: сначала s
3
,
затем s
4
, s
5
и т. д.Таким о6разом, утверждение доказано.
Орбиты одночленов. Покажем, что симметрические многочлены
значительно более широкого класса - так называемые орбиты одночленов -
выражаются через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через
.
Существуют одночлены, не меняющиеся при перестановках
переменных, т. е. симметрические. В такой одночлен все переменные
должны входить в одной и той же степени, т. е. этот одночлен должен
совпадать с произведением x
k
y
k
z
k
(взятым с некоторым числовым
коэффициентом).
Если же среди показателей одночлена x
k
y
l
z
m
имеются различные, то
этот одночлен уже не будет симметрическим. Чтобы получить
симметрический многочлен, одним из слагаемых которого является
одночлен x
k
y
l
z
m
, надо добавить к нему другие одночлены.
Определение Многочлен с наименьшим числом членов, одним из
слагаемых которого является одночлен x
k
y
l
z
m
, назовем орбитой этого
одночлена и обозначим через О (x
k
y
l
z
m
)
.
.
Ясно, что для получения орбиты одночлена x
k
y
l
z
m
надо прибавить к нему
одночлены, получающиеся перестановкой переменных х, у, z. Если все три
показателя k,l,m, различны, то орбита О(x
k
y
l
z
m
) будет содержать шесть членов,
получающихся из одночлена x
k
y
l
z
m
перестановками переменных.
Если же в одночлене x
k
y
l
z
m
два показателя совпадают, а третий отличен
от них, скажем k=l (k