ 0, â ñâÿçè ñ ÷åì íàïðÿæåíèå u
2
â ìîìåíò
äåéñòâèÿ èìïóëüñà ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íûì. Àíàëîãè÷íî â öåïÿõ âàðèàíòîâ â, ã,
ä, å èìååì Y(0) ¹ 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, òîê i
1
â ìîìåíò äåéñòâèÿ èìïóëüñà òàêæå
ñòàíîâèòñÿ áåñêîíå÷íûì.
 öåïÿõ âàðèàíòîâ á, ã, å ïîëó÷àåì, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, h(0) = 0 è âåëè
-
÷èíà u
2
(0) = Kh¢(0) îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé â öåïÿõ âàðèàíòîâ á) u
2
(0) = Kr/L;
ã) u
2
(0) = K/rC; å) u
2
(0) = K/rC. Â öåïÿõ âàðèàíòîâ à, á èìååì Y(0) = 0 è òîê i
1
(0)
ðàâåí: à) i
1
(0) = K/L; á) i
1
(0) = K/L.
Èñêîìûå âåëè÷èíû ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà îïèñûâàþòñÿ âûðàæå
-
íèÿìè:
à) u
2
(t) = –
Kr
L
e
r
L
t-
, i
1
(t) =
K
L
e
r
L
t-
; á) u
2
(t) =
Kr
L
e
r
L
t-
, i
1
(t) =
K
L
e
r
L
t-
;
â) u
2
(t) =
Kr
L
e
r
L
t
4
2
-
, i
1
(t) =
K
L
e
r
L
t
4
2
-
; ã) u
2
(t) =
K
rC
e
t
rC
-
, i
1
(t) =
-
-
K
rC
e
t
rC
2
;
ä) u
2
(t) = –
K
rC
e
t
rC
-
, i
1
(t) = –
K
rC
e
t
rC
2
-
; å) u
2
(t) =
K
rC
e
t
rC
-
2
, i
1
(t) =
-
-
K
rC
e
t
rC
2
2
.
Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 511
12.2. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ
ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà Äþàìåëÿ
ÂÎÏÐÎÑÛ
1. Ïðè óñëîâèè à) èíòåãðàë ñîõðàíèò ñâîé âèä, îäíàêî ïåðåõîäíóþ ïðîâîäè
-
ìîñòü Y(t) ñëåäóåò ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ Y(t) = i
k
(t)/U
0
, ãäå âõîä
-
íîå íàïðÿæåíèå U
0
— ïîñòîÿííîå. Ïðè ðàñ÷åòå íàïðÿæåíèÿ u
k
(t)íàk-îé âåòâè
ïåðåõîäíóþ ïðîâîäèìîñòü â âûðàæåíèè èíòåãðàëà Äþàìåëÿ ñëåäóåò çàìåíèòü
íà ïåðåõîäíóþ õàðàêòåðèñòèêó h(t) = u
k
(t)/U
0
.
2. Âõîäÿùàÿ â èíòåãðàë Äþàìåëÿ ïåðåõîäíàÿ (ëèáî èìïóëüñíàÿ) õàðàêòåðèñòè
-
êà öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïîýòîìó íåïîñðåäñò
-
âåííîå èñïîëüçîâàíèå èíòåãðàëà Äþàìåëÿ äëÿ ðàñ÷åòà òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïðè
íåíóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íåâîçìîæíî. Äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ, ïðèíèìàÿ, ÷òî èñêîìàÿ âåëè÷èíà
ñîäåðæèò â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå äâå ñîñòàâëÿþùèå, îäíó èç êîòîðûõ ìîæíî
íàéòè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, à äðó
-
ãóþ ñîñòàâëÿþùóþ, îáóñëîâëåííóþ íà÷àëüíûì çàïàñîì ýíåðãèè â öåïè, — ëþ-
áûì èç ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ìåòîäîâ, íàïðèìåð êëàññè÷åñêèì èëè îïåðàòîð-
íûì.
Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ìîæíî ïðèìåíèòü è ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà,
âîçíèêàþùåãî ïðè ïîäêëþ÷åíèè àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ê âíåøíåìó èñòî÷-
íèêó ñ ÝÄÑ (ëèáî òîêîì) ïðîèçâîëüíîé ôîðìû.
3. Ïðè óñëîâèè à èíòåãðàë Äþàìåëÿ äëÿ t < t
1
ðàâåí i(t) = u(0)Y(t)
+
¢
-
ò
uYt xdx
x1
()
0
t
,
à äëÿ t > t
1
— i(t) = u(0)Y(t)
+-
¢
ò
Yt xu dx
x
()
1
0
1
t
+
Yt xu dx
x
()-
¢
ò
2
t
t
1
.
Óñëîâèå á îçíà÷àåò, ÷òî íàïðÿæåíèå èìååò ñêà÷îê Du = u
2
(t
1
)–u
1
(t
1
) ïðè t = t
1
.
Ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü ïðè t < t
1
: i(t) = u(0)Y(t)+
Yt xu dx
x
()-
¢
ò
1
0
t
è ïðè t > t
1
:
i(t) = u(0)Y(t)+
Yt xu dx
x
()-
¢
ò
1
0
1
t
+[u
2
(t
1
)–u
1
(t
1
)]Y(t – t
1
)+
Yt xu dx
x
()-
¢
ò
2
t
t
1
.
Âõîäÿùåå â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñëàãàåìîå DuY(t – t
1
) = [u
2
(t
1
)–u
1
(t
1
)]Y(t – t
1
)
îïðåäåëÿåò òîê â öåïè, îáóñëîâëåííûé äåéñòâèåì ñêà÷êîîáðàçíîãî íàïðÿæåíèÿ
Du(t
1
), ïîäêëþ÷àåìîãî êî âõîäó öåïè â ìîìåíò âðåìåíè t
1
.
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
4. Äëÿ âàðèàíòîâ íàïðÿæåíèÿ u(t) à, á, ä, å âûðàæåíèÿ äëÿ òîêà i
1
(t) èìåþò ðàç
-
ëè÷íûé âèä ïðè t < t
1
è ïðè t > t
1
, òîãäà êàê â âàðèàíòàõ â, ã ìîæíî èñïîëüçîâàòü
åäèíîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà ïðè t >0:
à) t < t
1
: i
1
(t) =
Yt x
U
t
dx()-
ò
0
1
0
t
,
¢
u
x
=
U
t
0
1
, t > t
1
: i
1
(t) =
Yt x
U
t
dx()-
ò
0
1
0
1
t
;
512 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷