Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике

Подождите немного. Документ загружается.

2) время Г« которое потребовалось бы для достижения этой ско-

рости;

3) путь хь. который должен пройти вагон, чтобы приобрести

скорость 3

MJceK.

Ответ:

1) г>

шах

= 4 м/сек; 2) Т = со; 3) х

= 187 м.

27.28. Найти уравнение движения точки массы т, падающей без

начальной скорости на Землю, причем сопротивление

воздуха

про-

порционально квадрату скорости. Коэффициент пропорциональности

•

равен k.

Ответ:

х = -г

1и

27.29

(705). Буер, весящий вместе с пассажирами Q— 196,2 кГ,

движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда

вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует

угол

45° с направлением движения. Абсолютная

скорость w ветра перпендикулярна к направлению

движения. Величина давления ветра Р выражается

формулой Ньютона: Р = kSu* cos

f, где

<f>

—

угол,

образуемый относительной скоростью ветра и с

перпендикуляром N к плоскости паруса, 5=

5 л'

— величина площади паруса, k =

0,113—•

опытный коэффициент. Давление Р направлено

перпендикулярно к плоскости ab. Пренебрегая

трением, найти: 1) какую наибольшую ско-

рость

m3X

может получить буер; 2) какой

угол

а составляет при

этой

скорости помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса;

3) какой путь Xi должен пройти

буер

для того, чтобы приобрести

скорость

V=-K-W,

если его начальная скорость равна нулю.

Ответ:

miX

~w,

2) а = 0°; 3) л^ —90 м.

27.30 (698). Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат,

увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги воз-

растает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 120 кГ

течение каждой секунды. Найти кривую расстояний s движения

вагона при следующих данных: вес вагона 10 т, сопротивление трения

постоянно

и равно 0,2 т, а начальная скорость равна нулю.

Ответ:

Движение начнется по истечении 5/3 сек после включения

/ 5 \

тока; с этого момента s =

0,01962

^—

м.

27.31 (701). Тело весом /7=10 н движется под действием пере-

менной

силы F = 10(l — f) н, где время t — в секундах.

Через сколько секунд тело остановится, если в начальный

момент скорость тела

г>о

= 2О

см)сек

и сила совпадает по на-

правлению со скоростью

тела?

Какой путь пройдет точка до оста-

новки?

Ответ:

£ = 2,02 сек; s = 692

CJK.

27.32 (702). Материальная точка с массой т совершает прямо-

линейное

движение под действием силы, изменяющейся по закону

211

F =

cosu>£,

где F

и ш— постоянные величины. В начальный момент

точка имела скорость Xo — v

Найти

уравнение движения точки.

Ответ:

х —

—\(\—cosatf)-j-i»

27.33

(694).

Частица массы т, несущая заряд е электричества,

находится в однородном электрическом поле с переменным напряже-

нием

E =

As\nkt

(А и k — заданные постоянные). Определить движе-

ние

частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу

действует

сила F = eE, направленная в сторону напряжения Ё.

Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы

принять

за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.

„ еА I, sin kt\

Ответ:

x = —.\t-

-mk\ k

27.34

(699). Определить движение тяжелого шарика вдоль вооб-

ражаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли,

если известно, что сила притяжения внутри аемного шара пропорци-

ональна расстоянию движущейся точки от ценгра Земли и направлена

этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без

начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохожде-

нии

через центр Землл и время движения до этого центра. Радиус

Земли равен /? = 637 10

см, ускорение силы притяжения на поверх-

ности Земли принять равным g=980

см/сегс\

Ответ:

Расстояние шарика от центра Зецли меняется по закону

—

Rcosy^t;

v = 7,9

км/сек;

Г = 21,1

мин.

27.35

(700). Тело падает на Землю с высоты h без начальной

скорости. Сопротивлением

воздуха

пренебрегаем, а силу притяжения

Земли считаем обратнб пропорциональной квадрату расстояния тела

от центра Земли. Найти время Т, по ис^чении которого тело

достигнет поверхности Земли. Какую скороемь v оно приобретет за

это время? Радиус Земли равен R; ускорение силы тяжести у поверх-

ности Земли равно g.

27.36. Материальная точка массы m отталкивается от центра

силой,

пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональ-

ности

mki). Сопротивление среды пропорционально скорости движе-

ния

(коэффициент пропорциональности 2mk

), В начальный момент

точка находилась на расстоянии а от центр г, и ее скорость в этот

момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.

Ответ:

х = ~,

(ае?<

+ Р<г"0, где о

УЖЛ^г

+ k

27.37. Точка массы т начинает двигаться без начальной скорости

«з положения лг = р прямолинейно (вдоль оси х) под действием силы

212

притяжения

к началу координат, изменяющейся по закону

Найти

момент времени, когда точка окажется в положении x\ —

Определить скорость точки в этом положении.

27.38. Точка массы т начинает двигаться из состояния покоя из

положения хо = а прямолинейно под действием силы притяжения,

пропорциональной расстоянию от начала координат: F

— — с

тх,

силы отталкивания, пропорциональной

кубу

расстояния: Q

c^nix*.

При

каком соотношении Ci,

c%,

а точка достигнет начала координат

остановится?

Ответ:

С\ = -к- СаЯ*.

27.39.

Точка массы т движется прямолинейно. Зависимость

пройденного пути от скорости дается формулой

= a Yv — b.

Найти

время, в течение которого начальная скорость точки увели-

чится вдвое.

Ответ:

t =

-=-

(I —

ь \ у

27.40

(703). При движении тела весом в 9,8 и в неоднородной

среде сила сопротивления изменяется по закону г = — з+1

ГД8

v — скорость тела в м/сек, as — пройденный путь в метрах. Опре-

делить пройденный путь как функ-

цию времени, если начальная ско-

рость 1>

= 5 м/сек.

Ответ:

s = d

[у^оТ+Т—•

l] м.

б) Криволинейное

движение

27.41 (709). Морское орудие

(105 мм, 35 калибров) выбрасывает

снаряд весом 18 кГ со скоростью

700м/сек;

действительная траек-

тория снаряда в

воздухе

изображена

на

чертеже в

двух

случаях: 1) когда

угол,

составляемый осью орудия с

горизонтом, равен 45° и 2) когда

угол

равен 75°. Для каждого из

двух

указанных случаев определить,

на

сколько километров увеличилась бы как высота, так и дальность

полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления

воздуха.

Ответ:

Увеличение высоты: 1) 7,5 км; 2) 12 км.

Увеличение дальности: 1) 36,5 км; 2) 16,7 км.

213

О 1 2 3 Ч 5 6 7 8 9 10 II 1213 П

задаче 27.41.

27.42 (710). Самолет А летит на высоте

4000

м над землей

горизонтальной скоростью 500

км/'час.

На каком расстоянии х,

измеряемом

по горизонтальной прямой от данной точки В, должен

быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости

какой-либо

груз

для того, чтобы

он

упал в эту точку? Сопро-

тивлением

воздуха

пренебре-

h I А

гаем

| / \

Ответ:

лг =

3960

1д

^гШ 1 '

27-43

(

711

Самолет А ле

Ш%

тит на

Д землей на высоте h с

горизонтальной скоростью v

задаче 27 42. К задаче 27 43. Из ОруДИЯ В произведен ВЫ-

стрел по самолету в тот мо-

мент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием.

Найти:

1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость

г>о

снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким

углом а к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением

воздуха

пренебрегаем.

Ответ:

г>§

5г v\ -f 2gh; 2)

cosa=3.

27.44

(712). Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна

Определить его горизонтальную дальность / при

угле

бросания

a = 30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротивлением

воздуха

пренебрегаем.

Ответ:

l=~L; ft = -

27.45

(713). При

угле

бросания а снаряд имеет горизонтальную

дальность 1

Определить горизонтальную дальность при

угле

бросания, равном

а/2. Сопротивлением

воздуха

пренебрегаем.

Ответ:

4/2 =

27.46

(714). Найти дальность полета снаряда, если радиус кривизны

траектории в высшей ее точке р = 16 км, а

угол

наклона ствола

орудия к горизонту a = 30°. Сопротивлением

воздуха

пренебречь.

Ответ:

тйХ

— 2р tg a = 18 480 м.

27.47

(715). Определить

угол

наклона ствола орудия к горизонту,

если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость

снаряда г>

=600 м/сек. Сопротивлением

воздуха

пренебрегаем.

Ответ:

<Xi

30°18";

59°42'.

27.48

(716). Решить предыдущую задачу в том случае, когда

цель

будет

находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских

лозийий.

Ответ:

30°45';

59°23'.

27.49

(717). Из орудия, находящегося в точке О, произвели

выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью г\). Одно-

временно

из точки А, находящейся на расстоянии / по горизотали

214

от точки

О,

произвели выстрел вертикально

вверх.

Определить,

с какой начальной скоростью

надо выпустить второй снаряд,

чтобы

он

столкнулся

первым снарядом, если скорость

точка

лежат

одной .вертикальной плоскости. Сопротивлением

воздуха

пренебречь.

Ответ:

t>i

sina

(независимо

от

расстояния/, для l<<"°

27.50

(718). Найти геометрическое место положений

момент

материальных точек, одновременно брошенных

вертикальной пло-

скости

из

одной точки

одной

и той же

начальной скоростью

под

всевозможными углами

горизонту.

Ответ:

Окружность радиуса

vrf с

центром, лежащим

на

верти-

кали

точки бросания, ниже этой точки

на -^gt

27.51 (719). Найти геометрическое место фокусов

всех

параболи-

ческих траекторий, соответствующих одной

и той же

начальной

скорости

всевозможным

углам

бросания.

Ответ:

х*+у

-|„.

27.52 (720). Тело весом

Р,

брошенное

начальной скоростью

под

углом

а к

горизонту, движется

под

влиянием силы тяжести

сопротивления

воздуха.

Определить наибольшую высоту

тела

над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорци-

ональным первой степени скорости:

R = kPv.

Ответ:

/г

-^—

р"Ц( -\-kv

?,ina).

27.53 (721).

условиях задачи

27.52

найти уравнения движения

точки.

Ответ

27.54

(722).

При

условиях задачи

27.52

определить,

на

каком

расстоянии

s по

горизонтали точка достигнет наивысшего положения.

vl sin 2a

Ответ:

"—

т-гг-

27.55

(723).

вертикальной

трубе,

помещенной

центре круглого

бассейна

наглухо

закрытой

сверху,

на

высоте

1 м

сделаны отвер-

стия

боковой поверхности трубы,

из

которых выбрасываются

наклонные

струи воды

под

различными углами

ср к

горизонту

(ф-<-5);

начальная скорость струи равца

•D

4g/3cos(p

м/сек,

где

— ускорение силы тяжести; высота

трубы

1 м.

Определить

наименьший

радиус

бассейна,

при

котором

вся

выбрасываемая

трубой вода падает

бассейн,

как бы

мала

ни

была высота

его

стенки.

Ответ:

#=2,83

м.

27.56

(724). Определить движение тяжелой материальной точки,

масса которой равна

граммам, притягиваемой

неподвижному

215

центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение

происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна

ti'rn

дан; в момент £ — 0: х = а, х = 0, у = 0, у = 0, причем ось

Оу направлена по вертикали

вниз.

Ответ:

Гармоническое колебательное движение: x =

acoskt,

y~jL(l

—

coskt)

по отрезку прямой y = js—

27.57

(725). Точка массы т движется под действием силы оттал-

кивания

от неподвижного центра О, изменяющейся по закону

р = к*тг, где г — радиус-вектор точки. В началь-

ный

момент точка находилась в Ж

(а, 0) и имела

скорость Уо, направленную параллельно оси у. Опре-

делить траекторию точки.

Ответ:

- — — = 1 (гипербола).

I \

27.58

(726).

Упругая

нить, закрепленная в точ-

ке А, проходит через неподвижное гладкое коль-

цо

О; к свободному концу ее прикреплен шарик М,

масса которого равна т граммам. Длина невытяну-

той нити

lz=AO;

для удлинения нити на 1 см нужно

приложить силу, равную k^m дин. Вытянув нить по

прямой

АВ так, что длина ее увеличилась вдвое,

сообщили шарику скорость г)

> перпендикулярную

прямой АВ. Определить траекторию шарика, пренебрегая дей-

ствием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным

ее удлинению.

Ответ:

Эллипс -^--\-

= \.

27.59

(727). Точка М, масса которой равна т, притягивается

я неподвижным центрам С\, С»,..., С,-,..., С

силами, пропорцио-

нальными расстояниям; сила притяжения точки М к центру С;

(/=

1, 2, 3,..., я) равна

kim-MCi

дин; точка М и притягивающие

центры

лежат

в плоскости Оху. Определить траекторию точки М,

если при ^ = 0: х = Хъ,

у=Уо,

х = 0, г/ = х;

. Действием силы

тяжести пренебрегаем.

Ответ:

Эллипс

^ = 1, где

27.60

(728). Точка М притягивается к

двум

центрам C

и С

силами, пропорциональными расстояниям: km • МС\ и km • MCi, центр

неподвижен и находится в начале координат, центр С

равномерно

движется по оси Ох, так что

х?,

= 2 (a -f- bf). Найти траекторию

точки М, полагая, что в момент £ = 0 точка М находится в плоско-

сти ху, координаты ее х=у = а и скорость имеет проекции

x = i~b, 0

===(!.

216

Ответ:

Винтовая линия, расположенная на эллиптическом цилин-

дре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид

^-|--TJ-=

/н

задаче

27 62.

шаг винта равен up у -г.

27.61 (729).

Отклонение

катодных

лучей

электрическом

поле.

Частица массы т, несущая заряд отрицательного электричества е,

вступает

в однородное электрическое поле напряжения Е со скоростью

vo, перпендикулярной к направлению напряжения поля. Определить

траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что

электрическом поле на нее

действует

сила

F=eE,

направленная в сторону, противоположную напряже-

нию

Е; действием силы тяжести пренебрегаем.

Ответ:

Парабола, параметр которой равен

mvljeE.

27.62 (730).

Отклонение

катодных

лучей

в маг-

нитном

поле.

Частица массы т, несущая заряд отри-

цательного электричества е,

вступает

в однородное

„магнитное поле напряжения Н со скоростью v

, пер-

' пендикулярной к направлению напряжения поля. Определить траек-

торию дальнейшего движения частицы, зная, что на частицу дей-

ствует

сила F—— е (v X И)-

При

решении удобно пользоваться уравнениями движения точки

проекциях на касательную и на

главную

нормаль к траектории.

Ответ:

Окружность радиуса —•—.

27.63 (731). Определить траекторию движения частицы массы т,

несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное

электрическое поле с переменным напряжением Е =

Acoskt

(Ли k —

заданные постоянные) со скоростью г% перпендикулярной к направ-

лению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебрегаем. В элек-

трическом поле на частицу

действует

сила F= — еЕ.

еА ! k \

Отеет:у=

гз 1 —cos— х),

где ось у направлена по напряже-

нию

ноля, начало координат совпа-

дает

с начальным положением точки

поле.

27.64

(732). По негладкой на-

клонной

плоскости движется тяже-

лое тело М, постоянно оттягивае-

мое посредством нити в горизон-

тальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента

движение

тела

становится прямолинейным и равномерным, причем

из

двух

взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, кото-

рая

направлена параллельно АВ, равна 12

см/сек.

Определить вто-

рую составляющую vi скорости, а 1акже натяжение 7" нити при сле-

217

задаче

27 64

дующих

данных: уклон плоскости tga=l/30, коэффициент трения

/=0,1,

вес

тела

300 н.

Ответ:

= 4,24

см/сек;

7* = 28,3 н.

27.65.

Точка М массы т находится под действием

двух

сил при-

тяжения,

направленных к неподвижным центрам О

и О

(см. чертеж).

Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек О

и О

Коэффициент

пропорциональности одинаков и равен с. Движение

начинается в точке А

со скоростью v

, перпендикулярной к линии

Ofi

Определить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты

времени, когда она пересекает направление линии OjO

, и вычислить

ее координаты в эти моменты времени.

Ответ:

Эллипс

где £=1/ ±.

т '

,0,

2я

, = — 2а, _у

h~у. -^2 =

—2а»

^о = 0 и т. д.

Время, в течение которого точка описывает эллипс, Т=-г-.

27.66.

На точку А массы /я, которая начинает движение из поло-

жения

г — г

(где г— радиус-вектор точки) со скоростью ч>

, пер-

пендикулярной к г

действует

сила притяжения, направленная

центру О и пропорциональ-

ная

расстоянию от него.

задаче 27.65.

Ао

задаче

27.66.

Коэффициент

пропорциональности равен mc-j. Кроме того, на точку дей-

ствует

постоянная сила

пгсг

Найти уравнение движения и траекто-

рию точки. Каково должно быть отношение с

1с, чтобы траектория

движения проходила через центр О? С какой скоростью точка прой-

дет центр О?

Ответ:

r=-r

-f

—=

sin

2) эллипс

•х—~г

(* --

\ С

•\rV7-

2Г8

3) точка

пройдет через центр

О,

если

/c = 2;

4) точка

пройдет через центр

О со

скоростью

= —

V»

момент

времени

t = i:/y c

27.67. Тяжелая точка массы

падает

из

положения, определяе-

мого координатами д-

= 0, у

1г

при

= 0, под

действием силы

тяжести (параллельной

оси у) и

силы отталкивания

от оси у, про-

порциональной

расстоянию

от

этой

оси

(коэффициент пропорциональ-

ности

с).

Проекции начальной скорости точки

на оси

координат

равны

= v

, v

= 0.

Определить траекторию точки,

также

момент времени

пересечения

оси х.

Ответ:

Траектория

о\

27.68.

Точка

М МаССЫ Ш ДБИЖетСЯ К

задаче

27 68.

под действием силы тяжести

по

глад-

кой

внутренней поверхности полого цилиндра радиуса

г. В на-

чальный момент

угол

ср

7:/'2,

скорость точки равнялась

ну-

лю. Определить скорость точки

М и

реакцию поверхности цилиндра

при

угле

<р

= 30°.

Ответ:

v =

У~Ъ

•

У"§т; Т =

—\т—

mg.

28. Теорема об изменении количества движения

материальной точки. Теорема об изменении момента

количества движения материальной точки

28.1 (733). Железнодорожный поезд движется

по

горизонтальному

прямолинейному участку пути.

При

торможении развивается сила

сопротивления, равная

0,1

веса поезда,

момент начала торможения

скорость поезда равняется

км\час.

Найти время торможения

тормозной путь.

Ответ:

20,4 сек; 204 м.

28.2 (734).

По

шероховатой наклонной плоскости, составляющей

с горизонтом

угол

==30°, спускается тяжелое тело

без

начальной

скорости. Определить,

течение какого времени

тело пройдет

путь длиной

/ = 39,2 м,

если коэффициент трения

/=0,2.

Ответ:

Т =Ь сек.

28.3 (735). Поезд весом

400 т

входит

на

подъем

i = tga = 0,006

(где

а —

угол

подъема)

со

скоростью

км/час.

Коэффициент

тре-

ния

(коэффициент суммарного сопротивления)

при

движении поезда

равен

0,005.

Через

50 сек

после

входа

поезда

на

подъем

его ско-

рость падает

до 45

км/час.

Найти силу тяги тепловоза,

Ответ:

2,36 т.

28.4 (736). Гирька

привязана

концу нерастяжимой нити

МОА,

часть которой

ОА

пропущена через вертикальную

трубку;

гирька

219

м-f

движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC = R, делая

120

об/мин.

Медленно втягивая нить бА в

трубку,

укорачивают

наружную часть нити до длины ОМ

при которой гирька описывает

окружность радиусом -^R. Сколько обо-

ротов в минуту делает гирька по этой

окружности?

Ответ:

480

об/мин.

28.5 (737). Для определения веса гру-

женого железнодорожного состава между

тепловозом и вагонами установили динамо-

метр. Среднее показание динамометра за

2 мин оказалось 100,8 т. За это же

время состав набрал скорость v =

57,6

км/час

(вначале состав стоял на

месте).

Коэффициент трения /=0,02.

Найти

вес состаза.

Ответ:

Вес состава

3000

т.

28.6 (738). Каков должен быть коэффициент трения / колес

заторможенного автомобиля о

дорогу,

если при скорости езды

г>

= 72

км/час

он" останавливается через 6 сек после начала тор-

можения?

Ответ:

0,34'.'

28.7 (739). Пуля весом Р = 20 Г вылетает из ствола винтовки

со скоростью v = 650 м/сек, пробегая канал ствола за время

£ =

0,00095

сек. Определить среднюю величину давления газов,

выбрасывающих пулю, если сечение канала s=150 мм

Ответ:

Среднее давление 9,31

кГ/мм

28.8 (740). Точка М движется вокруг неподвижного центра под

действием силы притяжения к этому центру, Найти скорость v.

наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость

точки

в наиболее близком к нему положении v

= 30

см/сек,

а г

пять раз больше г

у.

Ответ:

г'

= 6

см/сек.

задаче

28.4.

задаче

28.8.

задаче

28.9.

28.9 (741). Найти импульс равнодействующей всех'сил, действую-

щих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения О

переходит в наивысшее положение М.

Дано:

= 500 м/сек, а

= 60°, г>

= 200 м/сек, вес снаряда 100 кГ,

Ответ:

Проекции импульса равнодействующей:

= — 510 кГ сек; S

— — 441О.кГсек.

220