Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
ВЫСшАя МАТЕМАТИКА
ДЛя ЭКОНОМИСТОВ
Учебное пособие
В.Л. Клюшин
МОСКВА
ИНФРА-М
2009
Допущено Министерством образования и науки
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим специальностям
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
К52
КлюшинВ. Л.Высшая математика для экономистов: Учеб. по-
собие. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 448 с. — (Учебники РУДН).
ISBN 5-16-002752-1
Изложены основы линейной алгебры, математического
анализа, теории дифференциальных уравнений, теории ря-
дов. Основные теоретические положения учебного материала
сопровождаются решением задач. Везде, где это возможно,
раскрывается экономический смысл математических понятий,
рассматриваются экономические приложения и простейшие
модели. В основу книги положены лекции, которые автор читает
на протяжении многих лет.
Для студентов экономических факультетов вузов, эконо-
мистов-практиков, а также лиц, занимающихся самообразова-
нием.
ББК 22.1я73
ISBN 5-16-002752-1 © Клюшин В.Л., 2006
К52
Рецензенты:
кафедра высшей и прикладной математики
Академии труда и социальных отношений
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Л.Б. Шапиро);
д-р экон. наук, проф. В.И. Данилин
Предисловие
Эта книга представляет собой учебное пособие по высшей ма-
тематике для студентов экономических специальностей и написа-
на в соответствии с требованиями государственных образователь-
ных стандартов в области математики для специалистов с высшим
образованием по экономическим специальностям.
Пособие соответствует программе по высшей математике для
экономистов, рассчитанной приблизительно на 200 часов ауди-
торных занятий. Оно предназначено студентам-первокурсникам,
а также студентам, изучающим общий курс высшей математики
на протяжении первых трех семестров обучения в вузе. В книге
представлены элементы линейной алгебры и аналитической гео-
метрии, математический анализ, основы теории дифференциаль-
ных уравнений и рядов. Следует заметить, что это только фунда-
ментальная часть математики для экономистов, существует еще
прикладная часть, не вошедшая в эту книгу: «Теория вероятно-
стей и математическая статистика», «Оптимизация и основы тео-
рии принятия решений».
Излагаемый теоретический материал сопровождается, где это
возможно, экономическими приложениями, дается экономиче-
ский смысл математических понятий, приводятся математичес-
кие формулировки некоторых экономических законов. Некото-
рые приложения выделены в отдельные главы. Все экономичес-
кие приложения несложны, поскольку студенты первого курса
еще не располагают серьезными экономическими знаниями.
Автор надеется, что книга будет полезна также студентам-заоч-
никам и экономистам-практикам.
раздел I
ЭлеМеНТЫ лиНеЙНоЙ АлГеБрЫ
Глава 1
векТорЫ и деЙсТвия с НиМи.
лиНеЙНЫе ПросТрАНсТвА
1.1. лиНеЙНЫе оПерАции НАд векТорАМи
Из школьного курса геометрии известно, что если на плоско-
сти задана прямоугольная система координат, то каждый век-
тор
a
характеризуется своими координатами – парой чисел a
1
, a
2
:
a a a= ( , ).
1 2
В трехмерном пространстве вектору соответствует
тройка координат:
a a a a= ( , , ).
1 2 3
О п р е д е л е н и е. Любой упорядоченный набор n действи-
тельных чисел (a
1
, a
2
, …, a
n
) называется n-мерным вектором
a
:
a a a a
n
= ( , , ).
1 2
,…
(1.1)
Числа a
1
, a
2
, …, a
n
называются координатами, или компонентами,
вектора
a
. Например,
a
= (4, 2, 5, 0, -2) – пятимерный вектор;
в частности, его третья компонента равна 5, а пятая равна -2.
Заметим, что координаты вектора
a
можно расположить либо в
строку [см. (1.1)], либо в столбец:
a
a
a
a
n
=
1
2
…
.
(1.2)
Запись вида (1.1) называется вектором-строкой, а (1.2) – век-
тором-столбцом.
Число координат вектора называют размерностью вектора.
Два n-мерных вектора
a a a a
n
= ( , , )
1 2
,…
и
b b b b
n
= ( , , )
1 2
,…
на-
зываются равными, если их соответствующие координаты равны:
a
1
= b
1
, a
2
= b
2
, …, a
n
= b
n
. В этом случае пишем
a b= .
Суммой двух n-мерных векторов
a a a a
n
= ( , , )
1 2
,…
и
b b b b
n
= ( , , )
1 2
,…
b b b b
n
= ( , , )
1 2
,…
называется вектор
a b a b a b a b
n n
+ = + + +( , , , ).
1 1 2 2
…
Вектор, все координаты которого равны нулю, называется ну-
левым:
0 0 0 0= ( , , , ).…
Вектор (-a
1
, -a
2
, …, -a
n
) называется противоположным вектору
a a a a
n
= ( , , )
1 2
,…
и обозначается
−a
:
−a
= (-a
1
, -a
2
, …, -a
n
).
Разность векторов определяется так:
a
-
b
=
a
+ (-
b
).
Произведением вектора
a
= (a
1
, a
2
, ..., a
n
) на число k называется
вектор
ka ka ka ka
n
= ( , , , ).
1 2
…
Сложение векторов и умножение вектора на число называются
линейными операциями.
Отметим следующие свойства линейных операций (их легко
проверить):
1.
a b b a+ = + .
2.
( ) ( ).a b c a b c+ + = + +
3.
a a+ =0 .
4.
a a+ − =( ) .0
5.
k a b ka kb( ) .+ = +
6.
( ) .k k a k a k a
1 2 1 2
+ = +
7.
k k a k k a
1 2 1 2
( ) ( ) .=
8.
1⋅ =a a.
О п р е д е л е н и е. Множество всех n-мерных векторов, в ко-
тором определены операции сложения векторов и умножения
вектора на число, называется n-мерным векторным пространством
и обозначается R
n
.
Пространство R
n
называется также линейным пространством.
1.2. скАлярНое ПроизведеНие векТоров
Скалярным произведением двух векторов
a a a a
n
= ( , , )
1 2
,…
и
b b b b
n
= ( , , )
1 2
,…
называется число
a b a b a b a b
n n
, .
( )
= + + +
1 1 2 2
…
(1.3)
Проиллюстрируем скалярное произведение простыми при-
мерами.
П р и м е р 1.1. Хозяйка
покупает 0,5 кг хлеба, 5 кг картофеля,
3 кг огурцов, 2 кг помидоров и 1,5 кг мяса по ценам соответственно
12, 11, 15, 30, 80 руб. за килограмм. Если рассмотреть вектор това-
ров
a
= (0,5; 5; 3; 2; 1,5) и вектор цен
b
= (12; 11; 15; 30; 80), то сум-
ма денег, затраченных на эту покупку, выражается скалярным
произведением:
a b,
( )
= 0,5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 11 + 3 ⋅ 15 + 2 ⋅ 30 + 1,5 ⋅ 80 = 286 руб.
П р и м е р 1.2. С
умма в 300 000 руб. помещается под про-
центы на год в четыре банка: 50 000 – под 12%, 50 000 – под 15%,
100 000 – под 10% и 100 000 – под 20%.
Здесь вектор вкладов
a
= (50 000, 50 000, 100 000, 100 000), век-
тор процентных ставок
b
= (0,12; 0,15; 0,10; 0,20).
Первоначальная сумма возрастет на величину, выражаемую
скалярным произведением:
a b,
( )
= 50 000 ⋅ 0,12 + 50 000 ⋅ 0,15 + 100 000 ⋅ 0,10 +
+ 100 000 ⋅ 0,20 = 43 500 руб.
Перечислим основные свойства скалярного произведения:
1.
a b b a, , .
( )
=
( )
2.
k a b k a b, , .
( )
=
( )
3.
a b c a b a c, , , .+
( )
=
( )
+
( )
4. (
a
,
a
) ≥ 0; при этом (
a
,
a
) = 0 тогда и только тогда, когда
a
–
нулевой вектор.
1.. лиНеЙНАя зАвисиМосТь векТоров
О п р е д е л е н и е . Вектор
a
называется линейной комбина-
цией векторов
a a a
s1 2
, , ,…
из R
n
, если
a a a a
s s
= + + +λ λ λ
1 1 2 2
… ,
где l
1
, l
2
, …, l
s
– какие угодно действительные числа. В этом случае
говорят, что вектор
a
линейно выражается через векторы
a a a
s1 2
, , ,…
.
Пусть, например,
a
1
= (2, 1, 3, -2),
a
2
= (3, 1, 2, 2),
a
3
= (2, 1, 2, 0),
тогда
3
a
1
+ 2
a
2
- 4
a
3
= (6, 3, 9, -6) + (6, 2, 4, 4) - (8, 4, 8, 0) =
= (4, 1, 5, -2).
Вектор
a
= (4, 1, 5, -2) есть линейная комбинация векторов
a
1
,
a
2
,
a
3
:
a
= 3
a
1
+ 2
a
2
- 4
a
3
.
Всякий набор векторов из R
n
будем называть системой векто-
ров. В рассмотренном примере система состоит из четырех векто-
ров:
a
1
,
a
2
,
a
3
и
a
. При этом один из них (вектор
a
) есть линейная
комбинация остальных векторов этой системы.
О п р е д е л е н и е . Система векторов
a a a
m1 2
, , ,…
называется
линейно зависимой, если существуют такие числа l
1
, l
2
, …, l
m
,
не равные одновременно нулю, что
λ λ λ
1 1 2 2
0a a a
m m
+ + + =… .
(1.4)
В противном случае векторы
a a a
m1 2
, , ,…
называются линейно
независимыми. Иначе говоря, векторы
a a a
m1 2
, , ,…
линейно неза-
висимы, если из равенства (1.4) следует l
1
= l
2
= … = l
m
= 0.
Д о к а ж е м, что система, содержащая более одного вектора
a a a
m1 2
, , ,…
a a a
m1 2
, , ,…
, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы
один из них есть линейная комбинация остальных.
1. Пусть выполняется равенство (1.4) и хотя бы один из коэф-
фициентов отличен от нуля, например l
m
≠ 0. Тогда
a a a
m
m m
= − − −
λ
λ
λ
λ
1
1
2
2
…,
т.е. вектор
a
m
есть линейная комбинация остальных векторов.
2. Пусть теперь один из векторов, например
a
2
, есть линейная
комбинация остальных:
a
2
= l
1
a
1
+ … + l
m
a
m
.
Тогда
λ λ
1
+ − ⋅ + + =a a a
m m1 2
1 0( ) ,…
и в этом равенстве имеется коэффициент, отличный от нуля
(l
2
= -1). Следовательно, система векторов
a a a
m1 2
, , ,…
линейно
зависима.
Отметим некоторые свойства векторов пространства R
n
.
1. Если система
a a a
m1 2
, , ,…
содержит нулевой вектор, то она
линейно зависима.
Чтобы убедиться в этом, достаточно в левой части равен-
ства (1.4) взять нулевой вектор с коэффициентом 1, а остальные
коэффициенты равными нулю.
2. Если часть векторов системы
a a a
m1 2
, , ,…
линейно зависимы
,
то и все эти векторы линейно зависимы.
В самом деле, пусть, например, в системе
a a a a a
1 2 3 4 5
, , , ,
векто-
ры
a a a
2 3 5
, ,
линейно зависимы:
λ λ λ
2 3 5
+ + =a a a
2 3 5
0
и, например,
l
3
≠ 0. Тогда
0 0 0
1 2 2 3 4 5
⋅ + + + ⋅ + =
3 5
a a a a aλ λ λ ,
и в этом равенстве по меньшей мере один коэффициент отличен
от нуля (l
3
≠ 0). Следовательно, эта система
a a a a a
1 2 3 4 5
, , , ,
линей-
но зависима.
Приведем без доказательства следующую важную теорему.
Т е о р е м а 1.1. Любая система, содержащая (n + 1) векторов
пространства R
n
, линейно зависима.
1.. БАзис и рАНГ сисТеМЫ векТоров
Дана система векторов
a a a
k1 2
, , , .…
(1.5)
Всякая подсистема системы (1.5) называется базисом этой сис-
темы, если выполняются следующие условия:
1) эта подсистема линейно независима;
2) любой вектор системы (1.5) линейно выражается через век-
торы этой подсистемы.
Система векторов может иметь несколько базисов. Можно по-
казать, что все базисы данной системы векторов состоят из одного и
того же числа векторов. Это число (число векторов базиса) назы-
вается рангом системы.
Пространство R
n
, очевидно, является системой, содержащей
все n-мерные векторы. Понятие базиса распространяется и на R
n
.
О п р е д е л е н и е. Система векторов называется базисом про-
странства R
n
, если:
1) эта система линейно независима;
Иначе говоря, данная система векторов содержит линейно зависимую
подсистему.
2) всякий вектор пространства R
n
линейно выражается через
векторы данной системы.
Примером базиса в R
n
является система, состоящая из n «еди-
ничных» векторов:
e
e
e
n
1
2
1 0 0
0 1 0
0 0
=
=
=
( , , , ),
( , , , ),
( , ,
…
…
……, ).1
Действительно, с одной стороны, эта система линейно незави-
сима (так как из
λ λ λ
1
+ + + =e e e
n n1 2 2
0…
следует l
1
= l
2
= … = l
n
= 0),
с другой стороны, всякий вектор
a
= (a
1
, a
2
, …, a
n
) представим
в виде
a a e a e a e
n n
= + + +
1 1 2 2
… ,
т.е. является линейной комбинацией векторов
e e e
n1 2
, , , .…
В предыдущем примере базис состоял из n векторов. Это не
случайно. Справедлива следующая теорема (приведем ее без дока-
зательства).
Т е о р е м а 1.2. Линейно независимая система векторов в R
n
является базисом тогда и только тогда, когда число этих векторов
равно n.
Число векторов базиса пространства, т.е. максимальное число
его линейно независимых векторов, называется размерностью
пространства. Пространство R
n
, ранее названное n-мерным исхо-
дя из других соображений, является также n-мерным в том смыс-
ле, что его размерность равна n.
1.. рАзложеНие векТорА По БАзису
Пусть система векторов
a
1
= (a
11
, a
12
, …, a
1n
),
a
2
= (a
21
, a
22
, …, a
2n
), …,
a
m
= (a
m1
, a
m2
, …, a
mn
) (1.6)
является базисом
и вектор
x
разложен по векторам (1.6):
x x a x a x a
m m
= + + +
1 1 2 2
… .
. (1.7)
Здесь компоненты векторов приходится снабжать двойными индекса-
ми: первый – указывает на номер вектора, второй – на номер компо-
ненты.
10
Возникает вопрос: однозначно ли определяются коэффициен-
ты
x x x
m1 2
, , ,…
разложения (1.7)?
Т е о р е м а 1.3. Разложение вектора
x
по векторам базиса
единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что вектор
x
представ-
лен в виде линейной комбинации векторов (1.6) двумя способами:
x x a x a x a
m m
= + + +
1 1 2 2
… ,
x x a x a x a
m m
=
′
+
′
+ +
′
1 1 2 2
… .
Вычитая одно равенство из другого, получим
x x a x x a x x a
m m m1 1 1 2 2 2
0−
′
( )
+ −
′
( )
+ + −
′
( )
=… .
Однако система (1.6) линейно независима, следовательно,
x x x x x x
m m1 1 2 2
0 0 0−
′
= −
′
= −
′
=, , , .…
Отсюда
x x x x x x
m m1 1 2 2
=
′
=
′
=
′
, , , .…
Итак, разложение (1.7) единственно. Коэффициенты разложе-
ния (1.7) называются координатами вектора
x
в базисе (1.6).
1.. лиНеЙНЫе НорМировАННЫе ПросТрАНсТвА.
евклидово ПросТрАНсТво
О п р е д е л е н и е. Линейным пространством называется всякое
множество V произвольных элементов, называемых векторами,
для которых определены операции сложения и умножения на
действительные числа, т.е. для любых двух векторов
u
1
и
u
2
из V
определен вектор
u
, называемый суммой векторов
u
1
и
u
2
и обозна-
чаемый
u
1
+
u
2
, а для любого вектора
u
и любого действительного
числа l определен вектор l
u
, называемый произведением векто-
ра
u
на число l, причем выполняются следующие условия:
1)
u u u u
1 2 2 1
+ = + ;
2)
u u u u u u
1 2 3 1 2 3
+
( )
+ = + +
( )
;
3) в множестве V имеется элемент
0
, называемый нулевым эле-
ментом, удовлетворяющий для любого
u
условию
u u+ =0 ;
4) ко всякому вектору
u
имеется вектор -
u
, называемый проти-
воположным вектору
u
и удовлетворяющий условию
u u+
( )
=– ;0