Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

á) t < t

1

: i

1

(t) =

Yt x

U

t

dx()-

ò

0

1

0

t

, t > t

1

: i

1

(t) =

Yt x

U

t

dx()-

ò

0

1

0

1

t

– U

0

Y(t – t

1

);

ä) t < t

1

: i

1

(t) =

Yt x

U

t

dx()-

ò

0

1

0

t

, t > t

1

: i

1

(t) =

Yt x

U

t

dx()-

ò

0

1

0

1

t

+(U

1

– U

0

)Y(t – t

1

);

å) t < t

1

: i

1

(t) = U

m

Y(t)–

Yt xU xdx

m

() sin-

ò

ww

0

t

;

t > t

1

: i

1

(t) = U

m

Y(t)–

UYtx xdx

m

ww()sin-

ò

0

1

t

.

Íàïðèìåð, äëÿ öåïè âàðèàíòà à ïðè íàïðÿæåíèè âèäà á èìååì ïðè t < t

1

i

1

(t) =

1

0

1

r

e

U

t

dt

t

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

×

-

ò

t

0

t

=

U

rt

0

1

t –

U

rt

e

t

0

1

1t

t

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

è ïðè t > t

1

i

1

(t) =

U

rt

ee

ttt

0

1

11

--

æ

è

ç

ö

ø

÷

é

ë

ê

ù

û

ú

--

-

t

tt

.

5. Äëÿ öåïè âàðèàíòà ã ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(t) =

1

r

e

t

-

t

, òàê ÷òî ìîæåì çà-

ïèñàòü ïðè t < T/4

i

1

(t) =

1

r

eU xdx

tx

m

-

ò

t

wwcos

0

t

=

w

tw

t

www

U

r

tt

m

()

cos sin

-

+

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

é

ë

ê

22

1

t

e

t

-

ù

û

ú

,

ïðè T/4 < t < T/2

i(t) =

1

4

r

Ue xdx

m

tx

ww

t

-

ò

cos

0

T

–

U

r

e

m

t

22

4

-

-T

t

+

-

ò

1

2

4

r

Ue xdx

m

tx

ww

t

cos

T

t

è ïðè t > T/2

i(t) =

1

4

r

Ue xdx

m

tx

ww

t

-

ò

cos

0

T

–

U

r

e

m

t

2

4

-

-T

t

+

-

ò

1

2

4

2

r

Ue xdx

m

tx

ww

t

cos

T

–

U

r

e

m

t

2

-

-T

t

.

6. Ïðåäñòàâëÿÿ íàïðÿæåíèå u(t) íà âõîäå öåïè â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿ

-

ìîóãîëüíûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ àìïëèòóäàìè u(t) è äëèòåëüíîñòüþ Dõ,çà

-

ïèøåì òîê, îáóñëîâëåííûé äåéñòâèåì â ìîìåíò âðåìåíè t îäíîãî èìïóëüñà íà

-

ïðÿæåíèÿ: i(t) = Y ¢(t – x)u(x)Dx + Y(0)u(t). Çäåñü ïåðâîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåò

òîê ïðè t > 0 ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà, à âòîðîå ñëàãàåìîå — òîê âî

âðåìÿ äåéñòâèÿ èìïóëüñà. Ñóììèðóÿ òîêè îò âñåõ èìïóëüñîâ ïðè t > 0 è ïåðåõî

-

äÿ ê ïðåäåëó ïðè Dõ ® 0, ïîëó÷àåì èñêîìîå âûðàæåíèå

i(t) = u(t)Y(0) +

Yt xuxdx'

t

()()-

ò

0

.

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 513

12.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ

ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî öåïü ñîäåðæèò îäèí ðåàêòèâíûé ýëåìåíò è äåéñòâóþùèå íà åå

âõîäå èìïóëüñû èìåþò ïðÿìîóãîëüíóþ ôîðìó, ìîæåì ðåøàòü ðàçíîñòíîå óðàâ

-

íåíèå

x

âûõ

[n +1]= x

âûõ

[n]exp(–T/t)+x

âõ

[n](h(T) –h(T–T

è

)) = ax

âûõ

[n]+bx

âõ

[n],

ãäå x

âûõ

[n +1]= u

C

[n + 1], x

âõ

[n] = U

0

·1[n], h(t) — ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

öåïè.

Òàê êàê

ht

r

rr

e

t

()=

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

2

12

1

t

, ãäå

t=

+

rrC

rr

12

,òî

b = h(T) –h(T – T

è

) =

ht

r

rr

ee

T

()=

+

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

--

2

12

1

tt

è

.

Ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

u

C

[n] =

Ub

e

Ur

rr

e

ee

e

nT

T

nT

0

02

12

1

11

1

-

=

+

--

-

t

tt

()( )

è

-

T

t

.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, íàõîäèì u

C

[n] » 7

()

,

1

125

-

e

n

Â. Ïðè äåéñòâèè

íà âõîäå öåïè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìãíîâåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ ïîñòîÿí-

íîé èíòåíñèâíîñòè ïîëó÷àåì

un

K

rC

e

C

T

nT

T

n

[]

()

,

=

-

»-

-

1

125

1

51

t

B.

2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç n íîìåð èìïóëüñà è íîìåð ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ñëåäóþùå

-

ãî çà ýòèì èìïóëüñîì. Â ìîìåíòû äåéñòâèÿ èìïóëüñîâ òîê ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå

Di = KY(0)d(t), ãäå Y(0) — ïåðåõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(t) =

1

r

e

t

(),-

-t

íàéäåííàÿ

ïðè t = 0 (çäåñü t=L/r). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Di = KY ¢(0) = K/L, ïîëó÷àåì ñîîòíîøå

-

íèå, ñâÿçûâàþùåå òîê â öåïè â ìîìåíòû âðåìåíè (n –1)T +0è(n–1)T –0:

i [(n –1)T +0]= i [(n –1)T –0]+ +K/L, n = 1, 2, ... Â ïðîìåæóòêå âðåìåíè n òîê

â öåïè ðàâåí i (t) = i [(n –1)T + 0] exp (–T/t) = { i [(n –1)T –0]+ K/L} exp (–t/t),

n = 1, 2, ...

Òàêèì îáðàçîì, â êîíöå ïðîìåæóòêà âðåìåíè ñ íîìåðîì n òîê ðàâåí

i(nT –0)= {i[(n –1)T –0]+K/L} exp (–T/t).

Òàê êàê i(–0) = 0, òî ìîæåì, ïðèíèìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî n = 1, 2, ..., çàïèñàòü

i (T –0)= (K/L) exp (–T/t), i (2T –0)= (K/L)[exp (–T/t) + exp (–2T/t)],

i (3T –0)= (K/L) [exp (–T/t) + exp (–2T/t) + exp (–3T/t)], ... i (nT –0)=

= (K/L)

exp(-

å

nT

n

t

= (K/L)[exp (–T/t)]

1

--

[exp( )]

nT

T

t

, n = 0, 1, 2, …

514 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Â íà÷àëå n-ãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè òîê â öåïè ðàâåí

i (nT +0)= i (nT –0)+K/L =

()

{exp[ ( ) )]}

exp( )

KL

nT

T

11

1

--+

--

t

.

Çäåñü â âûðàæåíèÿõ äëÿ i (nT –0)èi (nT + 0) çíà÷åíèå n = 0 ñîîòâåòñòâóåò ïåðâî

-

ìó èìïóëüñó (ïðè t = 0), n = 1 — âòîðîìó è ò. ä.

Äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé íàõîäèì t=2×10

–3

ñ, K/L = 5×10

–3

À

i (nT –0)= 2,9×10

–3

[1 – exp (–n)], i (nT +0)= 7,9×10

–3

{1 – exp [–(n + 1)]}.

Â ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ìåæäó èìïóëüñàìè òîê â öåïè

i (t) = i (nT + 0) exp (–t/t) = 7,9×10

–3

[]

()

1

-

-+

-

ee

n

t

(ðèñ. P12.1).

Â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ïðè n ®¥ïîëó÷àåì

i (¥T –0)= (K/L)[exp (–T/t)][1 – exp (–T/t)]

–1

=

= 2,9×10

–3

À, i (¥T +0)= 7,9×10

–3

À.

3. à) f(z) = 1; á) f(z) = (1 +z)/z ; â) f(z) = (1 +z+z

2

)/z ;

ã) f(z) = z/(1 +z); ä) f(z) =

zz

z

()1

1

2

+

.

4. à)

Uz U

z

U

z

ze

U

ze

zze

T

()

()( )

=

-

=

-

--

00 0

1

a

;

á) u(t) = U

m

sin wt = U

m

ee

j

jt jtww

-

2

;

Uz

U

j

z

ze

z

ze

U

zT

m

jT jT

m

()

sin

cos

=

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=

-+

-

2

12

ww

w

z

2

;

â)

Uz aT

zz

z

()

=

+

-

2

3

1

.

5. Èñïîëüçóÿ ðåøåò÷àòóþ ôóíêöèþ f [n] = 1, –1, 1, –1, …, ïðåäñòàâèì äåéñòâóþ

-

ùåå íà âõîäå öåïè íàïðÿæåíèå â âèäå u[n] = U

0

f [n], z-èçîáðàæåíèå êîòîðîãî

U(z) = U

0

z/(1 +z) (ñì. ðåøåíèå óïð. 3, âàðèàíò ã).

Çàïèñûâàÿ âûðàæåíèå äëÿ ïåðåõîäíîé ïðîâîäèìîñòè

Yt

it

Ur

e

L

t

()

()==-

-

01

1

t

,

íàõîäèì:

ht

r

e

r

e

r

e

t

tT T

è

èè

() ( )=---

æ

è

ç

ö

ø

÷

=-

æ

--

-

1

11 1

ttt

è

ç

ö

ø

÷

-

e

t

,

hn

r

eeHz

r

e

T

nT

T

èè

èÈ

[] , ()=-

æ

è

ç

ö

ø

÷

=-

æ

è

ç

ö

ø

÷

1

11

tt t

÷

-

e

ze

T

t

1

.

Èñêîìûé òîê èìååò ñâîèì z-èçîáðàæåíèåì ôóíêöèþ

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 515

Ðèñ. P12.1

I

L

(z) = H

è

(z)U(z) =

U

r

ee

z

zze

T

0

1

è

tt

t

-

æ

è

ç

ö

ø

÷

+-

-

()( )

,

êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ðåøåò÷àòàÿ ôóíêöèÿ

in

U

r

ee

e

L

T

n

T

[]

()

=-

æ

è

ç

ö

ø

÷

-+

+

-

0

1

è

tt

t

,

êîðíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ I

L

(z) ðàâíû

z

1

= –1,

ze

T

2

=

-

è

t

, G(z

1

) = –1,G(z

2

) =

e

T

-

t

,

Hz e

T

¢=-+

æ

è

ç

ö

ø

÷

-

()

1

t

,

Hz e

T

¢=+

-

()

2

1

t

.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì i

L

[n] » 0,83(–1)

n–1

+ 0,83e

–2,4n

À.

13.1. Óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

7. Òàê êàê ëþáàÿ èç ïàð âåëè÷èí

&

U

1

,

&

I

1

,

&

U

2

,

&

I

2

ìîæåò âõîäèòü â ëåâóþ (ëèáî ïðà-

âóþ) ÷àñòü óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà, òî ïîëíîå ÷èñëî âàðèàíòîâ óðàâíå-

íèé, èëè, ÷òî òî æå, ñèñòåì ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ðàâíî ÷èñëó ñî÷å-

òàíèé èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ ïî äâà, ÷òî ñîñòàâëÿåò 6. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåí-

íûìè ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû A-, Z-, Y- è H-ïàðàìåòðîâ.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

3. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ìîæíî: à) çàïèñàòü óðàâíå-

íèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà è ïîñëå èõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû

ïðè âåëè÷èíàõ

&

U

,

&

I

ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïàðàìåòðàì; á) íàéòè ñîïðîòèâëåíèÿ ÷å-

òûðåõïîëþñíèêà â ðåæèìàõ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ è, èñïîëüçóÿ

èçâåñòíûå ñîîòíîøåíèÿ, ðàññ÷èòàòü èñêîìûå âåëè÷èíû.

Ïðåäñòàâèì ÷åòûðåõïîëþñíèêè âàðèàíòà à â âèäå êàê íà ðèñ. P13.1.

Çàïèñàâ óðàâíåíèå âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà

&

U

1

=

&

U

2

+

&

I

2

Z, ñ ó÷åòîì

ñîîòíîøåíèÿ

&

I

1

=

&

I

2

, íàéäåì A = 1, B = Z, C = 0, D = 1. Ìàòðèöà À-ïà

-

ðàìåòðîâ ñóòü

A =

1

01

Z

.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ Y-ïàðàìåòðîâ çàïèøåì óðàâíåíèÿ â âèäå

&&&

I

Z

U

Z

U

212

11

=-

,

&&&

I

Z

U

Z

U

112

11

=-

, îòêóäà íàõîäèì

Y =

-

1

11

11Z

.

Çàïèñûâàÿ âõîäÿùåå â ìàòðèöû A, Y ñîïðîòèâëåíèå Z â êîìïëåêñíîé ôîðìå, ìî

-

æåì íàéòè èñêîìûå ïàðàìåòðû êàæäîãî èç ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà à.

516 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. P13.1

Äëÿ öåïåé âàðèàíòà á (ðèñ. P13.2) èç óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõ

-

ãîôà

&

U

1

=

&

U

2

,

&&&

I

Z

UI

122

1

=+

ïîëó÷àåì

A =

10

1Y

.

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé ê âèäó

&

U

1

=

&

I

1

Z –

&

I

2

Z,

&& &

UIZIZ

21 2

=-

íàõîäèì

Z =

-

1

11

11Y

.

Äëÿ öåïåé âàðèàíòà â (ðèñ. P13.3) èç óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà

&

I

1

=

&

I

0

+

&

I

2

,

&

U

1

=

&

I

1

Z +

&

U

2

,

&

U

2

=

1

0

Y

I

&

íàõîäèì âûðàæåíèÿ

&

U

1

=

&

U

2

(1+2Y)+

&

I

2

Z,

&

I

1

=

&

U

2

Y +

&

I

2

,

èç êîòîðûõ ñëåäóåò:

A =

+1

1

ZY Z

Y

.

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà ê âèäó

&

I

1

=

1

Z

U

&

–

1

2

Z

U

&

,

&

I

2

=

1

Z

U

&

–

1

Z

Y+

æ

è

ç

ö

ø

÷

&

U

2

íàõîäèì Y-ïàðàìåòðû:

Y =

-

-+

æ

è

ç

ö

ø

÷

11

ZZ

Y

.

Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ìàòðèöó

Z =

+-

-

Z

YY

11

.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ H-ïàðàìåòðîâ ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà ê âè

-

äó

&

U

1

=

&

I

1

Z +

&

U

2

,

&

I

2

=

&

I

1

–

&

U

2

Y. Ìàòðèöà H-ïàðàìåòðîâ

H =

-

Z

Y

1

.

Äëÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà àZ-ïàðàìåòðû íå ñóùåñòâóþò, íå ñóùåñòâóåò

òàêæå Y-ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòà á.

ÇÀÄÀ×È

1. À-ïàðàìåòðû ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ìîæíî íàéòè èç ñîîòíîøå

-

íèé

ZBA

1ê

=

, Y

10

=

YCA

10

=

, A

2

– BC = 1(Z

1ê

— âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå â ðåæèìå

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 517

Ðèñ. P13.3

Ðèñ. P13.2

êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ, Y

10

— âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà):

A = (1 – Z

1ê

Y

10

)

–2

, B = Z

1ê

A, C = Y

10

A.

Äëÿ âàðèàíòà à ïîëó÷àåì

Z

1ê

=

2

12

ZZ

ZZ+

, Y

10

=

2

12

21 2

()

ZZ

ZZZ

+

, A =

2

12

2

ZZ

Z

+

, B = 2Z

1

,

C

ZZ

Z

=

+2

12

2

()

.

Z-ïàðàìåòðû íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèé Z

11

= Z

10

=

ZZZ

ZZ

21 2

12

2

()

+

, Z

22

= –Z

20

= –Z

10

,

Z

12

= –Z

21

=

()ZZZ

11122ê

-

.

Àíàëîãè÷íî Y-ïàðàìåòðû ïîëó÷àåì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ

Y

11

= Y

1ê

=

1

2

Z

+

1

2

1

Z

, Y

22

= –Y

2ê

= –Y

11

, Y

12

= –Y

21

=

()YYY

10 11 22

-

.

Îòìåòèì, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïðîëþñíèêà ïîëó÷åíà

(íàïðèìåð, íà îñíîâå îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ), òî äëÿ íà-

õîæäåíèÿ äðóãèõ ñèñòåì ïàðàìåòðîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâÿçûâàþùèìè ýòè

ñèñòåìû ñîîòíîøåíèÿìè.

Äëÿ âàðèàíòà á íàõîäèì

Z

1ê

=

2

12

ZZ

ZZ+

, Y

10

=

2

12

ZZ+

, A =

ZZ

12

+

-

, B =

2

12

ZZ

ZZ-

, C =

2

12

ZZ-

.

Äëÿ âàðèàíòà â ïîëó÷àåì Z

1ê

=

41

12

0

ZZY

ZY

()+

+

, Y

10

=

Y

ZY

0

12+

, A =

12

0

+

-

ZY

.

Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà äëÿ öåïè âàðèàíòà ã

&

U

1

=

&

I

1

jwL

1

–

&

I

2

jwM,

&

U

2

=

&

I

1

jwM –

&

I

2

jwL

2

,

íàõîäèì Z

11

= jwL

1

, Z

12

= –jwM, Z

21

= jwM, Z

22

= –jwL

2

. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ

ìåæäó Z, Y è À- ïàðàìåòðàìè, ïîëó÷àåì:

YA=

-

=

-

j

MLL

LM

ML

M

LjLLM

j

L

w

()

,

()

.

2

12

2

1

112

2

1

Àíàëîãè÷íûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò íàéòè ìàòðèöû Z-, Y- è À-ïàðàìåòðîâ äëÿ öåïè

âàðèàíòà ä

Z

Y

=

++ -+

+-

=

-

-+

j

LL M L M

LM L

jLL M

LLM

w

12 2

22

12

2

22

2

1

()

,

()

LM LLM

LM

LL MjLL M

jL

212

2

12 12

2

1

2

1

+-++

=

+

++ -

()

,

()

.A

w

518 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Äëÿ öåïè âàðèàíòà å èìååì

Z =

+- +

jL r jM r

jM r jL r

ww

1

2

()

.

2. Óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé ïðèíèìàåì òàêè

-

ìè æå, êàê è íà ðèñ. Ð13.1. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà

&

U

1

=

&

I

1

jwL

1

-

&

I

2

jwM +

&

U

N1

,

&

U

2

=

&

I

1

jwM

-

&

I

2

jwL

2

+

&

U

N 2

è ïîäñòàâëÿÿ â íèõ âåëè÷èíû

&

U

N1

=

&

I

1

Z

N 11

+

&

I

2

Z

N 12

,

&

U

N 2

=

&

I

1

Z

N 21

+

&

I

2

Z

N 22

,

ïîëó÷àåì

&

U

1

=

&

I

1

(jwL

1

+ Z

N 11

)+

&

I

2

(Z

N 12

– jwM),

&

U

2

=

&

I

1

(Z

N 21

+ jwM)+

&

I

2

(Z

N 22

– jwL

2

).

Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñóòü èñêîìàÿ ìàòðèöà Z-ïà

-

ðàìåòðîâ.

3. Îáîçíà÷èì À-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà N ñ èíäåêñîì N (A

N

, B

N

, C

N

, D

N

).

Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ

&

U

1

=

&

U

N1

,

&

I

1

=

&

I

N1

+

&

U

1

jwC,

&

U

2

=

&

U

N 2

,

&

I

2

=

&

I

N 2

(âàðèàíò à),

ïåðåïèñûâàåì óðàâíåíèÿ

&

U

N1

= A

N

&

U

N 2

+ B

N

&

I

N 2

,

&

I

N1

= C

N

&

U

N 2

+ D

N

&

I

N 2

â âèäå

&

U

1

= A

N

&

U

2

+ B

N

&

I

2

,

&

I

1

= ( jwCA

N

+ C

N

)

&

U

2

+(jwC×B

N

+ D

N

)

&

I

2

.

Èç ïîñëåäíèõ óðàâíåíèé âèäíî, ÷òî

A = A

N

, B = B

N

, C = jwCA

N

+ C

N

, D = jwCB

N

+ D

N

.

Äëÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòîâ á è â ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íî

AA=

++

=

+

A j LC B j LD

CD

AArB

CCrD

NNN N

NN

NN N

ww

,.

13.2. Ñõåìû, ýêâèâàëåíòíûå ÷åòûðåõïîëþñíèêó

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ðàâ

-

íî äâóì, îäíàêî ïðîñòåéøàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà òàêîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà íå

ìîæåò ñîäåðæàòü äâà ýëåìåíòà: îíà ñîäåðæèò ëèáî îäèí (Y

0

â Ò-îáðàçíîé ñõåìå

èëè Z

0

â Ï-îáðàçíîé ñõåìå), ëèáî òðè ýëåìåíòà (â Ò-îáðàçíîé ñõåìå ïðè ýòîì

Z

1

= Z

2

, à â Ï-îáðàçíîé ñõåìå — Y

1

= Y

2

). Ïîýòîìó íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ÷èñëî

ýëåìåíòîâ ïðîñòåéøåé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû ÷åòûðåõïîëþñíèêà âñåãäà ðàâíî

÷èñëó åãî íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

5. Ïðèðàâíèâàÿ À-ïàðàìåòðû Ò- è Ï-îáðàçíûõ ñõåì, ýêâèâàëåíòíûõ ÷åòûðåõïî

-

ëþñíèêó, ïîëó÷àåì 1 + Z

1

Y

0

= 1+Y

2

Z

0

, Z

1

+ Z

2

+ Z

1

Z

2

Y

0

= Z

0

, Y

0

= Y

1

+ Y

2

+ Y

1

Y

2

Z

0

,

1+Z

2

Y

0

= 1+Y

1

Z

0

, îòêóäà íàõîäèì Z

0

= Z

1

+ Z

2

+ Z

1

Z

2

Y

0

, Y

1

=

ZY

Z

20

0

, Y

2

=

ZY

Z

10

0

.

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 519

Äëÿ çàäàííûõ âàðèàíòîâ ïîëó÷àåì: à) Z

0

= 2r, Y

1

= 0, Y

2

= 0 (ðèñ. P13.4, à);

áZ

gL

C

Y

jL

YjC), ,

01 2

1

== =

w

, (ðèñ. Ð13.4, á);

â) Z

0

= Z

1

= jwL, Y

1

= 0,

YY gjC

20

==+w

(â ïîñëåäíåì ñëó÷àå Ò- è Ï-îáðàçíûå

ñõåìû ñîâïàäàþò).

6. Ïàðàìåòðû ýêâèâàëåíòíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêó ñõåì ìîæíî íàéòè ðàçëè÷íû

-

ìè ñïîñîáàìè: à) ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè íàïðÿæåíèÿõ è òîêàõ óðàâ

-

íåíèé çàêîíîâ Êèðõãîôà, ñîñòàâëåííûõ äëÿ èñõîäíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà è åãî

ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû; á) âû÷èñëÿÿ ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà (íàïðèìåð,

À-ïàðàìåòðû) è îïðåäåëÿÿ äàëåå èñêîìûå ïàðàìåòðû ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì ñ ïî

-

ìîùüþ èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé; â) ïðåîáðàçóÿ ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ ÷åòûðåõ

-

ïîëþñíèêà ê àíàëîãè÷íîìó ñîåäèíåíèþ Ò- èëè Ï-îáðàçíûõ ñõåì.

Äëÿ óñëîâèÿ âàðèàíòà à ïîëó÷àåì Z

1

=

Z

3

, Z

2

=

4

3

Z

, Y

0

=

3

Z

(Ò-îáðàçíàÿ ñõåìà)

(ðèñ. P13.5, à)èZ

0

= 3Z, Y

1

=

4

3Z

, Y

2

=

1

3Z

(Ï-îáðàçíàÿ ñõåìà).

Äëÿ óñëîâèÿ âàðèàíòà á èìååì: Z

1

=

4

3

Z

, Z

2

=

4

3

Z

, Y

0

=

3

Z

(Ò-îáðàçíàÿ ñõåìà)

(ðèñ. P13.5, á)èZ

0

= 8Z, Y

1

=

1

2Z

, Y

2

=

1

2Z

(Ï-îáðàçíàÿ ñõåìà).

À-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà âàðèàíòà â áûëè íàéäåíû ïðè ðåøåíèè çàäà

-

÷è 1, §13.1:

A =

ZZ

12

+

-

, B =

2

12

ZZ

ZZ-

, C =

2

12

¢

-

¢

ZZ

, D = A. Ó÷èòûâàÿ ñâÿçè ìåæäó À-ïàðàìåòðà

-

ìè ÷åòûðåõïîëþñíèêà è ïàðàìåòðàìè åãî ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì, ïîëó÷àåì, â ÷àñò

-

íîñòè, Y

1

= Y

2

=

A

B

- 1

=

1

¢

Z

, Z

0

= B =

2

12

ZZ

ZZ-

(Ï-îáðàçíàÿ ñõåìà).

7. Òàê êàê À =

BC + 1

, òî ïîëó÷àåì: Y

0

= C, Z

1

= Z

2

=

11

1

-+

+

BC

CBC

(Ò-îáðàçíàÿ ñõå

-

ìà), Z

0

= B, Y

1

= Y

2

=

11

1

-+

+

BC

BBC

(Ï-îáðàçíàÿ ñõåìà).

8. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà â ñèñòåìå A-ïàðàìåòðîâ:

&

U

1

= A

&

U

2

+ B

&

I

2

,

&&&

ICUDI

122

=+

. Åñëè

&

U

1

= const è

&

I

2

= const, à

&

U

2

= var, òî A = 0, òàêèì îîáðàçîì

&

U

1

= B

&

I

2

. Äëÿ Ò-îáðàçíîé ñõåìû èìååì A = 1+Z

1

Y

0

= 0, Z

1

= –1/Y

0

= –Z

0

, è ïðè

520 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. P13.4

Ðèñ. P13.5

Z

1

= jx

1

ïîëó÷àåì Z

0

= –jx

1

. Ïóñòü, íàïðèìåð, Z

1

= jwL, òîãäà Z

0

=

1 jCw

. Ïðè ýòîì

B = Z

1

+ Z

2

+ Z

1

Z

2

Y

0

= Z

1

è

&&

IUZ

211

=

, ò. å. ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïî

-

ëþñíèêà íå çàâèñÿò Z

2

. Ýêâèâàëåíòíàÿ Ò-îáðàçíàÿ ñõåìà èçîáðà

-

æåíà íà ðèñ. P13.6. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ òîêà

&

I

2

ñïðàâåä

-

ëèâî ïðè ëþáîì ñîïðîòèâëåíèè Z

ïð

è, ñëåäîâàòåëüíî, òîê

&

I

2

íå

çàâèñèò îò Z

ïð

.

13.3. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå

ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Äâà ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåðàçëè÷èìû ïðè âûïîëíåíèè îïûòîâ õîëîñòîãî õîäà

è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ïðè ëþáîé ÷àñòîòå íàïðÿæåíèÿ, åñëè îíè ñîäåðæàò òîëü

-

êî ðåçèñòîðû. Â îáùåì ñëó÷àå ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, ñîäåðæàùèõ êà

-

òóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðû, íå ìîãóò áûòü îäèíàêîâûìè ïðè ëþáîé

÷àñòîòå íàïðÿæåíèÿ. Ïîýòîìó îíè ðàçëè÷èìû ïðè âûïîëíåíèè îïûòîâ õîëîñòî

-

ãî õîäà è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ÷àñòîòàõ íàïðÿæåíèÿ è íåðàçëè-

÷èìû ïðè ÷àñòîòå

ww=

0

.

4. Âûðàæåíèÿ Z

1ê

=

B

D

, Y

10

=

C

A

, Z

2ê

=

B

A

, Y

20

=

C

D

, AD – BC = 1 ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü

ñîîòíîøåíèÿ

Z

Y

1

2

20

10

ê

=

,

A

Z

ZZY

=

-

1

2220

1

ê

êê

()

, B = Z

2ê

A, D =

Z

2

1

ê

A, C = Y

20

D.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ À-ïàðàìåòðîâ íåñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà äîñòàòî÷íî

ðàññ÷èòàòü òðè âåëè÷èíû èç ÷åòûðåõ Z

1ê

, Z

2ê

, Y

10

, Y

20

. Åñëè ÷åòûðåõïîëþñíèê

ñèììåòðè÷íûé, òî ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ Z

1ê

= Z

2ê

, Y

10

= Y

20

, ìîæíî îãðàíè÷èòü-

ñÿ ðàñ÷åòîì äâóõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, Z

2ê

, Y

20

.

Äëÿ âàðèàíòà 1à íàõîäèì: Z

1ê

=

1

jCw

, Z

2ê

=

LC

jL C()ww- 1

, Y

20

=

1

jLw

, A =

w

2

1LC

LC

-

,

B =

1

jCw

, C =

1

jLw

, D = 1.

Äëÿ âàðèàíòà 3à èìååì: Z

1ê

= r, Z

2ê

=

jr L

rjL

w

w+

, Y

20

=

1

jLw

, A =

rjL

jL

+w

w

, B = r, C =

1

jLw

,

D = 1.

×åòûðåõïîëþñíèêè âàðèàíòîâ 1â,2â,3â ñèììåòðè÷íû, ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ

èõ À-ïàðàìåòðîâ äîñòàòî÷íî ïðåäâàðèòåëüíî ðàññ÷èòàòü äâå âåëè÷èíû, íàïðè

-

ìåð Z

1ê

= Z

2ê

è Y

10

= Y

20

, è äàëåå íàéòè èñêîìûå ïàðàìåòðû, èñïîëüçóÿ ïðèâåäåí

-

íûå ðàíåå ñîîòíîøåíèÿ.

Äëÿ âàðèàíòà â-1 ïîëó÷àåì: Y

10

=

jC

LC

w

w1

2

-

, Z

1ê

= jwL

2

1

2

-

w

LC

, A = 1–w

2

LC,

B = jwL(2 – w

2

LC), C = jwC, D = A = 1–w

2

LC.

5. Ðàññ÷èòûâàÿ ïðåäâàðèòåëüíî âåëè÷èíû Y

10

, Z

1ê

ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé

Y

I

U

e

j

10

1

=

-j

,

Y

I

U

e

j

1

2

ê

=

-j

, ãäå j

1

= arccos

P

UI

1

11

, j

2

= arccos

P

UI

2

22

, ìîæåì íàéòè

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 521

Ðèñ. P13.6

À-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå ïðè ðåøåíèè ïðåäûäó

-

ùåãî óïðàæíåíèÿ âûðàæåíèÿ: A =

1

10 1

-YZ

ê

, B = Z

1ê

A, C = Y

10

A, D = A.

6. Ïîäêëþ÷èì ê âûõîäíûì çàæèìàì ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñîïðîòèâëåíèå Z

í

èèç

-

ìåðèì âåëè÷èíû

&

I

1

,

&

U

1

,

&

I

2

. Èç óðàâíåíèé

&

U

1

= (AZ

í

+ B)

&

I

2

,

&

I

1

= (CZ

í

+ D)

&

I

2

,

AD – BC = 1, D = A ìîæåì íàéòè ïàðàìåòðû ñèììåòðè÷íîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà.

Åñëè ÷åòûðåõïîëþñíèê íåñèììåòðè÷íûé, òî òðè çàïèñàííûå âûøå óðàâíåíèÿ

ñëåäóåò äîïîëíèòü åùå îäíèì, ïîëó÷àåìûì ïðè âûïîëíåíèè åùå îäíîãî îïûòà.

Ïîäêëþ÷àÿ, íàïðèìåð, ê âûõîäíûì çàæèìàì ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñîïðîòèâëåíèå

¢

Z

í

è èçìåðÿÿ âåëè÷èíû

&

¢

U

1

,

&

¢

I

2

, ïîëó÷àåì íåäîñòàþùåå ñîîòíîøåíèå

&

()

&

¢

=

¢

+

¢

UAZBI

12í

.

13.4. Ñîåäèíåíèå ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

4. Ðàññìàòðèâàÿ êàæäûé èç ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ âàðèàíòîâ à, á è â êàê îáðàçî-

âàííûé êàñêàäíûì ñîåäèíåíèåì áîëåå ïðîñòûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, À-ïàðàìåò-

ðû êîòîðûõ èçâåñòíû, ìîæåì ïîëó÷èòü èñêîìóþ ìàòðèöó ïåðåìíîæåíèåì ìàò-

ðèö À ïðîñòûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ. Äëÿ âàðèàíòà à èìååì:

AAAA== =

+++

+

123

12

1 1212

2

1

01

10

1

01

1

Z

Y

Z

ZY Z Z ZZY

YZY

.

Ñõåìó ÷åòûðåõïîëþñíèêà âàðèàíòà á ðàññìàòðèâàåì êàê ïîëó÷åííóþ êàñêàä-

íûì ñîåäèíåíèåì äâóõ Ò-îáðàçíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ñ ýëåìåíòàìè Z

1

,Y, 0,5Z

2

è 0,5Z

2

,Y, Z

1

:

A =

+++

+

+++

+

1

22

1

2

1

22 2

1

11

212

2

22

1

12

ZY Z

Z ZZY

Y

Z

Y

Z

Y

Z

ZZY

Y

Z

1

1212

2

12 12 1

2

1

2

12 2 2 2

2

Y

ZY ZY ZZY Z Z ZZY ZY Z ZY

=

+++ ++ + +

Y ZY ZY YZ ZZY++++

2

1212

2

12

.

×åòûðåõïîëþñíèêè âàðèàíòîâ ã, ä è å ðàññìàòðèâàåì êàê îáðàçîâàííûå ïðè ïà

-

ðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè äâóõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ñ ìàòðèöàìè ïàðàìåòðîâ Y

1

, Y

2

.

Äëÿ âàðèàíòà ã ïîëó÷àåì:

YY

1

2

1

11

2

11

2

11

2

1

11

1

2

1

2

1

2

1

=

-

=

+

-

+

-

Z

ZY

ZZY ZZY

ZZY

,

+

ZY

ZZY

1

11

2

,

522 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. P13.7

Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.