3
0
Если одночлен ax
n
1
x
n
2
…x
n
n
входит в симметрический многочлен, то в
этот симметрический многочлен входят и одночлены, полученные из данного
любой перестановкой переменных.
4
0
Показатели степеней переменных в высшем члене симметрического
многочлена образуют не возрастающую последовательность.
5
0
Пусть ax
1
k1
x
2
k2
…x
m
km
- высший член ненулевого симметрического
многочлена f(x
1
,…,x
m
) K[x
1
,…,x
m
].Тогда высшие члены многочленов f(x
1
,
…,x
m
) и a
1
k1-k2
2
k2-k3
…
m
km
совпадают.
6
0
Убывающая цепочка ненулевых симметрических многочленов кольца
многочленов K[x
1
,…,x
m
] не может быть бесконечной.
Доказательство некоторых свойств можно рассмотреть на
практическом занятие или предложить учащимся это выполнить
самостоятельно.
Основная теорема о симметрических многочленах
Теорема. Всякий симметрический многочлен из кольца многочленов K[x
1
,
…,x
m
] можно представить в виде многочлена над K от элементарных
симметрических многочленов
1
,…,
m
, т.е. для любого f(x
1
,…,x
m
) K[x
1
,
…,x
m
] существует такой многочлен g(x
1
,…,x
m
) K[x
1
,…,x
m
], что
f(x
1
,…,x
m
)= g(
1
(x
1
,…,x
m
),…,
m
(x
1
,…,x
m
))
Доказательство. Пусть многочлена f(x
1
,…,x
m
) -не нулевой
симметрический многочлен над K и a
0
x
1
k1
x
2
k2
…x
m
km
-его высший член.
Многочлен (1) f
1=
f- a
0
k1-k2
…
m
km
-симметрический, как разность
симметрических многочленов, причем, по свойству 5
0
, f
f
1.
Пусть a
1
x
1
l1
…x
m
lm
- высший член многочлена
f
1.
Аналогично, многочлен (2) f
2
= f
1
- a
1
l1- l2
…
m
lm
является симметрическим, причем f
1
f
2
и т.д. В результате получается
убывающая цепочка симметрических многочленов f
f
1
f
2
…..
По свойству 6
0
,
эта цепочка не может быть бесконечной. Предположим, что она обрывается