Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
42
Íà ðèñ. 2.2 ïîêàçàíû íåêîòîðûå âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ ïðîöåíò-
íûõ ñòàâîê îò âðåìåíè.
Ðèñ. 2.2. Âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ ñòàâêè âî âðåìåíè
Ôîðâàðäíàÿ íîìèíàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà — ýòî íîìèíàëüíàÿ
ñïîòîâàÿ ñòàâêà äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè
τ â áóäóùåì (ðèñ. 2.3).
τ
Ðèñ. 2.3. Ìîìåíòû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàâîê â áóäóùåì
Ðàññìîòðèì ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ñïîòîâîé è ôîðâàðäíîé ñòàâîê
ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè ïðîöåíòíîé ñòàâêè íàðàùåíèÿ îò âðåìåíè.
Àíàëèç ïðîâåäåì íà ïðèìåðå ñèëû ðîñòà è ñëîæíîé ãîäîâîé íîìè-
íàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè, íà÷èñëåíèå ïðîöåíòîâ ïî êîòîðîé
ïðîèçâîäèòñÿ íåñêîëüêî ðàç â ãîäó.
Ïóñòü â íàñòîÿùèé ìîìåíò (t = 0) èçâåñòíû ñïîòîâàÿ íîìè-
íàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà
0,n
j
äëÿ ïåðèîäà n ëåò è ñïîòîâàÿ íî-
ìèíàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà
0,
j
τ
äëÿ ïåðèîäà â τ ëåò, ò.å. èìåþòñÿ
äâå ñïîòîâûå ñòàâêè äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíè, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 2.3.
Âêëàä÷èê ïîêóïàåò îáëèãàöèþ ñ íóëåâûì êóïîíîì, âûïóùåí-
íóþ íà
n ëåò, êîòîðàÿ áóäåò ïîãàøåíà ïî öåíå S. Ñîâðåìåííàÿ
ñòîèìîñòü
Р
ýòîé îáëèãàöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
()
0,
1
mn
n
S
P
jm
=
+
,
ãäå m — êîëè÷åñòâî íà÷èñëåíèé ïðîöåíòîâ â ãîäó.
Àëüòåðíàòèâîé ýòîé ôèíàíñîâîé îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ïîêóïêà
îáëèãàöèè ñ íóëåâûì êóïîíîì, âûïóùåííîé íà
τ ëåò, ïðîäàæà åå
43
÷åðåç τ ëåò è ïîêóïêà îáëèãàöèè ñ íóëåâûì êóïîíîì íà Tn=−τ ëåò.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ÿâëÿåòñÿ ôîðâàðäíîé ñòàâ-
êîé. Â ðåçóëüòàòå ýòîé ôèíàíñîâîé îïåðàöèè èíâåñòîð äîëæåí ïî-
ëó÷èòü òîò æå ôèíàíñîâîé ðåçóëüòàò, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå, ò.å. ïðè
çàòðàòå ñóììû Ð ïîëó÷èòü ÷åðåç
n
ëåò ñóììó S. Ñîâðåìåííàÿ ñòîè-
ìîñòü ïëàòåæåé äëÿ àëüòåðíàòèâíîé ôèíàíñîâîé îïåðàöèè îïðåäå-
ëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
()
()
0,
11
m
mT
S
P
jm jm
τ
ττ
=
++
,
ãäå j
τ
— ôîðâàðäíàÿ íîìèíàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà.
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé, íàéäåì
()()
()
0, 0,
111.
mn m
mT
n
jm jm jm
τ
ττ
+=+ + (2.35)
Îáîçíà÷èì ñèëó ðîñòà
,δ â ïðåäåëå ïðè m →∞ ïîëó÷èì
0, 0,
eee.
n
n
T
τ
τ
δ⋅ δ⋅τ
δ⋅
= (2.36)
Èç ñîîòíîøåíèé (2.35) è (2.36) îïðåäåëèì ñâÿçü ìåæäó íîìè-
íàëüíîé
0,n
j
è íåïðåðûâíîé
0,n
δ ñïîòîâûìè ñòàâêàìè:
()
(
)
0,
0, 0, 0,
ln 1 ; e 1 .
n
m
nnn
mjmjm
δ
δ=⋅ + = −
(2.37)
Äëÿ ãîäîâûõ ñïîòîâûõ ñòàâîê (m = 1) èìååì
(
)
0,
0, 0, 0,
ln 1 ; e 1.
n
nnn
ii
δ
δ= + = − (2.38)
Ôîðìóëû (2.37) è (2.38) ñîâïàäàþò ïî âèäó ñ ôîðìóëàìè (2.9)
è (2.8).
Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.36) íàõîäèì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ôîðâàðä-
íîé ñèëû ðîñòà:
0,
0, 0, 0,
0,
1
.
1
nn
n
nn
n
n
τ
τ⋅
τ
δ
τ
−⋅
δ⋅−δ τ δ
δ= =δ
τ
−τ
−
(2.39)
Ãðàôèêè ýòîé ôóíêöèè îò
nτ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
0, 0, nτ
δδ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.4.
44
τ
δ
0, 0,
01
ττ
<δ δ <
0, 0,
1
nτ
δδ=
0, 0,
1
nτ
δδ>
nτ
0
δ
Ðèñ. 2.4. Çàâèñèìîñòü ôîðâàðäíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè îò âðåìåíè
Âåðíåìñÿ ê ôóíêöèè ïðîöåíòíîé ñòàâêè íàðàùåíèÿ îò âðåìåíè.
Íà ðèñ. 2.5 ïîêàçàí ïðèìåð âðåìåííîé çàâèñèìîñòè íîìèíàëüíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêè.
0
j
1
j
2
j
l
j
L
12 lnt
l
L
t∆
t
j
Ðèñ. 2.5. Çàâèñèìîñòü ñòàâêè îò âðåìåíè
Îòðåçîê âðåìåíè îò 0 äî n ðàçáèò íà L ðàâíûõ ýëåìåíòàðíûõ
îòðåçêîâ äëèòåëüíîñòüþ ∆t. Íîìèíàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà âíóòðè
êàæäîãî îòðåçêà ïîñòîÿííà. Íàïðèìåð, íà îòðåçêå 1 ýòà ñòàâêà ðàâ-
íà j
1
, íà îòðåçêå 2 — j
2
è ò.ä. Äëÿ ïîñòàâëåííûõ óñëîâèé äîëã â ìî-
ìåíò n îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
12
1 1 ... 1 ,
mt mt mt
L
jj j
SP
mm m
⋅∆ ⋅∆ ⋅∆
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=+ + +
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.40)
ãäå Ð – ïåðâîíà÷àëüíàÿ ñóììà äîëãà.
Äëÿ íåïðåðûâíîãî íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ (m →∞) ïðè çàìåíå
íîìèíàëüíîé ñòàâêè j íà ñèëó ðîñòà
δ èìååì
1
12
e e ... e e .
L
l
l
L
t
tt t
SP P
=
δ∆
δ⋅∆ δ ⋅∆ δ ⋅∆
∑
==⋅
45
Ïðè
(
)
0tL∆→ →∞ ïîëó÷èì
0
e.
n
dt
SP
δ
∫
=
(2.41)
Ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïîëó÷èòü èíà÷å. Ðàçäåëèì ïðàâóþ è ëåâóþ
÷àñòè (2.40) íà
Р
è ïðîëîãàðèôìèðóåì ðåçóëüòàò:
12
ln ln 1 1 ... 1
mm m
L
jj j
S
t
Pmm m
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎢⎥
=+ + + ⋅∆=
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
12
ln1 ln1 ... ln1 .
mm m
L
jj j
t
mm m
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢⎥
=++++++ ⋅∆
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣⎦
Ïðè
(
)
0tL∆→ →∞
ïîëó÷èì
0
ln ln 1 .
m
n
Sj
dt
Pm
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫
Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
0
ln 1
e.
m
n
j
dt
m
SP
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∫
=
(2.42)
Ñîïîñòàâèâ (2.42) ñ (2.41), íàéäåì
ln 1 ; e 1 .
m
j
mjm
m
δ
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
δ= ⋅ + = −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(2.43)
Äëÿ ãîäîâûõ ñòàâîê (m = 1) èìååì
()
ln 1 ; e 1,ii
δ
δ= + = − (2.44)
ãäå i — ãîäîâàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íàðàùåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, âèä ôîðìóë (2.43) è (2.44), îïðåäåëÿþùèõ ñâÿçü
ñèëû ðîñòà íàðàùåíèÿ è ñòàâêè íàðàùåíèÿ, ñîâïàäàåò ñ âèäîì
ôîðìóë (2.37) è (2.38), îïðåäåëÿþùèõ ñâÿçü ñïîòîâîé ñèëû ðîñòà
è ñïîòîâîé ñòàâêè.
Ïåðåéäÿ â (2.42) ê ïðåäåëó ïðè
т →∞, ïîëó÷èì (2.41).
Åñëè îòðåçîê îò 0 äî n ðàçáèòü íà äâà
(
)
(
)
0, и , nττ, ãäå òî÷êà τ ëå-
æèò ìåæäó 0 è n (ñì. ðèñ. 2.3), òî ôîðìóëó (2.41) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
τ
0τ
e.
n
dt dt
SP e
δδ
∫∫
⋅
=⋅
46
Íàðàùåííàÿ ñóììà, âûðàæåííàÿ ÷åðåç ôîðâàðäíóþ ñèëó ðîñòà
äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè
τ , ïî îïðåäåëåíèþ ôîðâàðäíîé ñòàâêè íàõî-
äèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ:
()
τ
0
τ
ee .
dt
n
SP
δ
δ⋅ −τ
∫
=⋅ ⋅
Ñîïîñòàâèâ äâà ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿ, íàéäåì ôîðìóëó äëÿ ðàñ-
÷åòà ôîðâàðäíîé ñèëû ðîñòà
τ
δ â ëþáîé ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò τ :
1
.
n
dt
n
τ
τ
δ= δ
−τ
∫
(2.45)
Ôîðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ñïîòîâîé ñèëû ðîñòà ñëåäóåò èç (2.45) ïðè
0τ= :
0,
0
1
.
n
n
dt
n
δ= δ
∫
(2.46)
Âûðàçèì çàâèñèìîñòü ñèëû ðîñòà íàðàùåíèÿ îò ñïîòîâîé ñèëû
ðîñòà. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (2.46) íà n è, ïðî-
äèôôåðåíöèðîâàâ èõ ïî n, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ñèëû ðîñ-
òà íàðàùåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñïîòîâîé ñèëû ðîñòà:
()
0,
0,
.
n
n
d
nn
dn
δ
δ=δ+
(2.47)
Ïðîâåäÿ âû÷èñëåíèÿ ïî ýòîé ôîðìóëå è çàìåíèâ â ðåçóëüòàòå n
íà t, ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ñèëû ðîñòà íàðàùåíèÿ îò âðåìåíè
(
)
tδ
.
Èç âûðàæåíèÿ (2.47) ñëåäóåò, ÷òî åñëè
0,n
δ
âîçðàñòàåò ïðè óâå-
ëè÷åíèè n, ò.å.
0,
0
n
d
dn
δ
>
, òî
()
0,n
tδ>δ, åñëè æå
0,n
δ
óáûâàåò,
òî
()
0,n
tδ<δ.
Ïðèìåð 2.16. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü íåïðåðûâíîé ôîðâàðäíîé ïðî-
öåíòíîé ñòàâêè îò âðåìåíè, åñëè íåïðåðûâíàÿ ñïîòîâàÿ ñòàâêà íàðàùåíèÿ
èìååò âèä
0, 0 0, 0
) const; ) .
nn
аbknδ=δ= δ=δ±
Ðåøåíèå.
Íåïðåðûâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó íàðàùåíèÿ îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (2.47):
(
)
(
)
000
);) 2а t b t kt kt ktδ=δ δ=δ±±=δ±
.
Íåïðåðûâíàÿ ôîðâàðäíàÿ ñòàâêà íàðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
(2.45):
0
0
1
);
n
n
аdtt
nn
τ
τ
τ
δ
δ= δ = =δ
−τ −τ
∫
47
()
2
0
0
1
)2
n
n
tkt
bktdt
nn
τ
τ
τ
δ±
δ= δ± = =
−τ −τ
∫
()
()
()
22
0
0
.
nkn
kn
n
δ−τ± −τ
==δ±+τ
−τ
Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñïîòîâîé íîìèíàëüíîé ñòàâêîé è íîìè-
íàëüíîé ñòàâêîé íàðàùåíèÿ. Äëÿ ýòèõ öåëåé âî âòîðóþ ôîðìóëó
(2.37) ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà ñïîòîâîé ñèëû ðîñòà (2.46).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
0
1
0,
e1.
n
dt
mn
n
jm
δ
⎛⎞
∫
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Ïîäñòàâèâ ñþäà ïåðâóþ ôîðìóëó (2.43), íàéäåì
0
1
ln 1
0,
1e .
n
j
dt
nm
n
j
m
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
∫
+=
Èíà÷å ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
0,
0
1
ln 1 ln 1 .
n
n
j
j
dt
mn m
⎛⎞
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫
(2.48)
Äëÿ ãîäîâûõ ñòàâîê (m = 1) èìååì
()
()
0,
0
1
ln 1 ln 1 .
n
n
iidt
n
+= +
∫
(2.49)
2.6. Потоки платежей, аннуитеты
Ïîòîêè ïëàòåæåé — ýòî ïëàòåæè ïîñëåäîâàòåëüíûå âî âðåìåíè,
íàïðèìåð âûïëàòû äèâèäåíäîâ, ïåíñèè è ò.ä.
Ðåãóëÿðíûì ïîòîêîì ïëàòåæåé (ôèíàíñîâîé ðåíòîé, àííóèòå-
òîì) íàçûâàþòñÿ ïëàòåæè, ó êîòîðûõ âñå âûïëàòû íàïðàâëåíû
â îäíó ñòîðîíó (íàïðèìåð, ïîñòóïëåíèÿ), à èíòåðâàëû (ïåðèîäû)
ìåæäó ïëàòåæàìè îäèíàêîâû.
Íåðåãóëÿðíûì ïîòîêîì ïëàòåæåé íàçûâàþòñÿ ïëàòåæè, ó êîòî-
ðûõ ÷àñòü âûïëàò ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè (ïîñòóï-
ëåíèÿ), à äðóãàÿ ÷àñòü — îòðèöàòåëüíûìè âåëè÷èíàìè (âûïëàòû
ñòîðîííèì îðãàíèçàöèÿì). Èíòåðâàëû ìåæäó ïëàòåæàìè â ýòîì
ñëó÷àå ìîãóò áûòü íå ðàâíû äðóã äðóãó.
48
Íàðàùåííàÿ ñóììà ïîòîêà ïëàòåæåé — ýòî ñóììà âñåõ âûïëàò
ñ íà÷èñëåííûìè íà íèõ ê êîíöó ñðîêà ñëîæíûìè ïðîöåíòàìè.
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ïîòîêà ïëàòåæåé — ýòî ñóììà âñåõ âû-
ïëàò, äèñêîíòèðîâàííûõ íà íà÷àëî ñðîêà ýòîãî ïîòîêà ïî ñëîæíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêå.
Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé ïîòîêà ïëàòåæåé. Ïóñòü
k
R — ðÿä ïëà-
òåæåé, èìåþùèõ çíàê «ïëþñ» èëè «ìèíóñ»;
k
t — âðåìÿ âûïëàòû ïîä
íîìåðîì
k = 1, 2, ..., Ê; Ê — êîëè÷åñòâî âûïëàò;
K
t — îáùèé ñðîê
âûïëàò; i — ñëîæíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íàðàùåíèÿ, íà÷èñëÿåìàÿ
îäèí ðàç â ãîäó; âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ â êîíöå ïåðèîäà (ðèñ. 2.6).
2
R
1
R
3
R
k
R
k
t
3
t
2
t
1
t
К
t
К
R
Ðèñ. 2.6. Ñõåìà âûïëàò
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì íàðàùåííàÿ ñóììà òàêîãî ïîòî-
êà ïëàòåæåé ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
1
1.
К
k
К
tt
k
k
SRi
−
=
=+
∑
(2.50)
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ïîòîêà ïëàòåæåé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíî-
øåíèåì
()
1
.
1
k
К
k
t
k
R
A
i
=
=
+
∑
(2.51)
Ñîâðåìåííóþ ñòîèìîñòü, îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì (2.51),
ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå äèñêîíòèðîâàíèåì íàðàùåííîé ñóììû
(2.50), ò.å.
()
.
1
К
t
S
A
i
=
+
Äåéñòâèòåëüíî,
()
()
()
()
()
111
1
11.
11 1
Кk k
КK k
ККК
tt t
k
kk
tt t
kkk
R
S
Ri Ri A
ii i
−−
===
=+ =+= =
++ +
∑∑∑
Ïî ìîìåíòó âûïëàò â ïðåäåëàõ ìåæäó íà÷àëîì è êîíöîì ïåðèî-
äà ðåíòû ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà:
• ïîñòíóìåðàíäî (îáûêíîâåííûå), êîãäà âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ
â êîíöå ïåðèîäà;
• ïðåíóìåðàíäî, êîãäà âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ â íà÷àëå ïåðèîäà;
• ðåíòû ñ ïëàòåæàìè â ñåðåäèíå ïåðèîäà.
Ïîñòîÿííîé ðåíòîé íàçûâàåòñÿ ðåíòà, âûïëàòû êîòîðîé íå èç-
ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.
49
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü â îñíîâíîì ðåíòû ïîñòíóìåðàíäî. Ñâÿçü
ðåíò ïîñòíóìåðàíäî ñ îñòàëüíûìè òèïàìè áóäåò óñòàíîâëåíà ïîçæå.
Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå âèäû ôèíàíñîâûõ ðåíò.
Ãîäîâàÿ ðåíòà ïîñòíóìåðàíäî ïðåäóñìàòðèâàåò âûïëàòû è íà-
÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ îäèí ðàç â êîíöå ãîäà.
Îïðåäåëèì íàðàùåííóþ ñóììó ãîäîâîé ðåíòû. Òàêàÿ çàäà÷à ôîð-
ìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: â òå÷åíèå
n
ëåò â ôîíä (áàíê)
â êîíöå êàæäîãî ãîäà âíîñèòñÿ ïî
R ðóáëåé, íà êîòîðûå íà÷èñëÿ-
þòñÿ ñëîæíûå ïðîöåíòû ïî ñòàâêå
%i ãîäîâûõ. Òàêèì îáðàçîì, íà
ïåðâûé âçíîñ ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ
1n − ãîä, íà âòîðîé — 2n −
ãîäà è ò.ä. Íàðàùåííàÿ ñóììà ê êîíöó ñðîêà áóäåò ðàâíà
() () ()
12
1 1 ... 1 .
nn
SR i R i R i R
−−
=+ ++ ++++
Åñëè ïîñìîòðåòü íà ýòî âûðàæåíèå ñïðàâà íàëåâî, òî ìîæíî
óâèäåòü, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî
çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè
1qi=+. Ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
(
)
1
1
n
n
Rq
S
q
−
=
−
,
ãäå R — ïåðâûé ÷ëåí ïðîãðåññèè; n — êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè.
Òàêèì îáðàçîì, íàðàùåííàÿ ñóììà ãîäîâîé ðåíòû ê êîíöó ñðî-
êà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
()
11
.
n
i
SR
i
+−
=
×àñòî ýòó ôîðìóëó çàïèñûâàþò â âèäå
;ni
SRs=
,
ãäå
()
;
11
n
ni
i
s
i
+−
=
— êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ
ôóíêöèÿ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè ãîäîâîé ðåíòû íåîáõî-
äèìî ïðîâåñòè äèñêîíòèðîâàíèå êàæäîãî ïëàòåæà íà íà÷àëî ñðîêà
ðåíòû è ñëîæèòü âñå ýòè ïëàòåæè, ò.å.
()() ()
() ()
23
21
...
1
11 1
11 1
1....
11
11
n
n
RR R R
A
i
ii i
R
ii
ii
−
=+ + ++ =
+
++ +
⎛⎞
⎜⎟
=++ ++
⎜⎟
++
++
⎝⎠
Âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ-
ñèè ñî çíàìåíàòåëåì ïðîãðåññèè
1
1 i+
è ñ êîëè÷åñòâîì ÷ëåíîâ ïðî-
50
ãðåññèè, ðàâíûì n. Òàêèì îáðàçîì, ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ãîäîâîé
ðåíòû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
() () ()
1
1
11111
.
1
111
1
1
nn n
ii i
R
ARR
iii
i
−−
−
++−−+
===
+−−
−
+
×àñòî ýòó ôîðìóëó çàïèñûâàþò â âèäå
;ni
ARa= ,
ãäå
()
;
11
n
ni
i
a
i
−
−+
=
— êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðî-
âàííàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðèìåð 2.17. Â ôîíä åæåãîäíî â êîíöå ãîäà ïîñòóïàþò ñðåäñòâà ïî
10 000 ðóá. â òå÷åíèå ñåìè ëåò, íà êîòîðûå íà÷èñëÿþòñÿ ïðîöåíòû ïî ñòàâ-
êå 15% ãîäîâûõ.
Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû íàðàùåíèÿ è ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, à òàêæå
âåëè÷èíó ôîíäà íà êîíåö ñðîêà è åãî ñîâðåìåííóþ ñòîèìîñòü.
Ðåøåíèå.
Êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
()
7
;
11
1, 1 5 1
11, 066799.
0,15
n
ni
i
s
i
+−
−
===
Íàðàùåííàÿ ñóììà:
;
10 000 11, 066799 110 667,99
ni
SRs== ⋅ =
ðóá.
Êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
()
7
;
11
11,15
4,16042.
0,15
n
ni
i
a
i
−
−
−+
−
===
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
;
10 000 4,16042 41 604,2
ni
ARa== ⋅ =
ðóá.
Ðåíòà ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé
ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó ÿâëÿåòñÿ ñàìûì îá-
ùèì òèïîì ðåíòû. Âîçìîæíàÿ ñõåìà âûïëàò è íà÷èñëåíèé òàêîé
ðåíòû ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 2.7.
Ðèñ. 2.7. Ñõåìà âûïëàò ðåíòû ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó
51
Åñëè âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ р ðàç â ãîäó, òî òàêàÿ ðåíòà íàçû-
âàåòñÿ p-ñðî÷íîé èëè ðåíòîé ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó.
 ëþáîì ãîäó ïðîèçâîäèòñÿ
р âûïëàò ïî Rp ðóá., ãäå R — ãîäî-
âàÿ âûïëàòà. Êîëè÷åñòâî íà÷èñëåíèé ïðîöåíòîâ â ãîäó ïî íîìè-
íàëüíîé ñòàâêå
j
ðàâíî m . Ñðîê ðåíòû — n ëåò. Àíàëîãè÷íî ñëó-
÷àþ ãîäîâîé ðåíòû íàõîäèì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ íàðàùåííîé ñóììû
è ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè èññëåäóåìîé ðåíòû:
()
;
,
p
mn j m
SRs= (2.52)
ãäå
()
;
p
mn j m
s =
11
11
mn
mp
j
m
j
p
m
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
⎡⎤
⎛⎞
+−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
— (2.53)
êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ;
(
)
;
p
mn j m
ARa= , (2.54)
ãäå
(
)
;
p
mn j m
a
11
11
mn
mp
j
m
j
p
m
−
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
=
⎡⎤
⎛⎞
+−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
— (2.55)
êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ.
Èç ñîîòíîøåíèé (2.52) è (2.53), à òàêæå èç (2.54) è (2.55) ñëå-
äóþò ôîðìóëû äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, êîãäà êîëè÷åñòâî íà÷èñëåíèé
ïðîöåíòîâ â ãîäó ðàâíî êîëè÷åñòâó âûïëàò â ãîäó. Ïîäñòàâèâ òóäà
mp= , íàéäåì
11
;
mn
j
m
SR
j
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
11
.
mn
j
m
AR
j
−
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
=
Äëÿ ñëó÷àÿ ãîäîâîé ðåíòû ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëü-
íîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ íàðàùåííîé ñóììû è ñîâðåìåí-
íîé ñòîèìîñòè ïîëó÷àþò èç (2.1—2.4) ïðè ïîäñòàíîâêå òóäà
1р = :