Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
126
Так как в выражении (6.32) переменные
а
i
рассматриваются как
альтернативные (или булевы) и могут принимать только значения 1
или 0, то при возведении в степень они не меняют своего значения
(
а
i
n
=
а
i
). Воспользовавшись этим свойством после преобразований
выражения (6.32) получим функцию алгебры логики в виде
A
n
=
a
1
a
4
+
a
2
a
5
+
a
1
a
3
a
5
+
a
2
a
3
a
4
–
a
1
a
2
a
3
a
4
–
a
1
a
2
a
3
a
5
–
–
a
1
a
2
a
4
a
5
–
a
1
a
3
a
4
a
5
–
a
2
a
3
a
4
a
5
+ 2
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
. (6.33)
Заменив в выражении (6.33) символы событий
а
i
их вероятностями
р
i
, получим уравнение для вероятности безотказной работы системы,
совпадающее с уравнением (6.32), которое для системы из
равнонадежных элементов принимает вид (6.29).
Следует отметить, что метод минимальных путей дает точное
значение вероятности безотказной работы только сравнительно
простых систем с небольшим числом элементов. Для более сложных
систем метод дает только ее приближенную оценку – нижнюю
границу.
Для расчета верхней оценки вероятности безотказной работы системы
можно использовать метод минимальных сечений (разрезов),
в определенном смысле противоположный методу минимальных путей.
Минимальным сечением
(
минимальным сечением отказов
,
минимальным аварийным сочетанием
) называется последовательный
набор элементов, отказ которых приводит к отказу системы, а
восстановление работоспособности любого из них – к восстановлению
работоспособности системы. Так же, как и минимальных путей,
минимальных сечений в системе может быть один или несколько.
Очевидно система с параллельным соединением элементов имеет
только одно минимальное сечение, включающее все ее элементы. В
системе с последовательным соединением элементов число
минимальных сечений совпадает с числом элементов и каждое сечение
включает один из них.
Пример 6.5.
В мостиковой системе (рис. 6.4,
а
) минимальных
сечений четыре: 1) элементы 1 и 2; 2) 4 и 5; 3) 1, 3 и 5; 4) 2, 3 и 4.
Логическая схема системы (рис. 6.6,
а
,
б
) составляется таким образом,
чтобы все элементы каждого минимального сечения были соединены
друг с другом параллельно, а все минимальные сечения –
последовательно.
127
а б
Рис. 6.6. Логические схемы мостиковой системы:
а – метод минимальных путей; б – метод минимальных сечений
Затем последовательность действий аналогична методу
минимальных путей. Составляется функция алгебры логики в виде
A
c
= [1 –(1 –
a
1
)(1 –
a
2
)][1 – (1 –
a
4
)(1 –
a
5
)][1 – (1 –
a
1
)(1 –
a
3
)
×
×
(1 –
a
5
)][1 – (1 –
a
2
)(1 –
a
3
)(1 –
a
4
)] , (6.34)
которая после преобразований с использованием свойств
альтернативных переменных приобретает форму (6.33), после замены
событий
а
i
вероятностями
р
i
получаем выражение (6.27), которое для
системы
с элементами равной надежности приобретает вид (6.28).
Таким образом, для мостиковой системы из пяти элементов
(рис. 6.4,
а
) верхняя оценка вероятности безотказной работы,
полученная методом минимальных сечений, и нижняя, полученная
методом минимальных путей, совпали с точным значением. Однако,
как уже отмечалось, для более сложных систем, состоящих из разных
по надежности элементов, этого может и не произойти. Поэтому для
получения оценочных границ вероятности безотказной работы
сложных систем методами минимальных путей и минимальных
сечений целесообразно пользоваться совместно.
Логические схемы, составленные методами минимальных путей и
минимальных сечений, являются графическими аналогами формул
алгебры логики – функций работоспособности (6.24) и
неработоспособности (6.25), причем последовательное или
параллельное соединение событий в логической схеме соответствует
логическому умножению («И») или логическому сложению («ИЛИ»)
событий. Так логическая схема метода минимальных путей
формулирует условие сохранения работоспособного состояния сис-
темы (6.24), причем последовательное соединение событий
128
соответствует логическому «И», параллельное – «ИЛИ». То есть
схема на рис. 6.5,
а
соответствует утверждению: система
работоспособна, если работоспособны элементы 1
и 4, или 2 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4. Логическая схема метода
минимальных сечений, наоборот, формулирует условия отказа систе-
мы (6.25), и в ней последовательное соединение соответствует
логическому «ИЛИ», а параллельное – логическому «И». То есть
схема на рис. 6.6,
б
соответствует формулировке: система откажет,
если откажут элементы 1 и 2, или 4 и 5, или 1, 3 и 5, или 2, 3 и 4.
Еще одной графической моделью состояния технической системы
и иллюстрацией соответствующей ей формулы алгебры логики
(функции неработоспособности) является дерево отказов, которое
составляется для анализа надежности и определения вероятности
безотказной работы систем дедуктивным методом [24, 27].
В некоторых случаях для анализа надежности сравнительно
простых технических систем целесообразно воспользоваться
методом
разложения относительно особого элемента
, основанным на теореме
математической логики о разложении функции по любому аргументу,
которая может быть сформулирована следующим образом:
P
=
p
i
P
(
p
i
= 1) +
q
i
P
(
p
i
= 0), (6.35)
где
P
(
р
i
= 1) – вероятность работоспособного состояния системы при
абсолютно надежном
i
-м элементе;
P
(
р
i
= 0) – при абсолютно
ненадежном (отказавшем)
i-
м элементе.
Пример 6.6.
В мостиковой схеме (рис. 6.4,
а
) в качестве особого
целесообразно выбрать элемент 3. При
р
3
= 1 мостиковая схема
превращается в параллельно-последовательное соединение (рис. 6.6,
а
),
а при
р
3
= 0 – в последовательно-параллельное (рис. 6.7,
б
).
Для преобразованных схем можно записать:
P
(
p
3
= 1) = (1 –
q
4
q
5
)(1 –
q
4
q
5
) =
= [1 – (1 –
p
1
)(1 –
p
2
)][1 – (1 –
p
4
)(1 –
p
5
)],
P
(
p
3
= 0) = 1 – (1 –
p
1
p
4
)(1 –
p
2
p
5
). (6.36)
а б
129
Рис. 6.7. Преобразования мостиковой схемы при абсолютно
надежном (а) и отказавшем (б) центральном элементе
Тогда на основании формулы (6.35) получим
P
=
p
3
[1 – (1 –
p
1
)(1 –
p
2
)][1 – (1 –
p
4
)(1 –
p
5
)] +
+ (1 –
p
3
)[1 – (1 –
p
1
p
4
)(1 –
p
2
p
5
)]. (6.37)
Для равнонадежных элементов формула (6.37) совпадает с
формулой (6.28).
Теоремой можно воспользоваться и при разложении относительно
нескольких «особых» элементов, например, для двух элементов:
P
=
p
i
p
j
P
(
p
i
= 1,
p
j
= 1) +
p
i
q
j
P
(
p
i
= 1,
p
j
= 0) +
+
q
i
p
j
P
(
p
i
= 0,
p
j
= 1) +
q
i
p
j
P
(
p
i
= 0,
p
j
= 0) . (6.38)
Пример 6.7.
Для мостиковой системы (рис. 6.4,
б
) при разложении
относительно «центральных» элементов 3 и 6 формула (6.38) примет
следующий вид:
P
=
p
3
p
6
P
(
p
3
= 1,
p
6
= 1) +
p
3
q
6
P
(
p
3
= 1,
p
6
= 0) +
+
q
3
p
6
P
(
p
3
= 0,
p
6
= 1) +
q
3
q
6
P
(
p
3
= 0,
p
6
= 0) . (6.39)
Для идентичных по надежности элементов
P
=
p
2
[1 – (1 –
p
)
2
]
3
+ 2
p
(1 –
p
)[1 – (1 –
p
)
2
][1 – (1 –
p
2
)
2
] +
+ (1 –
P
)
2
[1 – (1 –
p
3
)
2
] . (6.40)
6.1.5. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Большинство систем имеет сложную комбинированную структуру, одни из
элементов которой образуют последовательное соединение, другие – параллельное,
некоторые образуют мажоритарные или мостиковые подсистемы. Для расчета
надежности таких систем целесообразно предварительно произвести декомпозицию
системы, разбив ее на блоки (подсистемы), методика расчета надежности которых
известна. Затем эти подсистемы в схеме надежности заменяются элементами
(квазиэлементами) с вероятностями безотказной работы, равными вероятностям
безотказной работы этих подсистем. При необходимости эту процедуру можно произ-
вести несколько раз до тех пор, пока оставшиеся квазиэлементы не образуют систему,
методика расчета надежности которой известна.
Пример 6.8.
В системе на рис. 6.8 элементы 2 и 5, 4 и 7, 9 и 12, 11
и 14 попарно образуют последовательное соединение, элементы 15,
130
16, 17 и 18 – параллельное, элементы 3, 6, 8, 10 и 13 – мажоритарную
систему «3 из 5». Заменив эти группы элементов квазиэлементами,
соответственно,
А
,
В
,
С
,
В
,
Е
и
Р
, получим преобразованную систему
(рис. 6.9,
а
), в которой, в свою очередь, элементы
А
,
В
,
С
,
О
,
Р
образуют мостиковую схему, заменив которую квазиэлементом
О
,
получим систему (рис. 6.9,
б
), в которой элементы 1,
О
,
Е
и 19
образуют
последовательное соединение. Теперь можно с использованием из-
1
2
5
4
6
3
15
12
9
7
13
10
8
17
16
14
11
19
18
Рис. 6.8. Исходная комбинированная система
A
1
B
C
D
E A F
a
1
G
A
E
б
Рис. 6.9. Преобразования комбинированной системы
вестных методов последовательно рассчитать вероятности
безотказной работы всех подсистем (квазиэлементов), а затем системы
в целом. Можно отметить, что при использовании метода прямого
перебора для расчета показателей надежности сходной системы (см.
рис. 6.8) необходимо было бы рассмотреть 2|9 = 524 288 состояний.
Описанная методика носит название метода свертки или метода
эквивалентных преобразований. При ее использовании число
131
элементов исходной схемы очень мало влияет на сложность
проведения расчетов, но определяет число ее преобразований.
6.1.6. МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Для оценки надежности систем, предназначенных для выполнения
нескольких функций (многофункциональных систем), обычно
приходится определять вероятность безотказной работы систем по
каждой функции. При этом для каждой функции часто приходится
составлять свою структурную схему надежности [3].
Пример 6.9.
Система подачи топлива (рис. 6.10), состоящая из
двух параллельно работающих фильтров
1
и
2
, насоса
3
и форсунки
4
,
выполняет две основные функции – подачи и очистки топлива. Как
уже отмечалось, отказ фильтров может происходить по двум
основным причинам – засорения или разрыва фильтрующей по-
верхности. Поэтому для каждого из фильтров возможны три
состояния: полностью работоспособное, отказ по засорению и отказ
по разрыву.
Все возможные сочетания состояний двух фильтров представлены
в табл. 6.3.
2
4
Рис. 6.10. Принципиальная схема системы
подачи топлива
Т а б л и ц а 6.3
Таблица состояний системы фильтров
Номер
состоя-
Состояние
элементов
Состояние
системы
Вероятность
состояния системы
3
1
132
засорение
разрыв
пода-
ча
очист
ка
сум-
ма
ния
1–А
2–А
1–В 2–В
А В
А+В
1 + + + + + + +
2
A
p
2
B
p
2 + + + – + – –
3 + + – + + – –
2
A
p
B
p
q
В
=
2
A
p
B
p
(1 – p
B
)
4 + – + + + + +
5 – + + + + + +
р
А
2
B
p
q
В
= р
А
2
B
p
(1 – p
A
)
6 + + – – + – –
2
A
p
2
B
q
=
2
A
p
(1 – p
B
)
2
7 + – + – + – –
8 – + + – + – –
9 – – – + + – –
10 – + – + + – –
р
А
B
p
q
А
q
В
=
= р
А
p
B
(1 – p
А
)(1 – р
В
)
11 – – + + – – –
2
B
p
2
A
q
=
2
B
p
(1 – р
А
)
2
12 + – – – + – –
13 – + – – + – –
p
А
q
А
2
B
q
= p
А
(1 – p
А
)(1 – р
В
)
2
14 – – + – – – –
15 – – – + – – –
p
B
2
A
q
q
B
= p
B
(1 –p
А
)
2
(1 – р
В
)
16 – – – – – – –
2
A
q
2
B
q
= (1 – p
А
)
2
(1 – р
В
)
Примечание. Знаком « + » отмечено работоспособное состояние
элемента по данному признаку или системы по данной функции, знаком «–»
– неработоспособное. Индексом «А» обозначены параметры надежности
элемента по засорению и функция подачи жидкости системы, индексом «В» –
параметры по разрыву и функция очистки.
В зависимости от рассматриваемой функции схема надежности системы
имеет разную структуру: для подачи топлива достаточно, чтобы были
работоспособны насос 3 и форсунка 4, а из двух фильтров 1 и 2 хотя бы один не был
засорен; для очистки топлива необходимо, чтобы были работоспособны насос и
форсунка и фильтрующая поверхность обоих фильтров была целой. В первом случае
фильтры представляют собой систему с параллельным соединением элементов, во
втором – с последовательным. В соответствии с этим в табл. 6.3 система
неработоспособна по функции подачи (функция А) только тогда, когда оба фильтра
неработоспособны по признаку засорения (признак А), т.е. в состояниях 11, 14, 15 и
16. Соответственно вероятность отказа по функции подачи топлива выражается
формулой
Q
A
=
2 2
B A
p q
+ 2
2
B A B
p q q
+
2 2
A B
q q
=
2
A
q
(
B
p
+
B
q
)
2
. (6.41)
133
Так как
B
p
+
B
q
= 1, то
Q
A
=
2
A
q
, что естественно для системы с парал-
лельным соединением элементов.
Соответственно система работоспособна по функции очистки
(функция
В
) тогда, когда оба фильтра работоспособны по признаку
разрыва (признак
В
), т.е. в состояниях 1, 4, 5 и 11. Тогда вероятность
безотказной работы по функции очистки топлива
P
A
=
2 2
A B
p p
+ 2
р
А
2 2
B A
p q
+
2 2
B A
p q
=
2
B
p
(
р
А
+
A
q
)
2
. (6.42)
Так как
р
А
+
A
q
= 1, то
P
A
=
2
B
p
, что естественно для системы с
последовательным соединением элементов.
Система фильтров полностью работоспособна тогда, когда она
работоспособна по обеим функциям, т.е. в состояниях 1, 4, и 5:
P
AB
=
2 2
A B
p p
+ 2
р
А
2 2
B A
p q
=
р
А
2
B
p
(2 –
р
А
) . (6.43)
Вероятность безотказной работы системы подачи топлива
P
=
P
AB
p
3
p
4
=
р
А
2
B
p
(2 –
р
А
)
p
3
p
4
. (6.44)
В таблице состояний системы можно перечислять не все возможные
состояния, а только работоспособные по данной функции или по совокупности
функции. Из анализа исходной схемы (рис. 6.9) следует, что система работоспособна
по обеим функциям только в трех состояниях: 1) все элементы работоспособны; 2)
отказ по засорению фильтра 1; 3) отказ по засорению фильтра 2. Тогда по теореме
сложения вероятностей
P
AB
=
2
A
p
2
B
p
+
р
А
A
q
2
B
p
+
A
q
р
А
2
B
p
=
р
А
2
B
p
(2 –
р
А
), (6.45)
что совпадает с выражением (6.43).
Как уже отмечалось, метод перебора может успешно использо-
ваться для расчета надежности сравнительно простых систем с
небольшим количеством элементов. Для многофункциональных
систем трудоемкость при его применении еще более увеличивается,
так как растет число возможных состояний системы. В этих случаях
достаточно эффективным может оказаться логико-вероятностный
метод.
6.2. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ СТРУКТУРНОЙ
НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ
Обеспечение требуемого уровня надежности технических систем
требует проведения широкого комплекса мероприятий, выполняемых
на стадиях проектирования, изготовления и эксплуатации.
134
Анализ расчетных зависимостей для определения основных
характеристик надежности систем различных типов, показывает, что
надежность системы, в первую очередь, зависит от ее структуры
(структурно-логической схемы), надежности элементов и большого
числа технологических и эксплуатационных факторов. Поэтому для
сложных технических систем возможны различные методы
повышения надежности [20].
Для достижения высоких показателей надежности технической
системы в первую очередь необходимо проанализировать
возможность повышения надежности ее элементов. Эффект
увеличения надежности системы тем значительнее, чем сложнее
система и чем больше в ней элементов. Однако чаще всего более
надежные элементы имеют большие габариты и массу, более сложную
собственную структуру и, как правило, более высокую стоимость.
Кроме того, осуществление некоторых методов повышения
надежности элементов требует проведения сложных конструктивных,
технологических, эксплуатационных и организационных
мероприятий. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо
соотнести полезный эффект от повышения надежности элемента с за-
тратами на ее осуществление.
Часто, однако, использование методов повышения надежности
элементов не дает значительного эффекта или неосуществимо по
различным причинам. В этих случаях повысить надежность
технической системы можно только в результате изменения ее
структурной схемы.
Для ряда технических систем можно повысить надежность за счет
сокращения числа элементов. Например, для системы с
последовательным соединением десяти элементов при
р
= 0,99
уменьшение числа элементов в два раза снижает вероятность ее отказа
также примерно в два раза (с 9,6 до 4,9 %). Сокращение числа
элементов может достигаться за счет упрощения структуры
технической системы или совмещения функций нескольких элементов
в одном. Однако такой способ повышения надежности системы имеет
очень ограниченное применение [28].
Перестройка структуры технической системы с целью повышения
ее надежности, как правило, означает изменение ее функциональной и
конструктивной схемы (за исключением структурного
резервирования) и возможно лишь в исключительных случаях.
Если конструктивные, технологические, эксплуатационные и
организационные мероприятия по повышению надежности системы за
счет повышения надежности ее элементов не дают желаемого эффекта
135
или неосуществимы, могут использоваться различные способы
резервирования.
Резервирование
– применение дополнительных средств и
возможностей с целью сохранения работоспособного состояния
объекта при отказе одного или нескольких элементов. К
дополнительным средствам и возможностям относятся
функциональные, алгоритмические, программные и информационные
резервы, использование избытка времени, запасов нагрузочной
способности и т.д., а также введение в структуру схемы резервных
элементов. В соответствии с этим различаются несколько видов
резервирования.
Временное резервирование
(с применением резервов времени)
реализуется с использованием следующих приемов [27, 29]:
•
увеличения расчетного времени функционирования для
выполнения поставленной задачи или выпуска заданного количества
продукции;
•
разработки оборудования на большее, чем расчетное, значение
производительности;
•
введения в структуру промежуточных накопителей;
•
обеспечения функциональной инерционности элементов системы.
Временное резервирование может обеспечить безостановочную работу
системы при отказе некоторых элементов на время, необходимое для восстановления
(замены). Не изменяя вероятности безотказной работы, временное резервирование
улучшает комплексные показатели надежности.
Информационное резервирование
(с применением резервов инфор-
мации) используется в объектах, в которых возникновение отказа при-
водит к потере или искажению обрабатываемой или передаваемой
информации (системы контроля, управления, вычислительная техника
и т.д.) [26]. Используются следующие приемы информационного ре-
зервирования:
•
многократная передача информации по одному каналу;
•
параллельная передача информации по нескольким каналам;
•
замена полной информации кодированной.
Функциональное резервирование
предусматривает использование
способности элементов выполнять дополнительные избыточные функ-
ции (например, резервирование нескольких специализированных
станков одним универсальным).
Нагрузочное резервирование
заключается в обеспечении
оптимальных запасов способности элементов выдерживать
действующие на них нагрузки или введении в объект дополнительных