Кузнецов Б.Т. Инвестиции
Подождите немного. Документ загружается.
52
;
11
,
11
mn
mn j m
m
j
m
SR Rs
j
m
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
==
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
ãäå
;
11
11
mn
mn j m
m
j
m
s
j
m
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
—
êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ;
;mn j m
ARa=
ãäå
;
11
11
mn
mn j m
m
j
m
a
j
m
−
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
—
êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðèìåð 2.18. Â ôîíä åæåãîäíî â êîíöå ãîäà ïîñòóïàþò ñðåäñòâà ïî
10 000 ðóá. â òå÷åíèå ñåìè ëåò, íà êîòîðûå íà÷èñëÿþòñÿ ïðîöåíòû ïî íîìè-
íàëüíîé ñòàâêå 15% ãîäîâûõ, ïðè÷åì ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ ïîêâàðòàëüíî.
Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû íàðàùåíèÿ è ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, à òàêæå
âåëè÷èíó ôîíäà íà êîíåö ñðîêà è åãî ñîâðåìåííóþ ñòîèìîñòü.
Ðåøåíèå.
Êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
47
;
4
0,15
111 1
4
11,366392.
0,15
111 1
4
mn
mn j m
m
j
m
s
j
m
⋅
⎛⎞ ⎛ ⎞
+−+ −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
== =
⎛⎞ ⎛ ⎞
+− + −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
Íàðàùåííàÿ ñóììà
;
10 000 11,366392 113 663, 92
mn j m
SRs==⋅ =
ðóá.
Êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
47
;
4
0,15
11 11
4
4,0546724.
0,15
111 1
4
mn
mn j m
m
j
m
a
j
m
−−⋅
⎛⎞ ⎛ ⎞
−+ −+
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
== =
⎛⎞ ⎛ ⎞
+− + −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ðåíòû
;
10 000 4,054672 40 546, 72
mn j m
ARa==⋅=
ðóá.
53
Äëÿ ð-ñðî÷íîé ðåíòû ôîðìóëû äëÿ íàðàùåííîé ñóììû è ñî-
âðåìåííîé ñòîèìîñòè òàêæå íàõîäÿò èç (2.52—2.55) ïðè ïîäñòàíîâ-
êå òóäà
1m = :
(
)
;
,
p
ni
SRs=
ãäå
()
()
()
;
1
11
11
n
p
ni
p
i
s
pi
+−
=
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
—
êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ;
(
)
;
,
p
ni
ARa=
ãäå
()
()
()
;
1
11
11
n
p
ni
p
i
a
pi
−
−+
=
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
—
êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, òàáóëèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðèìåð 2.19. Â ôîíä åæåãîäíî ïîñòóïàþò ñðåäñòâà ïî 10 000 ðóá.
â òå÷åíèå ñåìè ëåò, íà êîòîðûå íà÷èñëÿþòñÿ ïðîöåíòû ïî ñòàâêå 15% ãîäî-
âûõ, ïðè÷åì âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ â êîíöå êâàðòàëà.
Îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû íàðàùåíèÿ è ïðèâåäåíèÿ ðåíòû, à òàêæå
âåëè÷èíó ôîíäà íà êîíåö ñðîêà è åãî ñîâðåìåííóþ ñòîèìîñòü.
Ðåøåíèå.
Êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
()
()
()
()
7
;
114
11
1,15 1
11, 671179.
41,15 1
11
n
p
ni
p
i
s
pi
+−
−
===
⎡⎤
−
+−
⎢⎥
⎣⎦
Íàðàùåííàÿ ñóììà
()
;
10 000 11,671179 116 711,79
p
ni
SRs== ⋅ =
ðóá.
Êîýôôèöèåíò íàðàùåíèÿ ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
()
()
()
()
7
;
1
14
11
11,15
4,387629.
41,15 1
11
n
p
ni
p
i
a
pi
−
−
−+
−
===
⎡⎤
−
+−
⎢⎥
⎣⎦
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ôîíäà
()
;
10 000 4,387629 43 876, 29
p
ni
ARa== ⋅ =
ðóá.
Ïðè ðàñ÷åòå õàðàêòåðèñòèê ðåíò ñ âûïëàòàìè â íà÷àëå è â ñåðå-
äèíå ïåðèîäîâ èñïîëüçóþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè àíàëîãè÷íûõ ðåíò
ïîñòíóìåðàíäî.
Ïðè âûïëàòàõ â íà÷àëå ïåðèîäà (ðåíòà ïðåíóìåðàíäî) íàðàùåííàÿ
ñóììà è ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ðåíòû îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì
54
1
1,
mp
j
SS
m
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
ãäå
1
,SS— íàðàùåííàÿ ñóììà ðåíòû ïðåíóìåðàíäî è ïîñòíóìåðàíäî
ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íå-
îäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó ñîîòâåòñòâåííî;
1
1,
mp
j
AA
m
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
ãäå
1
,AA — ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ðåíòû ïðåíóìåðàíäî è ïîñòíóìå-
ðàíäî ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâ-
êå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó ñîîòâåòñòâåííî.
Äëÿ ðåíòû ñ âûïëàòàìè â ñåðåäèíå ïåðèîäà èìååì
2
12
1,
m
p
j
SS
m
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
ãäå
12
,SS
— íàðàùåííàÿ ñóììà ðåíòû ñ âûïëàòàìè â ñåðåäèíå ïåðèîäà
è ðåíòû ïîñòíóìåðàíäî ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé
ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â ãîäó ñîîòâåò-
ñòâåííî;
2
12
1,
m
p
j
AA
m
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
ãäå
12
,
A
A
— ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ðåíòû c âûïëàòàìè â ñåðåäèíå
ïåðèîäà è ðåíòû ïîñòíóìåðàíäî ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ ïî íî-
ìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè â
ãîäó ñîîòâåòñòâåííî.
Îòëîæåííûìè ðåíòàìè íàçûâàþòñÿ ðåíòû, ó êîòîðûõ íà÷àëî
âûïëàò ñäâèíóòî âïåðåä. Ïðè ðàñ÷åòå ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè òàêîé
ðåíòû âíà÷àëå íàõîäÿò ñîâðåìåííóþ ñòîèìîñòü èñõîäíîé ðåíòû, ó
êîòîðîé ìîìåíòîì ïðèâåäåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ íà÷àëî âûïëàò, à çàòåì
äèñêîíòèðóþò ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ê íà÷àëó îòëîæåííîé ðåíòû.
Äëÿ ãîäîâîé îòëîæåííîé ðåíòû ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü
t
A ðàññ÷è-
òûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
()()
;
11
ni
t
tt
Ra
A
A
ii
==
++
,
ãäå A — ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü èñõîäíîé ðåíòû, ó êîòîðîé ìîìåíòîì
ïðèâåäåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ íà÷àëî âûïëàò; t — âðåìÿ çàäåðæêè â âûïëàòå
ðåíòû;
;ni
a — êîýôôèöèåíò ïðèâåäåíèÿ ðåíòû ê íà÷àëó âûïëàò.
55
Åñëè ñðîê ðåíòû î÷åíü áîëüøîé èëè êîíêðåòíî íå îãîâàðèâà-
åòñÿ, ò.å. åñëè
n →∞, òî òàêàÿ ðåíòà íàçûâàåòñÿ âå÷íîé ðåíòîé. Ôîðìó-
ëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè ãîäîâîé ðåíòû èìååò âèä
.
R
A
i
∞
=
2.7. Характеристики потоков платежей
Ïðè îïðåäåëåíèè âåëè÷èíû ãîäîâîé âûïëàòû ðåíòû èñïîëüçóþò-
ñÿ ïîëó÷åííûå âûøå ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà íàðàùåííîé ñóììû è ñî-
âðåìåííîé ñòîèìîñòè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðåíò. Ïðè ýòîì äîëæíû áûòü
çàäàíû âñå ïàðàìåòðû ðåíòû, êðîìå ãîäîâîé âûïëàòû. Äëÿ ð-ñðî÷íîé
ðåíòû ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ
т ðàç â ãîäó ôîðìóëà äëÿ âåëè÷èíû
ãîäîâîé âûïëàòû îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (2 .52) è (2 .54 ) :
()
;
p
mn j m
S
R
s
=
;
()
;
p
mn j m
A
R
a
=
, (2.56)
ãäå S è A íàðàùåííàÿ ñóììà è ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ðåíòû ñîîòâåòñò-
âåííî;
(
)
;
p
mn j m
s è
(
)
;
p
mn j m
a — êîýôôèöèåíòû íàðàùåíèÿ è ïðèâåäåíèÿ
ðåíòû ñîîòâåòñòâåííî; ð — êîëè÷åñòâî âûïëàò â ãîäó; m — êîëè÷åñò-
âî íà÷èñëåíèé ïðîöåíòîâ â ãîäó; j — íîìèíàëüíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâ-
êà;
n — ñðîê ðåíòû â ãîäàõ.
 ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè äîâîëüíî ÷àñòî âîçíèêàþò çàäà÷è îï-
ðåäåëåíèÿ ñðîêà ðåíòû ïðè ïðî÷èõ èçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ. Ñðîê ðåíòû
îïðåäåëÿåòñÿ èç ôîðìóë äëÿ íàðàùåííîé ñóììû è ñîâðåìåííîé ñòîè-
ìîñòè ðåíòû, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû íàìè ðàíåå. Íàèáîëåå îáùèì
ñëó÷àåì ïîñòîÿííîé ðåíòû ÿâëÿåòñÿ ðåíòà ñ íà÷èñëåíèåì ïðîöåíòîâ
ïî íîìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âûïëàòàìè
â ãîäó. Äëÿ ýòîé ðåíòû íàðàùåííàÿ ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
11
.
11
mn
mp
j
m
SR
j
p
m
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎡⎤
⎛⎞
+−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
Ïðåäñòàâèì ýòó ôîðìóëó â âèäå
1111.
mp mn
Sj j
p
Rm m
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎢+ −⎥+= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
56
Ïðîëîãàðèôìèðîâàâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
ln 1 1 1 ln 1 .
mp
Sj j
pmn
Rm m
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞ ⎛⎞
⎢+ −⎥+ = +
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
Ðåøèâ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî n, îêîí÷àòåëüíî íàéäåì
ln 1 1 1
.
ln 1
mp
Sj
p
Rm
n
j
m
m
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞
+−+
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
(2.57)
Ïðè ðàñ÷åòå ïî ýòîé ôîðìóëå ñðîê ïîëó÷àåòñÿ, êàê ïðàâèëî,
äðîáíûì, ïîýòîìó êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ n
p
îêðóãëÿåòñÿ äî öåëîãî
÷èñëà n
0
. Çàòåì óòî÷íÿåòñÿ çíà÷åíèå ðàçîâîãî ïëàòåæà ïî ôîðìóëå
0
11
.
11
mp
mn
j
R
m
S
p
j
m
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
(2.58)
Ïðèìåð 2.20.  ôîíä ïîñòóïàþò ñðåäñòâà, íà êîòîðûå íà÷èñëÿþòñÿ
ïðîöåíòû ïî ñòàâêå 15% ãîäîâûõ, ïðè÷åì âûïëàòû ïðîèçâîäÿòñÿ â êîíöå
êàæäîãî êâàðòàëà, à ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ åæåìåñÿ÷íî. Âåëè÷èíà ôîíäà
íà êîíåö ñðîêà ñîñòàâèò 100 òûñ. ðóá., ãîäîâàÿ âûïëàòà — 10 òûñ. ðóá.
Îïðåäåëèòü ñðîê ðåíòû.
Ðåøåíèå.
Ñðîê ðåíòû íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
12
5
4
4
10 0,15
ln 4 1 1 1
12
10
ln 2,518828
6,197 лет.
0,15
12 ln1, 0125
12 ln 1
12
n
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞
⎢⎥
+−+
⎨⎬
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎩⎭
===
⋅
⎛⎞
⋅+
⎜⎟
⎝⎠
Êîëè÷åñòâî êâàðòàëîâ â ïîëó÷åííîì ñðîêå ñîñòàâèò np = 6,197•4 =
= 24,788. Îêðóãëÿåì ïîëó÷åííîå ÷èñëî äî 25, ò.å. êîëè÷åñòâî ëåò ðåíòû ïðè-
íèìàåòñÿ ðàâíûì n
0
= 6,25 ëåò. Âåëè÷èíó åæåêâàðòàëüíîé âûïëàòû ïîëó-
÷èì, ïîäñòàâèâ ýòî ÷èñëî â ôîðìóëó
0
12
4
5
12 6,25
0,15
111 1
12
10 2467,56 руб.
0,15
111 1
12
mp
mn
j
R
m
S
p
j
m
⋅
⎛⎞ ⎛ ⎞
+− + −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
== =
⎛⎞ ⎛ ⎞
+− + −
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
57
Àíàëîãè÷íî íàõîäÿò ôîðìóëó äëÿ ñðîêà ðåíòû ñ íà÷èñëåíèåì ïðî-
öåíòîâ ïî íîìèíàëüíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå è ñ íåîäíîêðàòíûìè âû-
ïëàòàìè â ãîäó ïî åå ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè. Ýòà ôîðìóëà èìååò âèä
ln 1 1 1
.
ln 1
mp
Aj
p
Rm
n
j
m
m
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞
−+−
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
=−
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
(2.59)
Ôîðìóëà äëÿ óòî÷íåíèÿ çíà÷åíèÿ ðàçîâîãî ïëàòåæà:
0
11
.
11
mp
mn
j
R
m
A
p
j
m
−
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
(2.60)
Äëÿ äðóãèõ òèïîâ ðåíòû ñðîê íàõîäèòñÿ àíàëîãè÷íî.
Âàæíîé ïðîáëåìîé ïðè àíàëèçå ïîòîêîâ ïëàòåæåé ÿâëÿåòñÿ çà-
äà÷à ðàñ÷åòà ïðîöåíòíîé ñòàâêè ðåíòû. Åñëè èçâåñòíû âñå ïàðàìåòðû
ðåíòû, êðîìå ïðîöåíòíîé ñòàâêè, òî ðàñ÷åò ïðîöåíòíîé ñòàâêè ìîæ-
íî òðàêòîâàòü êàê îïðåäåëåíèå äîõîäíîñòè ôèíàíñîâîé îïåðàöèè.
Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèé äëÿ ðàñ÷åòà íàðà-
ùåííîé ñóììû è ñîâðåìåííîé ñòîèìîñòè ïî ôîðìóëàì, ïîëó÷åííûì
âûøå, äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ðåíò.  îòëè÷èå îò îïðåäåëåíèÿ ãîäîâîé
âûïëàòû ðåíòû èëè åå ñðîêà âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà ïðîöåíòíîé
ñòàâêè, êàê ïðàâèëî, íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ôîðìóëû. Ïîýòîìó
ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ðåíòû ðàññ÷èòûâàþò öèôðîâûìè ñïîñîáàìè. Ðàñ-
ñìîòðèì îäèí èç ñïîñîáîâ, íàçûâàåìûé ìåòîäîì Íüþòîíà—Ðàôñîíà.
 îáùåì ñëó÷àå ìåòîä Íüþòîíà—Ðàôñîíà ñîñòîèò â ïîñëåäîâà-
òåëüíîì ïðèáëèæåíèè ê ðåøåíèþ x
0
íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ f(x) = 0.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ìåòîäà ïîÿñíÿåòñÿ íà ðèñ. 2.8.
α
Ðèñ. 2.8. Ãðàôèê, ïîÿñíÿþùèé ìåòîä Íüþòîíà—Ðàôñîíà
58
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ
(
)
fxâ èññëåäóåìîé îáëàñòè ÿâëÿ-
åòñÿ ãëàäêîé, íåïðåðûâíîé, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé èëè ìîíî-
òîííî óáûâàþùåé. Âáëèçè ðåøåíèÿ
0
x âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ
òî÷êà
1
x . ×åðåç òî÷êó
(
)
11
,()xfx ïðîâîäèòñÿ êàñàòåëüíàÿ ê ôóíê-
öèè
(
)
f
x
, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ îñüþ 0 x â òî÷êå
2
x . Êàê ñëåäóåò
èç ðèñ. 2.8, ýòà òî÷êà ëåæèò áëèæå ê ðåøåíèþ
0
x ïî ñðàâíåíèþ
ñ òî÷êîé
1
x . Êîîðäèíàòà òî÷êè
2
x îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ðèñ. 2.8.
Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
(
)
1
12
tg .
fx
xx
α=
−
Òàê êàê
tgα ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé
(
)
1
fx
′
ôóíêöèè
(
)
fx â òî÷-
êå
1
x , òî ðåøåíèå ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî
2
x ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
(
)
()
1
21
1
.
f
x
xx
f
x
=−
′
Àíàëîãè÷íî íàõîäèòñÿ êîîðäèíàòà òî÷êè
3
x , ëåæàùåé åùå áëè-
æå ê ðåøåíèþ
0
x .  îáùåì ñëó÷àå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(
)
()
1
t
tt
t
fx
xx
fx
+
=−
′
, (2.61)
ãäå t — íîìåð øàãà èëè èòåðàöèè.
Äëÿ ãîäîâîé ðåíòû íàðàùåííàÿ ñóììà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
()
11
.
n
i
S
Ri
+−
=
Ïðè ðåøåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ åãî ïðèâîäÿò ê âèäó, óäîáíîìó
äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ. Ïðåæäå âñåãî, ââåäåì çàìåíó
1xi=+ (2.62)
è ïåðåíåñåì ëåâóþ ÷àñòü âïðàâî.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
1
0.
1
n
xS
xR
−
−=
−
Òàê êàê íà íîëü äåëèòü íåëüçÿ, òî 1x ≠ .
Óìíîæèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà
1x − , íàéäåì
10.
n
SS
xx
RR
−+−=
59
 êà÷åñòâå èñêîìîé ôóíêöèè ïðèíèìàåì
()
1.
n
SS
fx x x
RR
=− +−
(2.63)
Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
1
.
n
S
fx nx
R
−
′
=−
(2.64)
Ïðèìåð 2.21. Â íàêîïèòåëüíûé ôîíä åæåãîäíî â êîíöå ãîäà ïîñòóïà-
þò ñðåäñòâà ïî 10 òûñ. ðóá. â òå÷åíèå 7 ëåò, ïðè÷åì íà êîíåö ñðîêà âåëè÷è-
íà ôîíäà ñîñòàâèò 100 òûñ. ðóá.
Îïðåäåëèòü äîõîäíîñòü èíâåñòèöèé.
Ðåøåíèå:
10SR=
. Ïîëîæèì
1
x = 1,15.
Ïåðâàÿ èòåðàöèÿ:
()
7
11 1
1 1,15 10 1,15 10 1 0,16
n
SS
fx x x
RR
=− +−= −⋅ +−=
;
()
16
11
7 1,15 10 6,19
n
S
fx nx
R
−
′
=−=⋅−=
;
(
)
()
1
21
1
0,16
1,15 1,1241578
6,19
fx
xx
fx
=− = − =
′
.
Âòîðàÿ èòåðàöèÿ:
(
)
2
0,0271944;fx =
(
)
2
4,127383fx
′
=
;
(
)
()
2
32
2
1,117569.
fx
xx
fx
=− =
′
Òðåòüÿ èòåðàöèÿ:
(
)
3
0,0016208;fx =
(
)
3
3, 637794;fx
′
=
(
)
()
3
43
3
1,1171235.
fx
xx
fx
=− =
′
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû âî âòîðîé è â òðåòüåé èòåðàöèÿõ ñëàáî îòëè-
÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, òî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðåêðàòèòü è ïðèíÿòü
1 0,1171235,ix=−=
èëè 11,71235%.
Äðóãèì ìåòîäîì, ïîäòâåðæäàþùèì îêîí÷àíèå âû÷èñëåíèé, ÿâëÿåòñÿ
ïðîâåðêà. Äëÿ ýòîãî â ïðàâóþ ÷àñòü èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ïîäñòàâëÿþò ïî-
ëó÷åííîå çíà÷åíèå ñòàâêè. Åñëè ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ ëåâîé ÷àñòüþ èëè
ñëàáî îòëè÷àåòñÿ îò íåå, òî âû÷èñëåíèÿ ïðåêðàùàþòñÿ. Äëÿ ðàññìàòðèâàå-
ìîãî ïðèìåðà
()
7
11
1,1171235 1
10,00006.
0,1171235
n
i
i
+−
−
==
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû ïðàêòè÷åñêè ñîâïàëè, òàê êàê
10SR=
, òî ïðè-
íèìàåì
11, 71235% 11, 71%.i =≈
60
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîâîäèòñÿ ðàñ÷åò ïðîöåíòíîé ñòàâêè
è äëÿ äðóãèõ ðåíò. Íàïðèìåð, ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ð-ñðî÷íîé
ðåíòû îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
()
()
1
11
.
11
n
p
i
A
R
pi
−
−+
=
⎡⎤
+−
⎢⎥
⎣⎦
Òàê æå êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ýòî óðàâíåíèå ïðèâåäåì ê âè-
äó, óäîáíîìó äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ. Ââåäåì çàìåíó
1xi=+ è ïðî-
âåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
1
110.
n
n
p
AA
px p x
RR
+
⎛⎞
−+ +=
⎜⎟
⎝⎠
Ðåøåíèå
1x = íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Â êà-
÷åñòâå èñêîìîé ôóíêöèè ïðèíèìàåì
()
1
11.
n
n
p
AA
fx px px
RR
+
⎛⎞
=−++
⎜⎟
⎝⎠
Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
1
1
1
1
1.
n
n
p
AA
fx n px n px
pR R
+−
−
⎛⎞
⎛⎞
′
=+ − +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
2.8. Непрерывные потоки платежей
2.8.1. НАРАЩЕННАЯ СУММА ПЛАТЕЖА
ДЛЯ ПРЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ РОСТА
Ññóäà â ðàçìåðå Ð ðóá. ïîëó÷åíà â ìîìåíò âðåìåíè
1
.b Ñèëà
ðîñòà èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.9.
Íàéäåì çíà÷åíèå íàðàùåííîé ñóììû â ìîìåíò
2
b . Ïðè ýòîì
ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1
ξ
2
ξ
i
ξ
δ
Ðèñ. 2.9. Ïðåäñòàâëåíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñèëû ðîñòà
îò âðåìåíè îòäåëüíûìè äèñêðåòíûìè òî÷êàìè
61
Èíòåðâàë
[]
12
,bb ðàçáèâàåòñÿ íà n ýëåìåíòàðíûõ èíòåðâàëîâ
ïðîèçâîëüíûìè ÷èñëàìè
1
t ,
2
t , …,
1n
t
−
. Âíóòðè (èëè íà ãðàíèöå)
êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èíòåðâàëà
[]
1
,
ii
tt
−
âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî
îäíî ÷èñëî
i
ξ , òàêîå, ÷òî
1
.
iii
tt
−
≤ξ ≤
 ìîìåíò
1
t íàðàùåííàÿ ñóììà áóäåò ðàâíà
(
)
1
1
e.
t
SP
δξ ⋅∆
=⋅
 ìîìåíò
2
t áóäåì èìåòü
() () ()
() ( )
(
)
12
212
21
eeee .
t
ttt
SS P P
δξ +δξ ⋅∆
δξ ⋅∆ δξ ⋅∆ δξ ⋅∆
=⋅ =⋅ ⋅ =⋅
Äëÿ ìîìåíòà
2
b ïîëó÷èì
() ( )
()
()
()
12
1
...
ee.
n
i
n
i
t
n
SP P
=
δξ
δ ξ +δ ξ + +δ ξ ⋅∆
∑
=⋅ = ⋅
Íàéäåì ïðåäåë ñóììû, ïîëó÷åííîé â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè ïðè
ñòðåìëåíèè ê íóëþ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èíòåðâàëà, ò.å.
1
0
i
t
−
∆→
è, ñëåäîâàòåëüíî,
n →∞
. Ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûì èí-
òåãðàëîì. Ïðè ýòîì ïèøóò
()
()
2
1
1
1
0
1
lim .
i
n
b
n
ii
t
i
b
tdt t
−
→∞
−
∆→
=
δ= δξ⋅∆
∑
∫
Òàêèì îáðàçîì, íàðàùåííàÿ ñóììà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
2
1
e.
b
b
tdt
SP
δ
∫
=⋅
(2.65)
Ïðèâåäåííàÿ ê ìîìåíòó
1
b ñòîèìîñòü ïëàòåæà äëÿ ñèëû ðîñòà,
èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
2
1
e.
b
b
tdt
PS
−δ
∫
=⋅
(2.66)
Ñîâðåìåííàÿ ñòîèìîñòü ýòîãî ïëàòåæà, ò.å. ñòîèìîñòü, ïåðåñ÷è-
òàííàÿ íà íóëåâîé ìîìåíò, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
() ()
12
00
ee.
bb
tdt tdt
АP S
−δ − δ
∫∫
=⋅ = ⋅