Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen

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1 Einführung

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse

Eine Frage, die Anwender immer wieder bewegt, ist die nach der Richtigkeit der Ergebnisse.

Überspitzt kann man dazu feststellen: Ein FE-Programm rechnet alles, was formal richtig er-

scheint. Ob das, was gerechnet wird, jedoch dem tatsächlichen Verhalten gerecht wird, muss

letztlich durch ingenieurmäßigen Sachverstand überprüft werden. Bei der Anwendung gibt

es nämlich einige Fehlerquellen, die letztlich die Qualität des Ergebnisses negativ

beeinflussen:

 Ein häufiger Fehler besteht in der physikalisch unkorrekten Annahme der Randbedin-

gungen, welches dann zu einer falschen Spannungsverteilung und falschen Auflagerreak-

tionen führt.

 Ein weiterer Fehler ist, dass die ausgewählten Elemente die Reaktionen des Bauteils nur

unzureichend wiedergeben, wodurch die tatsächliche Spannungsverteilung nicht erfasst

wird.

 Des Weiteren kann es sein, dass zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe zu nicht

vorhandenen Spannungsspitzen führen,

oder

 das Netz einfach zu grob gewählt wurde, um verlässliche Aussagen machen zu können.

Die Anwendung der FEM bedarf somit einiger Erfahrung, da der implizit im Ergebnis

mitgeführte Fehler maßgeblich durch die Sorgfalt des Berechnungsingenieurs bestimmt

wird. Über die Größe des Fehlers kann regelmäßig nichts ausgesagt werden, da zu

komplizierten Bauteilen meist keine exakte physikalische Lösung bekannt ist.

Unterstellt man, dass alle Annahmen zutreffend gewählt wurden, so ist für die Genauigkeit

des Ergebnisses die Anzahl der Elemente verantwortlich, die zur Bauteilbeschreibung heran-

gezogen wurden. Je feiner also ein Netz gewählt wurde, umso genauer kann ein Bauteil be-

schrieben werden und umso genauer werden auch die Ergebnisse sein. Aus diesem Grunde

bezeichnet man Programme mit dieser Abhängigkeit als h-Versionen, weil eben die Ergeb-

nisgüte eine Funktion von h - dem relativen Elementdurchmesser - ist.

Diese Zusammenhänge stellen für die Praxis oft ein Hindernis dar, da man ja eigentlich ein

sehr gutes Ergebnis erzielen möchte, für das man aber eine große Elementanzahl benötigt,

was wiederum gleichbedeutend ist mit einer sehr langen Rechenzeit. Prinzipiell existiert für

dieses Problem aber ein einfacher Lösungsansatz, denn die Funktion Genauigkeit über Ele-

mentanzahl oder Freiheitsgrade konvergiert immer monoton gegen das exakte Ergebnis

eines FE-Modells. Demnach bräuchte man nur das vorhandene FE-Netz mit einem größeren

Teiler zu verfeinern, jeweils das berechnete Ergebnis auftragen und sich die konvergierende

Funktion ermitteln. Der Haken bei dieser Vorgehensweise ist der hohe Aufwand an Arbeits-

und Rechenzeit, weshalb diese Möglichkeit praktisch nicht genutzt wird. Sieht das Ergebnis

(farbige Darstellung mit einem Post-Prozessor) einigermaßen vernünftig aus, so wird in der

Regel aus Zeit- und Kostengründen auf eine Netzverfeinerung und Konvergenzuntersuchung

verzichtet.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Analyse 9

Diese an sich unbefriedigende Situation ist man in den letzten Jahren mit so genannten p-

Versionen angegangen. Während in herkömmlichen FE-Programmen das Elementverhalten

mit Polynomen erster, zweiter und in Ausnahmefällen dritter Ordnung approximiert wird,

wendet man sich heute immer mehr Polynomen höheren Grades zu. Der Vorteil liegt darin,

dass mit höherem Polynomgrad die Genauigkeit eines Elementes zunimmt, welches sich

wiederum in einer größeren geometrischen Genauigkeit beim Modellieren (Randkurvenan-

passung) und einer höheren Informationsdichte durch mehr Knotenfreiheitsgrade nieder-

schlägt.

Ein Anwendungsbeispiel zur Überprüfung der vorstehenden Aussagen zeigt Bild 1.6. Es

handelt sich hierbei um die Viertelsymmetrie einer Nietbrücke aus einem hochfesten Stahl,

so wie sie im Flugzeugbau zur Überbrückung von Rissen in der tragenden Struktur

eingesetzt wird.

100 400 1.000 4.000 10.000 13.000

FHGs

[N/

]

783

754

725

696

667

h-Version

p-Version

h-Version

p = 2

Bild 1.6: Spannungsauswertung in der Nietbrücke mit einer h- und p-Version (nach /NN 90/)

Für die erste Modellierung mit einer h-Version wurden 2.250 Volumen-Elemente (entspricht

4.000 FHGs) aufgewandt. Die größte Spannungsspitze liegt dann bei 667 N/mm

. Wird die

Elementanzahl auf 4.500 verdoppelt (entspricht 13.000 FHGs), so steigt die Spannungsspitze

auf 783 N/mm

, was einer relativen Spannungszunahme von 15 % entspricht.

1 Einführung

Analysiert man das Problem mit einer p-Version, so reichen zur Modellierung 18 Volumen-

Elemente aus. Aus der Auftragung ist mit zunehmendem Polynomgrad die Konvergenz deut-

lich sichtbar. Erfahrungsgemäß erreicht man mit dem Polynomgrad 6 (entspricht 3.100

FHGs) meist recht gute Ergebnisse, was durch dieses Beispiel ebenfalls belegt werden

konnte. Theoretisch kann bis zu dem Polynomgrad 12 ausgewertet werden. Der Vorteil liegt

somit in einer einfacheren Modellierung und in der geringen CPU-Zeit, die proportional der

Anzahl der Freiheitsgrade ist, wobei der Rechenaufwand für einen Freiheitsgrad bei beiden

Programmversionen als etwa gleich angenommen werden kann.

1.4 Qualitätsstandards

Innerhalb einer Produktentwicklung konnte sich die FEA als ein wichtiger Bestandteil

etablieren. Als Dienstleistung kann sie „intern“ im Unternehmen oder „extern“ von einem

Ingenieurbüro erbracht werden.

Da mit der DIN EN ISO 9001 Vorgaben für die Planung und Durchführung von Produktent-

wicklungsprozessen gemacht werden, bedeutet dies natürlich auch, dass an die Ausführungs-

qualität von FE-Berechnungen Vorgaben bestehen, die umzusetzen und einzuhalten sind.

Die Norm fordert beispielsweise

 ein „Management der Ressourcen“, um die Kundenanforderungen zu befriedigen. Dies

umfasst die Fähigkeiten des Personals und eine Infrastruktur an Soft- und Hardware, die

sicherstellt, dass Aufgabenstellungen gemäß den Vorgaben erfüllt werden können.

 Weiterhin muss eine „Planung und Produktrealisierung“ vorgenommen werden, dies ver-

langt Aufzeichnungen zum FE-Einsatz und den erzielten Ergebnissen.

und

 Eine weitere wichtige Forderung ist die „Bewertung, Verifizierung und Validierung“ von

FE-Ergebnissen, womit oft verbunden ist, dass letztlich eine verantwortliche Führungs-

kraft durch eine Unterschrift für die Richtigkeit der Ergebnisse einsteht.

Der letzte Punkt wird in der Norm mehrfach herausgestellt und führt letztlich zu der Forde-

rung:

Dienstleistungen müssen validiert werden, wenn die Ergebnisse nicht durch Messung

verifiziert werden können.

Im Sinne der Norm bedeutet Validieren, dass Berechnungsergebnisse als gültig erklärt wer-

den müssen und Verifizieren verlangt eine Überprüfung auf Richtigkeit. Interpretiert man

dies, so wird also verlangt, dass mittels analytischer Handrechnung Vergleichsergebnisse

herangezogen werden. Weisen diese die gleiche Größenordnung auf, so ist belegt, dass das

FE-Ergebnis „richtig“ ist. Dies schließt formal auch die richtige Handhabung ein.

2.2 Kommerzielle Software

2 Anwendungsfelder und Software

2.1 Problemklassen

Die Methode der finiten Elemente ist für eine große Klasse von technisch-physikalischen

Aufgaben interessant, weil sehr tief greifende Analysen möglich werden. Bild 2.1

zeigt eine

Zusammenstellung von bisher bekannten Anwendungen. Der Schwerpunkt liegt dabei ein-

deutig bei Festigkeits-, Potenzial- und Multiphysikproblemen.

Bild 2.1:

Methodenstammbaum der FEM (nach /KLE 80/)

x lineare Elastostatik:

 Hooke‘sches Materialverhalten ( H

E )

x nichtlineare Elastostatik:

 nichtlineares Materialverhalten (Plastizität)

 geometrisch nichtlineare Probleme (Instabilitätspro-

bleme, große Verschiebungen bei kleinen Dehnungen)

 impulsartige große Verformungen (Crash)

 Umformprozesse (IHU)

x lineare Elastodynamik:

 Eigenschwingungen

 freie und erzwungene Schwingungen

 zufallserregte Schwingungen

x nichtlineare

Elastodynamik:

 zeit- und verschiebungsabhängige Kräfte

 Stabilität, Kreiselbewegung

x Starrkörperdynamik:

x Elastohydrodynamik:

x Ermüdungsfestigkeit:

 MKS bzw. EMKS

 Schmierfilm

 Schädigung, Lebensdauer, Rissbruch

x Aeroelastizität:

 elast. Strukturverhalten unter Anströmung

x Wärmeübertragung:

 stationäre und instationäre Wärmeleitung

x Thermoelastizität:

 mechanische Beanspruchung unter hohen Temperaturen

x Flüssigkeitsströmungen:

 Sickerströmung, Geschwindigkeits-, Druck- und

Temperaturfelder

x Elektrotechnik:

 elektrisches Strömungsfeld, Magnet- und Wellenfelder

x Akustik:

 Schalldruckverteilung, Druckstöße

x Gießtechnologie:

 Spritz- und Druckgießen, Schwerkraftgießen

x Multiphysik:

 gekoppelte Strömung, Temperatur mit Elastik

2 Anwendungsfelder und Software

Ein Kriterium für die Anwendung der Methode ist, dass das physikalische Problem entweder

durch eine Differenzialgleichung oder ein äquivalentes Variationsprinzip darstellbar ist. Wir

werden später herausarbeiten, dass dies bei den Problemklassen der Elastostatik und Elasto-

dynamik entweder die Differenzialgleichung des Gleichgewichts oder ersatzweise die

Gleichheit der inneren und äußeren virtuellen Arbeit ist. Die Befriedigung dieser Glei-

chungen versucht man mit geeigneten Ansätzen näherungsweise zu erfüllen, wodurch sich

der Näherungscharakter der Methode /MAY 93/ ergibt.

Bei der Behandlung elastostatischer und elastodynamischer Probleme wendet man heute die

so genannte Verschiebungsgrößen-Methode (unbekannt sind die Verschiebungen in einer

Struktur) an, in dem man Ansatzfunktionen für das Verschiebungsverhalten der Elemente

vorgibt und hiermit ein Gleichungssystem bildet. Früher wurde auch die so genannte Kraft-

größen-Methode (unbekannt sind die Kräfte in einer Struktur) verwandt. Da in der Praxis

aber viel häufiger die Kräfte als die Verschiebungen bekannt sind, hat sich in der Theorie

und Programmerstellung die Verschiebungsgrößen-Methode durchgesetzt, weshalb diese im

Folgenden auch Formulierungsbasis sein soll.

Im Zuge der Weiterentwicklung der FE-Methode ist abzusehen, dass über die Stufen Feld-

probleme, Multiphysik zukünftig komplexe Systemmodellierungen ein breites Anwendungs-

feld darstellen werden. Dynamische bzw. elastodynamische Systeme werden immer tiefer

durch die MKS oder EMKS (elastische Mehrkörpersysteme) erschlossen. Zu den

wichtigsten Feldproblemen zählen: Wärmeleitung, Potenzialströmung und Magnetismus.

Diese Probleme lassen sich auf einen identischen DGL-Typ zurückführen. Je nach

Spezifikation der Konstanten kann dann die Fourier’sche Wärmeleitungsgleichung, die

Poisson’sche Gleichung für Potenzialströmungen oder die Maxwell’sche Gleichung für die

magnetische Kraftwirkung entwickelt werden. Ein entsprechendes FE-Modell ist dadurch

gekennzeichnet, dass an den Knoten nur eine skalare Unbekannte (Temperatur, Druck,

Magnetkraft etc.) vorkommt und daher ein modifiziertes Programm mit einer anderen

Speichertechnik benötigt wird.

Weiter sind in den letzten Jahren CFD-Programme

(Computational Fluid Dynamics) ent-

wickelt worden. Diese stellen eine Realisierung für Strömungsprobleme mit dem Medium

Luft oder Wasser dar. Darüber hinaus können auch zähe Strömungen (Kunststoffschmelzen)

mit dem Modul MOLDFLOW erfasst werden.

2.2 Kommerzielle Software

Der Softwaremarkt hat sich in den letzten Jahren sehr konsolidiert. Während vor 10 Jahren

noch etliche hundert große und kleine FE-Programme am Markt waren, hat sich dies auf

wenige Systeme konzentriert. Dieser werden mit großer Programmierkapazität überwiegend

in den USA entwickelt und weltweit vermarktet. Man schätzt den FE-Markt auf ein

Volumen von 3-4 Mrd. Dollar/Jahr.

Im umseitigen Bild 2.2 ist eine Kurzübersicht über die in Deutschland verbreitetsten Pro-

gramme wiedergegeben. Die Unterschiede sind im Prinzip gering. Dies schließt nicht aus,

dass man in einem speziellen Anwendungsfall gerade die „letzten 5 %“ benötigt.

Anmerkung: z. B. kommerzielle Softwareprodukte FLOW-3-D, CFX, StarCD, Fluent

2.2 Kommerzielle Software

System

ADINA ANSYS

MSC

NASTRAN

ABAQUS I-DEAS

Berechnungsoptionen

Festigkeitsanalyse statisch

xx xxx

Explizite Dynamik

Stabilitätsanalyse

xx xxx

Frequenzanalyse

xx xxx

Lebensdaueranalyse

xx xxx

Magnetfelder

Temperatureinflüsse

xx xxx

Strömung

xx xxx

Akustik

xx xxx

Optimierung

k. A.

xxxx

Kontakteinfluss

xx xxx

Materialeigenschaften

Plastizität

xx xxx

Kriechverhalten

k. A.

Viscoelastizität/-plastizität

xx xx

Verbundwerkstoffe

k. A.

Schnittstellen zu anderen

CAE-Programmen

(Auswahl)

CATIA

xx xxx

Pro/Engineer

xx x

k. A.

I-DEAS

k. A.

SolidWorks

k. A. k. A.

Einsatzgebiete

universell universell universell nichtlin.

Probleme

universell

Bild 2.2: Universelle FEM-Programme

x verfügbar (gegebenenfalls Erweiterung)

- nicht verfügbar

k. A. keine Angabe durch den Hersteller

2 Anwendungsfelder und Software

System

LS-DYNA COSMOSM

MSC

ADAMS

Pro/Mechanic

PAM-

CRASH

Berechnungsoptionen

Festigkeitsanalyse

statisch

xx x xx

Explizite Dynamik

Stabilitätsanalyse

xx x xx

Frequenzanalyse

xx x x

Lebensdaueranalyse

xx x x

Magnetfelder -

- - -

Temperatureinflüsse k. A.

k. A.

Strömung

- k. A. k. A. -

Akustik k. A. - k. A. k. A. -

Optimierung k.A.

xx xx

Kontakteinfluss

xx x xx

Materialeigen-

schaften

Plastizität

k. A. k. A.

Kriechverhalten k. A.

k. A. k. A. -

Viscoelastizität/-

plastizität

x/- x/-

k. A. k. A. -

Verbundwerkstoffe

k. A. k. A.

Schnittstellen zu

anderen CAE-

Programmen

(Auswahl)

via

ANSYS

CATIA - k. A.

k. A.

Pro/Engineer - k. A. -

k. A.

I-DEAS -

- -

SolidWorks - k. A. - - k. A.

Einsatzgebiete

Crash,

Umfor-

mung

einfache

Struktur-

analysen

Bewegungs-

simulation

Dynamik,

Lebensdauer

Crash

Bild 2.3: FEM-Programme für spezielle Anwendungen

2.2 Kommerzielle Software

Neben den aufgeführten schon sehr leistungsfähigen Universalprogrammen (ADINA,

ANSYS, NASTAN und I-DEAS) existiert beispielsweise mit ABAQUS eine von der Theo-

rie her sehr komplette Implementierung, die auch schwierigste Fälle zu lösen gestattet. Meist

liegen diese Fälle schon im Forschungsbereich, sodass ein normaler Anwender dieses Mehr

fast nie nutzen wird. Darüber hinaus existieren weitere Spezialprogramme, die ihre Stärken

in der Crash-Analyse, Umformsimulation, MKS (ADAMS, visualNASTRAN) oder Lebens-

dauer haben. Einige Programme hierzu weist Bild 2.3

aus.

Die zukünftige Entwicklungsrichtung der FE-Programme wird mehr in der System- und Pro-

zessschiene liegen, in dem Abläufe oder Ereignisse simuliert werden. In diese Richtung ent-

wickeln sich die MKS-Programmsysteme (Kinematik/Kinetik) und die Prozesssimulation

(Umformen, Gießen, Härten, Lackieren etc.), um zunächst „virtuelle Prototypen“ zu qualifi-

zieren. Eine heute schon in der Automobilentwicklung zur Anwendung kommende Me-

thodenkette zeigt Bild 2.4.

MKS

Prozesssimulation

3-D-CAD-Bauteilmodell

(virtueller Prototyp)

TOP-OPT/

FORM-OPT

FEM LDB

3-D-CAD-QM

Im Vordergrund stehen hierbei die Entwicklungszeiten

zu reduzieren, in dem virtuelle

CAD-Prototypen so lange qualifiziert werden, bis alle vorgegebenen Anforderungen mit

großer Sicherheit erfüllt werden. Danach beginnt erst das Entwicklungsstadium mit „mate-

riellen Prototypen“. Im Zentrum dieser ganzen Entwicklung steht die FEM, die sich demzu-

folge auch dynamisch weiterentwickelt und neue Anwendungsfelder erschließen wird.

Anmerkung: In der Automobilindustrie sind die Entwicklungszeiten in den letzten 10 Jahren von 60

Monaten auf 30 Monate bzw. im Maschinenbau von 30 Monaten auf 12 Monate verkürzt

worden.

Legende:

MKS = Mehrkörper-

simulation

TOP-OPT = Topologie-

Optimierung

FORM-OPT = Form-

Optimierung

CAD-QM = qualifiziertes

Modell

LDB = Lebensdauer-

Berechnung

Bild 2.4:

Simulation in der Bauteil-

entwicklung

3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-

Methode

Wie zuvor schon angesprochen, ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungs-

methode, da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt voraus, dass alle wesentlichen

Gleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen. Als besonders zweckmäßig

hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen, weshalb wir die bekannten Gleichungen

der Elastizitätstheorie neu formulieren müssen. Das Ziel besteht in der Aufstellung der fini-

ten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Steifig-

keiten, Massen, Kräften und Verschiebungen.

3.1 Matrizenrechnung

Zum weiteren Verständnis der Methode sind einige Grundkenntnisse in der Matrizenalgebra

erforderlich, die darum vorweg noch einmal zusammengestellt werden sollen. Die später

noch aufzustellende finite Grundgleichung ist eine Gleichung der Form /ZUR 54/

puk 

. (3.1)

Sie gibt einen Zusammenhang an zwischen einer vorhandenen linearen Steifigkeit (k), auf-

tretenden unbekannten Verschiebungen (u) und bekannten Kräften (p). Wir wollen dies nun

so verallgemeinern, dass eine Gleichung von der Form /ZUR 54/

yxA  (3.2)

vorliegen mag. Hierin bezeichnet jetzt A eine rechteckige Anordnung (m x n, d. h. m Zeilen

und n Spalten) von Größen, die Matrix genannt werden soll. Mit x soll weiter der Vektor der

unbekannten Größen und mit y der Vektor der bekannten rechten Seite bezeichnet werden.

Das somit gegebene lineare Gleichungssystem kann auch wie folgt ausgeschrieben werden:



mn3m2m1m

n2232221

n1131211

aaaa

. (3.3)

Man erkennt somit die Analogie zwischen der Gl. (3.1) und (3.2). Die Elemente a

in der

Matrix A sollen des Weiteren noch Koeffizienten genannt werden.

Ohne, dass jetzt schon auf Lösungsverfahren für Gl. (3.2) eingegangen werden soll, ist es na-

türlich klar, dass die Unbekannten in x zu ermitteln sind. Dies führt zur Operation der Inver-

sion der Koeffizientenmatrix, was symbolisch dargestellt werden kann als

yAx  



det

adj

. (3.4)

3.1 Matrizenrechnung

Die Inversion als solches ist im Anhang beispielhaft erläutert.

Zur Koeffizientenmatrix sollen aber noch einige Anmerkungen gemacht werden. Dies sei

zunächst die Transponierung oder Spiegelung an der so genannten Hauptdiagonalen. Das

Transponieren läuft dabei so ab, dass die Elemente

der Matrix A durch die Elemente

ersetzt werden, d. h., es findet ein Vertauschen der Zeilen und Spalten statt, z. B.

333231

232221

131211

aaa

A ,

332313

322212

312111

aaa

A . (3.5)

Hieraus erkennt man weiter, das für symmetrische Matrizen

(3.6)

sein muss. Wir werden nachfolgend wiederholt Vektoren bzw. Spaltenmatrizen transponie-

ren, d. h., aus einer Spaltenmatrix wird eine Zeilenmatrix gebildet:

y ,

n21

y...yy y . (3.7)

Als besonders wichtig soll hier das Transponieren eines Matrizenproduktes hervorgehoben

werden, weil eine Vertauschungsregel wirksam wird. Es gilt:



= ABBA 

(3.8)

Von den Rechenarten mit Matrizen soll hier nur die Multiplikation näher erläutert werden,

unter anderem, weil sie vorstehend schon benutzt worden ist. Zunächst ist zu bemerken, dass

das Produkt zweier Matrizen nicht vertauschbar ist, d. h. ganz allgemein gilt:

ABBA z . (3.9)

Bei der Produktbildung muss somit die Multiplikation „von links“ von der „nach rechts“

unterschieden werden. Damit überhaupt zwei Matrizen miteinander multipliziert werden

können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix

sein:

)rxm(

)rxn()nxm(

CBA  . (3.10)

Ist diese Verkettbarkeitsregel nicht erfüllt, so ist das Matrizenprodukt nicht definierbar. Mit

den Elementen der vorhergehenden Matrizen lautet dann das Produkt:

Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau

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