Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

Какую силу трения

между

клетью и стенами шахты должен раз-

вить предохранительный парашют, чтобы остановить клеть на протя-

жении пути $=10 м, если канат, удерживающий клеть, оборвался?

Силу трения считать постоянной.

Ответ:

F=p(l

+~Ц = 10,3 т.

§31.

Смешанные задачи

кГ подвешен на нити длиной 50 см

начальном положении

груз

отклонен от

.М,

31.1 (798).

Груз

весом

неподвижной точке О. В

вертикали на

угол

60° и ему сообщена скорость v

в вертикальной

плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 210

см/сек.

Опре-

делить: 1) натяжение нити в наинизшем положении; 2) отсчитываемую

по

вертикали высоту, на которую

груз

поднимается над этим поло-

жением.

Ответ:

1) 2,9 кГ;

2) 47,5 см.

31.2 (799). Сохраняя ус-

ловия предыдущей задачи,

кроме величины скорости v

найти,

при какой величине

скорости v

груз

будет

про-

ходить всю окружность.

Ответ:

> 443

см/сек.

31.3 (800). По рельсам,

положенным по пути АВ и

образующим затем петлю в

виде кругового кольца ВС

радиуса а, скатывается ваго-

нетка весом Р.

какой высоты h нужно

пустить вагонетку без на-

чальной скорости, чтобы она

могла пройти всю окруж-

ность кольца, не отделяясь

от него? Определи

1Ь

давле-

ние

Л' вагонетки на кольцо

точке М, для которой

угол

МОВ =

<р.

Ответ:

h ;s= 2,5a;

задаче 31.4.

задаче 31.3.

| )

31.4 (801). Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из

точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано на

чертеже:

/_ВОС=

/,B0D = a.

Найти,

с какой высоты h должна скатываться вагонетка без на-

чальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то

значение

угла

а, при котором эта высота h наименьшая.

231

Указание. На участке DC центр тяжести вагонетки совершает пара-

болическое движение.

Ответ:

h = r

fl-f-cosa-j—

'cdsa')'

hmm при

a==45

°-

31.5 (802). Тяжелая стальная отливка весом Р = 20 кГ прикреп-

лена к стержню, который может вращаться без трения вокруг непод-

вижной оси О. Отливка падает из наивысшего положения А с ни-

чтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня,

определить наибольшее давление на ось. (См. чертеж к задаче

30.14.)

Ответ:

100 кГ.

31.6 (803).

Какой

угол

с вертикалью составляет вращающийся

стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось

равно нулю?

Ответ:

ср

= arccos -j.

31.7 (804). Парашютист весом 70 кГ выбросился из самолета и,

пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов,

на

которых человек был подвешен к парашюту, если в течение пер-

вых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной

силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась

до 4,3 м/сек. Сопротивлением

воздуха

движению человека пренебречь.

Ответ:

127,4 кГ.

31.8 (805). За 500 м до станции, стоящей на пригорке высотой

2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/сек, закрыл пар

начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от тор-

можения,

считаемое постоянным, чтобы поезд

остановился у станции, если вес поезда ра-

вен 1000 т, а сопротивление трения 2 г?

Ответ:

8679

кГ.

31.9. Тяжелая отливка веса Р прикреп-

лена к стержню, который может вращаться

без трения' вокруг неподвижной оси О и от-

клонен

от вертикали на

угол

<р

. Из этого

задаче 31.9. начального положения отливке сообщают на-

чальную скорость Ф

(см. чертеж). Опре-

делить усилие в стержне как функцию

угла

отклонения стержня от

вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня I.

Р п

Ответ:

N= ЗР cos

<о

— 2Р cos ср

—|—

— ~.

Если N^>0, стержень растянут; если

JV<^0,

стержень сжат.

31.10 (806). Сферический маятник состоит из нити ОМ длиной /,

прикрепленной

одним концом к неподвижной точке О, и тяжелой

точки М весом Р, прикрепленной к

другому

концу нити. Точку М

отклонили из положения равновесия так, что ее координаты стали:

лри ^ = 0 дг=хо, у=0, и сообщили ей начальную скорость:

JCo

= 0>

= ^o, io = O. Определить, при каком соотношении начальных усло-

вий

очка М

будет

описывать окружность в горизонтальной

232

плоскости

каково

будет

время обращения точки

М по

этой

ок-

ружности.

Ответ:

задаче

31.10.

задаче 31.11.

31.11 (807). Лыжник

при

прыжке

трамплина спускается

эста-

кады

АВ,

наклоненной

под

углом

а=30°

горизонту. Перед отры-

вом

он

проходит небольшую горизонтальную площадку

ВС,

длиной

которой

при

расчете пренебрегаем.

момент отрыва

лыжник

толчком сообщает себе вертикальную состав-

ляющую скорости

м/сек. Высота эстакады.

= 9 м,

коэффициент трения

лыж

снег

/==

0,08,

ли-

ния

приземления

образует

угол

45°

горизон-

том. Определить дальность

полета лыжника, прене-

брегая сопротивлением

воздуха.

Примечание.

Дальностью полета считать длину, изме-

ряемую

от

точки отрыва

С до

точки приземления лыжника

на

линии

CD.

Ответ:

47,4

м.

31.12 (808).

Груз

весом

падает

без

началь-

ной

скорости

высоты

Н на

плиту

А,

лежащую

на

задаче

3112

спиральной

пружине

В. От

действия упавшего

груза

пружина сжимается

на

величину

h. He

учитывая веса плиты

А и

сопротивлений,

вычислить время

сжатия пружины

на

величину

импульс

упругой силы пружины

за

время

Т.

Ответ:

(|-«)./ 5=

где

tga =

V2g(H+h)

2]fH(H-\-h)

' h '

31.13 (809).

При

разрыве маховика одна

из его

частей, наиболее

удаленная

от

места катастрофы, оказалась

на

расстоянии

s =

280

от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением

воздуха

ри

движении указанной части

из

первоначального положения

233

К задаче 31.14.

конечное,

лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наимень-

шее возможное значение угловой скорости маховика в момент ката-

строфы, если радиус маховика R=l,75 м.

Ответ:

и = 286

обIмин.

31.14 (810).

Груз

М, подвешенный на пружине к верхней точке А

круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает,

скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость

пружины для того, чтобы давление

груза

на кольцо в нижней точке В

равнялось нулю при следующих данных: радиус

кольца 20 см, вес

груза

5 кГ, в начальном поло-

жении

груза

расстояние AM равно 20 см и пру-

жина имеет натуральную длину; начальная ско-

рость

груза

равна нулю; весом пружины прене-

брегаем.

Ответ:

Пружина должна удлиняться на 1 см

при

действии силы, равной 0,5 кГ.

31.15 (811). Определить давление

груза

М на

кольцо в нижней точке В (чертеж предыдущей

задачи) при следующих данных: радиус кольца 20 см, вес

груза

7 кГ;

начальном положении

груза

расстояние AM равно 20 см, причем

пружина растянута и длина ее вдвое более натуральной длины, ко-

торая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется

на

1 см при действии *силы в 0,5- кГ; начальная скорость

груза

равна нулю; весом пружины пренебрегаем.

Ответ:

Давление направлено вверх и равно 7 кГ.

31.16 (812). Гладкое тяжелое кольцо М весом Q может сколь-

зить без трения по

дуге

окружности радиуса R см, расположенной

вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОА,

проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная

точке А. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М

находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно

приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке В

неустойчивом равнове-

сии

и при ничтожно малом

толчке начинает скользить

по

окружности. Опреде-

лить давление N, произ-

водимое кольцом на ок-

ружность.

Ответ:

N= 2Q -j-

-f cR + 3 (Q + сR) cos 2<p;

давление направлено на-

ружу

при N>0, внутрь

при

JV<0.

31.17 (813).

Груз

под-

вешен на нити дли-

ной

50 см в неподвижной точке О. В начальном положении М

груз

отклонен от вертикали на

угол

60° и ему сообщена

234

К задаче 31.16.

К задаче 31.17.

У///////////////////////

скорость

вертикальной плоскости

по

перпендикуляру

нити

вниз,

равная 350

см/сек.

1) Найти

то

положение

груза,

котором натяжение нити

бу-

дет равно нулю,

скорость

этом положении.

2) Определить траекторию последующего движения

груза

до того

момента, когда нить

будет

опять натянута,

время,

течение кото-

рого точка пройдет эту траекторию.

Ответ:

Положение

находится над горизонталью точки

на

расстоянии MD

25 см;

г>1

157

см/сек.

2) Парабола

МАВС,

уравнение которой, отнесенное

осям

Мх

My,-

будет

у =

лг|Лз—0,08JC

;

груз

описывает эту параболу

те-

чение 0,55 сек,

31.18 (814). Математический маятник установлен

на

самолете, ко-

торый поднимается

на

высоту

10 км.

На какую часть длины надо

уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний

маятника

на

этой высоте бстался без изменений? Силу тяжести счи-

тать обратно пропорциональной квадрату

расстояния до центра Земли.

Ответ:

На

0,00313/,

где / — длина нити

на

поверхности Земли.

31.19 (815).

неподвижной точке

по-

средством нити

ОМ

длиной

подвешен

груз

М с

массой

т. В

начальный момент

нить

ОМ составляет

вертикалью

угол

а и

скорость

груза

равна нулю. При после-

дующем

движении нить встречает тонкую

проволоку О\, направление* которой перпен-

дикулярно

плоскости движения

груза,

положение определяется полярными коорди-

натами: h

OOi

р. Определить наименьшее

значение

угла

а, при котором нить ОМ после

встречи

проволокой

будет

на

нее нави-

ваться,

также изменение натяжения нити

момент

ее

встречи

проволокой. Толщиной

проволоки пренебрегаем.

Ответ:

а.

=. arccos

(у

-f-

cos {Jj

—

;

натяжение нити увеличивается

на

величину

задаче

з!.ао.

задаче 31.19.'

31.20 (816). Тяжелая точка М, вес кото-

рой равен

Р,

движется

по

внутренней по-

верхности круглого цилиндра радиуса

г.

Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой

ось цилиндра

вертикальной, определить давление точки на цилиндр. Начальная ско-

рость точки равна по величине ^о

составляет

угол

я с

горизонтом.

„

кг

Po|cos

Ответ:

N——-

235

31.21

(817).

предыдущей задаче составить уравнения движения

точки,

если

начальный момент точка находилась

на оси х.

Г#о COS

О Л . [V

COS

а Л

Ответ:

x = rcos\-~—t\; y = r sin

-^—1\;

31.22 (818). Камень

находящийся

на

вершине

гладкого полу-

сферического купола радиуса

получает начальную горизонтальную

скорость

г>о. В

каком месте камень покинет купол?

При

каких

зна-

чениях

камень сойдет

купола

начала

ный

момент? Сопротивлением движению

камня

по

куполу пренебречь.

Ответ:

задаче 31.22.

31.23 (819). Точка

М с

массой

т дви-

жется

по

гладкой поверхности полусфери-

ческого купола радиуса

Считая,

что на

точку

действует

сила тяжести, параллельная

оси г, и

зная,

что в на-

чальный момент точка имела скорость

Va и

находилась

на

высоте

от основания купола, определить давление точки

на

купол, когда

она

будет

на

высоте

h от

основания купола.

Ответ:

задаче 31.23.

задаче

31.24.

31.24 (820). Точка

М с

массой

движется

по

цепной линии

под действием силы отталкивания, параллельной

оси Оу,

направлен-

ной

от оси Ох и

равной

kmy. В

момент £

= 0 х= 1 м, х= 1

м/сек.

Определить давление

точки

на

кривую

движение точки

при

= 1

сек"

и а=\ м

(силой тяжести пренебрегаем). Радиус

кри-

визны

цепной линии равен

У/а.

Ответ:

N==0;

x —

{\-\-i)M.

31.25 (821).

По

какой плоской кривой

следует

изогнуть

трубку,

чтобы помещенный

в нее в

любом месте шарик оставался

по

отно-

шению

трубке

в равновесии, если трубка врашаегся с постоянной

угловой скоростью ш вокруг оси Оу?

Ответ:

По параболе у =

— jc

-j- с.

задаче 31.25.

31.26(822).

Точка УИ с массой т=\ г движется по гладкой

поверхности круглого конуса,

угол

раствора которого 2а = 90°, под

влиянием

силы отталкивания от вершины О, пропорциональной рас-

стоянию:

F = с

•

ОМ дин, где с = 1

дин/см.

В начальный момент точка

М находится в точке А, расстояние О А равно а = 2 см, начальная

скорость

г>о

= 2

см/сек

и направлена параллельно основанию конуса.

Определить движение точки М (силой

тяжести пренебрегаем).

Положение точки

определяем коорди-

натой

z и

полярными координатами

г и tp в

плоскости, перпендикулярной

к оси Ог;

урав-

нение поверхности конуса

—

=0.

Ответ:

-j-1

31.27 (823). При условиях

предыду-

щей

задачи, считая ось конуса направлен-

ной

по вертикали

вверх

и учитывая силу

тяжести, определить давление точки на

поверхность конуса.

Ответ:

N=m sin a \g-\ ^s— •

31.28 (824). Материальная точка А

ПОД

действием СИЛЫ ТЯЖеСТИ ДВИЖеТСЯ ПО К задаче 31 28.

шероховатой винтовой поверхности, ось

которой

Oz вертикальна; поверхность задана уравнением z = ay

-\-/(r);

коэффициент

трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при

котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси

АВ=Гь

т. е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость

этого движения, предполагая, что а = const.

Указание.

Для решения задачи целесообразно воспользоваться систе-

мой

естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную,

237

главную нормаль

бинормаль винтовой линии

точке

А. На

чертеже

угол

между

йормальной компонентой

реакции винтовой поверхности

ортом

главной нормали

п°

обозначен через

р.

Ответ:

Движение

по

винтовой линии возможно

при

условии

tga

—

A/l+/'

Co) cos

a =0,

где

tg a = a/r

;

скорость движения

v = Vgrof

- 31.29. Тело

К,

размерами которого можно пренебречь, установ-

лено

верхней точке

шероховатой поверхности неподвижного

полуцилиндра радиуса

Какую начальную горизонтальную скорость

г%, направленную

по

касательной

цилиндру, нужно сообщить

телу

К,

чтобы оно, начав движение, остановилось

на

поверхности цилиндра,

если коэффициенты трения скольжения

при

движении

покое

оди-

наковы

равны

Ответ:

[У

фо

Я/

)],

где f

задаче

31.29.

задаче

31 30.

31.30. Тело

К,

размерами которого можно пренебречь, установ-

лено

нижней точке

внутренней части шероховатой поверхности

неподвижного цилиндра радиуса

Какую начальную горизонтальную

скорость

Vo,

направленную

по

касательной

цилиндру, нужно сооб-

щить

телу

К,

чтобы

оно

достигло верхней точки

цилиндра?

Коэф-

фициент

трения скольжения равен

Ответ:

32. Колебательное движение

а) Свободные колебания

32.1 (825). Пружина

АВ,

закрепленная одним концом

точке

А,

такова,

что для

удлинения

ее на 1 см

необходимо приложить

точке

при

статической нагрузке силу

в 20 Г. В

некоторый момент

к ниж-

нему концу В недеформированной пружины подвешивают

гирю

238

•

весом 100 Г и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая

массой

пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и

указать амплитуду и период ее колеба-

ний,

отнеся движение гири к оси, про-

веденной

вертикально вниз из положения

статического равновесия гири.

Ответ:

х==—5 cos I4t см;

а = Ь см; Т = 0,45 сек.

32.2 (826). При равномерном спуске

груза

весом Q = 2 т со скоростью v==

м/сек

произошла неожиданная за-

держка верхнего конца троса, на котором

спускался груз, благодаря защемлению

за

аЧ

згл к ^че 32 2.

троса в обойме блока. Пренебрегая весом

троса, определить его наибольшее натяжение при последующих коле-

баниях

груза,-

если коэффициент жесткости троса с = 4 т/см.

Ответ:

F = 47,l т.

32.3 (827). Определить наибольшее натяжение троса в предыду-

щей

задаче, если

между

грузом и тросом введена упругая пружина

коэффициентом жесткости c

= 0,4 т/см.

Ответ:

F=15,6 т.

32.4 (828).

Груз

Q, падая с высоты h = 1 м без начальной ско-

рости,

ударяется об

упругую

горизонтальную балку в ее середине;'

концы

балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения

груза

на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально

вниз

из положения статического равновесия

груза

на балке, если

статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке

равен 0,5 см; массой балки пренебрегаем.

Ответ:

х = {— 0,5 cos 44,3^ -j- 10 sin

44,3*)

см.

32.5 (829). На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р кГ;

под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см.

Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах.

Упругое

сопротивление рессоры пропорционально стреле ее про-

гиба.

Ответ:

Г = 0,45 сек.

32.6 (830). Определить период свободных колебаний фундамента

машины,

поставленного на упругий грунт, -если вес фундамента

машиной Q = 90 T, площадь подошвы фундамента 5= 15 м

коэф-

фициент

жесткости грунта c=kS, где

= 3

кГ/см*

— так называе-

мая

удельная жесткость грунта.

Ответ:

Г = 0,09 сек.

32.7 (831). Найти период свободных вертикальных колебаний

корабля

в спокойной воде, если вес корабля Р т, площадь его гори-

зонтального сечения 5/ и не зависит от высоты сечения; вес 1 м

воды равен 1 т. Силами, обусловленными вязкостью воды, пре-

небречь.

Ответ:

Г =

2/^

239

32.8.

условиях предыдущей задачи найти уравнение движения

корабля, если

он был

спущен

на

воду

нулевой вертикальной

ско-

ростью.

Ответ:

у =

— ^- cos

I/ ~t м.

32.9 (836). Груз,

вес

которого равен

н, подвешен

на

упругой

нити

неподвижной точке. Выведенный

из

положения равновесия,

груз

начинает совершать колебания. Выразить длину нити

х в

функ-

ции

времени

найти, какому условию должна удовлетворять началь-

ная

длина

ее х

чтобы

во

время движения гири нить оставалась

натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению;

длина

ее

нерастянутом состоянии равна

/; от

действия статической нагрузки,

равной

q я,

нить удлиняется

на 1 см.

Начальная скорость

груза

равна нулю.

Ответ:

х —

/-\-

-J-

!х

—

I —

2Р

-t

32.10 (837).

На два

вращающихся

противоположные стороны,

указанные

на

чертеже, цилиндрических шкива одинакового радиуса

свободно положен однород-

ный

стержень; центры

шки-

вов

О] и Ов

находятся

на

горизонтальной прямой OiO

;

расстояние OiO

2/; стер-

жень приводится

движе-

ние

силами трения, разви-

вающимися

точках каса-

. ния

его со"

шкивами;

эти

силы пропорциональны

дав-

лению стержня

на

шкив, причем коэффициент пропорциональности

(коэффициент

трения) равен

1) Определить движение стержня после того,

как мы

сдвинем

его

из

положения симметрии

на х

при

г)

==0.

2) Найти коэффициент трения

зная,

что

период колебаний

стержня

при /=25 см

равен

2 сек.

задаче 32.10.

KjtUQcni,

II X Ло

LOS

I I/

~~r-1

11 Zl

Гтгг

I /' '

gT*

32.11 (838).

одной

и той же

пружине подвесили сначала

груз

весом

р, а в,о

второй

раз

груз

весом

Ър.

Определить,

во

сколько

раз

изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины

с,

а также, начальные условия (грузы подвешивались

концу нерастя-

нутой пружины и-отпускались

без

начальной скорости), найти урав-

нения

движения грузов.

Ответ:

^ =

Vd;

~£-cos

V^t;

=-~^c

V^t.

Q w P ' С f of)

3112.

пружине жесткостью

с —2

tcrjcM

сначала подвесили

груз

= 6 кГ, а

затем

груз

=\2кГ

(вместо первого груза).

240